Tài liệu Luận văn tốt nghiệp vận dụng tư duy thuật toán trong giảng dạy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: VẬN DỤNG TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀO DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Th.S Bùi Phương Uyên Phạm Minh Cường Lớp: Sư phạm Toán K35 MSSV: 1090038 Cần Thơ , 2013 Lời cảm ơn Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng với sự giúp đỡ của cha mẹ, thầy cô, bạn bè, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học. Con gửi lời cám ơn đến cha mẹ đã động viên con, tiếp cho con sức mạnh để trải qua con đường học vấn, đặc biệt là qua bốn năm đại học và có được sự trưởng thành hơn trong suy nghĩ đầy tự tin và đáng tự hào. Xin chân thành cám ơn chân thành đến quý thầy cô trong Bộ môn Toán, Khoa sư phạm và tất cả các thầy cô trường ĐHCT đã cung cấp cho tôi những nền tảng về kiến thức thông qua những giờ giảng trên lớp để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Xin tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô Bùi Phương Uyên, cô vừa là cố vấn học tập đã dìu dắt tập thể lớp Sư phạm Toán K35 trong 4 năm học vừa qua, vừa tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt thời gian nghiên cứu, thực hiện đề tài này. Xin cám ơn BGH trường THPT Bình Thủy, quý thầy cô trong Tổ Toán đã có những đóng góp ý kiến cho đề tài. Đặc biệt, xin gửi lời cám ơn thầy Đỗ Hoàng Hải, tập thể lớp 11B3 và 11B5 thân yêu đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm đề tài. Tôi xin chân thành cám ơn các bạn sinh viên cùng lớp Sư phạm Toán khóa 35 luôn động viên, giúp đỡ tôi vượt qua khó khăn trong quá trình làm luận văn. Tôi cũng gửi lời cám ơn chân thành đến anh em phòng 2, kí túc xá Long An đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Xin kính chúc sức khỏe và thành công! Cần Thơ, ngày 06 tháng 05 năm 2013 Sinh viên thực hiện đề tài Phạm Minh Cường MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 4 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 6 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................................... 7 4. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................ 7 5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 7 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 7 7. Cấu trúc luận văn ............................................................................................... 8 8. Một số từ ngữ thường được viết tắt .................................................................... 8 NỘI DUNG .......................................................................................................... 9 Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN............................................................................... 9 1.1. Một số vấn đề cơ bản về Tư duy ..................................................................... 9 1.1.1. Khái niệm về Tư duy .............................................................................. 9 1.1.2. Bản chất xã hội của Tư duy .................................................................... 9 1.2.3. Đặc diểm của Tư duy ........................................................................... 10 1.1.4. Các giai đoạn của một quá trình tư duy................................................. 12 1.1.5. Các thao tác của một quá trình tư duy ................................................... 13 1.2. Thuật toán..................................................................................................... 16 1.2.1. Khái niệm thuật toán ............................................................................ 16 1.2.2. Đặc trưng của thuật toán ....................................................................... 17 1.2.3. Biểu diễn thuật toán .............................................................................. 18 1.2.4. Các yêu cầu của thuật toán ................................................................... 