Tài liệu Luận văn tốt nghiệp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Giảng viên hướng dẫn: Cô Lại Thị Cẩm Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc Trâm Lớp: Sư phạm Toán học – K34 MSSV: 1080074 Cần Thơ, tháng 5 năm 2012 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý Thầy, Cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô. Và đặc biệt là Cô Lại Thị Cẩm, Cô đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện về tài liệu cũng như giúp em sửa chữa, giải đáp thắc mắc trong quá trình em thực hiện đề tài này. Đồng thời, em cũng chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trường Trung học phổ thông Vị Thủy, đặc biệt là Thầy Nguyễn Thành Thật và tập thể lớp 11A6, 11A2 đã nhiệt tình giúp đỡ trong thời gian em thực nghiệm giảng dạy tại trường. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Sư phạm Toán K34 đã động viên và giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoàn thành luận văn này. Sinh viên thực hiện MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 1 4. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................... 1 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................ 1 5.1 Nghiên cứu lí luận .................................................................................................... 1 5.2 Nghiên cứu thực tiễn ................................................................................................ 2 6. Cấu trúc nội dung ....................................................................................................... 2 PHẦN NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH ....................... 3 1. Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh .............. 3 1.1 Phát triển các thao tác tư duy ................................................................................... 3 1.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp............................................................. 3 1.1.2 Phát triển năng lực so sánh.................................................................................... 3 1.1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá ............................................ 4 1.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ........................................................ 6 1.3 Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo ............................................................ 7 1.4 Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong toán học ........................................................................................................ 8 1.4.1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng .......................................................................... 8 1.4.2 Phương pháp qui nạp – suy diễn ........................................................................... 8 2. Sáng tạo và tư duy sáng tạo........................................................................................ 9 2.1 Các khái niệm ........................................................................................................... 9 2.1.1 Sáng tạo là gì? ....................................................................................................... 9 2.1.2 Sáng tạo toán học là như thế nào? ....................................................................... 10 2.1.3 Nguyên nhân của sự sáng tạo .............................................................................. 10 2.2 Cơ sở tâm lí của tư duy sáng tạo ............................................................................ 12 2.2.1 Tư duy sáng tạo ................................................................................................... 12 2.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo ...................................................... 12 2.2.3 Các giai đoạn của sự sáng tạo ............................................................................. 12 3. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh ........................ 13 CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC .............................................. 15 1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học .................................................................. 15 2. Yêu cầu đối với lời giải bài toán .............................................................................. 16 2.1 Lời giải không có sai lầm ....................................................................................... 16 2.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác ......................................................................... 18 2.3 Lời giải phải đầy đủ ............................................................................................... 18 3. Dạy học các thuật toán ............................................................................................. 