Tài liệu Luận văn thạc sĩ Về khoảng cách kobayashi của miền trong Cn

  • Số trang: 30 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 300 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Tham gia: 31/07/2015

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NH IÊ N LƯU V ĂN N G Â N VỀ K HO ẢN G CÁCH KOBAYASHI C Ủ A M IỀ N T R O N G cn C h u y ê n n g à n h : TO ÁN GIẢI TÍCH M ã s ố : 6 0 4 6 01 LU Ậ N VĂN T H Ạ C s ĩ K H O A H Ọ C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC P G S .T S . N G U Y Ễ N Đ ÌN H S A N G H à N ộ i - N ă m 2012 1 Lời cảm ơn Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy P G S . T S . N g u y ễ n Đ ì n h S a n g . Nhăn dip này, tôi xin được gửi tới thầy lời cảm chân thành và sâu sắc nhất. Tôi củng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy T S . N i n h V ă n T h u đã bỏ công sức đọc bản thảo và cho tôi nhiều ý kiến chỉnh sứa quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt hơn bản luận văn này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết, ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học thuộc trường DH K H T N - DH QGHN đã chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian tôi học tập tại trường. Nhãn dip này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khoả luận này. Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Học viên L ưu V ăn N g ân 9 D a n h m ụ c các kí hiệu D an h mục các kí hiệu cn không gian phức n - chiều c ( /, z°) tập dinh của f tại z° Kohdisto (o , b) khoảng cách Kobayashi giữa hai (liểm a, I) E D FSII (íì) không gian các hàm đa điều hòa Rr ỉ không gian thực n - chiều ■ kết thúc chứng minh hoặc ví dụ. dướitrẽn Í2 M ục lục Lời c ả m ƠI1 .................................................................................................. D a n h m ụ c các k í h i ệ u ......................................................................... Lời n ó i đ ầ u .................................................................................................. số k iế n t h ứ c c h u ẩ n bị Hàm chỉnh h ì n h ................................................................................ Hàm đ a điều hòa ............................................................................. Giả khoảng cách K o b a y a s h i........................................................... Miền giả lồi ....................................................................................... Hàm p e a k ........................................................................................... 1 2 4 6 6 7 7 9 12 ] M ột 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 ư ớ c lư ợ n g k h o ả n g c á c h K o b a y a s h i c ủ a các m i ề n t r o n g c ri 13 2.1 Dịa phương hóa của khoảng cách K o b a y a s h i.............................. 13 2.2 Ước lượng khoảng cách Kobavashi trong miền giả lồi chặt 20 2.3 Các ví dụ ...........................................................................................25 K ết l u ậ n ..........................................................................................................28 T à i liệ u t h a m k h ả o ................................................................................. 