Tài liệu Luyện thi đại học - tính đơn điệu của hàm số - có lời giải chi tiết

CH U C A HÀM S I. LÝ THUY T TR NG TÂM 1) Quy t c xét d u bi u th c xét d u cho bi u th c - c 1: u ki n: . Tìm t t c các nghi m c a và s p x p các nghi t n vào tr c s Ox. - c 2: Cho - c 3: nh d u cùa khi . nh d u c a các kho ng còn l i d a vào quy t c sau: Chú ý: Qua nghi m b i l thì nguyên, l i d u còn qua nghi m b i ch n thì i d u). Ví d : Xét d u c a bi u th c . c 1: Ta th y nghi m c a bi u th c trên là c 2: Khi c 3: th i d u (ch n gi s p x p th t (ví d cho x = 10000) ta th y nh n giá tr nh d u cùa các kho ng còn l i. Do i d u. Do n trên tr c s . n (nghi m b i ch n) nên qua 5 bi u (nghi m b i l ) nên qua 4 bi u th i d u ... c b ng xét d u cùa x 4 + K t lu n: 0 0 0 5 + 0 + và . u c a hàm s n ho c n a kho ng. Gi s hàm s v Kí hi u K là kho ng ho Hàm s ng bi n n uv i m i c p f x nh trên K. thu c K mà thì t c là . ngh ch bi n (gi m) n u v i m i c p t c là thu c K mà thì . Ví d 1: Xét hàm s Xét hàm s suy ra hàm s ng bi n trên . là m t Ví d 2: Hàm s ngh ch bi n trên , vì: Gi s , ta có: suy ra hàm s hàm s ng bi n trên Hàm s ng bi n ho c ngh ch bi n trên K là m t . Nh n xét: T c g i chung là hàm s y: và u trên K. , thì hàm s ng bi n trên K ngh ch bi n trên K N u hàm s ng bi n trên K th trái sang ph i, n u hàm s ngh ch bi n trên K th xu ng t trái sang ph i. NH LÝ: Cho hàm s o hàm trên K. a) N u v i m i x thu c K thì hàm s ng bi n trên K. b) N u v i m i x thu c K thì hàm s ngh ch bi n trên K. Tóm l i xét trên K ng bi n; Chú ý: N u thì hàm s NH LÝ M là hàm s i trên K. R NG Gi s hàm s s h uh ngh ch bi n. o hàm trên K. N u m thì hàm s và ch t i m t ng bi n (ngh ch bi n) trên K. Ví d : Xét hàm s thì ng bi n trên , d u b ng x y ra ch t . II. CÁC D NG TOÁN TR D m I N Lo i 1: Tìm các kho xét d u u (kh o sát chi u bi n thiên) cùa hàm s d a vào b ng . i. c 1. Tìm t c 2. Tìm c 3. S p x nh D c a hàm s mt o hàm ho c m theo th t D a vào quy t c xét d c 4. K t lu n v các kho . nh. d n và l p b ng xét d u c a y . xét d u cho . ng bi n và ngh ch bi n d a vào b ng xét d u c a . Ví d 1: Tìm các kho ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau a) b) L i gi i Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x + V y hàm s ng bi n trên các kho ng 0 2 0 0 và + , ngh ch bi n trên kho ng . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 1 0 V y hàm s ng bi n trên các kho ng Ví d 2: Tìm các kho + 0 1 0 0 và + , ngh ch bi n trên kho ng và ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau a) b) L i gi i Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 0 V y hàm s ng bi n trên các kho ng Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): 1 1 + 0 và ngh ch bi n trên kho ng và . x V y hàm s ng bi n trên các kho ng Ví d 3: Tìm các kho a) 0 3 0 0 + , ngh ch bi n trên kho ng . ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau . b) . L i gi i Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x V y hàm s ngh ch bi n trên kho ng 1 và . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 1 + V y hàm s ng bi n trên các kho ng Ví d 4: Tìm các kho a) + và . ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau . b) L i gi i . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): . x + V y hàm s 0 2 2 0 0 ng bi n trên các kho ng và + , hàm s ngh ch bi n trên kho ng . Ta có: . B ng bi n thiên (xét d u ): x + V y hàm s và 1 2 4 0 0 ng bi n trên các kho ng và + , hàm s ngh ch bi n trên các kho ng . Ví d 5: Tìm các kho ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau a) b) L i gi i . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 0 4 + V y hàm s ng bi n trên kho ng Ta có: 0 và hàm s ngh ch bi n trên kho ng . B ng bi n thiên (xét d u ): x 0 3 + V y hàm s 4 ng bi n trên kho ng 6 0 , hàm s ngh ch bi n trên kho ng 3;6 . . và Ví d 6: Tìm các kho ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau a) b) L i gi i . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 0 2 4 0 V y hàm s ng bi n trên kho ng Ta có: + , hàm s ngh ch bi n trên kho ng . B ng bi n thiên (xét d u ): x 2 4 6 0 V y hàm s . ng bi n trên kho ng Ví d 7: Tìm các kho + , hàm s ngh ch bi n trên kho ng . ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau a) b) L i gi i Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 1 0 V y hàm s ng bi n trên kho ng + và ngh ch bi n trên kho ng . Ta có: (vô nghi m). B ng bi n thiên (xét d u ): x 2 2 + V y hàm s + ng bi n trên các kho ng Ví d 8: Tìm các kho a) bi t b) bi t và . ng bi n và ngh ch bi n c a các hàm s sau . . L i gi i a) B ng bi n thiên (xét d u ): x + Hàm s ng bi n trên các kho ng 3 0 0 0 ; 3 và 1 + 0 + , hàm s ngh ch bi n trên kho ng . b) Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x Hàm s 3 2 0 0 ng bi n trên các kho ng và + 1 1 0 0 + , hàm s ngh ch bi n trên kho ng và . Ví d 9: Cho hàm s có b ng xét d x o hàm sau: 2 + 0 0 2 0 + M A. Hàm s ng bi n trên kho ng . B. Hàm s ng bi n trên kho ng . C. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . D. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . L i gi i Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ; ng bi n trên các kho ng và Ví d 10: Tìm t t c các kho A. và . . Ch n C. ng bi n c a hàm s B. . và C. và D. và D. và L i gi i Ta có: . B ng bi n thiên (xét d u ): x 5 0 ng bi n trên các kho ng 1 2 + + và 0 . Ch n A. Ví d 11: Tìm t t c các kho ng ngh ch bi n c a hàm s A. B. và . C. và L i gi i Ta có: . B ng bi n thiên (xét d u ): x 2 4 0 ngh ch bi n trên các kho ng + và Ví d 12: Hàm s A. ng bi n trên và ngh ch bi n trên . B. ng bi n trên và ngh ch bi n trên . C. ng bi n trên và ngh ch bi n trên . 0 . Ch n D. D. ng bi n trên và ngh ch bi n trên . L i gi i . Ta có: B ng bi n thiên (xét d u ): x 0 1 2 0 Do v y hàm s ng bi n trên + và ngh ch bi n trên . Ch n A. Ví d 13: Hàm s A. ng bi n trên các kho ng và và ngh ch bi n trên B. ng bi n trên và ngh ch bi n trên các kho ng C. ng bi n trên và ngh ch bi n trên các kho ng D. ng bi n trên và ngh ch bi n trên các kho ng . và . và và . . L i gi i . Ta có: . L p b ng xét d u : x 1 1 0 ng bi n trên 0 và ngh ch bi n trên các kho ng Ch n B. Ví d 14: Hàm s + ng bi n trên: và . A. . B. C. và D. Hàm s ch bi n trên . L i gi i . Ta có: . Ch n C. Ví d 15: Cho hàm s . Hàm s A. ng bi n trên các kho ng và và ngh ch bi n trên kho ng B. ng bi n trên kho ng và ngh ch bi n trên các kho ng C. ng bi n trên kho ng và ngh ch bi n trên kho ng . D. ng bi n trên kho ng và ngh ch bi n trên kho ng . . và 1; . L i gi i . Ta có: . L p b ng xét d u c a : x 0 0 Do v y hàm s ng bi n trên kho ng Ví d 16: Cho hàm s A. ng bi n trên các kho ng B. ng bi n trên kho ng C. ng bi n trên kho ng D. ng bi n trên kho ng 