19 3.1 Thuật toán............................................................................................................... 19 3.1.1 Khái niệm về thuật toán ...................................................................................... 19 3.1.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán .............................................................. 19 3.1.3 Tư duy thuật toán ................................................................................................ 20 3.1.4 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán ..................................................... 20 3.1.5 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán ........................................................ 20 3.1.5.1 Thực hiện thuật toán......................................................................................... 21 3.1.5.2 Phân tích một hoạt động ................................................................................... 21 3.1.5.3 Mô tả thuật toán (tường minh hóa thuật toán) ................................................. 22 3.1.5.4 Khái quát hóa một hoạt động ........................................................................... 23 3.1.5.5 Chọn thuật toán tối ưu ...................................................................................... 23 3.1.6 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán ........................................................................... 23 3.2 Qui trình tựa thuật toán .......................................................................................... 24 3.2.1 Khái niệm về qui trình tựa thuật toán.................................................................. 24 3.2.2 Các đặc điểm của một qui trình tựa thuật toán ................................................... 26 4. Dạy học các phương pháp tìm tòi lời giải bài toán .................................................. 26 4.1 Tìm hiểu đề toán..................................................................................................... 27 4.2 Xây dựng chương trình giải ................................................................................... 30 4.3 Thực hiện chương trình giải ................................................................................... 32 4.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được ......................................................... 33 5. Những điểm cần chú ý trong việc dạy học giải bài tập ............................................ 33 5.1 Tạo không khí hứng thú trong giờ học giải bài tập ................................................ 33 5.2 Xây dựng và duy trì động cơ học tập của học sinh ................................................ 33 5.3 Giúp học sinh cách thức làm tăng sự hiểu biết về các tình huống của bài toán.... 33 5.4 Chú ý tính linh hoạt trong giải toán ....................................................................... 34 5.5 Nhấn mạnh phương pháp giải hơn là đáp số .......................................................... 34 CHƯƠNG 3: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN.......................................................... 35 1. Phương pháp giải toán và hoạt động rèn luyện tư duy sáng tạo .............................. 35 1.1 Mối quan hệ giữa sáng tạo và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán .. 35 1.2 Quan niệm về tiến trình giải toán ........................................................................... 35 2. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán .......... 36 2.1 Tìm lời giải khác .................................................................................................... 36 2.2 Phát triển bài toán trên cơ sở bài toán đã biết ........................................................ 49 2.2.1 Tổng quát hoá bài toán ........................................................................................ 49 2.2.2 Đặc biệt hoá bài toán ........................................................................................... 60 2.2.3 Tương tự hoá bài toán ......................................................................................... 62 2.2.4 Lập bài toán đảo .................................................................................................. 66 2.2.5 Thay đổi giả thiết của bài toán xem kết luận thay đổi như thế nào .................... 71 2.3 Bài toán có nội dung thực tế .................................................................................. 72 CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................ 75 1. Mục đích thực nghiệm.............................................................................................. 75 2. Biện pháp thực hiện.................................................................................................. 75 3. Kết quả thực nghiệm ................................................................................................ 