20 1.3. Quy tắc tựa thuật toán ................................................................................... 21 1.3.1. Khái niệm ............................................................................................. 21 1.3.2. Sự khác biệt của quy tắc tựa thuật toán so với thuật toán ...................... 21 1.3.3. Dạy học thuật toán và quy tắc tựa thuật toán......................................... 21 1.4. Tư duy thuật toán.......................................................................................... 22 1.4.1. Khái niệm ............................................................................................. 22 1 1.4.2. Các phương thức thể hiện tư duy thuật toán .......................................... 22 1.4.3. Tầm quan trọng của tư duy thuật toán ................................................... 23 1.5. Tư duy sáng tạo ............................................................................................ 24 1.5.1. Khái niệm ............................................................................................. 24 1.5.2. Các cấp độ, hình thức của tư duy sáng tạo ............................................ 24 1.5.3. Các đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo ............................................. 25 1.5.4. Sự liên hệ giữa tư duy sáng tạo và tư duy thuật toán ............................. 26 1.6. Một số phương phương pháp dạy học tích cực có thể dạy học thuật toán ở trường phổ thông ................................................................................................. 26 1.6.1. Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn ..................................... 26 1.6.2. Phương pháp dạy học hợp tác nhóm ..................................................... 28 1.7. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 30 Chương 2. VẬN DỤNG TƯ DUY THUẬT TOÁN VÀO DẠY HỌC HHKG. 31 2.1. Phân tích nội dung sách giáo khoa ................................................................ 31 2.1.1. Đặc điểm cơ bản của môn Hình học không gian ................................... 31 2.1.2. Nội dung Hình học không gian 11 ........................................................ 33 2.1.3. Chức năng bài tập hình học ở phổ thông ............................................... 38 2.2. Một số tiến trình dạy học tri thức phương pháp có tính thuật toán một cách tường minh .......................................................................................................... 39 2.2.1. Tiến trình suy diễn................................................................................ 39 2.2.2. Tiến trình quy nạp ................................................................................ 41 2.3. Vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học HHKG....................... 44 2.3.1. Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn ..................... 44 2.3.2. Vận dụng phương pháp dạy học hợp tác nhóm ..................................... 46 2.4. Vận dụng thuật toán vào dạy học các bài tập HHKG .................................... 48 2.4.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ................................................ 49 2.4.2. Xác định thiết diện của một hình đa diện (n mặt) tạo bởi mặt phẳng (  ) ((  ) thỏa điều kiện cho trước) ...................................................................... 52 2.4.3. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ...................................... 58 2.4.4. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.......................................................... 62 2 2.4.5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ................................................ 64 2.4.6. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ............................... 66 2.5. Kết luận chương 2 ........................................................................................ 70 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................... 