Tài liệu Luận văn vật lý

Lêi C¶m ¬n Tríc tiªn em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt cña m×nh tíi c« gi¸o - TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Hµ Loan. Ngêi ®· híng dÉn tËn t×nh, tËn t©m chØ b¶o gióp ®ì em hoµn thµnh luËn v¨n nµy: “Céng m«men“. Nguêi ®· dµnh cho chóng em nh÷ng sù gióp ®ì u ¸i nhÊt trong thêi gian häc tËp, nghiªn cøu còng nh trong qu¸ tr×nh hoµn thµnh luËn v¨n. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ vËt lý lý thuyÕt, c¸c thÇy c« trong khoa vËt lý ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó chóng em hoµn thµnh tèt luËn v¨n tèt nghiÖp. Tuy nhiªn do thêi gian vµ khu«n khæ kh«ng cho phÐp cña ®Ò tµi h¹n chÕ nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt rÊt mong sù ®ãng gãp vµ tiÕp tôc x©y dùng ®Ò tµi cña c¸c b¹n quan t©m. Hµ Néi, ngµy 08 th¸ng 05 n¨m 2007 Sinh viªn §Æng ThÞ Thanh Thuû Lêi cam ®oan Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n, ®îc sù gióp ®ì tËn t×nh cña c« gi¸o – TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Hµ Loan vµ sù nç lùc cña b¶n th©n, t«i ®· hoµn thµnh luËn v¨n nµy. §©y lµ kÕt qu¶ nghiªn cøu míi, t«i xin cam ®oan kÕt qu¶ nµy kh«ng trïng víi kÕt qu¶ nghiªn cøu cña t¸c gi¶ kh¸c. NÕu sai, t«i hoµn toµn chÞu tr¸ch nhiÖm. Hµ Néi, ngµy 08 th¸ng 05 n¨m 2007 Sinh viªn §Æng ThÞ Thanh Thuû Môc lôc A – Më §Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi............................................................................................1 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu.................................................................2 3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu....................................................................2 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu..................................................................................2 B – Néi dung Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng 1.1. M«men xung lîng......................................................................................3 1.1.1. To¸n tö m«men xung lîng...............................................................3 1.1.2. TrÞ riªng cña m«men xung lîng......................................................5 1.1.3. Hµm riªng cña to¸n tö m«men xung lîng......................................7 1.1.4. MÉu vect¬ vµ phÐp céng m«men xung lîng...................................9 1.2. Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng 1.2.1. Lîng tö ho¸ m«men xung lîng.......................................................11 1.2.2. M«men xung lîng quü ®¹o vµ c¸c hµm cÇu...................................18 1.2.3. BiÓu diÔn ®¹i sè Lie cña to¸n tö m«men xung lîng quü ®¹o.........24 1.2.4. Céng m«men xung lîng..................................................................26 1.2.5. Sù suy biÕn cña c¸c tr¹ng th¸i víi h×nh chiÕu m«men xung lîng toµn phÇn kh¸c nhau..................................................................................38 Ch¬ng 2: Céng m«men Spin 2.1. To¸n tö Spin cña electron........................................................................41 2.2. Hµm sè Spin...............................................................................................44 2.3. Spin cña h¹t vi m«.....................................................................................46 C – KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o...............................................................................55 