1 + và ngh ch bi n trên các kho ng và . Ch n B. . Hàm s và và ngh ch bi n trên kho ng và 2; và ngh ch bi n trên các kho ng ; 2 và ngh ch bi n trên kho ng 3 . và ngh ch bi n trên kho ng . . . L i gi i . Ta có: . L p b ng xét d u : x 2 0 hàm s ng bi n trên kho ng + và ngh ch bi n trên các kho ng và . Ch n B. Ví d 17: Cho hàm s A. . ngh ch bi n trên kho ng: B. . C. . D. . L i gi i . Ta có: . L p b ng xét d u : x 2 + Do hàm s ngh ch bi n trên kho ng Lo i 2: Tìm các kho 3 0 . Ch n C. ng bi n, ngh ch bi n) c a hàm s d th và b ng bi n thiên i: N u hàm s ng bi n trên K th t trái sang ph i, n u hàm s ngh ch bi n trên K ng t trái sang ph i. Chú ý t nh c a hàm s . Ví d 1: Cho hàm s có b ng bi x + 1 1 0 0 + th 2 y 0 Kh A. Hàm s ng bi n trên kho ng C. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . B. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . D. Hàm s ng bi n trên . . L i gi i D a vào b ng bi n thiên ta th y: Hàm s ngh ch bi n trên kho ng và Hàm s ngh ch bi n trên kho ng Ví d 2: Cho hàm s . Ch n B. có b ng bi x + ng bi n trên các kho ng hv 2 0 0 0 1 + 0 0 2 y 3 Kh nh nào A. Hàm s ng bi n trên kho ng C. Hàm s ng bi n trên kho ng và . B. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . D. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng L i gi i D a vào b ng bi n thiên ta th y: Hàm s ng bi n trên các kho ng Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng Ví d 3: Cho hàm s và và . Ch n B. có b ng bi x 1 3 + + 0 2 y 5 Kh 0 . . . A. Hàm s ng bi n trên kho ng C. Hàm s ng bi n trên . B. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . D. Hàm s ng bi n trên . và . L i gi i Hàm s nh trên t p . D a vào b ng bi n thiên suy ra hàm s trên kho ng ng bi n trên các kho ng và . Hàm s ngh ch bi n . Ch n D. Ví d 4: Cho hàm s có b ng bi x 2 1 + 4 0 0 y 3 1 Kh A. Hàm s ng bi n trên kho ng . B. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng 2; . C. Hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng D. Hàm s ng bi n trên kho ng và . . L i gi i T nh c a hàm s là: . D a vào b ng bi n thiên suy ra hàm s và . Ch n C. Ví d 5: Cho hàm s Hàm s ng bi n trên kho ng th bên. ng bi n trên kho ng. A. B. C. D. L i gi i và ngh ch bi n trên m i kho ng D th hàm s suy ra hàm s và ng bi n trên kho ng và ngh ch bi n trên các kho ng . Ch n A. Ví d 6: Cho hàm s Hàm s th bên. ng bi n trên kho ng. A. . B. . C. . D. . L i gi i D th hàm s suy ra hàm s kho ng và D ng bi n trên kho ng và ngh ch bi n trên các . Ch n D. U C A HÀM CÓ THAM S Lo ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s b c ba ch a tham s i: Xét tam th c b c 2: t l p 10 . . Xét bài toán 1: ngh ch bi n trên u ki n c a tham s m hàm s ng bi n ho c . Ta có: - Hàm s ng bi n trên . - Hàm s ng bi n trên . Chú ý: ng h p h s a có ch a tham s m ví d : ta c n xét c. S giá tr n b ng . Ví d 1: Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s m hàm s A. 3. C. 5. B. 4. ng bi n trên . D. 6. L i gi i Ta có: Hàm s . ng bi n trên . K th p có 5 giá tr c a m th Ví d 2: thi THPT Qu c gia 2017] Cho hàm s Có bao nhiêu giá tr nguyên c a m A. 4. bài. Ch n C. v i m là tham s . hàm s ngh ch bi n trên kho ng B. 6. ? C. 7. D. 5. L i gi i Ta có: . Hàm s ngh ch bi n trên kho ng . . K th p có 7 giá tr c a m th Ví d 3: Cho hàm s ng bi n trên A. 20. bài. Ch n C. . S giá tr nguyên c a tham s hàm s là: B. 