Tài liệu Lý thuyết các quyền chọn tổng hợp trong toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao Hà Nội - 2014 Mục lục 1 2 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Danh sách các hình và bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii v Tổng quan về Quyền chọn và mô hình định giá Quyền chọn 1.1 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các loại Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Quyền chọn Mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Quyền chọn Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn . . . . . . . . 1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua . . . . . . . . 1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán . . . . . . . . . 1.4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes . . . . 1.4.1 Mô hình Black -Scholes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua 1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán . 1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn . . . . . . . 1.5.1 Độ đo tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Thay đổi độ đo - định lý Girsanov . . . . . . . . . . 1.5.3 Định giá với mô hình Black- Scholes . . . . . . . . . 1 1 2 2 5 5 6 8 9 9 12 15 17 17 18 20 . . . . . . . . . . . . . . . Các Quyền chọn tổng hợp 2.1 Quyền chọn châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Một vài khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình hình học 2.1.3 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học . 2.1.4 Một bất đẳng thức giữa Quyền chọn châu Âu và Quyền chọn châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quyền chọn trong giỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Giá của một Quyền chọn Mua trong giỏ . . . . . . . . i 24 24 24 26 30 33 36 36 36 MỤC LỤC 2.3 Quyền chọn Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Giá của một Quyền chọn Mua Quanto . . . . . . . . 2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn . . . . . . . 2.4.1 Phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Kỹ thuật giảm phương sai trong phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận và hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phụ lục 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phụ lục 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . 38 38 39 41 42 . 43 . 43 . . . . . 45 49 50 55 59 Lời mở đầu Toán học tài chính đã ra đời hơn 100 năm qua, được đánh dấu bởi công trình của Louis Bachelier về Lý thuyết đầu cơ tài chính. Xuất phát từ thực tiễn Toán học tài chính đã ra đời và đó là khoa học sử dụng các công cụ toán học để nghiên cứu các vẫn đề thị trường tài chính nhằm đưa ra các định giá cho các sản phẩm tài chính nói chung. Thị trường Quyền chọn là một trong số những thị trường tài chính quan trọng. Đối với một thị trường phái sinh tài chính nói chung, thị trường Quyền chọn nói riêng thì vấn đề định giá các sản phẩm phái sinh hay định giá Quyền chọn luôn là đề tài được nhiều nhà khoa học quan tâm. Đã có nhiều công trình của các nhà khoa học về định giá Quyền chọn. Đặc biệt, vào năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng về định giá Quyền chọn. Kể từ đó đã ra đời mô hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Cũng từ đó mô hình đó cùng với công thức Black - Scholes đã tác động có tính chất cách mạng đến thị trường chứng khoán tại Mỹ. Người ta thấy rõ sự đơn giản và hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và các hợp đồng Quyền chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Với những hợp đồng Quyền chọn không chỉ đơn thuần viết trên một loại tài sản cơ sở, mà được viết trên sự tổng hợp tài sản cở sở theo một nghĩa nào đó. Thí dụ như Quyền chọn được viết trên tập hợp n cổ phiếu S1 , ..., Sn với các trọng số α1 , ..., αn khác nhau. Quyền chọn dạng này