A – më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Nh chóng ta ®· biÕt “VËt lý h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp cña m«n VËt lý trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt, c¸c quy luËt t¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ c¸c ph¶n h¹t cña chóng. §ång thêi nghiªn cøu c¸c qu¸ tr×nh biÕn ®æi gi÷a c¸c h¹t c¬ b¶n còng nh mèi liªn hÖ cña chóng víi c¸c trêng lùc xung quanh. Khi ®i s©u vµo thÕ giíi c¸c h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®· nãi ®Õn thÕ giíi c¸c h¹t vi m«. V× vËy lý thuyÕt cæ ®iÓn sÏ bÞ thay ®æi b»ng lý thuyÕt lîng tö – lý thuyÕt trêng lîng tö vµ ®îc dïng nh mét c«ng cô kh¸ tèt ®Ó nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n. Nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n tøc lµ mét c¸ch gi¸n tiÕp ta ®· nghiªn cøu vò trô, v× c¸c h¹t c¬ b¶n nµy cÊu thµnh toµn bé vËt chÊt, tr¸i ®Êt còng nh tÊt c¶ c¸c sù vËt, c¸c thiªn hµ vµ c¸c líp bôi gi÷a c¸c v× sao, chóng ®Òu ®îc t¹o thµnh tõ c¸c h¹t c¬ b¶n. íc muèn cña con ngêi lµ lu«n muèn lµm chñ ®îc thiªn nhiªn, vò trô. V× vËy viÖc nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n lµ mét vÊn ®Ò lu«n lu«n ®Æt ra kh«ng chØ cho c¸c nhµ vËt lý mµ cho tÊt c¶ nh÷ng ai yªu thÝch m«n h¹t c¬ b¶n. Cã thÓ nãi vËt lý h¹t c¬ b¶n chÝnh lµ vËt lý n¨ng lîng cao, nã cho phÐp ta ®i s©u vµ thÕ giíi bªn trong h¹t nh©n. Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ lîng tö ho¸ quü ®¹o th× m«men xung lîng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng xung quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi nguyªn cña h»ng sè Planck h . Trong phÇn néi dung cña luËn v¨n nµy ta sÏ thÊy r»ng gi¶ thiÕt cña Bohr chÝnh lµ hÖ qu¶ cña c¸c tiªn ®Ò cña CHLT. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta h·y nghiªn cøu lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. Trong ®ã ®Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña c¸c to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Nhng c¸ch tr×nh bµy trªn h×nh vÏ chØ lµ ®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ mét c¸ch biÓu diÔn chÝnh x¸c m«men xung lîng. VËy ®Ó hiÓu mét c¸ch chÝnh x¸c m«men xung lîng th× ta sÏ ®i xÐt mét hÖ gåm 2 h¹t, bá qua t¬ng t¸c gi÷a 2 h¹t lµm thay ®æi m«men xung lîng th× r m«men xung lîng L cña hÖ b»ng tæng c¸c m«men xung lîng cña hai h¹t. §Ó ®i ®Õn ®îc ®iÒu ®ã th× ta dïng quy t¾c céng m«men xung lîng, céng m«men spin nãi riªng vµ céng m«men nãi chung. MÆt kh¸c khi chøng minh ®Þnh luËt b¶o toµn m«men xung lîng quü ®¹o chóng ta míi chØ xÐt trêng hîp ®¬n gi¶n nhÊt khi hµm sãng chØ cã mét thµnh phÇn. B©y giê ta kh¶o s¸t trêng hîp tæng qu¸t khi hµm sãng cã nhiÒu thµnh phÇn mµ trong c¸c phÐp quay kh«ng gian, mçi thµnh phÇn chuyÓn thµnh mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chÝnh nã vµ c¸c thµnh phÇn kh¸c. Còng chÝnh v× c¸c lÝ do ë trªn ®· gióp t«i ®äc, t×m hiÓu vµ nghiªn cøu ®Ò tµi nµy: “céng m«men”. 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu - Th«ng qua quy t¾c hay ®Þnh lÝ céng m«men cho mét hÖ gåm 2 h¹t kh«ng t¬ng t¸c ta cã thÓ ¸p dông cho hµm sãng mét h¹t víi hai bËc tù do kh¸c nhau hoÆc hÖ nhiÒu h¹t. - N©ng cao tÇm hiÓu biÕt vÒ vËt lý häc cña thÕ giíi vi m«. MÆt kh¸c cã thÓ lµm tµi liÖn tham kh¶o cho c¸c b¹n ®äc. 3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu - T×m hiÓu vÒ m«men xung lîng, m«men spin, céng m«men xung lîng vµ céng m«men spin cña c¸c h¹t. - Dïng cho hÖ c¸c h¹t vi m« kh«ng t¬ng t¸c víi nhau. 