Tài liệu Luận văn thạc sỹ Vật lý Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HƯƠNG SỰ SINH CÁC RADION TRONG MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HƯƠNG SỰ SINH CÁC RADION TRONG MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG Chuyên ngành : VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS HÀ HUY BẰNG HÀ NỘI - 2014 2 Mục lục 1 TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ TRONG VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN 1.1 Ma trận tán xạ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S . . . . . . . . . 1.2 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Biểu thức tán xạ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 12 13 13 14 2 MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG CÓ HẠT RADION 25 2.1 Mô hình Randall Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Liên kết của radion với các photon . . . . . . . . . . . . . . 28 3 SỰ SINH CÁC RADION TRONG MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG 30 3.1 Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng . . . . . . 30 3.2 Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 KẾT LUẬN 41 3 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn thạc sĩ với đề tài: "Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng". Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành đến GS.TS Hà Huy Bằng - người thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo tôi tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các thầy cô Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy tham gia giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa học này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2014 Học viên Vũ Thị Hương 4 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ Hình 3.1: Giản đồ Feynman của quá trình e− γ → φe− . Hình 3.2: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ của quá trình e− γ → φe− vào khối √ lượng radion ở s = 3T eV . Bảng 3.1: Số sự kiện xảy ra với các giá trị khác nhau của khối lượng radion 5 MỞ ĐẦU Vật lý hạt là một ngành của Vật lý nghiên cứu về các hạt sơ cấp chứa trong vật chất và bức xạ, cùng với những tương tác giữa chúng. Vật lý hạt còn được gọi là Vật lý năng lượng cao bởi vì rất nhiều hạt trong số đó không xuất hiện ở điều kiện môi trường tự nhiên mà chỉ được tạo ra hay phát hiện trong các vụ va chạm giữa các hạt nhờ các máy gia tốc. Các nghiên cứu trong Vật lý hạt hiện đại tập trung vào các hạt hạ nguyên tử, là những hạt có cấu trúc nhỏ hơn nguyên tử. Nó bao gồm những hạt cấu thành nguyên tử như electron, proton, neutron (proton và neutron được tạo ra bởi các hạt sơ cấp gọi là quark); các hạt được tạo ra bởi quá trình bức xạ hay phân rã như photon, neutrino, muon; và một số lượng lớn các hạt ngoại lai. Có hai loại: hạt cơ bản hay còn gọi là hạt sơ cấp - là những hạt không thể chia nhỏ được nữa như electron hay photon và hạt tổ hợp - là những hạt được cấu thành bởi các hạt khác như proton và neutron, được cấu thành từ các hạt quark. Tất cả các hạt quan sát được cho đến nay và tương tác giữa chúng được mô tả đầy đủ bởi một phần của lý thuyết trường lượng tử gọi là Mô hình chuẩn (SM). Mô hình này giới thiệu 47 thành phần hạt sơ cấp, cùng với dạng tổ hợp của nó, do đó số hạt được nghiên cứu trong vật lý hạt lên tới con số vài trăm. Mô hình chuẩn của vật lý hạt là thuyết miêu tả về tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ cũng như các hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất. 6 Mô hình chuẩn là sự kết hợp của lý thuyết điện yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn lực điện từ) và thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD) của tương tác hạt nhân mạnh. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge, có nghĩa là chúng mô hình hóa các lực giữa các fermion bằng cách tạo ra các boson, có tác dụng như các thành phần trung gian. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp các hạt boson trung gian không thay đổi dưới một dạng biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge boson. Các boson trong Mô hình chuẩn là: • Photon, hạt trung gian truyền tương tác điện từ. • W và Z boson, hạt trung gian trong lực hạt nhân yếu. • 8 gluon, hạt truyền trung gian trong lực hạt nhân mạnh: 6 trong số các gluon được đánh dấu bằng các cặp "màu" và "đổi màu", 2 gluuon còn lại là cặp màu được "pha trộn" phức tạp hơn. • Higgs boson, hạt gây ra bất đối xứng trong các nhóm gauge, và cũng là loại hạt tạo ra khối lượng quán tính. Biến đổi gauge của các gauge boson có thể được miêu tả bởi một nhóm unita, goi là nhóm gauge. Nhóm gauge của tương tác mạnh là SU(3), nhóm gauge của tương tác yếu là SU(2)xSU(1). Vì vậy, Mô hình chuẩn thường được gọi là SU(3)xSU(2)xSU(1). Higgs boson là boson duy nhất không thuộc gauge boson, các tính chất của boson này vẫn đang gây nhiều tranh cãi. Graviton là boson được cho là hạt truyền tương tác của tương tác hấp dẫn nên không được nhắc đến trong Mô hình chuẩn. Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Có 12 dạng fermion khác nhau trong Mô hình chuẩn. Cùng với các hạt proton, neutron và electron, những fermion cấu thành nên phần lớn các vật chất. Mô hình chuẩn xác định mỗi electron là hạt cơ bản; proton và neutron là hạt tổ hợp, được tạo thành bởi các hạt nhở hơn có tên gọi là quark. Các hạt quark dính với nhau bởi tương tác mạnh. Mô hình chuẩn ở một mức độ đã được kiểm nghiệm thành công về độ chính xác và cung cấp tốt nhất những hiểu biết cơ bản hiện nay về các hiện tượng của vật lý hạt. Sự thành công của SM thật đáng kinh ngạc. Nó dự đoán sự tồn tại của các quank nặng nhất (charm, bottom và top) và các boson gauge Z, W trước khi chúng quan sát được bằng thực nghiệm. Mô hình chuẩn dự đoán các hạt W và Z với khối lượng 82GeV /c2 và 93GeV /c2 7 phù hợp với thực nghiệm. Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về 3 lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Mặc dầu mô hình chuẩn được công nhận là đúng thông qua những thí nghiệm kiểm chứng hiện đại nhất ngày nay. Tuy nhiên Mô hình chuẩn vẫn chưa thể trở thành một thuyết hoàn chỉnh trong vật lý cơ bản. Đó là do các nguyên nhân sau: • Mô hình chuẩn không đưa ra được lời giải thích thỏa đáng cho các giá trị của nhiều tham số. Mô hình này còn chứa 19 tham số tự do, như khối lượng của các hạt. Các tham số này không thể tính toán một cách độc lập. • Có rất nhiều lý do để tin rằng Mô hình chuẩn chỉ là mô hình cơ bản ở giới hạn năng lượng thấp khoảng 200 GeV, nó không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV. • Mô hình này không cung cấp một lý thuyết lượng tử tiên đoán của trọng lực. Nó không miêu tả tương tác hấp dẫn. • Những thách thức trọng tâm của vật lý hạt ngày nay là