29 3 4 Lời nói dầu Lời nói đầu Một định lý cổ điển của C arathéodory phát biểu rằng: mọi ánh xạ song chỉnh hình f ■D1 D '2 giữa hai miền trong m ặt phẳng phức bị chặn bởi những dường cong .Iordan đóng đều có thể mở rộng được đến một đẳng cấu từ D\ lên D ‘2 — > c, Có nhiều mở rộng cho kết quả của định lý trên lên những miền khác nhau của Nếu D 1, D 2 là những miền giả lồi bị chặn của € n với biên lớp c 2 và nếu khoảng cách Kobayashi không bị chặn trên D ‘. tăng nhanh 2 cn. gần biên của D ‘ , { K d 2 (x: X ) — đ(~^bD' Y V £ ^ (0 )1 )) thì mọi ánh 2 (^ riêng chỉnh hình f : D 1 — Dọ đều mở rộng được tới m ột ánh xạ Holder » liên tục từ D 1 lên £>2- Kết quả này th ỏ a mãn nói riêng nếu D 2 là miền giả lồi chặt hoặc nếu nó là miền giả lồi với biên giải tích thực. Kết quả như vậy cũng nhận được nếu D-i chỉ nhẵn từng m ảnh và giả lồi mạnh. Các kết quả khác trong những trường hợp ngoại lệ như trên những khối cầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, những miền Hartogs giải tích bị chặn t r o n g c 2, n h ữ n g á n h x ạ s o n g c h ỉn h h ì n h g iữ a m ộ t vài d ạ n g c ủ a n h ữ n g miền không giả lồi với biên giải tích thực. Bên cạnh đó là các kết qu ả liên quan đến mở rộng nhẵn của những ánh xạ riêng chỉnh hình của những miền giả lồi bị chặn nhẵn. Mục đích của luận văn là trình bày sự mở rộng cho kết quả của định lý trên lốn m ột miền trong đó là miền giả lồi chặt nhờ việc ước lượng xấp xỉ liên quan đến tính địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi không bị chặn gần biên. cn, Cụ th ể luận văn gồm hai chương: Chương I: “Một số kiến thức chuẩn b ị ’. Trong chương này t a trình bày một số kiến thức về hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa, hàm điều hòa dưới: giả khoảng cách Kobayashi; miền giả lồi. miền giả lồi chật; hàm peak. 5 Lời nói (tầu Chương II: “Ước lượng khoảng cách Kobayashi của miền miền trong Trong chương này ta p h át biểu và chứng m inh các định lý về sự mở rộng của định lý có điển C aratheodory trong miền giả lồi chặt và các ví dụ. cn ”. Vì trình độ còn hạn chế nên luận vãn không thể tránh khỏi những sai sót, tỏi hy vọng sẽ nhận được nhiều V kiến đóng góp từ các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, thúnq 12 năm 2012 Học viên L ưu V ăn N g ân Chương 1 M ột số kiến thức chuẩn bị 1.1 H àm chỉnh hình Giả sử Q là tậ p mở trong / : n -> / G 1(fi), Z j = c, c cn, ta có thể đồng n h ất Xj 4- ÍỊjj, j = c n với R 2n. X ét hàm 1 , 2 , n. f ỡ /. = E t u '-'1 dz>+ E 1 Ư^ 1 ! 7-1 7 .7 = 1 7 trong đó Đ ịn h n g h ĩ a 1.1.1. Giả sử f (z) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , z = X + i y xác định trong n với x , y £ M". Khi đó, hàm / được gọi là R 2n - khả vi tại Z() = XQ + iyo nếu các h à m u (x , y ) và V ( x, y ) k h ả vi t ạ i (xo, yo). Đ ị n h n g h ĩ a 1.1.2. Hàm / được gọi là cn - khả vi tại Zo € ỉl nếu / là M2,í - khả vi tại Z và thoả m ãn phương trình Cauchy - Rieman: Q Đ ịn h n g h í a 1.1.3. Hàm /' được gọi là chỉnh hình tại C" - khả vi trong lân cận nào đó của Z(). 