Tài liệu Lượng giác

I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.Công thức cộng 1) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b 2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b 3) sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b 4) sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b 5) tan(a  b)  1  tan a tan b tan a  tan b 6) tan(a  b)  1  tan a tan b 2. Công thức nhân 2.1. Công thức nhân đôi 1) cos 2a  cos 2 a  sin 2 a 2) sin 2a  2sin a cos a 2 tan a 3) tan 2a  1  tan 2 a 2.1.1.Công thức hạ bậc: 1  cos 2a 2 1) cos a  2 1  cos 2a 2 2) sin a  2 1  cos 2a 2 3) tan a  1  cos 2a a 2.1.3 Công thức tính theo tan  t 2 2 1 t 1) cos a  1 t2 2t 2) sin a  1 t2 2t 3) tan a  1 t2 2.2. Công thức nhân ba 1) cos 3a  4 cos3 a  3cos a 2) sin 3a  3sin a  4sin 3 a 3 tan a  tan 3 a 3) tan 3a  1  3 tan 2 a 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1) cos a cos b  [cos(a  b)  cos( a  b)] 2 1 2) sin a sin b   [cos(a  b)  cos( a  b)] 2 1 3) sin a cos b  [sin( a  b)  sin( a  b)] 2 4. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 1) cos a  cos b  2 cos 2 2 a b a b sin 2) cos a  cos b  2sin 2 2 ab a b cos 3) sin a  sin b  2sin 2 2 ab a b sin 2 2 Một số công thức cơ bản  1) cos a  sin a  2 cos( a  ) 4  2) cos a  sin a  2 sin(a  ) 4  3) cos a  sin a  2 cos(a  ) 4  4) cos a  sin a   2 sin( a  ) 4 4 4 2 5) cos a  sin a  1  2sin a cos 2 a 6) cos6 a  sin 6 a  1  3sin 2 a cos 2 a II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN x  a  k 2 � , (k ��) 1. Phương trình sin x  sin a � � x    a  k 2 �   a là góc tính bằng radian, chẳng hạn a  , a  ; 1 �sin a �1 6 4 x  a  k 2 � , (k ��) 2. Phương trình cos x  cos a � � x   a  k 2 � 3. Phương trình tan x  tan a  Điều kiện x �  k , (k ��) 2 tan x  tan a � x  a  k , (k ��) 4. Phương trình cot x  cot a Điều kiện x �  k , ( k ��) cot x  cot a � x  a  k , (k ��) III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ. Lưu ý: Nếu đặt t  cos x hay t  sin x thì điều kiện t �1. 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là Phương trình có dạng a sin x  b cos x  c , với a, b, c �� (1) Cách giải. Cách 1. Chia hai vế của (1) cho a 2  b 2 ta được a b c sin x  cos x  (2) a2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a b ,sin   . Đặt cos   2 2 2 a b a  b2 c c � sin( x   )  Khi đó (2) trở thành cos  sin x  sin  cos x  (3) a 2  b2 a 2  b2 c ۣ �� 1 a 2 b2 c 2 (3) có nghiệm ۣ 2 2 a b 4) sin a  sin b  2 cos Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt b  tan  a c c � sin x cos   sin  cos x  cos  a a c c � sin( x   )  cos  . Phương trình này có nghiệm khi cos  �1 a a 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Đó là Phương trình dạng a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0; a, b, c ��(2) Cách giải.   Nếu cos x  0 � x   k , (k ��) thì thay vào (2) để xét x   k có là nghiệm của Phương 2 2 trình (2) hay không.  0 �x k , (k �) thì chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x  0 Nếu cos x �۹ 2 ta được a tan 2 x  b tan x  c  0 Lưu ý Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d thì ta biến đổi như sau a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d (sin 2 x  cos 2 x) rồi chuyển vế phải sang trái Ngoài ra ta cũng có thể giải được Phương trình (2) nhờ các công thức sau 1  cos 2a 1  cos 2a 2 cos 2 a  ; sin a  ; sin 2a  2sin a cos a 2 2 Đối với Phương trình bậc ba chỉ có sin x và cos x a cos3 x  b cos 2 x sin x  c sin 2 x cos x  d sin 3 x  0 Ta cũng biến đổi đưa về dạng bậc ba đối với tan x 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x Phương trình đối xứng với sin x và cos x là Phương trình có dạng a (sin x  cos x)  b sin x cos x  c  0; a, b, c �� (3) � � , điều kiện t �2 Cách giải. Đặt t  sin x  cos x  2 sin �x  � � 4� t 2 1 Khi đó t 2  1  2sin x cos x � sin x cos x  . Thay vào Phương trình (3) ta được 2 b(t 2  1) at   c  0 � bt 2  2at  (2c  b)  0. (*) 2 Giải Phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa t �2 Lưu ý. Cách này cũng áp dụng được cho Phương trình a (sin x  cos x )  b sin x cos x  c  0  Bằng cách đặt t  sin x  cos x  2 sin( x  ) ;điều kiện t �2 . 4 2 1 t Khí đó sin x cos x  . 2 IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Để giải các Phương trình này ta cần biến đổi về các Phương trình lượng giác đã biết cách giải 1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 2. Dạng phân thức, ta phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác 0 3. Dạng chứa tan x và cot x , ta cần phải đặt điều kiện cho tan x và cot x xác định. Ta được sin x  tan  cos x 