vật lý Higgs, vật chất tối và vấn đề bất đối xứng baryon. Không có cách nào SM có thể giải thích vật chất tối của vũ trụ hay vấn đề bất đối xứng baryon. Trong thực tế, quan sát thấy rằng gần ba mươi phần trăm năng lượng của vũ trụ là vật chất tối - khả năng cho sự tồn tại của các hạt ngoài SM ở vùng vật chất tối là khá cao. • Hiện tại, các số liệu về khối lượng của neutrino là những bằng chứng thực nghiệm đầu tiên của sự không hoàn thiện trong mô hình chuẩn. Theo Mô hình chuẩn thì neutrino không có khối lượng, nhưng các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm Super – Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng về sự dao động của neutrino khẳng định rằng các hạt neutrino có khối lượng • Mô hình này đang gặp một thử thách không nhỏ, đó là nghi vấn về sự xuất hiện của các hằng số không bền, như c hay e, hay cả hằng số mạng tinh thể. Nếu như các định luật vật lý được chứng minh có vị trí phụ thuộc và có thể khác nhau ở các tọa độ đặc biệt trong không gian, điều đó có nghĩa là tất cả các thí nghiệm sử dụng để chứng minh cho mô hình chuẩn đều không hợp lệ. Vì vậy các nhà xây dựng mô hình đã đưa ra các ý tưởng có thể mở rộng 8 mô hình chuẩn (với phạm vi năng lượng cao hơn hay khoảng cách nhỏ hơn). Công việc này được thúc đẩy bởi các bài toán nảy sinh ra từ những số liệu của thí nghiệm. Nó bao gồm siêu đối xứng, tiếp đến là bộ máy Higgs, hay mô hình Randall-Sundrum, là sự kết hợp của những ý tưởng trên và một số ý tưởng khác. Đã có rất nhiều sự quan tâm dành cho các mô hình vật lý trên thang yếu sử dụng các chiều thêm vào trong việc giải quyết các vấn đề hệ thống phân bậc. Gần đây, mô hình Randall và Sundrum (RS) được đề xuất có thể giải quyết vấn đề hệ thống phân bậc bằng việc tập trung tất cả các hạt trong Mô hình chuẩn trên brane IR. Trong mô hình RS, sự thăng giáng kích thước của chiều thêm vào được đặc trưng bởi một trường vô hướng, goi là radion, nó ổn định dạng của chiều thêm vào mà làm thay đổi rất bé các tham số và kích thích hấp dẫn thấp nhất trong khuôn khổ này. Các radion có thể bật ra trở thành hạt mới nhẹ nhất trong RS, điều đó có nghĩa là chứng minh sự tồn tại của radion khi kể đến đóng góp của nó vào tiết diện tán xạ toàn phần của một quá trình va chạm là một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS. Gần đây, một số tác giả cũng đã thảo luận việc tìm kiếm radion trong các quá trình ở Tevaron và máy gia tốc LHC. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Sự sinh các Radion trong mô hình chuẩn mở rộng”. Nội dung luận văn xem xét sự tạo thành của radion trong va chạm năng lượng cao e− γ , tính được tiết diện tán xạ vi phân toàn phần. Bài luận văn này bao gồm: Chương 1: Đưa ra một số kiến thức chung về ma trận tán xạ, tiết diện tán xạ. Chương 2: Trình bày về mô hình chuẩn mở rộng có hạt Radion. Chương 3: Tính tiết diện tán xạ vi phân toàn phần trong va chạm năng lượng cao e− γ . Từ đó rút ra nhận xét về khả năng tạo thành radion. Chương 4: Kết luận 9 Chương 1 TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ TRONG VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN 1.1 1.1.1 Ma trận tán xạ S Khái niệm Phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác là: i ∂Φ (t) = H (t) Φ (t) ∂t (1.1) trong đó H (t) là Hamiltonien tương tác, Φ (t) là vector trang thái tại thời điểm t. Giả sử tại thời điểm ban đầu t0 cho