6 Zị) E íỉ nếu nó là 1.2. Hàm da điều hòa Hàm /' được gọi là chỉnh hình trẽn íì nếu nó chỉnh hình tại mọi Zị) € 0. Hàm f được gọi là chính hình trên tậ p compact /\ c íĩ nếu tồn tại tậ p mở U sao cho K c u c iì và f chỉnh hình trcn U ) J. 1.2 H àm đa điều hòa Đ ịn h n g h ĩ a 1 . 2 . 1 . G iả sử X là không gian tô pô. Hàm u : X — > [— oc. + 30) được gọi là nửa liên tạ c trên trẽn X nếu với mỗi a £ E tập x a = {x € X : u( x) < a} là mở trong X. Hàm V : X —• ( — DC, + oc] được gọi là nửa liên tục dưới > trên X nếu — V là nửa liên tục trên trẽn X. Đ ịn h n g h ĩ a 1.2.2. ( H à m đ iề u h ò a d ư ớ i) Giả sử Q là tậ p mở trong c . Hàm u : — [— oo, + oo) được gọi là diều hòa dưới trẽn Q nếu nó nửa > liên tục trên trên íỉ và th ỏ a mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Q, nghĩa là với mọi L E Q, tồn tại p > 0 sao cho với mọi 0 < r < ọ ta có d u (cư) < Đ ịn h n g h ĩ a 1.2.3. C", u : rỉ — [— 00 , > — oc trên mọi th àn h dưới trên Q (viết u 1 r2 n _ / 2tt J 0 u (uj + re ) dt. ( H à m đ a đ i ề u h ò a d ư ớ i) G iả sử íl là tập mở trong + oo) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng phần liên thông của Q. Hàm u được gọi là đa điều hòa € P S H {Q)) nếu với mọi cặp điểm a € Q, b 6 c n, h à m À I y u ( a + Ab) l à đ iề u h ò a d ư ớ i h o ặ c b ằ n g — (X) t r ê n m ọ i t h à n h phần liên thông của tậ p {A G c : a + Ai) 6 QỊ. 1.3 G iả khoảng cách K obayashi Đ ịn h n g h ĩ a 1.3.1. ( K h o ả n g c á c h ) Khoảng cách d trên tập X là một hàm d : X X X -» K (x\ y) H d ( x , y) -> t.hoả mãn các diều kiện san với mọi X, y. z thuộc X: i) d y) > 0, (l y) > 0 V./; Ỷ //• 1.3. 8 G iả khoảng cách K obayashi ii) d ( x , y ) = d iii) d y) < d (x, z) + d ( z , ỳ). Nếu d chí th o ả mãn ii), iii) và d (x, y) > 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.2. ( K h o ả n g c á c h B e r g m a n - P o i n c a r e ) Gọi A = { z 6 c : \z\ < 1 } là đĩa đơn vị mở trong m ặt phẳng phức c . Trên A ta xét p ( 0 , z) = log 1 — \z \ y z < A. = 1 - 1^1 Khi đó, p (0. z) được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare. Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.3. ( G iả k h o ả n g c á c h K o b a y a s h i) G iả sử X là m ột không gian phức; p , q là hai điểm tuỳ ý của X. Khi đó, ta gọi m ột dâv c h u y ề n c h ỉn h h ì n h 7 n ối p với q là t ậ p h ợ p {ai, « 2, an 6 A; / i , / 2, fn € Hoi (A, X )} sao cho /1 ( 0 ) = p, fi {di ) = f i +1 ( 0 ) , f n (a„) = q, ở đó, Hoi (A, X ) ) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ A vào X được trang bị tôpô compact-mở. Ta đ ặ t Ly — 5 ZỈ=1 p (^) ai) nghĩa d ỵ (p, q) = m /z>7, ớ đó iníìmum lấy theo t ấ t cả các dâv chuyền chỉnh hình 7 nối p với q. Khi đó, d ỵ ■ X X X — [0, + 00 ) được gọi là giả khoảng cách Kobayashi » trên không gian phức X. Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobavashi T í n h c h ấ t 1.2.1 i) ( N g u y ê n lý g i ả m k h o ả n g c á c h ) Giả sử / : X —■ Y là ánh xạ ) chỉnh hình giữa hai không gian phức. Khi dó: đ ỵ (p, q) > dY ( / {p) , / ( ợ ) ) , Vp, q e X. T ừ (ló, ta suy ra rằng nếu f : X — Y là song chỉnh hình thi » đ ỵ (p, q) = dY (./' (p) , / ((/)), Vp, q € X. ii) Đối với một không gian phức tuy ý. hàm í/ỵ là licn tục trên X X X. ỉ.