Mô tả:
(iii) là hiển nhiên vì - logỗ (z, dQ ) — + oo khi 2 — 30.. > ¥ (iii) (i) Giả sử z° G íỉ và u € c n. Ta cần chứng minh hàm 2 I > —logỗ (z° 4- rcư, ỡ ũ ) —• là điều hòa dưới trong mọi hình tròn D = [ z ữ + TU) : |r | < r} c c Q. G iả sử u là hàm liên tục trên D điều hòa trong D sao cho —l ogổ( z ° + TU d ũ ) < J, u (t ), |t| = r hay ó (z° + TU, 00 .) > eu[T\ |r| -- r (1) ^1 ^ . Chọn hàm / liên tục trẽn ĩ) và chỉnh hình trong D sao cho u — Ref . Hàm như vậy tồn tại do D đơn liên. Viết (1) trong dạng —logỗ (z° \- TU CẴÌ) < R e f ( r ) , V|r | — V (2). J, - l.Jị. 11 M iề n giã lòi Muốn chứng minh ( 2 ) thực hiện trên Ịrị < r. Dối với mỗi a £ c n với ố (a) < 1 xct với mỗi 0 < A < 1, xét ánh xạ r H) ’ ° -f + \a ẽ ~ ^ T\ Ir I < r. Ta kí hiệu D \ là ảnh của nó. Rõ ràng Do = 0 . Đ ặt A = {() < A < 1 : D \ c rỉ} . Hiển nhiên A là tậ p COI1 mở của [0, 1], Ta kiểm tr a lại A là đóng trong [0, 1] và vì vậy A = [0, 1], Đặt K = 2° + ru + A ^ T) : | | = r, 0 < r < 1 ; ae~ r . Bơi ( 1 ) nên K là compact trong íỉ, nếu ip G p (ĩì) thì r H -> ip là diều hòa dưới trong một ^2° + TC + J \ a e ~ ^ T^ lãn cận của |r | < r. Do đó + TU + Aae~^(T)) < supip, |r | < r, I v ' CÓ nghĩa là Da c K n, VÀ € A. Do nên suy ra A, như vậy D ị c fỉ. Đó là K Q lei com pact tiíơng đôi tron§ 0 z ° + TU + \ a e ~ f{T) J e n nếu ỗ (a ) < 1 và |r | < r. Vậy thì ỗ (z° 4- TU!, d ó ) > e ~ ^ T\ |r | < r hay — logỗ (z° + TUJ, â í ì ) > R ef ( r ) , |r| < r. Vậy (i) dược chứng minh. □ Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.2. ( M iề n g iả lồi) Miền íì c c n được gọi là miền giả lồi nếu nó th ỏ a m ãn m ột trong ba điều kiện tương đương của định lý trên. D ị n h n g h ĩ a 1.4.3. ( M iề n g iả lồi c h ặ t) Miền Q c c n được gọi là miền g iả lồi c h ặ t n ế u t ồ n t ạ i h à m (/? n h ư t r o n g đ ịn h lý tr ô n v à có clạng t o à n phương xác định dương, nghĩa là £ 1 < j, k < n iẼầí{)x k- c(2)è w 2> °’ z ,T 1 ở dó < là hàm liên tục, dương trên íì. ■ i=\ 15. 1.5 H à m peak 12 H àm peak Đ ịn h n g h ĩ a 1.5.1. Cho íì là miền giả lồi trong C '\ A là đại số các hàm trên Q. Ta nói, điểm p € íì là điểm peak của A nếu có một hàm f E A thỏa m ãn f (P ) = 1 và \f {z)\ < 1, V z € Í Ì \ { P } . Khi đó, hàm / được gọi là h à m p e a k t ạ i A. Chương 2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi của các miền trong 2.1 cn Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashi Cho A (a, r) = { z € c n : \z — a\ < r } , A (r) = A ( 0 , r) và A = A (1). Cho D là m ột miền của c n, ta kí hiệu K o (z, X ) là độ dài Kobavashi cực nhỏ của vecto tiếp xúc X G TzC n tại điểm z £ D : K d { z , X ) = i n / { - > 0 : 3 h : A — D chỉnh hình, h (0) = z, h' (0) = r . X) . Nếu » 7 : [0, 1] -Ạ D là một dường cong lớp c 1 trong D thì độ dài Kobayashi c ủ a n ó là Id (7) = J K d ( i (í) ; í (í)) dt. Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm a, b £ D là Kobdistũ (a, b) = i n f {ỈD (7) : 7 ; [°, 1} - > D e c \ 7 (0) = a, 7(1) = 6} Nếu f : D 1 — £>2 là ánh xạ chỉnh hình giữa các miền D i, />2 thì theo bổ » đề Schwarz-Pick ta có K o b d is to ! (a, 6) > K o b d is to 2 ( f ( a ) , / ( 6) ) , tt, í) G Di, X ) > K lh Ụ (z) ■ f (z) x ) , z € D ,, , X e T ;C". Ta xem D là một miền bị chặn của C" và Do c D\ làtập con mở của 1) sao cho mỗi điểm z E tồn tại một lân cận mở ư z trong C" mà 13 . 2.1. Vz 11 Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashỉ n Dị — U : n í ) h o ặ c tổ n g q u á t h ơ n Ư z n D I là h ơ p t h à n h c ủ a n h ữ n g phần bù liên thông của ư~ n D. Nói riêng, Do có m ột khoảng cách dương tới phần bù liên thông của D\ trong D. Ta kí hiệu d ( z ) là khoảng cách Euclid từ z 6 D đến ỞD. Dỗ thấy, K p 1 (z, X ) > K d { z , X ) , zE D i , X G T:C n.Ngược lại, t a giả sử rằng mọi ánh xạ chỉnh hình h :A — D thỏa mãn lì (0) £ > ỠD n 3 D q là hằng số thì bởi định lý Montcl suy ra: lim A n ( ;:: x ) z ẽ L>0 I\ D\ dí) X) = l , x e C - \ {«} ( 2 . 1 ). T a sẽ chỉ ra rằng nếu giảm nhẹ giả thiết sẽ không tồn tại ánh xạ h để suy ra ước lượng ( 2 .2 ) và đẳng thức (2 . 1 ), kết q u ả đó sẽ rõ ràng hơn trong trường hợp miền giả lồi chặt (và đúng, chẳng hạn trường hợp lồi hình học chặt). Ta đưa ra tính chất (*) như sau: (*) Mọi điểm 2 € dDo n d D đều có một lân cận mở Vz trong c n thỏa mãn: Với mọi r/ > 0, tồn tại hằng số c > 0 phụ thuộc vào 77 sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình h : A — Vz n > D \ , t a có (ICI < 1 - C d ( h ( 0 ))) =* ịh(C) - /.(0)1 < ,Ị. D i n h lý 2 . 1 . 