được gọi là Quyền chọn theo giỏ (Basket option). Đối với Quyền chọn theo giỏ thì tài sản cơ sở không mang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn như trong Quyền chọn châu Âu. Chính vì vậy mà không tồn tài một công thức đóng kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn theo giỏ này. Không chỉ có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản cơ sở của một số Quyền chọn tổng hợp khác như Quyền chọn châu Á hay Quyền chọn Quanto cũng không mang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn. Chính vì lẽ đó đã dẫn đến khó khăn cho việc định giá các loại Quyền chọn tổng hợp này. Để khắc phục khó khăn đó các nhà khoa học đã tìm cách xấp xỉ tài sản cơ iii MỤC LỤC iv sở của các Quyền chọn tổng hợp bởi biến logarit - chuẩn. Với mục đích để có thể sử dụng được các ước lượng trong mô hình định giá Black - Scholes. Đây cũng chính là nội dung chính của luận văn. Bố cục của luận văn gồm 2 chương và phụ lục: Chương 1. Trình bày tổng quan về các hợp đồng Quyền chọn, chiến lược sử dụng Quyền chọn để phòng ngừa rủi ro trong đầu tư và mô hình định giá Quyền chọn Black - Scholes. Sự tồn tại một độ đo mác-tin-gan hay còn gọi là độ đo xác suất rủi ro trung tính được khẳng định bởi định lý Girsanov cho chúng ta thấy một cách tiếp cận khác để định giá các sản phẩm phái sinh nói chung (cụ thể ở đây là các Quyền chọn). Chương 2. Trình bày các Quyền chọn được viết trên sự tổng hợp các tài sản cơ sở như Quyền chọn châu Á, Quyền chọn theo giỏ và Quyền chọn Quanto. Chúng ta gọi chúng là các Quyền chọn tổng hợp vì lẽ đó. Chúng là một lớp các hợp đồng tài chính quan trọng trong toán tài chính và được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Phần tiếp theo của chương trình bày phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn châu Âu và châu Á cùng với một số kỹ thuật giảm phương sai khi sử dụng phương pháp Monte Carlo như kỹ thuật biến điều khiển và kỹ thuật đại diện đối nhau. Chương trình thuật toán Monte cho giá Quyền chọn châu Âu và Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học được viết trên ngôn ngữ lập trình C/C++. Phụ lục 1. Giải thích thêm về mô hình Black - Scholes Phụ lục 2. Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes. Dù đã cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Tác giả luôn mong muốn đón nhận được những ý kiến đóng góp từ Thầy cô và bạn đọc. Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải Danh sách các hình và bảng biểu Hình 1.1: vị thế người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: vị thế người bán Quyền chọn Mua Hình 1.3: vị thế người mua Quyền chọn Bán Hình 1.4: vị thế người bán Quyền chọn Bán Hình 1.5: sự biến thiên giá cổ phiếu theo mô hình (1.4) Hình 1.6: giá Quyền chọn Mua châu Âu viết trên cổ phiếu S, khi giá thực thi tăng dần Hình 1.7: giá Quyền chọn Mua châu Âu với sự thay đổi của độ biến động Hình 1.8: giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận với thời gian đáo hạn của hợp đồng Bảng 2.1: giá cổ phiếu của Công ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến 09/05/2013 Hình 2.1 : thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu Hình 2.2 : thương pháp Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2 và cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.3: thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học Hình 2.4: giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2, T = 1 và cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.5: giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2 và cỡ mẫu n = 10000 sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển v Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS. Trần Hùng Thao người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình chu đáo em trong suốt thời gian hoàn thành luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt thời gian em học tập tại khoa. Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong bộ môn Toán - Trường ĐH Nông Nghiệp HN cũng như gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải vi Chương 1 Tổng quan về Quyền chọn và mô hình định giá Quyền chọn 1. Quyền chọn 2. Các loại Quyền chọn 3. Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn 4. Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes 5. Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn Định lý Girsanov. 1.1 Quyền chọn Quyền chọn (Option) là một hợp đồng tài chính giữa hai bên người mua và người bán đối với một số tài sản tài chính nào đó (thường là cổ phiếu, trái phiếu, tiền, vàng... và các loại tài sản trừu tượng khác như chỉ số chứng khoán hay lãi suất). Trong đó người mua có quyền (không phải nghĩa vụ) mua hoặc bán một số lượng tài sản tài chính vào một ngày trong tương lai với giá cả được thỏa thuận vào ngày hôm nay. Mức giá cố định mà người mua hợp đồng Quyền chọn có thể mua hoặc bán tài sản gọi là giá thực thi. Quyền chọn mà người nắm giữ hợp đồng chỉ được thực thi hợp đồng vào thời điểm đáo hạn ghi trong hợp đồng đó là Quyền chọn kiểu châu Âu. Còn loại hợp đồng Quyền chọn ít hạn chế hơn đó là Quyền chọn kiểu châu Mỹ. Đối với Quyền chọn kiểu này thì người nắm giữ hợp đồng có thể thực thi Quyền tại bất kỳ thời điểm nào trước ngày đáo hạn. Trong một hợp đồng Quyền chọn có hai bên. Bên mua Quyền chọn và bên bán Quyền chọn. Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn một 1 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 2 số tiền còn được gọi là phí Quyền chọn. a) Bên bán Quyền chọn: là bên phát hành Quyền chọn, sau khi thu phí Quyền chọn thì bên bán có nghĩa vụ sẵn sàng giao dịch (mua hoặc bán) tài sản cơ sở đã thỏa thuận trong hợp đồng với bên mua khi bên mua thực hiện quyền trong thời gian thỏa thuận. Đối với bên bán Quyền chọn thì lợi nhuận tối đa là phí Quyền chọn, còn lỗ thì không giới hạn. Trên thị trường có hai loại người bán Quyền chọn đó là người bán Quyền chọn Mua (Seller Call Option) và người bán Quyền chọn Bán (Seller Put Option). b) Bên mua Quyền chọn: là bên nắm giữ Quyền chọn, phải trả cho bên bán phí Quyền chọn để được "quyền" mua hoặc bán một tài sản cơ sở nào đó. Đối với bên mua thì trong thời hạn của hợp đồng có 3 sự lựa chọn. Thứ nhất thực hiện hợp đồng Quyền chọn nếu giá trên thị trường biến động theo xu hướng có lợi cho họ. Thứ hai bán hợp đồng Quyền chọn cho bên thứ 3 trên thị trường để hưởng chêch lệch. Thứ ba là để Quyền chọn tự động hết hiệu lực mà không cần thực hiện một giao dịch mua bán nào trên thị trường. Trường hợp này xảy ra khi giá trên thị trường biến đổi theo hướng bất lợi cho họ. Cũng như bên bán Quyền chọn thì trên thị trường cũng có hai loại người mua Quyền chọn đó là người mua Quyền chọn Mua (Buyer Call Option) và người mua Quyền chọn Bán (Buyer Put Option) Giá Quyền chọn (tức phí Quyền chọn) thay đổi theo thời gian và theo giá tài sản cơ sở. Giá Quyền chọn phải phản ánh được cơ hội đem lại lợi nhuận cho bên mua Quyền chọn. Do đó nếu giá tài sản cơ sở biến động mạnh và thời gian đáo hạn càng dài thì giá Quyền chọn càng cao. 1.2 Các loại Quyền chọn Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu nó có quyền được mua tài sản với giá thực thi trước hay vào đúng ngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyền chọn Mua (Call option) đơn giản ta gọi là (Call). Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu nó có quyền được bán tài sản với giá thực thi trước hay vào đúng ngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyền chọn Bán (Put option) hay còn gọi là (Put). 