75 4. Các giáo án thực nghiệm .......................................................................................... 76 PHẦN PHỤ LỤC...................................................................................................... 105 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................... 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 111 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực. Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, thấy được tác dụng tích cực của việc dạy học giải bài tập toán nên em quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán”. Đồng thời, qua đó giúp bản thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác,… Nhằm giúp nâng cao hiệu quả của việc dạy học sau này. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm một số phương pháp giải bài tập giúp phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh. Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực để vận dụng tốt vào công việc giảng dạy sau này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và cơ sở lí thuyết của dạy học giải bài tập toán học. Tìm ví dụ để minh hoạ cho cơ sở lý thuyết. Vận dụng các phương pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán. Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau này. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập toán. Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 và tham khảo các sách bài tập khác. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận 1 So sánh, phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan. Thực hành giải các bài tập. 5.2 Nghiên cứu thực tiễn Tìm hiểu quá trình phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán bằng thực nghiệm giảng dạy và thăm dò ý kiến học sinh để nhằm kiểm nghiệm vấn đề nghiên cứu. 6. Cấu trúc nội dung Luận văn gồm 4 chương: Chương 1: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Chương 2: Dạy học giải bài tập. Chương 3: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán. Chương 4: Thực nghiệm sư phạm. 2 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 1. Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh 1.1 Phát triển các thao tác tư duy Khi học tập toán học học sinh luôn thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này. 1.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng phần, từng khía cạnh. Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể. Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được. Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy. Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp. Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học. Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau. Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải bài toán đã cho. 1.1.2 Phát triển năng lực so sánh So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau. 3 Giáo viên nên chú ý hướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm định lí, quy tắc mới học với những khái niệm, định lí, quy tắc đã biết. Nhờ thấy được sự giống nhau và khác nhau giữa chúng nên học sinh nắm vững, hiểu biết sâu sắc hơn và có hệ thống hơn về kiến thức toán học. 1.1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá Trừu tượng hoá là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng. Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hoá. Trừu tượng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức. Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh. Để phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh, cần nắm vững mối liên hệ chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn. Ví dụ: Khi dạy học về khái niệm góc, giáo viên cần đi theo con đường cụ thể (1) – trừu tượng (2) – cụ thể (3) Cụ thể (1) Trừu tượng (2) Cụ thể (3) - Hình tạo bởi kim phút và kim giờ trong đồng hồ - Hình tạo bởi hai cạnh của ê-ke - Hình tạo bởi hai cạnh bàn Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc Góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt Trong quá trình trừu tượng hoá, việc tách những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng để hình thành một khái niệm được gọi là sự khái quát hoá. Ví dụ: Qua xét các dãy số: 2, 4, 6, 8, 10. −2, 0, 2, 4, 6,..., 2n − 4 5, 9, 13, 17, 21,..., 4n − 1 có một đặc điểm chung là kể từ số thứ hai mỗi số đều bằng số đứng liền trước nó cộng với một số không đổi, từ đó khái quát hoá để hình thành khái niệm cấp số cộng. Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện tập cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, phát hiện mối liên hệ bản chất của sự vật mà hình thức bên ngoài rất đa dạng. Khi tổ chức cho học sinh thực hiện khái quát hoá, giáo viên cần chú ý nguyên tắc: “biến thiên dấu hiệu không bản chất và giữ nguyên dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng”. 