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Dïng ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lý: To¸n tö, gi¶i ph¬ng tr×nh hµm riªng, trÞ riªng, c¸c ph¬ng tr×nh ®Æc biÖt cho vËt lý. B - Néi dung Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng 1.1. M«men xung lîng 1.1.1. To¸n tö m«men xung lîng Trong c¬ häc lîng tö, còng t¬ng tù nh trong CHC§, m«men xung lîng L r r r ˆ ˆ ˆ ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: (1) Lr  P §ã lµ mét to¸n tö vect¬ cã 3 thµnh phÇn: ˆ  Lx  yPz  zPy ˆˆ ˆˆ  ˆ (2) ˆˆ ˆˆ  Ly  zPx  xPz ˆ ˆˆ ˆˆ  Lz  xPy  yPx C¸c thµnh phÇn ®ã lµ c¸c to¸n tö biÓu diÔn h×nh chiÕu cña vect¬ m«men xung lîng lªn c¸c trôc x, y vµ z. NÕu chän:  ˆ  ˆ  ˆ ˆ ˆ x  x ; y  y ; z  z ; Px  - ih ; Py  - ih ; Pz  - ih ˆ y x z Th× c¸c to¸n tö h×nh chiÕu cña m«men xung lîng trong to¹ ®é §Ò C¸c cã biÓu thøc nh sau:   ˆ  Lx  ih(y  z  z  y )    ˆ (3)  Ly  ih(z  x ) x z    ˆ Lz  ih(x  y )  y x  Ngêi ta cßn ®Þnh nghÜa to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng: ˆ ˆ ˆ ˆ L2  L2x  L2y  L2z (4) Sau ®©y ta nªu lªn mét vµi hÖ thøc giao ho¸n quan träng gi÷a c¸c to¸n tö m«men xung lîng: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ Lx ,Ly ]  ihLz ; [ Ly ,Lz ]  ihLx ; [ Lz ,Lx ]  ihLy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [L2 ,Lx ]  [L2 ,Ly ]  [L2 ,Lz ]  0 (5) (6) Tõ c¸c hÖ thøc trªn ta thÊy r»ng kh«ng thÓ ®o ®îc mét c¸ch chÝnh x¸c ®ång thêi h×nh chiÕu cña m«men xung lîng lªn hai trong ba trôc to¹ ®é vu«ng gãc. NÕu ®· ®o ®îc chÝnh x¸c Lz ch¼ng h¹n, th× ®ång thêi kh«ng thÓ ®o ®îc chÝnh x¸c Lx hoÆc Ly . Cã thÓ ®o ®îc chÝnh x¸c ®ång thêi b×nh ph¬ng cña m«men xung lîng vµ h×nh chiÕu cña nã lªn mét trôc bÊt k×. §«i khi ®Ó cho thuËn tiÖn, ngêi ta ®a vµo c¸c to¸n tö sau ®©y: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L  Lx  iLy ; L  Lx  iLy (7) C¸c to¸n tö Êy tu©n theo nh÷ng hÖ thøc giao ho¸n: ˆ ˆ ˆ [ L , L ]  2 hLz ˆ ˆ ˆ [ L , L ]  -hL  (8)  z ˆ ˆ ˆ [ L , Lz ]  hL ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L2  L L  L2z  hLz Vµ (9) NÕu viÕt biÓu thøc cña c¸c to¸n tö m«men xung lîng trong to¹ ®é cÇu (dïng c¸c c«ng thøc chuyÓn ®¹o hµm) th× ta cã:     ˆ Lx  ih sin  cotg .cos          ˆ Ly   ih cos  cotgθ.sin θ     (10)  ˆ Lz   ih  cßn ®èi víi L2 th×: ˆ  1    ˆ L2   h2  .  sin  .   sin    Hay, nÕu chó ý ®Õn c«ng thøc: 1 2    2 . 2   sin     (11a) 1     1 2 Δ  . sinθ   2 . 2 θ, sinθ  θ   θ  sin θ    ˆ th× ta cã thÓ viÕt: L2   h. , (11b) 1.1.2. TrÞ riªng cña m«men xung lîng ˆ Ta h·y xÐt bµi to¸n trÞ riªng cña to¸n tö Lz . §Ó thuËn tiÖn ta dïng to¹ ®é cÇu. Ph¬ng tr×nh trÞ riªng cã d¹ng: ih. u  Lzu  (12) trong ®ã u lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng Lz . Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc biÓu thøc cña hµm riªng u . PhÇn phô thuéc to¹ ®é  cña u cã d¹ng: i .Lz . h e VËy u b»ng mét h»ng sè ®èi víi  nh©n víi hµm sè mò nãi trªn, h»ng sè nµy nãi chung cã thÓ phô thuéc vµo c¸c to¹ ®é kh¸c  r vµ   : i .Lz . h u (r , , )  c(r , ).e (13) Chó ý r»ng khi  thay ®æi 2 th× ta l¹i trë vÒ ®iÓm cò. Muèn cho u lµ mét hµm ®¬n gi¸ (theo vÞ trÝ trong kh«ng gian) th× khi  thay ®æi 2 hµm u vÉn gi÷ nguyªn gi¸ trÞ u (  2 )  u ( ) . Tõ ®ã suy ra r»ng: i L .Lz .2 hay z .2  m2 h eh 1 trong ®ã m lµ mét sè nguyªn (d¬ng hoÆc ©m) Lz  mh (14) víi: m  0;  1 ;  2 TrÞ riªng Lz b»ng mét sè nguyªn lÇn  Thay gi¸ trÞ cña Lz vµo biÓu thøc (13) cña hµm riªng ta cã: u (r , , )  c(r, )eim (15) ®ã lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng mh . B©y giê ta chuyÓn sang t×m trÞ riªng cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng ˆ L2 , xuÊt ph¸t tõ nh÷ng hÖ thøc giao ho¸n (8). Tõ hai hÖ thøc sau cña (8) ta cã thÓ biÕn ®æi vµ viÕt gép l¹i: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lz L  L Lz  hL (16) ˆ Ta l¹i biÕt theo (6) r»ng L2 vµ Lz giao ho¸n, hai to¸n tö nµy cã chung ˆ ˆ nh÷ng hµm riªng. Do ®ã hµm riªng um (r , , ) cña Lz ®· viÕt ë trªn (theo ph¬ng tr×nh (15)) còng lµ hµm riªng cña to¸n tö L2 . ˆ Cho c¸c to¸n tö ë hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (16) t¸c dông lªn um ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ta cã: Lz L um  L Lzum  hL um ˆ Chó ý r»ng Lz um  Lzum  mhum ˆ ˆ ˆ Ta cã: Lz L um   m  1 hL um ˆ ˆ Tõ ®ã ta cã thÓ kÕt luËn r»ng: L um lµ hµm riªng cña to¸n tö Lz øng víi trÞ riªng m  1. ViÕt l¹i cho râ ta cã: Lum  constum1 ˆ Lum  constum1 ˆ Nhí l¹i r»ng mh lµ trÞ riªng cña to¸n tö Lz , ®ã lµ mét ®¹i lîng vËt lý kh«ng thÓ b»ng v« cùc. VËy ta cã thÓ thõa nhËn r»ng m giíi néi. Gäi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña m , ta sÏ cã: ˆ Lul  constul 1  0 v× nÕu ul 1  0 th× l kh«ng ph¶i gi¸ trÞ lín nhÊt cña m . B©y giê cho to¸n tö L2 t¸c dông lªn ul , theo (9) ta cã: ˆ ˆ ˆ ˆ L2ul  L- L+ul  L2ul  hLzul  l 2 h2ul  hl hul  l(l + 1)h2ul VËy trÞ riªng cña to¸n tö L2 lµ: L2  l(l +1)h2 (17) ˆ l cã nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn, kÓ c¶ gi¸ trÞ b»ng kh«ng. øng víi mét gi¸ trÞ ®· cho cña l th× m cã thÓ cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh trªn ®· nãi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña m . MÆt kh¸c hai híng gi÷a trôc z lµ t¬ng ®¬ng vÒ mÆt vËt lý, nªn øng víi mçi gi¸ trÞ cña m l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh vËy m cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ nguyªn tõ l ®Õn - l . m = l; l-1; l-2;…; -l (18) tÊt c¶ lµ (2l+1) gi¸ trÞ. 1.1.3. Hµm riªng cña to¸n tö m«men xung lîng ˆ C¸c to¸n tö m«men xung lîng L2 vµ Lz chØ chøa c¸c to¹ ®é  ,  vµ ˆ ®¹o hµm theo c¸c täa ®é nµy. V× vËy ta chØ x¸c ®Þnh ®îc phÇn phô thuéc  vµ  trong hµm riªng (chung) cña hai to¸n tö Êy, c¸c hµm riªng Êy cã chøa mét h»ng sè nh©n phô thuéc vµo r . ˆ Gäi ulm (r,θ, ) lµ hµm riªng (chung) cña L2 vµ Lz øng víi c¸c trÞ riªng ˆ lÇn lît lµ l(l + 1)h2 vµ mh . PhÇn phô thuéc c¸c to¹ ®é  vµ  gäi lµ hµm cÇu vµ kÝ hiÖu lµ: Yl m (θ, ) vËy ulm (r,θ, )= c(r).Yl m (θ, ) ˆ Khi viÕt ph¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö L2 vµ Lz ta cã thÓ kh«ng ®Ó ý ˆ tíi h»ng sè nh©n c( r ) : ˆ L2Yl m (θ, ) = l(l + 1)h2Yl m (θ, ) (19) ˆ LzYl m (θ, ) = mhYl m (θ, ) (20) Gi¶i ph¬ng tr×nh (20) gièng nh (12) ta cã: Yl m (θ, ) = K lm    eim (21) thay vµo (19) ta cã: 1 d  dK m  m 2 sinθ - l  - 2 .Klm + l(l +1)Kl m = 0 (22) sinθ d  dθ  sin θ  Ta ®æi biÕn sè, ®Æt x  cos vµ chó ý r»ng: d  cos  d d d  .   sin d d  cos  d dx Ph¬ng tr×nh (22) cã d¹ng: m  m2  d 2 dK l  1  x  dx   1  x 2  l (l  1)  Klm  0 dx   Hay: d 2 K lm dKlm  m2  1  x  dx 2  2 x. dx   l (l  1)  1  x2  2  m  Kl  0  Ta thÊy r»ng ®©y chÝnh lµ ph¬ng tr×nh L¬gi¨ng®r¬ liªn kÕt. NghiÖm Klm chÝnh lµ ®a thøc liªn kÕt L¬gi¨ng®r¬ trong ®ã biÕn sè lµ cos . K lm ( x)  Pl m (cos ) cuèi cïng: Yl m ( , )  const.Pl m (cos ).eim (23) H»ng sè ®îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸. Sau ®©y ta tÝnh vµi gi¸ trÞ cña hµm cÇu Yl m . Muèn thÕ tríc hÕt cÇn tÝnh ®a thøc liªn kÕt L¬gi¨ng®r¬ theo c«ng thøc: m m d Pl ( x) Plm ( x)  (1  x 2 ) 2 . m dx ta ®îc: P ( x)  P0 ( x)  1 P 0 ( x )  P ( x)  x 1 1 P 2 ( x)  1  x 2 . 