1 . Nếu tính chất (*) thỏa mãn thì tồn tại một hằng số c > 0 sao cho VỚI mỗi z G Dị) và X G Tzc n K d { z \ X ) > (1 - c d ( z ) ) . K D l ( z ; X ) ( 2 .2 ). ước hcợng này tốt nhất nếu ta chọn dược hằng số c thích hợp, phụ thuộc vào A), ĩ)\, D. Chứng minh. Cố định điểm p E d D 0 n d D và gọi Vp là lân cận mở của p Iihư ở trong tính chất (*). Thu nhỏ D nếu cần ta có thổ giả sử Vp n D\ là hợp của những phần bù liên thông của Vp n D. Khi dó, tồn tại một lân cận đủ nhỏ V của p và một hằng số d £ (0, 1) sao cho với mỗi z € V n D, 13 (z, d) n Dị c Vp n Dị (ở dây B (z, d) là khối cầu tâm z,bán kính d). Định lý sẽ đirợc chứng minh nếu ta tìm dược m ột hằng số K > 0 sao cho. với mọi ánh xạ chỉnh hình I). : A — D với h (0) E V ta đều có: » h (A [ Kd(h(0))) c Dị. 2 ‘ .1. 15 D ịa phương hóa của khoảng cách K obayashi Ta giả sử D có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng 1. Cho £ > Ị) — p ( e ) là số lớn n h ấ t t r o n g [0, 1] s a o c h o | / i ( s ) — h (0)1 < 0, gọi fi, với h là ánh xạ chỉnh hình h : A — D, h ( 0 ) € V, d ( h ( 0 )) < £ và |£| < p, do » đó h (Ap) c D\ . Hiển n h i ê n p > d, bởi bổ đề Schwarz. T ừ tính chất (*) t a suy ra tồn tại c > 0 sao cho Ih (£) — h ( 0)1 < ị nếu d (h ( 0 )) < £ và líl < s - Ce. T a có log \h (£) — li (0)1 < 0 trên đĩa đơn vị, và nếu p < 1, ta đặt d = su p Ih( Z) - /ỉ. ( 0)1 líl-p với Ìì nào đó. Bới bổ đề ba đường tròn H adam ard, ta suv ra hàm log sup \h (£) — h (0)1 líl = r là hàm lồi của lo g r. Do đó log (p - Ce) lo g s Nếu t a chỉ xét £ < > log p log d — (do áổ p — C s > ị ) thì ta nhận được: 7 llogH + 2 C | > ỊlogpỊ |l o g f | |logd| và do đó d. lo g 2 □ Ta suy ra, p > 1 — K.E. Định lý 2.1.1 được chứng minh. B ố đ ề 2 .1 .1 . Cho ip : R + — R + là m ột hàm tăng, liên tục, (p (0) = > 0 . Giá sử với mọi A £ ỞD\ n d D , tồn tại hàm Pa € c ( D ị ) n 0(^i), \Pa \ < 1 trên D \ {1 là hàm peak thỏa mãn /} Ci|l - P A ( z)\ < \ z - A\ P a (z ) \ ) , z € Dì (2 .3 ). Khi đó, tính chất (*) thỏa mãn (hằng số c không phụ thuộc A). C h ú ý. Hàm Pj\ là hàm peak trẽn D \, không là hàm peak trên D. Gần mọi (liêm biên giã lồi chặt của D, (Uều kiện (2.3) thỏa mãn với ip(x) — ự x rnà ta có thể thấy tính lồi địa phương của d D gần điểm đã cho. Chứng minh. Kết q u ả sau đây là m ột hệ quả đơn giản của bổ đồ Schwarz trôn A, ta thừ a nhận chứng minh: Cho A > 0 , khi đó tồn tại hằng số 2.1. 16 D ụi phương hóa của khoảng cách K obayashi C \ > 0 sao cho với mỗi C > 0 và mỗi ánh xạ chỉnh hình (J : A — A > thỏa m ãn |1 — (0)1 < £, ta có (líl < 1 - c,.e) => |1 - 5,(01 < A (2.4). C h o 7/ > 0 n h ư t í n h c h ấ t (*), c h ọ n A > 0 t h ỏ a m ã n 2ự) (A) = ĩ]. C h o C \ là hằng số mà ở đó (2.4) thỏa mãn. Giả sử h : A — D \ là chỉnh hình, // (0) € Do và £ = d ( h ( 0)). Chọn > một diem A £ d D\ n d D sao cho: \h (0) — A\ = £. Ta chỉ cần xét £ đủ nhỏ sao cho £ < 2 ' T ìf (2-3) ta suv ra |1 - PA ( h ( 0))| < f - , C\ áj) dụng (2.4) cho hàm q — Pa -Iỉ ( l í l < 1 - C A- Ì : A — A, t a suy ra » =H1 - PA ( h ( m < A. Do đó, với 1^1 < 1 — C \ —, ta có \ h ( í ) - h ( 0 ) \ < |/ » ( í ) - / l | + |/i( 0 ) - .4 | <