vector trạng thái ban đầu là Φ (t0 ), hãy xác định vector trạng thái tại các thời điểm t > t0 Phương trình (1.1) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất nên ta có thể viết nghiệm của nó dưới dạng: Φ (t) = S (t, t0 ) Φ (t0 ) (1.2) với S (t, t0 ) là toán tử tuyến tính. Thay (1.2) vào (1.1), lấy tích phân 2 vế ta được: S (t, t0 ) = 1 − i Zt dt1 H (t1 ) S (t1 , t0 ) t0 10 (1.3) Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (1.3) ta tìm được dạng của toán tử tuyến tính S (t, t0 ) ở dạng gần đúng như sau: S (t, t0 ) = ∞ X S n (t, t0 ) (1.4) n=0 trong đó S 0 (t, t0 ) = 1 S 1 (t, t0 ) = −i Zt dt1 H (t1 ) t0 S 2 (t, t0 ) = (−i)2 Zt0 Zt dt1 dt2 H (t1 )H (t2 ) t0 t1 Zt Zt0 ... n S n (t, t0 ) = (−i) dt1 t0 Zt0 dt2 ... t1 dtn H (t1 )H (t2 )...H (tn ) (1.5) tn−1 Nhận xét • S (t, t0 ) là toán tử Unita: S + (t, t0 ) S (t, t0 ) = 1 (1.6) • Công thức của S (t, t0 ) ở dang tổng quát (1.4) chứa các số hạng tích phân có cận dưới là t0 nhưng các cận trên lại khác nhau. Để thuận tiện trong tính toán, ta đưa biểu thức tổng quát của S (t, t0 ) về dạng sau: n S n (t, t0 ) = (−i) n! Zt0 Zt dt1 t0 Zt0 dt2 ... t1 dtn P [H (t1 ) H (t2 ) ...H (tn )] (1.7) tn−1 trong đó: P [H (t1 ) H (t2 ) ...H (tn )] = H (ti1 ) H (ti2 ) ...H (tin ) (1.8) với ti1 ≥ ti2 ≥ ... ≥ tin . Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do (các hạt không tương tác với nhau). Sau tương tác, các hạt 11 tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự do, nhưng chuyển động của các hạt sau tương tác khác với chuyển động tự do của hạt trước tương tác do có sự va chạm giữa hạt và bia. Khi đó ta coi t0 → −∞, t → +∞ và biểu thức của S n (t, t0 ) được viết như sau: S (+∞, −∞) = = Z ∞ X (−i)n n=0 n! t0 Zt0 t dt1 Zt0 dt2 ... t1 dtn P [H (t1 ) H (t2 ) ...H (tn )] (1.9) tn−1 Viết dưới dạng hàm mũ:  Z+∞ S ≡ S (+∞, −∞) = P exp −i dtH (t)   (1.10) −∞ 1.1.2 Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S Theo (1.2) ta có Φ (t) = S (t, t0 ) Φ (t0 ) nghĩa là vector trạng thái của hệ tại thời điểm t là Φ (t) có thể thu được nhờ tác dụng của toán tử S (t, t0 ) lên vector trạng thái của hệ ở thời điểm ban đầu là Φ (t0 ). Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm t0 → −∞, khi đó các hạt hoàn toàn tự do và vector trạng thái của hệ Φ (t0 ) = Φ (−∞) = Φi . Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t → +∞, hệ ở trạng thái mới Φ (t) = Φ (∞) liên hệ với trạng thái đầu bằng hệ thức: Φ (+∞) = SΦ (−∞) = SΦi (1.11) Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có thể coi Φ (+∞) như là vector trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Vector trạng thái Φ (+∞) của hệ được khai triển theo bộ đầy đủ các vector trạng thái của hệ Φn như sau: X Φ (+∞) = Cn Φn (1.12) n với Cn = hΦn |Φ (+∞)i = hΦn |SΦi i 12 (1.13) Tại thời điểm t → ∞, xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái Φn được tính theo công thức: Wn = |Cn |2 = |hΦn |SΦi i|2 (1.14) Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái Φi thì xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối Φf là: Wi→f = |Cf |2 = |hΦf |SΦi i|2 (1.15) Để tìm Wi→f ta cần tính yếu tố ma trận: S i→f = hΦf |Φi i ∞ P Như vậy ma trận tán xạ S (t, t0 ) = (1.16) S n (t, t0 ) có yếu tố ma trận là: n=0 n Si→f = S n (t, t0 ) = Zt Zt0 Zt0 (−i)n = dt1 dt2 ... dtn hΦf |P [H (t1 ) H (t2 ) ...H (tn )]| Φi i n! t0 t1 tn−1 (1.17) Khi không có tương tác Sf0i = δf i (1.18) Khi có tương tác, yếu tố ma trận Sn được viết dưới dạng sau Sn = δf i + iRf i (1.19) Sf i = 2π 4 δ 4 (Pf − Pi ) Mf i (1.20) trong đó ma trận 1.2 Tiết diện tán xạ 1.2.1 Khái niệm Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau: P =σ 13 1 A trong đó σ là xác suất tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ σ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn. Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán xạ R được định nghĩa như sau: R = F.A.Nt .P (1.21) trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian: F = ni vrel (1.22) với ni là mật độ hạt tới,vrel là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau (vrel = vab ), Nt là số hạt bia. Khi đó biểu thức tốc độ tán xạ R được viết lại như sau: R = ni vrel Nt (1.23) Trong nhiều trường hợp ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối. Ta có khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân dσ dΦ . Do góc khối dΩ phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ dσ vi phân dΩ phụ thuộc vào hệ quy chiếu. 1.2.2 Biểu thức tán xạ vi phân Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i (Pi ) đến trạng thái f (Pf ) với i 6= f là:
2 Wf i = |Sf i |2 = |Rf i |2 = (2π)8 δ 4 (Pf − Pi ) |Mf i |2 (1.24) Ta có
2
2 δ 4 (q) = δ 4 (q) δ 4 (0) , δ 4 (q) = δ 4 (q) δ 4 (0) (1.25) trong đó 4 4
δ (0) = lim δ (q) = lim q→0 q→0 Z 1 iqµ xµ dx e = (2π)4 4 14 Z d4 x VT = (1.26) (2π)4 (2π)4 Do đó
Wif = (2π)2 δ 4 (pf − pi ) |Mf i |2 V T (1.27) Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là:
Wf i = (2π)4 δ 4 (pf − pi ) |Mf i |2 V T ratef i = Biến đổi công thức trên về dạng sau Z n X Y
d3 pk n+1 4 2 4 ratef i =(2π) δ (pf − pi ) |Mf i | 3V (2π) k=1 (1.28) (1.29) tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối. Mặt khác: X ratef i =ni vrel Nt σf i = 1 vrel σf i V (1.30) So sánh (1.29) với (1.30), ta có: Z n Y
d3 pk V n+2 4 2 4 (2π) δ (pf − pi ) |Mf i | σf i = vrel (2π)3 (1.31) k=1 ở đây 1 V n+2 = 2Ea 2Eb n Q (1.32) 2Ek k=1 Từ đó suy ra (2π)4 σf i = 4Ea Eb vrel Z n Y
2 δ (pf − pi ) |Mf i | d3 pk n 3 Q k=1 (2π) 2Ek 4 (1.33) k=1 trong đó Ea , Eb là năng lượng của các hạt tới a, b, và vrel = vab = va − vb là vận tốc tương đối giữa 2 hạt 15 (1.34) Tiết diện tán xạ vi phân n Y |Mf i |2 4 4 dσf i = (2π) δ (pf − pi ) 4Ea Eb vrel k=1 d3 pk n Q (2π)3 2Ek (1.35) k=1 Hay |M |2 dσ = dΦf 4F (1.36) trong đó F = Ea Eb vrel   ~  vi Flab = P (k) mb   ~  Fcm = P (k) (Ea + Eb ) (1.37) n Y d3 pk dΦ = (2π) δ (pf − pi ) n 3 Q k=1 (2π) 2Ek 4 4 (1.38) k=1 Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có: |M |2 dσ = dΦf S 4F (1.39) trong đó S= Y 1 li ! i (1.40) ở đây li là số hạt đồng nhất loại i tại trạng thái cuối. Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là (p1 , p2 ), khối lượng (m1 , m2 ), cho (n − 2) hạt ở trạng thái cuối có xung lượng (p3 , p4 , ..., pn ), khối lượng (m3 , m4 , ..., mn ). Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là: dΦf (p3 , p4 , ..., pn ) = d3 p~3 d3 p~4 d3 p~n = (2π) δ (p3 + p4 + pn − pi ) ... (2π)3(n−2) 2E3 2E4 2En 1 4 4 16 (1.41) với pi = p1 + p2 . Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó (ϕ, θ) trong góc khối dΩ = dϕd cos θ thì Z |M |2 dσ = dΦf (1.42) 4F dΩ Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ với hai hạt tới, hai hạt ra): Tại góc cố định (ϕ, θ), kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy tích phân đối với toàn p4 và toàn E3 là Z Z 1 d3 p~3 d3 p~4 4 4 dΦf (p3 , p4 ) = (2π) δ (p3 + p4 − p1 − p2 ) (2π)6 2E3 2E4 dΩ dΩ dΩp~3 2 d |p~3 | = 16πE3 E4 d (E3 + E4 ) (1.43) Do đó dσ |M |2 p~3 2 d |p~3 | = dΩ 64π 2 F E3 E4 d (E3 + E4 ) (1.44) với E32 − p~3 2 = m23