1 d P ( x)  1  x 2 1 dx 1 P20 ( x)  P2 ( x)  (3x 2  1) 2 P2 2 ( x)  1  x 2 . d  3x2  1  2  2   3x 1  x dx   d 2  3x 2  1  2 P ( x)  1  x . 2    3 1 x dx  2  1 2 2 Thay vµo (23) vµ thõa nhËn c¸c h»ng sè chuÈn ho¸ mµ ngêi ta ®· tÝnh ®îc, ta cã: Y00  1 ; Y10  3 cos 4 4 Y1 1   3 5 sin e i ; Y20   3cos 2  1 8 16 15 2  2i 15 cos sin  e  i  ; Y2 2  sin  e 8 8 1.1.4. MÉu vect¬ vµ phÐp céng m«men xung lîng §Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña c¸c to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. r Vect¬ m«men xung lîng L cã ®é dµi lµ: Y2 1   L  l (l  1).h H×nh chiÕu cña vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè lµ: Lz  mh trong ®ã m cã nhiÒu gi¸ trÞ tõ l ®Õn l (tÊt c¶ 2l  1 gi¸ trÞ). r Nh vËy vÐct¬ L kh«ng thÓ híng tuú ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ híng nh thÕ nµo ®Ó h×nh chiÕu cã gi¸ trÞ nh trªn. r H×nh vÏ 1: VÏ s¬ ®å vect¬ L gäi lµ mÉu vect¬ cña m«men xung lîng øng víi trêng hîp l =2 L  2(2  1)h  6h Lz  2h,  h,0, h,2h r Trªn mÆt ph¼ng cña h×nh vÏ vect¬ m«men xung lîng L chØ cã thÓ cã 5 c¸ch ®Þnh híng kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i trôc z). r NÕu ta quay h×nh vÏ quanh trôc z th× ®îc c¸c híng cã thÓ cña L trong kh«ng gian. C¸ch tr×nh bµy trªn ®©y chØ lµ ®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ mét c¸ch biÓu diÔn chÝnh x¸c m«men xung lîng. r B©y giê ta xÐt mét hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung lîng lÇn lît lµ L1 vµ r L2 . NÕu bá qua t¬ng t¸c cña hai h¹t lµm thay ®æi m«men xung lîng th× r r r m«men xung lîng L cña hÖ b»ng tæng cña c¸c m«men L1 vµ L2 . NÕu biÕt r r c¸c lîng tö sè l1 , m1 vµ l2 , m2 x¸c ®Þnh c¸c m«men xung lîng L1 vµ L2 th× ta r cã thÓ suy ra ®îc c¸c sè lîng tö l vµ m x¸c ®Þnh m«men xung lîng L . C¸ch suy ra l vµ m gäi lµ phÐp céng m«men xung lîng trong c¬ häc lîng tö. Ngêi ta cã thÓ chøng minh ®îc mét c¸ch chÆt chÏ phÐp céng m«men xung lîng, sau ®©y ta dïng mét ph¬ng ph¸p ®¬n gi¶n ®Ó hiÓu phÐp céng m«men xung lîng. Tríc hÕt ta cã: Lz  L1z  L2 z tøc lµ mh  m1h  m2 h  m  m1  m2 (24) Ta l¹i biÕt r»ng gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m1 lµ l1 , cña m2 lµ l2 , vËy gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m , tøc còng lµ gi¸ trÞ cña l lµ: l  l1  l2 r r ta cã thÓ hiÓu mét c¸ch th« s¬ r»ng ®©y lµ trêng hîp hai vect¬ L1 vµ L2 cïng híng. Trêng hîp hai vect¬ Êy cïng ph¬ng ngîc chiÒu th×: l  l1  l2 . Cßn cã nh÷ng trêng hîp kh¸c th× l cã gi¸ trÞ nguyªn ë kho¶ng gi÷a hai gi¸ trÞ trªn. Nãi tãm l¹i víi l1 vµ l2 ®· cho th× l cã gi¸ trÞ sau ®©y: l  l1  l2 , l1  l2  1,..., l1  l2 (25) TÊt c¶ cã 2l2  1 gi¸ trÞ (nÕu l2  l1 ). 1.2. Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng Theo gi¶ thiÕt cña Bohr vÒ lîng tö ho¸ quü ®¹o th× m«men xung lîng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng xung quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi nguyªn cña h»ng sè Planck h . Trong ch¬ng nµy chóng ta sÏ thÊy r»ng gi¶ thiÕt cña Bohr chÝnh lµ hÖ qu¶ cña c¸c tiªn ®Ò cña c¬ häc lîng tö ®· tr×nh bµy ë ch¬ng truíc. §Ó thÊy râ ®iÒu nµy chóng ta h·y nghiªn cøu lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. 