1.2.1 Quyền chọn Mua Hợp đồng Quyền chọn Mua là một hợp đồng tài chính diễn ra giữa hai bên. Nó cho phép người nắm giữ hợp đồng "quyền" được mua một số lượng tài CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 3 sản nhất định với một mức giá ấn định trước gọi là giá thực thi (strike price or exerise price) vào trước hay vào thời điểm đáo hạn của hợp đồng. Đổi lại, người mua hợp đồng (holder) phải trả cho người bán hợp đồng một khoản tiền (call premium). Nếu giá tài sản cơ sở tăng như dự đoán thì người mua hợp đồng sẽ thu được một khoản lời trong khi chi phí đầu tư là một khoản nhỏ (phí hợp đồng) hơn là phải bỏ ra một khoản tiền lớn mua toàn bộ tài sản đó. Trong trường hợp này người ta nói hợp đồng Quyền chọn Mua có lãi (in-the-money call option). Ngược lại hợp đồng Quyền chọn Mua bị lỗ (out-of-the-money call option). Đối với người bán hợp đồng này thì họ thu được một khoản lời đúng bằng phí hợp đồng. Nhưng khi người mua thực hiện hợp đồng thì người đó lỗ không giới hạn. Nếu giá tài sản cơ sở biến đổi theo xu hướng bất lợi cho người mua hợp đồng thì họ không nhất thiết phải thực thi hợp đồng, tự cho hợp đồng hết hiệu lực. Khi đó họ lỗ một khoản bằng phí mua Quyền chọn. Đối với hợp đồng Quyền chọn Mua. Người mua Quyền chọn lúc nào cũng kỳ vọng giá tài sản cơ sở tăng trong khi người bán thì lại kỳ vọng điều ngược lại. Xuất phát từ những nguồn thông tin khác nhau, các phân tích và đánh giá khác nhau cho nên dẫn tới nảy sinh những kỳ vọng khác nhau giữa người mua và người bán. Điều đó dẫn tới việc Quyền chọn (call và put) như thế diễn ra. Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hình dưới đây Hình 1.1: Vị thế người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: Vị thế người bán Quyền chọn Mua Trong hình 1.1 cho thấy vị thế người mua Quyền chọn Mua (tức người nắm giữ Quyền chọn Mua) thua lỗ tối đa đúng bằng khoản phí Quyền chọn mà họ đã bỏ ra để mua cái "Quyền" được mua tài sản nào đó. Trong khi đó lãi đối với họ là vô hạn tuỳ theo mức độ tăng giá của tài sản cơ sở. Ngược lại trong hình 1.2 lại mô tả vị thế của người bán Quyền chọn mua. Người này thua lỗ là vô hạn tuỳ theo sự tăng giá của tài sản cơ sở và họ lãi tối đa đúng bằng khoản phí Quyền chọn mà họ nhận được từ người mua Quyền chọn. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 4 Thí dụ 1.1. (Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Âu) Giả thử ta đang nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua một cổ phẩn của hãng XZ và hợp đồng sẽ đáo hạn sau 20 ngày kể từ ngày hôm nay. Giả thử giá thực thi ghi trong hợp đồng là 90 đô la đối với một cổ phiếu. Nếu giá thị trường hôm nay là 85 12 đô la, ta sẽ nghĩ rằng hợp đồng chẳng đáng mua là mấy bởi giá thực thi vượt quá cao so với giá thị trường hiện tại. Cũng có khả năng đến ngày đáo hạn giá thị trường lại tăng cao, chẳng hạn là 98 đô la vào lúc đáo hạn. Khi đó ta thực thi hợp đồng để kiếm một khoản lợi nhuận là 98 đô la − 90 đô la = 8 đô la. Tuy nhiên lợi nhuận thực sự không phải là 8 đô la mà chỉ là 8 − 4.5 = 3, 5 đô la. Bởi vì giá thực thi là 90 đô la cao hơn giá thị trường vào ngày đầu tiên ( tức 20 ngày trước ngày đáo hạn) và cao hơn một khoản là 4,5 đô la. Nếu ta xem tỷ số 3.5 4.0 = 0.875. Có thể xem số 87,5% là tỷ lệ lãi đầu tư khi mua hợp đồng ấy. Như vậy là lãi lớn. Nhưng giả thử rằng, không may đến ngày đáo hạn giá thị trường của mỗi cổ phiếu của hãng XZ chỉ là 89,5 đô la thôi. Như vậy bản hợp đồng Quyền chọn Mua này thực chất chẳng đáng mua và sự đầu tư là hoàn toàn thất bại. Điều đó nói rằng có sự rủi ro và không chắc chắc của việc mua hợp đồng Quyền chọn Mua. Thí dụ 1.2.(Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Mỹ) Giả thử chúng ta nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua kiểu Mỹ đối với một cổ phần của hãng IBM và sẽ hết hạn trong 15 ngày kể từ ngày hôm nay. Giả thử rằng giá thực thi ghi trong hợp đồng là 105 đô la. Nếu giá thị trường hôm nay đối với cổ phiếu IBM là 107 đô la. Chúng ta có thể chờ đến ngày đáo hạn với hy vọng trong 15 ngày tới đây giá cổ phiểu IBM trên thị trường sẽ cao hơn 107 đô la. Nhưng, giả thử rằng sang tuần tới , cổ phiếu của IBM bỗng nhiên nhảy lên 112 đô la. Khi đó với một hợp đồng kiểu Mỹ ta có thể thực thi ngay lập tức và kiếm lời 7 đô la mỗi cổ phiếu. Sau khi khấu trừ đi một khoản phí hợp đồng, chẳng hạn 4.5 đô la thì lãi thực sự của người nắm giữ hợp đồng trên mỗi cổ phiếu là 7 − 4.5 = 2.5 đô la. Tỷ lệ lãi khi đầu tư sẽ là 2.5 = 0.555 4.5 Đó là sợi suất khi đầu tư mua hợp đồng Quyền chọn Mua. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 1.2.2 5 Quyền chọn Bán Trên thị trường ngoài sự xuất hiện của hợp đồng Quyền chọn Mua (call option) thì có sự xuất hiện của loại hợp đồng Quyền chọn khác đó là hợp đồng Quyền chọn Bán (put option). Nó là một hợp đồng tài chính giữa hai bên. Theo đó người mua hợp đồng (holder) bán cho người bán hợp đồng một lượng tài sản nhất định với giá cả đã được ấn định trước trong hợp đồng vào trước hoặc đúng thời điểm đáo hạn (expiration date) ghi trong hợp đồng. Đổi lại người mua hợp đồng phải trả cho người bán một khoản gọi là phí Quyền chọn. Cần chú ý rằng trong hợp đồng Quyền chọn Bán thì người nắm giữ hợp đồng lại chính là người có quyền bán tài sản. Người nắm giữ hợp đồng sẽ có lợi khi thị trường cổ phiếu có xu hướng xuống giá mạnh. Khi đó người nắm giữ hợp đồng quyết định thực thi quyền bán và người bán hợp đồng buộc phải mua tải sản đã ghi trong hợp đồng. Ngược lại người viết hợp đồng (tức người có nghĩa vụ mua tài sản đã ghi trong hợp đồng nếu người nắm giữ hợp đồng yêu cầu thực hiện hợp đồng) sẽ thu được khoản lãi khi giá cổ phiếu tăng hoặc giảm nhẹ hơn khoản phí hợp đồng nhận được. Hợp đồng Quyền chọn Bán được xem như một công cụ được nhà đầu tư bảo hiểm cho tài sản của mình, khi nhà đầu tư dự đoán giá cổ phiếu sẽ tụt xuống trong tương lai và đồng thời không muốn bán hẳn số tài sản đó hoặc để đầu cơ thu lợi trước dự đoán đó. Trong trường hợp nào đi chăng nữa thì rủi ro của người nắm giữ hợp đồng cũng chỉ giới hạn trong phí hợp đồng. Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hình dưới đây: Hình 1.3: Vị thế người mua Quyền chọn Bán 1.3 Hình 1.4: Vị thế người bán Quyền chọn Bán Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn Trong quá trình đầu tư chứng khoán các nhà đầu tư luôn phải chịu một mức độ rủi ro nhất định. Điều mà các nhà đầu tư quan tâm là tìm kiếm một giải CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 6 pháp hạn chế rủi ro phù hợp cho mình. Dựa trên những đặc tính hấp dẫn của Quyền chọn thì việc kết hợp giữa cổ phiếu và Quyền chọn một cách nào đó cũng là một chiến lược phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư. Điều hấp dẫn đáng nói của Quyền chọn đó là có khả năng tạo ra nhiều chiến lược đa dạng để phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư. Đa dạng tới mức gần như nhà đầu tư nào cũng có thể tìm được một chiến lược đáp ứng mức rủi ro phù hợp với mình và phù hợp với dự báo của thị trường. Tuỳ thuộc vào khẩu vị rủi ro và mức độ lợi nhuận của nhà đầu tư mà họ đưa ra chiến lược phòng ngừa phù hợp. Dưới đây là các chiến lược phòng ngừa cơ bản. Để thuận lợi và đơn giản trong việc diễn đạt ta đưa ra một số ký hiệu quy ước như sau: Ct là giá Quyền chọn Mua hiện tại Pt là giá Quyền chọn Bán hiện tại St là giá cổ phiếu hiện tại T là thời điểm đáo hạn ST là giá cổ phiếu lúc đáo hạn X là giá thực hiện π là lợi nhuận của chiến lước Nc số Quyền chọn Mua N p số Quyền chọn Bán Ns số cổ phiếu, với quy ước Nc , N p , Ns > 0 tức là nhà đầu tư mua Quyền chọn hay cổ phiếu ngược lại Nc , N p , Ns < 0 là nhà đầu tư bán Quyền chọn hay cổ phiếu. 