19. C. 21. D. 23. L i gi i Ta có: Hàm s K th p . ng bi n trên . có 20 giá tr c a m th a m Ví d 4: S giá tr nguyên c a tham s m bài. Ch n A. hàm s ngh ch bi n trên là: A. Vô s . B. 11. C. 7. L i gi i D. 9. Ta có: . Hàm s ngh ch bi n trên K th p . có 9 giá tr c a tham s m th bài. Ch n D. Ví d 5: G i S là t p h p các giá tr nguyên c a tham s m hàm s ngh ch bi n trên t nh c a nó. Tính t ng các ph n t c a t p h p S. A. 4. B. 3. C. 0. D. 2. L i gi i Ta có: . Hàm s ngh ch bi n trên . K th p T ng các ph n t c a t p h p S là 2. Ch n D. Ví d 6: G i S là t p h p các giá tr nguyên c a tham s m bi n trên t hàm s ng nh c a nó. Tính t ng các ph n t c a t p h p S là: A. 5. B. 10. C. 15. D. 6. L i gi i Ta có: Hàm s . ng bi n trên . K th p T ng các ph n t c a t p h p S là 10. Ch n B. Ví d 7: G i S là t p h p các giá tr nguyên c a tham s m hàm s . S ph n t c a t p h p S là: A. 0. B. 3. C. 4. D. 5. L i gi i Ta có: Hàm s . ng bi n trên y 0 x a 1 0 y K th p m2 2 m 2. S ph n t c a t p h p S là 5. Ch n D. Ví d 8: Tìm t t c các giá tr c a tham s m luôn ngh ch bi n trên A. . hàm s . B. . C. . D. . L i gi i V i ta có V i ta có (hàm s này luôn ngh ch bi n trên ). . Hàm s ngh ch bi n trên K th pc Ví d 9: . ng h p. Ch n D. thi tham kh o B H i có bao nhiêu s nguyên m ngh ch bi n trên kho ng A. 2. B. 1. hàm s ? C. 0. D. 3. L i gi i V i hàm s ngh ch bi n trên V i . không th a mãn ngh ch bi n trên V i ngh ch bi n trên K th p . Ch n A. Ví d 10: Hàm s A. . . ng bi n trên B. . C. thì giá tr m nh nh t là . D. . L i gi i Xét hàm s hàm s v i ng bi n trên , ta có . . V y giá tr nh nh t c a m là 1. Ch n A. Xét bài toán 2: D u ki n c a tham s m D là m t kho hàm s n ho c n a kho ng, n ng bi n ho c ngh ch bi n trên n). i: Xét hàm s Hàm s ta tính . ng bi n trên D . Hàm s ngh ch bi n trên D . Cô l p tham s m ho c v d ng ho c . S d ng tính ch t: B . B . Chú ý: V i hàm s liên t c trên trên kho ng ng bi n nên hàm s ng bi n ho c ngh ch bi n . tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s các b n xem ch GTLN, GTNN c a hàm s . ng th c Cosi (AM GM): Cho các s th c không âm thì ta có: . D u b ng x y ra V i hàm s . ng giác thì Ví d 1: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m . hàm s ng bi n trên kho ng . L i gi i Ta có: Hàm s . ng bi n trên kho ng M t khác g x Do v y 6x 6 0 x 1 . Ta có là giá tr c n tìm. . Ví d 2: Cho hàm s nh t t c các giá tr c a tham s m ngh ch bi n trên kho ng hàm s . L i gi i Ta có: . Hàm s ch bi n trên kho ng Xét ta có: nên min g x 1 0; là giá tr c n tìm. Ví d 3: Cho hàm s ngh ch bi n trên nh t t c các giá tr c a tham s m n hàm s . L i gi i Ta có: . Hàm s ch bi n trên n M t khác L i có . Do v y V y là giá tr c n tìm. Ví d 4: thi tham kh o c a B s A. : T p h p các giá tr th c c a tham s m ngh ch bi n trên kho ng . B. . C. là D. 0; . L i gi i Ta có: . Hàm s ngh ch bi n trên kho ng Xét trên kho ng ; 1 ta có: . . hàm c . Ch n C. Ví d 5: Tìm giá tr th c c a tham s m kho ng hàm s ngh ch bi n trên ? L i gi i Ta có: Hàm s ngh ch bi n trên kho ng n (Do hàm s liên t c trên nên ta m r ng ). Ta có: M t khác . . Ví d 6: Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s m nh ng bi n trên kho ng A. 13. hàm s . B. 14. C. 15. D. 16. L i gi i Ta có: Hàm s ng bi n trên kho ng ta có th l y (Do hàm s ). Ta có: Suy ra K th p . . có 13 giá tr c a tham s m. Ch n A. c trên nên