ị. 9 M iề n giả lồi Chứng minh. G iả sứ {(/>„. 7 „)} c X X X và {(pn, (Ịn)} — (/), ợ) theo > tô pố của X X X . T ừ bất đẳng thức tam giác, ta có: \dx (Pn, <,1) 7 (p, q)\ < d x (Pn, p) + dx {qn, q) lim dỵ (])„, qn) = d V (p, ợ) thực chất là đưa n —-f D > O về việc chứng minh d ỵ (Pn, p) —• 0 khi p n —• p. > > Giả sử Ư là một lân cận của p. Do d x < du trong ư nên ta chỉ chứng tỏ rằng dự (pn, p ) — 0 khi p n — p trong ư . > > Nếu p là điểm chính quy của X thì ta có thể coi ư = A n và phép chứng minh được suy ra ngav từ tính chất i). Ta xét trường hợp p là điểm kì dị của X: giả sử tồn tại ố > 0 sao cho du (Pn, p) > ổ vói mọi n > 0. Xét giải kỳ kì dị 7T : u — u . G iả sử qn c ư sao cho 7 (qn) — pn, V n > » T 1. Do 7 là ánh xạ riêng nên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể sử T rằng dãy {qn} hội tụ tới q G u . Vì 7T là ánh xạ liên tục nên 7T(ợ) = p. G iả sử V là lân cận đ a đĩa của q trong ư . Do nguyên lý giảm khoảng cách Do đó, việc chứng minh v à d o d y liê n t ụ c n ê n t a s u v r a r ằ n g du (Pn, p) = dự (ĩT (qn) , 7 (q)) < d y (qn, q) -> Okhi n T +00 Điều này trái với giả sử ban đ ầu của ta. Vậv d ỵ là hàm liên tục trên X X X. □ iii) G iả khoảng cách Kobayashi trên ctĩa đơn vị trù n g với khoảng cách Bergman - Poincare. iv) G iả khoảng cách Kobavashi trên miền D lồi mạnh, bị chặn là đầv đủ tức là với mọi p thuộc D, ta có k]j (p, z) — +00 khi và chỉ khi 2 — dD . > y 1.4 M iền giả lồi Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.1. ( B a o đ a đ i ề u h ò a d ư ớ i) Giả sử Q là miền trong c rỉ còn K com pact trong 0 . Tập K n — Ị - € ũ'. ( f ( z ) < supip,Wip E P ( n ) gọi là bao đ a điều hòa dưới của K trong V t. Bâv giờ ta giả sử ồ' là hàm liên tục tù y ý trên C" sao cho ò > 0 trừ tại 0 và S( t z ) = ị / ị ố ^ ) , 1-4 10 M iề n già lòi (có thể lấy ố là một chuẩn tùy ý trên c rỉ). Dặt ỗ( z , cJQ) = i n f { d ( z — cư) : U £ OQ} — i n f { d ( z — uj) : íư G Íl} . ! Rõ ràng ò (z, ỡí ĩ ) là liên tục trẽn n . Đ ịn h lý 1.4.1. Nếu Q là một miền trong c n. Khi đó, cấc điều kiện sau là tương đương: (ì) — logỗ (z — d ũ ) là da điều hòa dưới. (li) Tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục ip vét cạn Q, có nghĩa là Qc = {(p(z) < c} là compact tĩỉơng đối trong Q VỚ mọi c G M. I (Hi) K <’ compact tương đối nếu K compact trong Q. ) Chứng minh, (i) => (ii) Hiển nhiên hàm (iii) là hiển nhiên vì - logỗ (z, dQ ) — + oo khi 2 — 30.. > ¥ (iii) (i) Giả sử z° G íỉ và u € c n. Ta cần chứng minh hàm 2 I > —logỗ (z° 4- rcư, ỡ ũ ) —• là điều hòa dưới trong mọi hình tròn D = [ z ữ + TU) : |r | < r} c c Q. G iả sử u là hàm liên tục trên D điều hòa trong D sao cho —l ogổ( z ° + TU d ũ ) < J, u (t ), |t| = r hay ó (z° + TU, 00 .) > eu[T\ |r| -- r (1) ^1 ^ . Chọn hàm / liên tục trẽn ĩ) và chỉnh hình trong D sao cho u — Ref . Hàm như vậy tồn tại do D đơn liên. Viết (1) trong dạng —logỗ (z° \- TU CẴÌ) < R e f ( r ) , V|r | — V (2). J, - l.Jị. 11 M iề n giã lòi Muốn chứng minh ( 2 ) thực hiện trên Ịrị < r. Dối