1.2.1. Lîng tö ho¸ m«men xung lîng Nh chóng ta ®· biÕt, c¸c hµm sãng cña h¹t vi m« chuyÓn ®éng trong trêng thÕ ®èi xøng cÇu thùc hiÖn biÓu diÔn cña nhãm quay, c¸c to¸n tö thµnh ˆ ˆ phÇn cña vect¬ m«men xung lîng J i (i  1,2,3) cña h¹t tØ lÖ víi c¸c vi tö Li ˆ ˆ cña biÓu diÔn ®ã: J i  hLi , i  1,2,3 . ˆ XuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc giao ho¸n c¸c vi tö Li ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L1 , L2   iL3 ; L2 , L3   iL1 ; L3 , L1   iL2       ta h·y t×m ra tÊt c¶ c¸c biÓu diÔn tèi gi¶n cña nhãm quay vµ thiÕt lËp quy t¾c lîng tö ho¸ m«men xung lîng. ˆ Tõ c¸c hÖ thøc giao ho¸n gi÷a c¸c vi tö Li võa viÕt ë trªn suy ra r»ng to¸n tö: ˆ ˆ ˆ ˆ L2  L12  L22  L32 ˆ giao ho¸n víi tÊt c¶ c¸c vi tö Li : ˆ ˆ L2 , Li   0   ta ®Æt: i  1,2,3 (26) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L(  )  L1  iL2 ; L(  )  L1  iL2 (27) ˆ ˆ ˆ ˆ vµ h·y ding L(  ) , L(  ) thay cho L1 vµ L2 . Lu ý r»ng L1 , L2 cã thÓ biÓu diÔn qua ˆ ˆ ˆ ˆ L(  ) , L(  ) nh sau:    1 ˆ(  ) ˆ(  ) ˆ ˆ 1 ˆ ˆ L L L1  L(  )  L(  ) ; L2  2i 2  (28) DÔ dµng thö l¹i ®îc r»ng: ˆ ˆ ˆ L3 , L(  )   L(  )   (29) ˆ ˆ ˆ L3 , L(  )    L(  )   (30) ˆ ˆ ˆ L , L(  )   2 L3   (31) ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (32) L2  L(  ) .L(  )  L(  ) .L(  )   L32   2 Trong mçi biÓu diÔn cña nhãm quay mçi to¸n tö ë trªn cã d¹ng mét ma trËn. BiÓu thøc cña c¸c yÕu tè ma trËn phô thuéc vµo sù lùa chän hÖ c¬ së trong kh«ng gian thùc hiÖn biÓu diÔn. Trong qu¸ tr×nh thiÕt lËp biÓu diÔn chóng ta sÏ lùa chän hÖ c¬ së mét c¸ch thÝch hîp. vµ: XÐt mét biÓu diÔn tèi gi¶n thø nguyªn h÷u h¹n bÊt kú. V× to¸n tö L2 giao ˆ ho¸n víi tÊt c¶ c¸c vi tö, c«ng thøc (26), nªn theo bæ ®Ò Shur trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm ma trËn cña to¸n tö nµy ph¶i lµ béi cña ma trËn ®¬n vÞ. ˆ ˆ (33) L2   .1 Víi mét h»ng sè  nµo ®ã. Sau nµy ta sÏ thÊy h»ng sè  trong c«ng thøc (33) hoµn toµn ®Æc trng cho biÓu diÔn tèi gi¶n ®ang xÐt. Ta chän hÖ c¬ së ˆ trong kh«ng gian thùc hiÖn biÓu diÔn lµ hÖ c¸c vect¬ riªng cña to¸n tö L3 . Ký hiÖu c¸c trÞ riªng lµ  vµ c¸c vect¬ riªng t¬ng øng lµ |   . ˆ L3 |   =  |   (34) Ta quy íc r»ng c¸c vect¬ riªng  ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao chuÈn ho¸. '   (35)  ' ˆ V× L3 lµ to¸n tö tù liªn hîp nªn c¸c gi¸ trÞ riªng  ph¶i lµ c¸c sè thùc. ˆ ˆ H·y t¸c dông to¸n tö L3 L   lªn vect¬ riªng  . Theo c¸c hÖ thøc (29) vµ (34) ta cã:   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L3 L    L   L  L3    ˆ ˆ ˆ  L  L3  1      1 L   ˆ ˆ HÖ thøc nµy chøng tá L    còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö L3 øng ˆ víi trÞ riªng    1 , nghÜa lµ L    ph¶i tØ lÖ víi   1 . ˆ L   =    1 (36) Trong ®ã  lµ h»ng sè phô thuéc vµo  (vµo c¶  n÷a) Tõ hÖ thøc (36) suy ra: ˆ  L     1,  ˆ    1 L     Vµ nãi chung, theo c¸c c«ng thøc (35) vµ (36) c¸c yÕu tè ma trËn cña ma trËn øng víi to¸n tö L   cã d¹ng: ˆ ˆ  L     ',  ˆ   ' L      ', 1 (37) T¬ng tù nh vËy, theo c¸c c«ng thøc (30) vµ (34) ta cã:   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L3 L     L   L  L3    ˆ ˆ ˆ  L  L3  1      1 L   ˆ ˆ HÖ thøc nµy chøng tá L    còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö L3 øng ˆ ˆ víi trÞ riªng    1 . V× L1 vµ L2 lµ c¸c to¸n tö tù liªn hîp cho nªn L   vµ ˆ ˆ L  lµ hai to¸n tö liªn hîp Hermitic víi nhau.   ˆ ˆ L   L  Vµ do ®ã: ˆ  L     ',   ˆ ˆ   ' L     L   '     '  , '1   1  , '1 (38) LÊy yÕu tè ma trËn c¶ hai vÕ cña hÖ thøc giao ho¸n (31) gi÷a c¸c vect¬ ˆ riªng cña L3 víi cïng mét trÞ riªng  vµ sö dông c¸c hÖ thøc (37), (38) vµ tÝnh chÊt ®ñ cña vect¬ riªng.   