4 Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này. Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua ví dụ tìm công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x . Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2 x + x) . Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a . Việc khớp trường hợp riêng sin(2 x + x) vào biểu thức tổng quát sin(a + b) là một sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “Hàm số sin ”, “Đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như: “Một số hạng của tổng gấp đôi số hạng kia”. Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cho trường hợp a = 2 x, b = x để đi đến công thức sin(2 x + x) = sin 2 x cos x + sin x cos 2 x . Thao tác phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin 2x và cos 2x trong công thức trên để biến đổi thành: sin 2 x = 2sin x cos x; cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x. Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sin x cos 2 x − sin 3 x. Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin 3x với kết quả biến đổi 3sin x cos 2 x − sin 3 x là một sự tổng hợp dẫn tới: sin 3 x = 3sin x cos 2 x − sin 3 x. Sơ đồ sau đây minh họa quá trình tư duy vừa trình bày: 5 sin(a + b) sin a cos b + sin b cos a Đặc biệt hóa sin 2 x cos x + sin x cos 2 x Khái quát hóa Phân tích sin x + cos x sin 2x sin(2 x + x ) Phân 2sin x cos x cos 2x cos 2 x − sin 2 x tích 2sin x cos 2 x + sin x(cos 2 x − sin 2 x) 3sin x cos 2 x − sin 3 x. sin 3x Tổng hợp Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng. Nếu giáo viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như: - Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hóa); - Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2 x + x) ? (khuyến khích đặc biệt hóa). 1.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Vì toán học là một khoa học suy diễn nên môn toán có nhiều khả năng to lớn để dạy cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp logic. Nhưng tư duy không tách rời ngôn ngữ, tư duy diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành và phát triển nhờ tư duy. Vì vậy, rèn luyện tư duy logic không thể tách rời việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác cho học sinh. 6 Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua dạy học môn toán được thực hiện theo ba hướng liên hệ chặt chẽ với nhau: - Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học). - Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm. - Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic. Để rèn luyện tư duy logic cho học sinh có hiệu quả, giáo viên phải không ngừng bồi dưỡng cho học sinh các quy tắc suy luận, giúp học sinh hiểu được các cấu trúc logic của chứng minh mỗi định lí khi giáo viên dạy chúng, yêu cầu học sinh biết trình bày đúng đắn các chứng minh định lí, bài toán toán học. Giáo viên luôn coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ trong môn toán. Đặc biệt là biết sử dụng đúng các phép toán logic: và, hoặc, nếu… thì…, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mỗi,… Giáo viên cần thường xuyên uốn nắn những sai lầm của học sinh về mặt thiếu chính xác trong sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học. Cần chống thói quen không tốt là sử dụng các kí hiệu toán học một cách tuỳ tiện, chẳng hạn như: “Đây là hai việc ≠ nhau”; hay “Anh có = lòng không?” (Hoàng Chúng, 1995). 1.3 Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo Tư duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện được vấn đề cần phải giải quyết, và tự bản thân có thể đề ra phương án giải quyết khi gặp một trở ngại hay tìm ra được lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải; không đi tìm lời giải sẵn. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tư tưởng và ý kiến của người khác, có tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự vấn: “vì đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy. Tính linh hoạt của tư duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây: Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn. Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã biết. Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau. Để rèn luyện cho học sinh tư duy độc lập và sáng tạo, trong dạy học toán cần chú ý thường tập dượt cho học sinh “suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,… Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung; cái cụ thể và cái trừu tượng; qui nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học. 7 Đặc biệt là trang bị cho các em phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong toán học. 1.4 Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong toán học Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là: phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn. 1.4.1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ. Tuy nhiên, sự hình thành và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng; và không có cái trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng). Như giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những khái quát có tính chất lí luận thường ra đời một cách không đơn giản, có khi phải xét rất nhiều trường hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đó lần mò ra cái trừu tượng, khái quát. Tôi đã xây dựng nên lí thuyết tổng quát về “các không gian có tuyệt đối động” bằng cách phân tích, mổ xẻ một trường hợp đặc biệt trước; có nhiều trừu tượng tôi khó nghĩ ra nếu như không có những gợi ý của những phát hiện cụ thể đi trước. Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những lí luận trừu tượng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì có nhiều công cụ sắc bén để phát hiện ra cái cụ thể bấy nhiêu. Đối với toán học thì rõ ràng những lí luận và khái quát chung quanh khái niệm “tập hợp, ánh xạ, cấu trúc, mô hình” đã từng cung cấp những công cụ hiệu lực của những người nghiên cứu, trong đó có tôi”. Trong dạy học toán trong nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tượng” (Đavưđốp, 1973). Nhưng giáo viên cũng không thể nào không quan tâm khía cạnh: từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, giáo viên phải chú ý dùng phép tổng quát hoá, khái quát hóa để trình bày nhiều vấn đề toán học như: từ một tính chất trong tam giác vuông đặt vấn đề mở rộng sang tam giác bất kỳ; từ nhiều vấn đề cụ thể dường như rất khác nhau như bài toán tìm vận tốc tức thời và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm mà khái quát lên thành khái niệm đạo hàm. Từ một số bài toán cụ thể trong chương trình giáo viên gợi ý học sinh mở rộng và khái quát hoá thành những bài toán tổng quát hơn với những cách giải tổng quát hơn. 1.4.2 Phương pháp qui nạp – suy diễn Toán học khác với các khoa học khác ở phương pháp của nó. Trong khi các nhà vật lý, hoá học, sinh học,… cần có phòng thí nghiệm với rất nhiều máy móc, dụng cụ, 8 có khi rất phức tạp thì nhà toán học, trong đại đa số trường hợp, hầu như chỉ cần sách báo, bút với tờ giấy hay một viên phấn với cái bảng. Toán học dùng phương pháp suy diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí do: - Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian. - Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình học trong không gian n chiều (n > 3) là đúng hay không, vì không gian thực tế chỉ có ba chiều. Văn phong của toán học hiện đại là phương pháp tiên đề. Nội dung của phương pháp đó là lập ra cho bằng được một bảng khái niệm cơ bản (gồm đối tượng cơ bản và quan hệ cơ bản) và các “tiên đề” để rồi sau đó hoàn toàn dùng logic để định nghĩa bất cứ khái niệm mới nào và chứng minh bất cứ định lí nào. Các “khái niệm cơ bản” trong hệ tiên đề không được định nghĩa, mô tả gì hết. Điều này đưa đến một thuận lợi lớn là các “khái niệm cơ bản” ta tuỳ ý gán cho cái gì cụ thể cũng được, miễn sao các tiên đề của hệ đều nghiệm đúng, như vậy ta có một “mô hình” của hệ tiên đề đã cho. Đối với các hệ tiên đề, có ba yêu cầu: tính đầy đủ, tính độc lập, tính không mâu thuẫn. Điều này mở ra một khả năng sáng tạo ra các bộ môn toán học mới. Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng. Qui nạp lại liên hệ mật thiết với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất dự đoán; các kiến thức ấy biến thành tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo, khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả. 2. Sáng tạo và tư duy sáng tạo 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Sáng tạo là gì? Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không phụ thuộc vào cái đã có. Theo Solso R.L (1991) định nghĩa: “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận, hay cách giải quyết mới mẽ đối với một vấn đề hay một tình huống”, hay cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói: “Nghề dạy học là nghề sáng tạo nhất vì nó sáng tạo ra những con người sáng tạo, cho nên nhà trường phải vũ trang cho học sinh cái khả năng sáng tạo vô tận”. 9 Như vậy sáng tạo là một phẩm chất của tư duy, sáng tạo cần thiết cho bất kỳ lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người. Thực chất sáng tạo không chỉ là một đặc trưng chỉ sự khác biệt giữa loài người và sinh vật mà còn là một đặc trưng chỉ sự khác biệt về sự đóng góp cho tiến bộ xã hội giữa người này với người khác. Xét về bản chất, nguồn gốc của sự sáng tạo là năng lực độc đáo riêng, là sản phẩm vô thức. Để đánh giá cũng như đo lường năng lực sáng tạo của mỗi cá nhân, thường người ta đưa ra một tình huống với một số điều kiện rồi yêu cầu đề ra càng nhiều giải pháp càng tốt. 2.1.2 Sáng tạo toán học là như thế nào? Sáng tạo toán học là một khía cạnh của sáng tạo. Ở đây sáng tạo toán học chỉ yêu cầu học sinh giải được các bài toán không đòi hỏi những kiến thức vượt quá giới hạn chương trình, nhưng đòi hỏi sự tập trung chú ý nhất định với kỹ năng suy