71 3.1. Thực nghiệm A ........................................................................................... 71 3.1.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................... 71 3.1.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm......................................................... 71 3.1.3. Tường thuật tiết dạy ............................................................................. 72 3.1.4. Đề bài và kết quả kiểm tra .................................................................... 84 3.2. Thực nghiệm B ............................................................................................. 88 3.3. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 89 PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................ 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 91 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học. Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của nhà trường. Điều này đã được thể chế hóa trong Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng cũng đã khẳng định: “Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”. Theo PGS.TS Nguyễn Phú Lộc [8, tr. 1]: “Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay của nước ta là một yêu cầu cấp bách, việc dạy học trong nhà trường phổ thông theo hướng tích cực đã được nhà nước ta quan tâm và đẩy mạnh. Việc tìm kiếm các mô hình dạy học hiệu quả môn Toán chính là đổi mới giáo dục”. Còn trong luật giáo dục năm 1999: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê tự học và ý chí vươn lên.” Từ tình hình thực tế cho thấy vấn đề “Vận dụng tư duy thuật toán trong giảng dạy” là chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu mang tính thực tiễn cao. Nó nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng tư duy và để rèn luyện, tăng cường khả năng sáng tạo của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc có hiệu quả và có tính khoa học. Các vấn đề này không chỉ giới hạn trong các ngành nghiên cứu về khoa học kỹ thuật mà nó có thể thuộc lĩnh vực khác như chính trị, 4 kinh tế, xã hội, nghệ thuật,... hoặc trong các phát minh, sáng chế. Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề cần được quan tâm nhiều. Theo [14, tr. 154]: “Nước Pháp là một nước có truyền thống Toán học lâu đời đã từng cung cấp cho nhân loại nhiều nhà toán học xuất sắc. Họ cũng không tán thành kiểu ra đề thi quốc tế và do đó không mở lớp chuyên toán để luyện học sinh thi vì làm như vậy là đào tạo “thợ toán” chứ không phải đào tạo nhà toán học.” Vì thế theo chúng tôi thì nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Hơn thế nữa trong thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đại hóa, con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiện đại thì năng lực suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nên cấp thiết hơn trước đây. Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạy cho học sinh chúng ta tư duy. Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Do vậy, vận dụng tư duy thuật toán sáng tạo cho học sinh là một mục tiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm và hướng đến. Bên cạnh đó, thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy thuật toán sáng tạo. Nhìn các đối tượng Toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập hình học không gian. Do vậy, việc vận dụng tư duy thuật toán sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán là một yêu cầu cấp bách. 5 Thực tế cho thấy, đã có nhiều công trình nghiên cứu và phát triển tư duy thuật toán như: Luận án phó tiến sĩ của Dương Vương Minh: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông” (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung chương trình. Luận văn của thạc sĩ Nguyễn Thị Thanh Bình: “Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11” (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11. Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Cảnh Toàn… cũng đã nói nhiều về tầm quan trọng của tư duy thuật giải trong các sách của mình. Nhiều công trình nghiên cứu khác của các sinh viên ở các trường Đại học như: Huỳnh Tố Uyên: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua việc dạy phương trình và bất phương trình quy về bậc hai”; Trần Thị Mỹ Xuyên: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua việc dạy học bằng phương pháp tọa độ hình học 10”. Đặc biệt là luận văn của sinh viên Đỗ Thị Thanh Nhanh: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua việc dạy học chương quan hệ vuông góc (hình học không gian 11)”, đã đề cập đến những phương hướng phát triển tư duy thuật toán chứ chưa nghiên cứu sâu về các thuật toán trong nội dung này. Những công trình trên cho thấy tính cấp thiết của việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. Chính vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Vận dụng tư duy thuật toán vào dạy học Hình học không gian” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu cơ sở khoa học và thực tiễn của tư duy thuật toán thông qua dạy học hình học không gian.  Tìm ra những biện pháp phù hợp nhằm rèn luyện, phát triển khả năng tư duy thuật toán cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường Trung học phổ thông. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:  Làm rõ những vấn đề của tư duy, tư duy thuật toán, khả năng vận dụng thuật toán tạo ra tính sáng tạo của học sinh.  Nghiên cứu, đề xuất những thuật toán thông dụng nhằm phát triển tư duy học sinh thông qua học kiến thức hình học không gian ở trường phổ thông.  Tổ chức dạy thực nghiệm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi của các thuật toán đề ra. 4. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, tài liệu về các phương pháp tư duy toán học, các phương pháp nhằm rèn luyện tư duy thuật toán tạo tính sáng tạo toán học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính tư duy.  Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: phương pháp điều tra, quan sát, dự giờ,… Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “vận dụng tư duy thuật toán cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian”.  Phương pháp thực nghiệm sư phạm: dạy thực nghiệm, phiếu khảo sát… Thể hiện các thuật toán đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp trong thời gian thực tập sư phạm. Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng thêm tính khả thi của đề tài. 5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tư duy thuật toán và vận dụng vào dạy hình học không gian. 6. Đóng góp của khoá luận  Về lý luận: - Cung cấp khoa học luận về tư duy thuật toán. 7 - Góp phần làm sáng tỏ nội dung “vận dụng tư duy thuật toán cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian”.  Về thực tiễn: - Xây dựng và “vận dụng tư duy thuật toán cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập hình học không gian”. - Vận dụng vào thực tiễn dạy học bài tập hình học không gian cho học sinh phổ thông. Chúng tôi hy vọng luận văn có thể là tài liệu tham khảo cho các giáo viên trẻ, muốn rèn luyện và phát triển năng lực tư duy thuật toán có tính sáng tạo và giải tốt các bài tập hình học không gian. 7. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có 4 phần: PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1. Cơ sở lý luận Chương 2. Vận dụng tư duy thuật toán vào dạy học Hình học không gian Chương 3. Thực nghiệm sư phạm PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 8. Một số từ ngữ thường được viết tắt Viết tắt Từ được viết tắt TDTT Tư duy thuật toán SGK Sách giáo khoa GV Giáo viên HS Học sinh Trong luận văn có 3 bảng vẽ và 31 hình vẽ. 8 NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Một số vấn đề cơ bản của Tư duy 1.1.1. Khái niệm về tư duy Theo quan niệm của Tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong thực tại khách quan mà trước đó ta chưa biết”.[16, tr. 17] Theo Từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”.