Ta cã:  '  ' 1 '      ' L    ˆ   ' ' NghÜa lµ:  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  L    '  ' L      L   '  ' L     2  L3  2 2 ˆ   ' L   2   2   2  1    2 (39) Lêi gi¶i tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh (39) cã d¹ng:   C      1 2 Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý. V×  (40) 2 kh«ng ©m nªn  chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ trong mét kho¶ng h÷u h¹n tõ  min ®Õn  max nÕu kh«ng vÕ ph¶i cña (40) sÏ ©m khi  ®ñ lín ®Ó     1  C V×  max lµ trÞ riªng lín nhÊt nªn: ˆ L   max  0 vµ do ®ã tõ hÖ thøc (37) ta suy ra: max  0 (41) T¬ng tù, v×  min lµ trÞ riªng nhá nhÊt nªn: ˆ L  min  0 Vµ do ®ã theo hÖ thøc (38) ta suy ra: min 1  0 (42) Ký hiÖu  max  j (43) vµ sö dông ®¼ng thøc (41) trong c«ng thøc (40) ta tÝnh ®îc C  j  j  1 vµ do ®ã c«ng thøc (40) trë thµnh:   j  j  1      1 2 (44) 2 Theo c«ng thøc (44) ph¬ng tr×nh   0 cã hai lêi gi¶i:   j vµ    j  1 Theo ®¼ng thøc (43) lêi gi¶i thø nhÊt lµ  max , nghÜa lµ  max  j . Lêi gi¶i thø hai øng víi ®iÒu kiÖn (42), nghÜa lµ:  min  1   j  1 min   j VËy (45) Râ rµng, j ph¶i lµ mét sè kh«ng ©m. ˆ Tãm l¹i, c¸c trÞ riªng  cña L3 cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ thay ®æi tõ  j ®Õn j , hai gi¸ trÞ liªn tiÕp kh¸c nhau mét ®¬n vÞ nghÜa lµ  cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ sau ®©y:    j ,  j  1,  j  2,..., j  2, j  1, j Sè c¸c gi¸ trÞ ®ã lµ 2 j  1 . Sè nµy ph¶i b»ng mét sè nguyªn. NÕu sè ®ã lµ sè lÎ: 2 j  1  2n  1 th× j lµ mét sè nguyªn j  n . Cßn nÕu ®ã lµ mét sè ch½n: 2 j  1  2n  2 th× j lµ sè b¸n nguyªn j n 1 2 B©y giê h·y tÝnh yÕu tè ma trËn cña to¸n tö L2 gi÷a hai vect¬ øng víi ˆ ˆ cïng mét trÞ riªng bÊt k×  cña L3 vµ t×m h»ng sè  . Sö dông c«ng thøc (32) vµ (44) ta cã: ˆ    L2     1  2 '  2 1  1   2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  L    '  ' L     L   '  ' L      L2  3  2   2 1   j  j  1     1   j  j  1      1    2  2  j  j  1 . (46) C¸c yÕu tè ma trËn cña c¸c to¸n tö L   vµ L   cã m«dun x¸c ®Þnh bëi ˆ ˆ c«ng thøc (44), cßn pha cña chóng th× tuú vµo sù lùa chän c¸c pha cña c¸c vÐct¬ riªng  víi  kh¸c nhau. Ta quy íc chän c¸c pha nµy thÕ nµo ®Ó tÊt c¶ c¸c hÖ sè  ®Òu lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m.    j     j    1  ˆ vµ cã: L     j  j  1      1 j  j  1      1 .  (47) 1 XÐt thÝ dô ®¬n gi¶n khi j  . H×nh chiÕu  cã thÓ cã hai gi¸ trÞ lµ 2 1 1 vµ    . Tõ c«ng thøc (47) ta suy ra 1  0 vµ  1  1 . Do ®ã theo 2 2 2 2 c¸c hÖ thøc (37) vµ (38) cã:    0 1  ˆ   0 0  ˆ L      ; L  1 0  0 0    Sö dông c¸c ®¼ng thøc (28) ta tÝnh ®îc: ˆ 1  0 1 ; L  1  0 i  ˆ L1   2 2 1 0  2i 0     ˆ 1 1 0  Ngoµi ra: L3   2  0 1   ˆ ˆ ˆ Ta thÊy r»ng 2 L1 , 2L2 vµ 2 L3 chÝnh lµ c¸c ma trËn Pauli. Tõ nh÷ng kÕt qu¶ thu ®îc ë trªn ta ®i ®Õn quy t¾c lîng tö ho¸ m«men ˆ xung lîng sau ®©y: To¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn J 2 cña h¹t vi m« cã trÞ riªng b»ng j  j  1 h2 , trong ®ã j lµ sè kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn. Ta thêng gäi j lµ m«men xung lîng toµn phÇn cña h¹t (khi nãi nh vËy ta ngÇm hiÓu r»ng ta ®· lÊy h lµm ®¬n vÞ m«men xung lîng). To¸n ˆ tö h×nh chiÕu J 3 cña m«men xung lîng trªn trôc oz cã tÊt c¶ (2 j +1) trÞ riªng:  j h ,   j  1 h,…,  j  1 h, jh . TËp hîp 2 j  1 hµm sãng øng víi 2 j  1 trÞ riªng kh¸c nhau nãi trªn cña ˆ ˆ to¸n tö J 3 vµ víi cïng mét trÞ riªng: j  j  1 h2 cña to¸n tö