1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua Một trong trong những chiến lược phổ biến nhất của dưới kinh doanh Quyền chọn chuyên nghiệp là mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua đối với một loại cổ phiếu. Chiến lược này nhà đầu tư gọi đó là chiến lược bán một Quyền chọn Mua có phòng ngừa. Vì nhà kinh doanh Quyền chọn đang nắm giữ cổ phiếu nên nếu người mua Quyền chọn Mua thực hiện Quyền chọn thì nhà kinh doanh Quyền chọn chỉ giao cổ phiếu mà không phải mua trên thị trường một mức giá khá cao. Nhìn theo một quan điểm khác nếu người sở hữu cổ phiếu mà không bán Quyền chọn thì sẽ gặp phải rủi ro đáng kể khi cổ phiếu xuống giá. Bằng cách bán một Quyền chọn mua đối với cổ phiếu đó, người nắm giữ cổ phiếu sẽ giảm được rủi ro đáng kể khi trên thị trường cổ phiếu đó xuống giá. Vì lúc này khoản lỗ sẽ được bù đắp bởi khoản phí bán Quyền chọn Mua. Khi đó lợi CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 7 nhuận từ việc mua cổ phiếu là Ns (ST − St ), Ns > 0 , và lợi nhuận từ việc bán Quyền chọn Mua là Nc (Max(0, ST − X) −Ct ), Nc < 0. Vậy cho thấy lợi nhuận của chiến lược là π = Ns (ST − St ) + Nc (Max(0, ST − X) −Ct ). Bây giờ ta phân tích trường hợp đơn giản mua một cổ phiếu và bán một Quyền chọn Mua tức Ns = 1, Nc = −1. Do đó lợi nhuận lúc này là π = ST − St − Max(0, ST − X) +Ct . - Nếu giá cổ phiếu vào thời điểm đáo hạn không cao hơn giá thực hiện X thì người nắm giữ Quyền chọn sẽ không thực hiện Quyền chọn. Vì vậy mà lợi nhuận của người bán Quyền chọn là một khoản phí Quyền chọn Ct . Tuy nhiên do giá cổ phiếu giảm nên người nắm giữ cổ phiếu chịu một khoản lỗ tương ứng là ST − St . Vậy lợi nhuận của nhà đầu tư trong trường hợp này là π = ST − St +Ct . - Nếu giá cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn cao hơn giá thực hiện thì lúc đó người nắm giữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện hợp đồng. Lúc này người bán Quyền chọn chịu khoản lỗ tỷ lệ thuận với mức chênh lệch giữa giá thị trường và giá thực hiện và số lượng Quyền chọn trong hợp đồng. Tóm lại, lợi nhuận của chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua là lợi nhuận của chiến lược thực hiện hai vi thế song song với phương trình lợi nhuận là π = ST − St − ST + X +Ct = X − St +Ct Bây giờ ta xét một thí dụ nhà đầu tư sử dụng Quyền chọn cho mục đích đầu cơ kiếm lời của mình. Nhưng chiến lược này cũng mang lại thiệt hại lớn cho nhà đầu tư nếu nhận định trị trường của nhà đầu tư thiếu chính xác. Thí dụ1.3. Giả thử cổ phiếu IBM đang niêm yết trên thị trường là 86 đô la mỗi cổ phiếu. Nhà đầu tư phán đoán cổ phiếu IBM sẽ tăng trong vài tháng tới. Ta xét hai chiến lược đâu tư sau: thứ nhất nhà đầu tư bỏ ra một khoản tiền 8.600 đô la để mua 100 cổ phiểu IBM, thứ hai là nhà đầu từ sẽ dùng khoản tiền 8.600 đô la để mua 1.912 Quyền chọn Mua cổ phiếu IBM loại đáo hạn 5 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 8 năm tháng sau , nó đang chào bán với giá thực thi 90 đô la và phí Quyền chọn là 4.5 đô là mỗi Quyền chọn Mua. Nếu đúng như dự đoán giá cổ phiếu IBM tăng lên 100 đô là vào thời điểm 5 tháng sau thì khi đó lợi nhuận từ chiến lược mua cổ phiếu là 100∗(100−86) = 1.400 đô la, trong khi đó lợi nhuận của chiến dịch mua Quyền chọn Mua là 1.912 ∗ 10 − 8.600 = 10.520 đô la. Như vậy lợi nhuận từ chiến lược sử dụng Quyền chọn gấp hơn 7.5 lần chiến lực đầu tư mua cổ phiếu. Ngược lại, nếu diễn biến thị trường có xu hướng xấu đi, tức giá cổ phiếu IBM trượt giá xuống 80 đô la trong 5 tháng tới. Lúc đó nhà đầu tư sẽ lỗ 100 ∗ (86 − 80) = 600 đô la với chiến lược mua cổ phiếu, còn với chiến lược mua Quyền chọn thì nhà đầu tư lỗ 8.600 đô la dùng mua 1.912 Quyền chọn Mua. Như vậy cho thấy nếu nhà đầu tư nhận định xu hướng biến đổi của giá cổ phiếu IBM thiếu chính xác thì sẽ dẫn đến thiệt hại lớn khi sử dụng chiến lược Quyền chọn để đầu cơ. 1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán Chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua sẽ hạn chế được phần nào rủi ro cho người nắm giữ cổ phiếu khi thị trường cổ phiếu xuống giá. Trong một thị trường lên giá, hầu hết cổ phiếu sẽ được mua lại bằng cách thực hiện các Quyền chọn. Một chiến lược để nhận được sự bảo vệ khi thị trường xuống giá mà vẫn có thể chia lợi nhuận khi thị trường lên giá đó là mua Quyền chọn Bán bảo vệ, tức nhà kinh doanh mua cổ phiếu và mua Quyền chọn Bán. Quyền chọn Bán cung cấp một giá bán tối thiểu cho cổ phiếu. Ta có lợi nhuận từ việc mua Quyền chọn Bán là N p (Max(0, X − ST ) − Pt ), N p > 0. Do vậy lợi nhuận của chiến lược mua cổ phiếu và mua Quyền chọn Bán là π = Ns (ST − St ) + N p (Max(0, X − ST ) − Pt ). Ta xét trường hợp mua một cổ phiếu và một Quyền chọn Bán tức Ns = N p = 1 thì phương trình lợi nhuận lúc này là π = ST − St + Max(0, X − ST ) − Pt . (1.1) - Nếu giá cổ phiếu lúc đáo hạn không nhỏ hơn giá thực hiện thì người nắm giữ Quyền chọn Bán không thực hiện Quyền chọn. Do vậy phương trình lợi CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 9 nhuận là π = ST − St − Pt . Phương trình lợi nhuận cho thấy lợi nhuận từ việc thị trường cổ phiếu lên giá sẽ bị trừ đi phí mua Quyền chọn Bán. - Nếu giá cổ phiếu lúc đáo hạn nhỏ hơn giá thực hiện, lúc này người nắm giữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện Quyền chọn. Phương trình lợi nhuận của người mua cổ phiếu ở trường hợp này là π = ST − St + X − ST − Pt = X − St − Pt . Quyền chọn trong trường hợp này như một công cụ bảo hiểm cho cổ phiếu. Đối với thị trường xuống giá thì tổn thất của nhà đầu tư được bù đắp phần nào bởi việc thực hiện Quyền. Trong một thị trường lên giá thì bảo hiểm là không cần thiết và mức lợi nhuận do cổ phiếu tăng giá sẽ bị giảm đi một phần đó là phí mua Quyền chọn Bán để bảo vệ. Như vậy, Quyền chọn Bán ấn định một mức lỗ tối đa khi cổ phiếu xuống giá nhưng lại khiến cho nhà đầu tư lợi nhuận ít hơn khi cổ phiếu tăng giá. Nó tương tự như một hợp đồng bảo hiểm tài sản. Thí dụ 1.4. Giả thử ông A đang nắm giữ một số cổ phần chứng khoán của công ty dầu khí OCean. Ông ta biết rõ hoạt động của công ty này. Hiện tại công ty này đang bán 90 đô la đối với một cổ phiếu và ông này tin rằng giá cổ phiếu trên thị trường của công ty sẽ có nhiều thay đổi. Do đó ông ta bắt đầu bán các cổ phiếu này đi để cho mục đích tài chính khác của mình. Để thực hiện kế hoạch của mình ông ta bắt đầu một chương trình mua một số hợp đồng Quyền chọn Bán, loại đáo hạn vào khoảng 2 tháng nữa với giá thực thi là 85 đô la. Với kế hoạch này ông ta phải bỏ ra một khoản chi phí 2.5 đô la để mua một hợp đồng Quyền chọn Bán đối với một cổ phiếu của mình. Chiến lược này bảo vệ cho ông trong khả năng cổ phiếu tụt giá vì một khi giá cổ phiếu thấp xuống trong tương lai sẽ gây sức ép phải thực thi Quyền Bán. Điều đó sẽ cho phép ông ta thu được ít nhất 85 đô la cho mỗi Quyền chọn Bán. Như vậy ông ta được đảm bảo một giá trị tối thiểu cho các cổ phiếu mà ông ấy bán. Nếu giá cổ phiếu dừng ở mức trên 85 đô la, thì việc thực thi các Quyền Bán chẳng có ý nghĩa gì đối với ông ta. Số tiền phí 2.5 đô la cho mỗi Quyền chọn Bán xem như một loại phí bảo hiểm đảm bảo cho ông ta có khả năng bán được cổ phiếu với mức giá trên hoặc bằng 85 đô la cho mỗi cổ phiếu. 1.4 1.4.1 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes Mô hình Black -Scholes Ta xem St là giá cổ phiếu tại thời điểm t. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta có thể xem St là một quá trình ngẫu CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 10 nhiên với thời gian liên tục St = S(t, ω). Mô hình Black - Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên dS = Sµdt + σ SdW, (1.2) trong đó µ, σ là các hằng số, còn W là chuyển động Brown. Bây giờ ta sẽ tìm hiểu tại sao dẫn đến phương trình vi phân nói trên. Ta giả thử có một thị trường M hoạt động liên tục, có lãi suất không đổi, không chia cổ tức trước thời điểm đáo hạn, không có chi phí giao dich và không trao đổi chứng khoán. Ký hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dSt là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong thời gian nhỏ [t,t + dt]. Một cách tự nhiên là ta có thể giả thử độ thay đổi tương đối về giá là dSt /St tỷ lệ thuận với độ dài dt với hệ số tỷ lệ µ nào đó: dSt ∼ µdt (1.3) St Bên cạnh đó, còn phải kể đến tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị trường lên tỷ lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại "nhiễu" còn gọi là nhiễu ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhất là nhiễu có phân phối chuẩn, được gọi là tiếng ồn trắng Gauss, hay còn gọi là nhiễu trắng Gauss, được thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dWt của chuyển động Brown Wt với một hệ số tỷ lệ σ nào đó. Do đó ta đặt dSt = µdt + σ dWt St (1.4) Hệ thức này cho thấy σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên σ được gọi là độ biến động (volatility) của giá cổ phiếu St . Ở đây cả µ và σ là hằng số. Sau này người ta mở rộng mô hình xem cả µ và σ phụ thuộc vào t một cách ngẫu nhiên. Thí dụ 1.4. Xét một cổ phiểu S với giá được niêm yết ngày hôm nay (t = 0) trên thị trường cổ phiếu là 90 đô la. Ta xem cấu trúc của quá trình giá cổ phiếu St thay đổi thế nào trên một số mốc thời gian. Ta giả định là dt = 1/365 (theo tỷ lệ xích hàng năm), độ dịch chuyển của cổ phiếu là µ = 0, 4 và độ biến động σ = 0, 2. Khi đó theo phương trình (1.4) ta có dSt = µdt + σ dWt , St CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 11 hay dSt 1 = 0, 4( ) + 0, 2dWt St 365 Ta xem dWt như một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình 0 và phương sai √ 2 là dt, tức là dWt ∼ N(0, dt ). Do vậy ứng với trường hợp này thì phương sai của dWt là dt = 1/365. Bước 1, ta có S0 = 90, giá trị của dW chọn từ dW ∼ N(0, 1/365), chọn dW = −0, 05. Thì ta có 1 dS = 0, 4( ) + 0, 2.(−0, 05) 90 365 1 dS = 90.[0, 4( ) + 0, 2.(−0, 05)] 365 = −0, 8013 S1 = 90 − 0, 8013 = 89, 1987, như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 1/365 là S1 = 89, 1987 đô la. Bước 2, với S1 = 89, 1987, ta Chọn dW = 0, 12. Thì ta có 1 dS = 0, 4( ) + 0, 2.0, 12 89, 1987 365 1 dS = 89, 1987.[0, 4( ) + 0, 2.0, 12] 365 = 2, 2385 S2 = 89, 1987 + 2, 2385 = 91, 4372, như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 2/365 là S2 = 91, 4372 đô la. Bước 3, với S2 = 91, 4372, ta chọn dW = 0, 08. Lúc đó ta có dS 1 = 0, 4( ) + 0, 2.0, 08 91, 4372 365 1 dS = 91, 4372.[0, 4( ) + 0, 2.0, 08] 365 = 1, 5632 S3 = 91, 4372 + 1, 5632 = 93, 0004, như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 3/365 là S3 = 93, 0004 đô la. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 12 Bước 4, với S3 = 93, 0004, ta chọn dW = −0, 07. Lúc đó ta có 1 dS = 0, 4( ) + 0, 2.(−0, 07) 93, 0004 365 1 dS = 93, 0004.[0, 4( ) + 0, 2.(−0, 07)] 365 = −1, 2000 S4 = 93, 0004 − 1, 2000 = 91, 8004 như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 4/250 là S4 = 91, 8004 đô la. Hình 1.5: Sự biến thiên của giá cổ phiếu theo mô hình (1.4) 1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua Nếu ta gọi V (S,t) là giá của Quyền chọn Mua (call option) tại thời điểm hiện tại t với giá chứng khoán vào thời điểm đáo hạn T là ST , giá thực thi của Quyền chọn là X. Khi đó Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST − X ≥ 0, khi đó nhà đầu tư sẽ mua call với giá thực thi X. Nếu ST < X thì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua, vì nếu mua sẽ lỗ. Do vậy lợi nhuận sẽ là max(0, ST − X) Để cho gọn ta ký hiệu đại lượng ấy là (ST − X)+ và được gọi là phần dương của (ST − X). Bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trung bình của nó bởi kỳ vọng toán E[(ST − X)+ ].