luận hay giải những bài toán vượt ra ngoài tiêu chuẩn thông thường. Biểu hiện sáng tạo toán học của học sinh trong giải toán có thể hiểu như sau: Đó là khả năng tiếp thu nhanh chóng các kiến thức mới, nắm vững một cách hệ thống sâu sắc và toàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng linh hoạt để giải quyết các tình huống vấn đề của bài toán bằng những phương thức mới. Trên cơ sở đó tìm tòi và phát hiện những cái mới hơn, toàn diện hơn để đi đến kết quả bài toán. Theo một số nhà nghiên cứu, những biểu hiện đặc trưng của sự sáng tạo toán học trong giải bài toán bao gồm: Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện đã biết, dự đoán các sai lầm hướng khắc phục. Nhìn thấy cấu trúc mới của bài toán, kết hợp các phương thức giải đã biết, tạo thành phương thức mới để giải bài toán. Nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có, tìm nhiều cách giải, luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ độc đáo và ngắn gọn. Nhận ra những chức năng mới trong việc mở rộng các bài toán, tìm tòi và xác định hướng giải cho các bài tập mở rộng. Biết kết hợp hoàn thiện các phương pháp đã có, vận dụng vào toán học, toán học hoá các tình huống thực tiễn, sản xuất kỹ thuật. Biết hệ thống hoá tri thức phương pháp khi giải toán, xây dựng các phương pháp, qui tắc cho một bài toán. Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá phương pháp giải cho những bài toán mở rộng. 2.1.3 Nguyên nhân của sự sáng tạo Đã từ lâu, các nhà nghiên cứu muốn đi sâu tìm hiểu bản chất của sự sáng tạo, dưới đây là các ý kiến tổng kết về nguyên nhân của sự sáng tạo: 10 - Cách giải quyết những nhiệm vụ phức tạp mà trước đó không giải quyết được, sẽ nảy sinh những người có đầu óc sáng tạo trong bất kì thời gian nào. Có người cho rằng sự khám phá của các nhà khoa học là sự khám phá ngẫu nhiên. Nhưng khoa học sinh lý học về lao động trí óc quan niệm rằng: “Đó là qui luật quán tính của tư duy”. Nghĩa là khi theo đuổi ý tưởng nào đó thì “luồng tư tưởng” sẽ tiếp diễn và đó là qui luật của sự sáng tạo. - Theo Gauss: Các ý nghĩ hay “ưa” xuất hiện trong thời gian đi dạo nhẹ nhàng, trong thời tiết có ánh nắng mặt trời, chỉ cần một ly rượu nhỏ là có thể làm mất hết những ý nghĩ đó. Muốn tư duy sáng tạo cần phải nắm được những qui luật khách quan của sự vật – đây là đối tượng nghiên cứu. Một nhà khoa học đã từng khuyên “Hãy suy nghĩ theo những qui luật khách quan về sự phát triển, chắc chắn bạn sẽ có sự cải tiến cao hơn nữa là sự sáng chế phát minh”. - Newton nói: “Thiên tài là lao động”, ở đây ông nói đến quá trình lao động kiên trì và bền bỉ như việc tích luỹ tri thức, khắc phục khó khăn. Còn T.Edison nói: “Trong những công trình của tôi có 99% là kết quả của lao động cực lực chỉ có 1% là cảm hứng, may mắn và tài năng”. - Phương pháp là điều kiện đầu tiên, điều kiện cơ bản nhất để hình thành sự sáng tạo. Hegen cho rằng: “Phương pháp là sự vận động của bản thân nội dung, vì vậy phương pháp nghiên cứu không thể tách rời nội dung”. - Phải có những điều kiện để nghiên cứu, nhiều khám phá nổi tiếng đã có thể không bao giờ thực hiện được nếu như các nhà khoa học không có những điều kiện để làm việc. - Phải biết làm việc một cách khoa học. Chẳng hạn như: + Bắt tay vào làm việc từ từ, nhịp nhàng không hấp tấp; + Làm việc theo trình tự theo hệ thống; + Có chế độ luân phiên giữa làm việc và nghỉ ngơi; + Kết hợp giữa lao động chân tay và lao động trí óc; + Rèn luyện chuyên môn thường xuyên và đều đặn. - Phải có lòng nhiệt tình hăng say lao động nghiên cứu. Việc sáng tạo là một quá trình sáng tạo công phu và phức tạp, đòi hỏi phải có “lòng hăng say cao độ”, có nhiệt tình công tác. Chiến công đòi hỏi toàn bộ năng lực sáng tạo. - Cần có sự ủng hộ của xã hội đối với lao động sáng tạo. Trong đó, gia đình là môi trường xã hội ảnh hưởng đến tâm lí trong lao động trí óc. Đối với người lao động trí óc, trong nhà cần có góc độ yên tĩnh để đọc, viết, suy nghĩ dễ dàng. Rất tiếc trong trường học hiện nay, xu hướng dạy học cho thế hệ trẻ biết tư duy sáng tạo vẫn chưa thực hiện rõ nét. 11 2.2 Cơ sở tâm lí của tư duy sáng tạo 2.2.1 Tư duy sáng tạo Theo tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Còn theo J.Danton (1995) cho rằng: “Tư duy sáng tạo là những năng lực tìm những ý nghĩ mới, tìm những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình”. Theo ông, một cách dạy và học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bao gồm một chuỗi chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”. Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong quyết định vấn đề”. 2.