E42 − p~4 2 = E42 − p~1 2 + p~2 2 − p~3 2 = m24 (1.45) Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung lượng chỉ thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s, t và u được gọi là các biến Mandelstam được định nghĩa như sau: s = (p1 + p2 )2 = (p3 + p4 )2 t = (p1 − p3 )2 = (p4 − p2 )2 u = (p1 − p4 )2 = (p3 − p2 )2 (1.46) Do đó s + t + u = m21 + m22 + m23 + m24 + 2p1 [(p1 + p2 ) − (p3 + p4 )] 17 (1.47) Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa như sau: p1 = (E1 , p~) , p2 = (E2 , −~p) , p3 = (E3 , ~q) , p4 = (E4 , −~q) (1.48) Áp dụng các định luật bảo toàn năng xung lượng ta được s + t + u = m21 + m22 + m23 + m24 (1.49) Ta có  q  q 2 2 2 d m24 + |~q|  d (E3 + E4 )  d m3 + |~q| = E3 E4  + E3 E4  d |~p3 | d |~q| d |~q| = |~q| (E3 + E4 ) = |~q| (E1 + E2 ) (1.50) Mặt khác Fcm = |~q| (E1 + E2 ) √ s = (E1 + E2 ) Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau:   dσ 1 |~q| = |M |2 2 dΩ cm 64π s |~p| (1.51) (1.52) (1.53) Chú ý rằng
1 |~p|2 = λ s, m21 , m22 4
1 |~q|2 = λ s, m23 , m24 4s (1.54) (1.55) Với 2  λ (a, b, c) = (a − b − c) − 4bc = a − √   √ √ 2 √ 2 b+ c a− b− c (1.56) Mà t = (p1 − p3 )2 = m21 + m23 − 2p1 p3 = m21 + m23 − 2E1 E3 + 2 |~p1 | |~p3 | cosθ = m21 + m23 − 2E1 E3 + 2 |~p1 | |~q| cosθ 18 (1.57) Ta suy ra dt = 2 |~p| |~q| cosθ (1.58) Ta có góc khối dΩ = 2πdcosθ = π dt, 0 ≤ θ ≤ π |~p| |~q| (1.59) Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi phân theo các biến s và t như sau:   dσ |M |2 = (1.60) dΩ cm 64π|~p|2 Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay: X  2 X X  2 1 M  = M  |M |2 → (1.61) (2s + 1) (2s + 1) 1 2 s s s s s s 3 4 3 4 3 4 Có thể viết lại (1.53) dưới dạng sau:   dσ |M |2 = dΩ cm 16πλ (s, m21 , m22 ) (1.62) Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm: pµ1 = (E1 , p) ; pµ2 = (m2 , 0) ; pµ3 = (E3 , q) ; pµ4 = (E4 , p4 ) (1.63) Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau: E4 = E1 + m2 − E2 p24 = (p − q)2 = p2 + q 2 − 2 |p| |q| cos (θlab ) d (E3 + E4 ) E3 E4 = |q| (E1 + E2 ) − |p| cos (θlab ) d |q| Thay (1.64) vào (1.44) ta được   dσ |M |2 |q| 1 = dΩ cm 64π 2 m2 |p| (E1 + E2 ) − |p| cos (θlab ) |q| 19 (1.64) (1.65) Trong trường hợp m1 = m3 , m2 = m4 : " #  
|M |2 |q| p2 dσ 2 = 1− 2 m2 E3 − m1 2 2 2 dΩ cm 64π m2 |p| 2m2 |q| (1.66) Công thức chung Có 2 trường hợp sau: Trường hợp 1 : 1 + 2 → 3 + 4 + ... + n 1.s dσ = q 4 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 X |M |2 (2π)4 δ 4 (p1 + p2 − p3 − p4 − ... − pn ) . d3 p~3 d3 p~n d3 p~4 . ... (1.67) (2π)3 2E3 (2π)3 2E4 (2π)3 2En Trong đó s = 1 j! với j là số hạt đồng nhất ở trạng thái cuối q pi = (Ei , p~i ) , Ei = m2i + p~i 2 (1.68) Trường hợp 2 : 1 → 2 + 3 + ... + n s X dσ = |M |2 (2π)4 δ 4 (p1 − p2 − p3 − ... − pn ) . 2m1 d3 p~3 d3 p~n d3 p~2 ... . (2π)3 2E2 (2π)3 2E3 (2π)3 2En (1.69) p1 = (m1 , 0) chọn p~1 = 0 Các trường hợp đặc biệt Có 2 trường hợp sau: Trường hợp 1 : 1 → 2 + 3 Ta có: p~1 = 0 ⇒ p21 = E 2 − p~1 2 /E = m/ = m21 − 02 = m21 (1.70) δ 4 (p1 − p2 − p3 ) = δ (m1 − E2 − E3 ) δ 3 (−p~2 − p~3 ) (1.71) Vì Ei2 2 − p~i = m2i ⇒ Ei = 20 q m2i + p~i 2