[9, tr. 18] 1.1.2. Bản chất xã hội của tư duy Mặc dù tư duy được tiến hành trong bộ óc của từng người cụ thể, được hình thành và phát triển trong quá trình hành động nhận thức tích cực của bản thân mỗi người, nhưng tư duy bao giờ cũng có bản chất xã hội, bản chất này được thể hiện ở những mặt sau đây:  Hành động tư duy phải dựa vào kinh nghiệm của các thế hệ đi trước đã tích lũy, tức dựa vào kết quả hoạt động nhận thức mà xã hội loài người đã đạt được ở trình độ phát triển lịch sử lúc đó.  Tư duy phải sử dụng ngôn ngữ do các thế hệ trước đã sáng tạo ra, tức dựa vào phương tiện khái quát (nhận thức) hiện thực và giữ gìn các kết quả nhận thức của loài người trước đó.  Bản chất quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ nóng hổi nhất của giai đoạn lịch sử lúc đó.  Tư duy mang tính tập thể, tức tư duy phải sử dụng các tài liệu đã thu được trong các lĩnh vực tri thức liên quan, nếu không sẽ không giải quyết được nhiệm vụ 9 đã đặt ra.  Tư duy là để giải quyết nhiệm vụ vì vậy nó có tính chất chung của loài người. 1.1.3. Đặc điểm của tư duy [16, tr. 17] a) Tính có vấn đề của tư duy Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhưng không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy. Trước hết khi gặp tình huống có vấn đề, tức là tình huống có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới, một cách thức giải quyết mới mà bằng vốn kiến thức, phương pháp cũ không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để giải quyết vấn đề đó, tức là phải tư duy. Ví dụ trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Cho hình chóp S.ABCD, trong đó mặt đáy ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) thì học sinh sẽ tìm được giao điểm thứ hai thông qua AB và CD. Một giả thiết khác ABCD là hình bình hành thì học sinh sẽ giải quyết thế nào. Từ đây xuất hiện tình huống có vấn đề. Như vậy học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, đó chính là định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng. Thứ hai hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức được đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân, tức là cá nhân phải xác định cái gì đã biết, cái gì chưa biết và mối quan hệ giữa chúng như thế nào để tạo nhu cầu muốn biết, muốn tìm cái mới. b) Tính gián tiếp của tư duy Nhận thức cảm tính mới chỉ phản ánh bản thân sự vật một cách trực tiếp. Tư duy có khả năng phản ánh sự vật, hiện tượng một cách gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, những công cụ lao động…Nhờ tính gián tiếp mà tư duy đã mở rộng không giới hạn khả năng nhận thức của con người. Ví dụ: Nhà khảo cổ học chỉ cần dựa vào một vài di tích hóa thạch nhưng có thể biết được nguồn gốc, thời gian tồn tại và nền văn hóa trong niên đại đó như thế nào. c) Tính trừu tượng hóa và khái quát hóa của tư duy 10 Trong một sự vật, hiện tượng bao giờ cũng có những thuộc tính đặc trưng cho đối tượng đó và có những thuộc tính chung khái quát của hàng loạt các đối tượng cùng loại. Nhận thức cảm tính chỉ phản ánh từng sự vật riêng lẻ, rời rạc chứ chưa có khả năng hàng loạt sự vật cùng loại. Tư duy không chỉ phản ánh sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ, cụ thể, mà có khả năng phản ánh sự vật, hiện tượng một cách khái quát. Có nghĩa là tư duy có khả năng trừu xuất khỏi đối tượng những thuộc tính không bản chất mà chỉ giữ lại những dấu hiệu bản chất chung nhất đặc trưng cho nhiều sự vật hiện tượng cùng loại. Nhờ có tính trừu tượng và khái quát, tư duy không chỉ giải quyết những nhiệm vụ hiện tại, mà còn cả những việc mai sau. Đồng thời, khi giải quyết nhiệm vụ nào đó thì tư duy có thể hình thành các quy tắc, phương pháp được sử dụng trong các trường hợp tương tự. d) Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Trong nhận thức cảm tính dù có ngôn ngữ hay không có ngôn ngữ tham gia thì quá trình cảm giác, tri giác vẫn diễn ra. Nhưng nếu không có ngôn ngữ thì không có bất cứ quá trình tư duy nào, bởi vì, ngôn ngữ là hình thức biểu đạt những sản phẩm của tư duy (ý nghĩ, khái niệm…). Ngôn ngữ là một mặt không thể tách rời của tư duy, không có ngôn ngữ thì không có tư duy. Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội dung. Nhưng tư duy không phải là ngôn ngữ, mà tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ biện chứng với nhau, đó là mối quan hệ giữa nội dung và hình thức. e) Tư duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tuy là nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm tính, nhưng tư duy không tách rời nhận thức cảm tính. Tư duy mặc dù trừu tượng, khái quát đến mấy cũng phải dựa vào các tài liệu trực quan mà cảm giác và tri giác đem lại. Hơn nữa, muốn tư duy, trước hết phải tri giác hoàn cành có vấn đề, tri giác được các sự kiện. Như vậy, tri giác là một khâu, là thành phần của quá trình tư duy. Kết quả của quá trình tư duy đòi hỏi phải được kiểm tra bằng thực tiễn thông qua các quá trình nhận thức cảm tính. Mặc khác, tư duy cũng ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính, nhờ có tư duy mà ta có thể tri giác đối tượng một cách nhanh chống và chính 11 xác hơn. Tư duy ảnh hưởng đến tính lựa chọn, tính ý nghĩa và tính ổn định của tri giác. 1.1.4. Các giai đoạn của một quá trình tư duy [16, tr. 19] Tư duy là một hoạt động trí tuệ, là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn từ khi gặp tình huống có vấn đề và nhận thức được vấn đề cho đến vấn đề được giải quyết, lúc này có thể gây ra vấn đề mới, khởi đầu cho một hoạt động tư duy mới có thể phức tạp và lâu dài. Quá trình đó được thực hiện bởi các thao tác tư duy nhất định và được diễn ra theo các giai đoạn sau: a) Xác định vấn đề Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tư duy. Hoàn cảnh có vấn đề chứa đựng các mâu thuẫn khác nhau (giữa cái đã biết và cái chưa biết, giữa cái đã có và cái chưa có), con người càng có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực nào đó càng dễ dàng nhìn ra và đầy đủ những mâu thuẫn đó. Chính vấn đề được xác định này quyết định toàn bộ những việc giải quyết sau đó. Đây là giai đoạn đầu tiên và quan trọng nhất của quá trình tư duy. b) Xuất hiện các liên tưởng - huy động các tri thức, kinh nghiệm Xuất hiện trong đầu những tri thức kinh nghiệm, những liên tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã được xác định. c) Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết Các tri thức, kinh nghiệm và liên tưởng xuất hiện lần đầu tiên còn mang tính chất rộng rãi chưa thực sát với nhiệm vụ đề ra. Trên cơ sở sàng lọc này, sẽ hình thành cách giải quyết cho phù hợp với nhiệm vụ của tư duy. Chính sự đa dạng của giả thuyết cho phép xem xét cùng một sự vật hiện tượng từ nhiều hướng khác nhau để tìm ra cách giải quyết đúng đắn nhất. d) Kiểm tra giả thuyết Nếu giả thuyết đúng thì khẳng định giả thuyết và đi đến giải quyết vấn đề. Nếu giả thuyết sai thì bác bỏ, xây dựng giả thuyết mới, rồi kiểm tra lại. e) Giải quyết vấn đề 12 Khi giả thuyết đã được kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ được thực hiện và đi đến câu trả lời đã đặt ra. 1.1.5. Các thao tác của một quá trình tư duy [16, tr. 20] a) Phân tích – tổng hợp Phân tích: là hoạt động trí tuệ phân chia đối tượng thành những bộ phận, những thuộc tính, các quan hệ khác nhau theo một hướng nhất định. Tổng hợp: là quá trình kết hợp những thuộc tính, quan hệ… mà ta đã tách ra do quá trình phân tích thành một chỉnh thể thống nhất. Như vậy, phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết với nhau, phân tích được tiến hành trên cơ sở tổng hợp và ngược lại tổng hợp được thực hiện trên cơ sở của phân tích. b) So sánh Là sự xác định sự giống nhau và khác nhau, sự bằng nhau hay không bằng nhau của các sự vật hiện tượng. Thao tác này cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. So sánh là mọi sự hiểu biết về tư duy. Nhờ có sự so sánh các sự vật hiện tượng với nhau mà ta có thể lĩnh hội được các tài liệu học tập với tất cả tính đa dạng và độc đáo của chúng. c) Trừu tượng hóa và khái quát hóa Trừu tượng hoá: là quá trình gạt bỏ khỏi đối tượng những bộ phận, thuộc tính, quan hệ không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy. Khái quát