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo các nhà nghiên cứu, tư duy sáng tạo bao gồm năm thành phần sau đây: + Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. + Tính nhuần nhuyễn là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. + Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất. + Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. + Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic,… Do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lí, hài hoà, tạo ra cái mới. 2.2.3 Các giai đoạn của sự sáng tạo a) Giai đoạn chuẩn bị Ở giai đoạn này cần nghiên cứu có ý thức những vấn đề đặt ra, thu thập tư liệu, củng cố và tìm hiểu những thông tin có liên quan đến vấn đề cần giải quyết. Poncaré kể rằng: “Trong hai tuần liền tôi cố gắng chứng minh rằng không thể tồn tại một hàm số nào mà sau này tôi gọi là hàm số tự đẳng cấu. Tuy nhiên tôi đã không đúng, mỗi ngày làm việc ở bàn làm việc, tôi theo đuổi ý định đó một hoặc hai giờ đồng hồ, tôi nghiên cứu một số lớn kết hợp, nhưng tôi đã không đi đến một kết quả nào”. b) Giai đoạn ấp ủ Ở giai đoạn quá trình suy nghĩ ít bị sự kiểm soát của ý thức hơn giai đoạn trước. Từ ấp ủ đặt cho giai đoạn này gợi cho ta quá trình con gà mái ấp trứng: giữ cho trứng một nhiệt độ không đổi cần thiết và “chờ đợi” con gà nở. Đối với nhà toán học thì tư tưởng đã manh nha trong đầu óc không rời bỏ ông ta nữa, nó được lật đi lật lại mà 12 dường như không cần có sự cố gắng nào của nhà toán học. Poncaré viết: “Có một buổi tối trái với thường lệ, tôi uống một cốc café đen, tôi đã không thể nào chợp mắt được. Những ý tưởng chen chúc nhau, tôi cảm thấy hình như chúng va chạm nhau, không có hai tư tưởng nào móc nối với nhau để được một kết nối vững chắc”. c) Giai đoạn bừng sáng Đây là giai đoạn đột nhiên ta tìm được lời giải đáp cho vấn đề đặt ra. Poncaré kể: “Đến sáng thì tôi thiết lập được sự tồn tại một lớp các hàm ấy, loại hàm số tương ứng với một dãy siêu bội; tôi chỉ việc viết lại kết quả, và việc đó chỉ chiếm một vài giờ”. Đối với học sinh, khi giải bài tập đôi lúc nảy ra trong óc chúng hoàn toàn bất ngờ. Chúng đã mày mò thật lâu mà không tìm được tia sáng nào, nhưng bỗng trong óc chúng loé ra một ý tưởng hay, nhen lên một niềm cổ vũ như bỗng thấy như ấnh sáng bùng lên trong đêm tối mịt mù. Nảy ra ý hay chính là ánh sáng bừng lên bất thình lình, chiếu rọi vào những chi tiết trước đó, tưởng chừng như mơ hồ lộn xộn không tài nào nắm được, khiến chúng trở nên sáng tỏ, có trật tự có mạch lạc và hợp lí. d) Giai đoạn kiểm chứng Đây là giai đoạn có sự tham gia tích cực của ý thức để xét lại kết quả, khái quát hoá kết quả. Poncaré viết: “ Tôi muốn biểu thị những hàm số ấy dưới dạng một quan hệ giữa hai dãy số; tôi hoàn toàn có ý thức về tư tưởng này và đó là tư tưởng mà tôi suy nghĩ kĩ. Phép tương tự đối với hàm eliptic đã hướng dẫn tôi. Tôi tự hỏi những dãy số trên có tính chất gì nếu chúng tồn tại và tôi đã không vất vả lắm để xây dựng được những dãy số ấy”. 3. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh 3.1 Biện pháp 1: Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức Quan điểm này cho rằng, để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nap, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Trong đó, phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm. Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lí, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất các khái niệm, các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các kiến thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được. 3.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh 13 Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhạy cảm vấn đề. Trên cơ sở đó, để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo. Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: Những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận,… 3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp. Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập “mở”, học sinh phải tự lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các bài toán đã giải. 3.4 Biện pháp 4: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khóa. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải. 14 CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC 1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học Quá trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã học và phát huy tính tích cực sáng tạo. Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt trong dạy học toán. Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ học tập, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra kiến thức,… Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Giải bài tập là hình thức chủ yếu tập dượt cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất. Đồng thời, việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải quyết những vấn đề cụ thể. Giải bài tập có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo,… Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn Toán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980): Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới. Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh. 15