kiện D im jỳ '^ - d x < oo. Giả sử với mỗi điểm A E d D \ n d D tồn tại một hàm P a € c (D ) n 0 ( D ị ) , \P a \ < 1 trên D \ \ {-4}, là hàm peak tạt A và thỏa mãn: Cị |1 - PA ( z ) I < \z - A\ < i p{\ - \P a (-2)1), z € D l Khi đó, với mỗi diêm Ị) thuộc phần trong tương đối của d D \ n ỜD, tồn tại một lân cận Ư của p và một hằng số K sao cho K o b d isto iz; D \ D l ) > - l 2 o g d{z) K, z e u n Dị (2.5). 2 1 17 Đ ịa phương hóa của khoảng cách Kúbayciòhi chúng minh. Từ bổ đề 2.1.1 và định lý 2.1.1, ta có thổ chọn Do c D 1 sao cho điểm p là điểm trong tương đối của dDo n OD và ước lượng ( 2 .2 ) thỏa mãn. Gọi Ư là một lân cận đủ nhỏ của p, Ư n Dị c D() sao cho với mỗi z £ ư n Dị tồn tại một điểm gần 2 nhất A z € dD( j n OD thỏa m ãn in f \A X - z'\ > 6 > 0 , ơ đó ố độc lập với z. z' € D \D q 7 (0 ) Cho 7 : [0, 1] — > là một đường trong lớp c 1, € ỠD 0 n D. 7 ( 1 ) € ư n Do, 7 (t) G D q với t > 0 . Cho A € d D 0 là điểm gần 7 (1) n h ấ t trên d D và P \ G c ( D L n 0 ( Dị ) là hàm peak tại A. Ta kí ) hiệu A (í) = P 4 (A (í)) là đường tương ứng trong A và đặt £ (t) — |A (£)|. Ta cỏ th ể gỉa sử rằng P 4 không có khống điểm trên Do bởi Ẹ thuộc lớp c l . T heo đinh lý 2.1.1 ta có J Id (7) — K d ( l i t ) - , í {tỶ)dt - fo 1 (- c d ('y(t ))) K Dl (7 (í); 7 (o) dt. Do những ánh xạ chỉnh hình làm giảm khoảng cách Kobayashi nên ta có Bởi giả thiết ta cũng có, 1 - cd (7 (í)) > 1 - c |7 (/) - A\ > 1 - ct p( l - |P ,i(7 (* ))l) > 1- CV ( 1- í (< )), và t a có thể giả sử rằng biểu thức cuối là dương. Do dó, h (7) Tích phân th ứ n h ất - - l o g - - — - l o e ------------- — - ■ 2 1 ( 1) í 2 6 1 - ( (0 ) GẦŨ 'ìCLCCb 5 1 2 I 18 D ụi phương hóa của khoảng cách K ubayashi Ta có: 1 - £ ( 1 ) = 1 - |P, 1 (7 ( 1 ))| < ^/(1 ) — — c1 = ‘ h Ả D l' Ẳ c1 | P 4 ( 7 (0 ))| > ¥ > -'(1 7 (0 ) - -t|) > ¥>-1 (<■ >) 1 - í(0 ) = 1 Do đó: / o ( 7 ) ằ 2 l o g rf( 7 (I)) - K' với A' = ị ( lo g - + i o g - 4 n ) + ° í — d x 2 V C\ ụ > (7 )/ ./() X Định lý 2.1.2 được chửng minh. □ H ệ q u ả 2.1.1. Cho D là miền bị chặn trong c n với d D là giả lồi chặt lớp c 2 trong một lân