J 2 ®îc gäi lµ mét ®a tuyÕn. Trêng hîp riªng j  0 chØ øng víi mét hµm sãng vµ gäi lµ ®¬n tuyÕn. Víi j  1 cã hai hµm sãng t¹o thµnh lìng tuyÕn. Víi j  1 cã ba hµm 2 sãng t¹o thµnh tam tuyÕn… ˆ To¸n tö Spin S cña h¹t vi m« tu©n theo c¸c hÖ thøc giao ho¸n gièng hÖt ˆ ˆ ˆ nh cña J . Do ®ã nh÷ng kÕt luËn víi J còng dïng ngay ®îc cho S . Mçi h¹t vi m« cã Spin s x¸c ®Þnh, lµ c¸c sè nguyªn hoÆc b¸n nguyªn kh«ng ©m. To¸n tö 2 ˆ ˆ S 2 cã trÞ riªng b»ng: s  s  1 h cßn to¸n tö h×nh chiÕu S3 trªn trôc oz cã tÊt c¶ 2 s  1 trÞ riªng:  sh,   s  1 h,…,  s  1 h, sh. Hµm sãng cña h¹t cã Spin s lµ hµm sãng 2s  1 thµnh phÇn. 1.2.2. M«men xung lîng quü ®¹o vµ c¸c hµm cÇu B©y giê h·y xÐt trêng hîp ®Æc biÖt lµ trêng hîp to¸n tö m«men xung lîng quü ®¹o L . Trong ch¬ng tríc ta ®· biÕt ˆ r»ng c¸c thµnh phÇn cña to¸n tö L lµ nh÷ng ˆ to¸n tö vi ph©n chøa c¸c to¹ ®é x, y, z vµ    , , . Do ®ã cã x y z thÓ t×m ®îc c¸c trÞ riªng vµ biÓu thøc cho c¸c ®¹o hµm riªng ˆ c¸c hµm riªng cña to¸n tö L3 vµ L2 b»ng ˆ c¸ch gi¶i trùc tiÕp c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n t¬ng øng. Muèn vËy ta biÓu diÔn c¸c to¹ ®é Descartes x, y, z qua c¸c to¹ ®é cÇu r ,  ,  (H×nh 3). x  r sin  cos  . y  r sin  sin  . z  r cos . ˆ vµ cã c¸c biÓu thøc sau ®©y cña c¸c to¸n tö L3 vµ L2 : ˆ ˆ ˆ L3 = Lz = ih   (48)  2  1 2  ˆ  L  h  2  cot g    sin 2    2    2 2  1     1 2  (49)  h2  sin   2   sin        sin    2    V× trong c«ng thøc (49) chØ cã sù phô thuéc vµo  vµ  nªn ta kÝ hiÖu hµm riªng cña L2 lµ Y(  ,  ) ˆ 2 (50) ˆ L2 Y   ,  = h  Y   ,  Víi  lµ trÞ riªng. Thay thÕ biÓu thøc (49) vµo ph¬ng tr×nh (50) ta cã : 2  Y   ,   1   1  Y   ,  (51)  Y   ,   0  sin   2 sin      sin   2  Ta h·y t×m lêi gi¶i cña ph¬ng tr×nh (51) díi d¹ng ph©n li biÕn sè:    Y(  ,  ) = (52) Thay thÕ biÓu thøc (52) vµo ph¬ng tr×nh (51) vµ chia c¶ hai vÕ cho    sin 2 ta ®îc:       sin  sin           2     2    sin 2        (53) VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc (53) chØ phô thuéc vµo  , cßn vÕ ph¶i l¹i phô thuéc vµo  nªn hai vÕ chØ cã thÓ b»ng nhau nÕu mçi vÕ ®Òu b»ng mét h»ng sè, ®Æt lµ m 2 . Khi ®ã ta cã:  2     m 2     0 2  Vµ: (54)       1   m2   sin       2      0 sin        sin   Lêi gi¶i cña ph¬ng tr×nh (54) lµ: (55)       m     Ceim V×:  m      m    2  nªn m ph¶i lµ c¸c sè nguyªn Tõ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸: 2    0 m ta tÝnh ®îc C  m     d  1 1 . 2 VËy: 2 1 im e , 2 m  0;  1;  2; … §Ó tiÖn gi¶i ph¬ng tr×nh (55) ta lµm phÐp ®æi biÕn sè:   cos . (56)   1 , sin  1   2 vµ cã:        1 2     Víi biÕn  ph¬ng tr×nh (55) trë thµnh:  2         m2   1      2  2       1   2      0   2 (57) §Ó tr¸nh hai ®iÓm ®Æc biÖt    1 trong ph¬ng tr×nh (57) ta t×m    díi d¹ng: s      1   2  2 u    (58) Vµ t×m c¸ch x¸c ®Þnh s vµ u    sao cho ngay c¶ khi    1 hµm    , vÉn lµ hµm h÷u h¹n, liªn tôc vµ kh¶ vi. Thay thÕ biÓu thøc (58) vµo ph¬ng tr×nh (57) ta thu ®îc ph¬ng tr×nh ®èi víi u    :  s 2  m2   1   2  u    2  s  1 u       s  s 2   u     0 (59) 1 2   trong ®ã: u '     Vµ u      2u     u     2 NÕu ta chän s   m th× ph¬ng tr×nh (59) ®èi víi u    sÏ kh«ng cã c¸c ®iÓm ®Æc biÖt. H¬n n÷a, cÇn chän s  m v× nÕu kh«ng th× khi    1 , hµm    x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (58) sÏ ph©n k×. Nh vËy thay cho biÓu thøc (58) vµ ph¬ng tr×nh (59) b©y giê ta cã:      1   2  m 2 u  (60)  Vµ:  1   2  u ''     2  m  1 u '       m  m T×m lêi gi¶i cña ph¬ng tr×nh (61) díi d¹ng chuçi : 2  u   0 (61)