hóa: là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau trên cơ sở có một số thuộc tính giống nhau nào đó. d) Cụ thể hóa Là sự vận dụng những khái niệm, định luật quy tắc đã được khái quát hóa vào hoạt động thực tiễn nhằm giải quyết những vấn đề cụ thể. Ngoài ra, đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự hóa cũng là những thao tác tư duy có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông. Đặc biệt hóa, tổng quát hóa, tương tự hóa là những phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh. 13 e) Kết luận Trong quá trình tư duy các thao tác tư duy có quan hệ mật thiết với nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hướng xác định để giải quyết nhiệm vụ tư duy. Việc thực hiện các thao tác tư duy có thể không tuân theo một thứ tự nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác tư duy của một quá trình tư duy. f) Ví dụ Xét bài toán: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và hai điểm thay đổi M  AA', N  BC thỏa mãn AM BN . Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với một  AA ' BC mặt phẳng cố định ? Câu hỏi đặt ra: Thông qua bài toán này, có thể rèn luyện cho học sinh những thao tác tư duy nào ? D' C' A' B' P M D C N B A Hình 1.1 Lời giải bài toán Trước tiên ta vẽ MP // AB, khi đó BP AM BN BP BN     BB ' AA ' BC BB ' BC  PN // B ' C (định lý Ta-let) (1) Hiển nhiên PM // A ' B ' (2) Từ (1), (2) ta có ( MNP) // ( A ' B ' C )  ( A ' B ' CD) Vậy: MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. 14 Qua bài toán, giáo viên có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy sau: (1) Đặc biệt hóa Từ giả thiết: AM BN AM BN . Bằng cách đặt k  với 0  k  1.   AA ' BC AA ' BC TH1: k=0, MN  AB song song với (  ) cố định (3). TH2: k=1, MN  A ' C song song với (  ) cố định (4). Khi xét các trường hợp đặc biệt k = 0, k = 1 ta có kết quả (3) và (4). Đến đây giáo viên có thể nêu câu hỏi cho học sinh: “Có mặt phẳng cố định nào song song với hai đường thẳng AB và A ' C hay không” ? (2) Trừu tượng hóa Hiển nhiên có vô số (  ) cố định song song với ( A ' B ' C ) . Việc hình dung được MN song song với (  ) là một cách trừu tượng hóa. (3) Tổng hợp Để trình bày thành lời giải bài toán ta phải sử dụng thao tác tổng hợp để viết lại thành lời giải chi tiết của bài toán. Hay nói cách khác tổng hợp là quá trình liên kết lại các quá trình phân tích để viết lại lời giải của bài toán. (4) Tương tự hóa Từ giả thiết của bài toán ta thấy M, N luôn thay đổi trên cặp cạnh chéo nhau của hình hộp. Như vậy ta có thể thay đổi cặp cạnh chéo nhau này bằng cặp cạnh chéo nhau khác, chẳng hạn AD , CC ' khi đó ta sẽ được bài toán tương tự. (5) Tổng quát hóa Từ bài toán trên bằng cách tổng quát hoá ta có bài toán như sau: Cho hai tia Ax và By chéo nhau. Trên tia Ax lần lượt lấy hai điểm M, N và trên By lấy hai điểm P, Q sao cho AM BP  . Chứng minh rằng MP luôn song song với mặt phẳng cố AN BQ định. (6) Phân tích : Từ giả thiết: AM BN AM BN  Bằng cách đặt k =  thì k có AA ' BC AA ' BC thể nhận được giá trị nào và quá trình này luôn liên kết trong quá trình giải toán. 15 1.2. Thuật toán 1.2.1. Khái niệm thuật toán a) Lịch sử hình thành [6, tr. 8] Thuật toán (algorithm) là một trong những khái niệm quan trọng trong lĩnh vực tin học. Thuật ngữ thuật toán được sử dụng đầu tiên bởi nhà toán học Arập Abu Ja’far Mohammed ibn Musa al Khowarizmi (khoảng năm 825 sau công nguyên). Tuy nhiên lúc bấy giờ và nhiều thế kỉ sau, nó không mang nội dung như ngày nay. b) Định nghĩa Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thì thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (input) của một lớp bài toán thành thông tin ra (output) mô tả lời giải của lớp bài toán đó. [7, tr. 402] Theo tác giả Vũ Đình Hòa – Đỗ Trung Kiên: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước mô tả chính xác các phép toán, hoặc hành động cần thực hiện…để cho lời giải của bài toán. [6,tr.8] c) Ví dụ Thuật toán nổi tiếng nhất có từ thời cổ Hy Lạp là thuật toán Euclide: thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương. Thuật toán Euclide Input: m, n nguyên dương. Output: g, ƯCLN của m, n. Phương pháp: B1: Tìm r là phần dư của phép chia m cho n. B2: Nếu r = 0 thì g  n (gán trị n cho g) và dừng lại. Trong trường hợp ngược lại (r  0) thì m  n, n  r và quay lại bước 1. Theo tác giả Vũ Đình Hòa – Đỗ Trung Kiên thì chúng ta có thể quan niệm các bước cần thực hiện để làm một món ăn, được mô tả trong các sách dạy nấu ăn, là một thuật toán. Cũng có thể xem các bước cần tiến hành để gấp đồ chơi bằng giấy, được trình bày trong các sách dạy gấp trò chơi là một thuật toán. Phương pháp cộng và nhân các số nguyên, chúng ta đã được học ở cấp I, cũng là một thuật toán. 16 1.2.2 Đặc trưng của thuật toán [6, tr. 19] Để hiểu đầy đủ ý nghĩa của thuật toán, ta đưa ra 5 đặc trưng của thuật toán: a) Input Mỗi thuật toán đều có một số (có thể bằng không) các dữ liệu vào (input). Đó là các giá trị cần đưa vào khi thuật toán bắt đầu làm việc. Các dữ liệu này cần được lấy từ các tập hợp giá trị cụ thể nào đó. Chẳng hạn, trong thuật toán Euclid ở trên, các số m và n là các dữ liệu lấy từ tập số nguyên dương. b) Output Một thuật toán cần có một hoặc nhiều dữ liệu ra (output). Đó là các giá trị có quan hệ hoàn toàn xác định với các dữ liệu vào, và là kết quả của việc thực hiện thuật toán. Trong thuật toán Euclide, có một dữ liệu ra đó là USCLN g, khi thuật toán dừng lại (trường hợp r = 0) thì giá trị của g là ước chung lớn nhất của m và n. c) Tính xác định Ở mỗi bước, các thao tác phải rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng. Nói rõ hơn là trong cùng một điều kiện, hai bộ xử lý cùng thực hiện một thực toán phải cùng kết quả như nhau. Nếu biểu diễn thuật toán bằng phương pháp thông thường không có gì đảm bảo được người đọc hiểu đúng ý của người viết thuật toán. Để đảm bảo đòi hỏi này, thuật toán cần được miêu tả trong các ngôn ngữ lập trình (ngôn ngữ máy, hợp ngữ hoặc ngôn ngữ bậc cao như Pascal …). Trong các ngôn nhữ máy này, các mệnh đề được tạo theo các nguyên tắc cú pháp nghiêm ngặt và chỉ có một nghĩa duy nhất. d) Tính khả thi Tất cả các phép toán có mặt trong thuật toán phải đủ đơn giản. Điều đó có nghĩa là, các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp (bằng giấy và bút) chẳng hạn, trong thuật toán Euclide, ta chỉ cần thực hiện chia các số nguyên, các phép gán và các phép so sánh r = 0 hay r  0. Hơn nữa, thuật toán phải có tính đa năng: làm việc với tất cả các tập hợp dữ liệu của đầu vào. e) Tính dừng Với mọi dữ liệu vào (lấy từ các tập của dữ liệu vào), thuật toán phải dừng lại sau một số hữu hạn bước thực hiện. Ví dụ, thuật toán Euclide thỏa mãn 17 điều kiện này. Bởi vì giá trị của r luôn nhỏ hơn n (khi thực hiện bước 1), nếu r  0 thì giá trị n ở bước 1 (kí hiệu là ni) sẽ là giá trị của ri-1 ở bước i-1, ta có dãy bất đẳng thức n > r = n1 > r1 = n2 > r2... dãy số nguyên này giảm dần và cần kết thúc ở 0 và thuật toán dừng lại. 1.2.3. Biểu diễn thuật toán Theo PGS.TSKH Vũ Đình Hòa – Đỗ Trung Kiên: Hiện nay có nhiều phương pháp biểu diễn thuật toán: biểu diễn thuật toán bằng danh sách các bước, mỗi bước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và các kí hiệu toán học; biểu diễn thuật toán bằng sơ đồ khối;… a) Phương pháp liệt kê từng bước  Nội dung Thuật toán: Tên thuật toán và chức năng. Vào: Dữ liệu vào với tên kiểu. Ra: Các dữ liệu ra với tên kiểu. Biến phụ (nếu có) gồm tên kiểu. Hành động: Các thao tác với các nút lệnh.  Ví dụ: Để giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, ta có thể miêu tả thuật toán bằng ngôn ngữ liệt kê như sau: Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c. Bước 2: Kiểm tra các hệ số a, b, c có khác 0 hay không? Nếu a = 0 quay lại thực hiện bước 1. Bước 3: Tính biểu thức  = b 2 – 4ac. Bước 4: Nếu  < 0 thông báo phương trình vô nghiệm và chuyển sang bước 8. Bước 5: Nếu  = 0, tính x1 =x2 = Bước 6: Tính x1  b 2a b   b   , x2  và chuyển sang bước 7. 2a 2a Bước 7: Thông báo nghiệm x1, x2. Bước 8: Kết thúc thuật toán. 18