cận của hai điểm phân biệt w°, w l E d D . Khi đó, tồn tại một hằng số K sao cho K o b d is to (a, b) > — - l o g d( a, d D ) — - l o g r f ( 6, d D ) — K ề é i m ề* m với mỗi điểm a đủ gần w° và điểm b đủ gần w l . Chứng minh. Mỗi đường 7 trong D bắt đầu từ a và kết thúc ở 6 đều phải di qua những lân cận của IU0 và WẢ Do vậv hệ quả dược suy ra từ định lý . 2 . 1 .2 . □ M ệ n h đ ề 2 .1 .1 . Nếu D là một miền mà d D thuộc lớp c l +£ (e > 0) gần điểm A € d D thì tồn tại một lăn cận Ư của A vàmột hằng số c G IR sao cho VỚI m ọ i Zo, Z\ € D n ư : 1 1 1 1 1 ĩ< obdist n {zQ Zi) < 2 ^ 2 [o g J ( ~ ) ~ 2 , j =0 V log j =0 / J 1 d ( z j ) + \zo - z1 Biổu thức th ứ hai mô tả sự khác nhau của khoảng cách Kobayashi giữa h a i đ i ể m ZQ, Z\ khi ít n h ấ t m ộ t Zj tiế n đ ế n d D ị t ù y v à o liệu 1^0 — Z\ \ có tiến đến 0 hay không? Chứng minh. Ta lấy Ư là một khối cầu tâm A, bán kính ị) > 0; u là khối cầu đóng, bán kính 4() tâm A. Chọn ị) đủ nhỏ đổ é)D n u là một m ặt liên t h ô n g lớp ổ 1 +s v à t h ỏ a m ã n hai t ín h c h ấ t s a u : 2.1 19 D ịa phương hóa của khoảng cách Kobayaatu i) Với V/; £ ỎD n Ư ta ký hiệu Up là vec tơ pháp tuyến đơn vị của Ỡ D tại Ị), khi đó ịìip — IIa\ < ịii) Với mỗi ố £ [0, 2!> và z & \ D n ư, p £ dD n u : 3Ô z + ôrip £ D v ầ d ( z + ổnp) > — . 4 Cho 2o, ~1 là các điểm trong D n u ,với j = 0 , 1 ; cho kỳ trên OD có khoảng cách nhỏ nhất đến Zj ( d ( z j ) = Zj — Zj + \zq — Z\ \ n a Khi đó, ta có ctj \zj là điểm bất — I). Đ ặt 1 j =0 Vé phải của biểu thức dễ thấy bị chặn với Zo, Z\. Chú V rằng \zq — Zi\ < 2p vào ii) và \zq — Z\ \ < \ \zo — 2 i | , dựa hình từ c lên c n định nghĩa bởi ĩp (£) = { í G c , min ( 1 1, 1 — 1 |) < | } là tập ^ ^ D, '0 ( 0 ) = Z(J, t/’ ( 1) = Z\ . Do đó trẽn bởi một hằng số độc lập => d ( z j ' ) > I \zo — 2 i|, dựa vào i). Cho 'ộ là ánh xạ chỉnh zỏ + € (zi — z ó ). Cho 0 = mở trong c , khi đó V; ( 0 ) c K o b d is tp (^Z , Zi j < Kobdistợị (0, 1). o Đổ kết thúc chứng minh, ta cần tìm chặn trên của K obdisti) (zj, z'j), (j = 0, 1). Cho ộ j là ánh xạ chỉnh hình từ c đến cn,(Ị)j : £ — » c\j + £na , với rtj như trôn. Khi đó C \i)Ỹ 1c I • N ế u c là h ằ n g số p n ư. c ố định c và cố định miền thích hợp C Q đố i x ứ n g với p h ầ n th ự c n h ậ n đ ư ợ c t ừ việc là m n h ẵ n Ớ Ư tr o n g Ư, CQ một lân cận đủ nhỏ nếu có hai điểm góc. Ta có Kobdi s t . pị z j , Zj ) < Kobdi st u ( d ( z j ) , d ( z j ) + \z0 + 2i|) .