với mỗi a £ c n với ố (a) < 1 xct với mỗi 0 < A < 1, xét ánh xạ r H) ’ ° -f + \a ẽ ~ ^ T\ Ir I < r. Ta kí hiệu D \ là ảnh của nó. Rõ ràng Do = 0 . Đ ặt A = {() < A < 1 : D \ c rỉ} . Hiển nhiên A là tậ p COI1 mở của [0, 1], Ta kiểm tr a lại A là đóng trong [0, 1] và vì vậy A = [0, 1], Đặt K = 2° + ru + A ^ T) : | | = r, 0 < r < 1 ; ae~ r . Bơi ( 1 ) nên K là compact trong íỉ, nếu ip G p (ĩì) thì r H -> ip là diều hòa dưới trong một ^2° + TC + J \ a e ~ ^ T^ lãn cận của |r | < r. Do đó + TU + Aae~^(T)) < supip, |r | < r, I v ' CÓ nghĩa là Da c K n, VÀ € A. Do nên suy ra A, như vậy D ị c fỉ. Đó là K Q lei com pact tiíơng đôi tron§ 0 z ° + TU + \ a e ~ f{T) J e n nếu ỗ (a ) < 1 và |r | < r. Vậy thì ỗ (z° 4- TU!, d ó ) > e ~ ^ T\ |r | < r hay — logỗ (z° + TUJ, â í ì ) > R ef ( r ) , |r| < r. Vậy (i) dược chứng minh. □ Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.2. ( M iề n g iả lồi) Miền íì c c n được gọi là miền giả lồi nếu nó th ỏ a m ãn m ột trong ba điều kiện tương đương của định lý trên. D ị n h n g h ĩ a 1.4.3. ( M iề n g iả lồi c h ặ t) Miền Q c c n được gọi là miền g iả lồi c h ặ t n ế u t ồ n t ạ i h à m (/? n h ư t r o n g đ ịn h lý tr ô n v à có clạng t o à n phương xác định dương, nghĩa là £ 1 < j, k < n iẼầí{)x k- c(2)è w 2> °’ z ,T 1 ở dó < là hàm liên tục, dương trên íì. ■ i=\ 15. 1.5 H à m peak 12 H àm peak Đ ịn h n g h ĩ a 1.5.1. Cho íì là miền giả lồi trong C '\ A là đại số các hàm trên Q. Ta nói, điểm p € íì là điểm peak của A nếu có một hàm f E A thỏa m ãn f (P ) = 1 và \f {z)\ < 1, V z € Í Ì \ { P } . Khi đó, hàm / được gọi là h à m p e a k t ạ i A. Chương 2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi của các miền trong 2.1 cn Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashi Cho A (a, r) = { z € c n : \z — a\ < r } , A (r) = A ( 0 , r) và A = A (1). Cho D là m ột miền của c n, ta kí hiệu K o (z, X ) là độ dài Kobavashi cực nhỏ của vecto tiếp xúc X G TzC n tại điểm z £ D : K d { z , X ) = i n / { - > 0 : 3 h : A — D chỉnh hình, h (0) = z, h' (0) = r . X) . Nếu » 7 : [0, 1] -Ạ D là một dường cong lớp c 1 trong D thì độ dài Kobayashi c ủ a n ó là Id (7) = J K d ( i (í) ; í (í)) dt. Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm a, b £ D là Kobdistũ (a, b) = i n f {ỈD (7) : 7 ; [°, 1} - > D e c \ 7 (0) = a, 7(1) = 6} Nếu f : D 1 — £>2 là ánh xạ chỉnh hình giữa các miền D i, />2 thì theo bổ » đề Schwarz-Pick ta có K o b d is to ! (a, 6) > K o b d is to 2 ( f ( a ) , / ( 6) ) , tt, í) G Di, X ) > K lh Ụ (z) ■ f (z) x ) , z € D ,, , X e T ;C". Ta xem D là một miền bị chặn của C" và Do c D\ làtập con mở của 1) sao cho mỗi điểm z E tồn tại một lân cận mở ư z trong C" mà 13 . 2.1. Vz 11 Đ ịa phương hóa của khoảng cách K obayashỉ n Dị — U : n í ) h o ặ c tổ n g q u á t h ơ n Ư z n D I là h ơ p t h à n h c ủ a n h ữ n g phần bù liên thông của ư~ n D. Nói riêng, Do có m ột khoảng cách dương tới phần bù liên thông của D\ trong D. Ta kí hiệu d ( z ) là khoảng cách Euclid từ z 6 D đến ỞD. Dỗ thấy, K p 1 (z, X ) > K d { z , X ) , zE D i , X G T:C n.Ngược lại, t a giả sử rằng mọi ánh xạ chỉnh hình h :A — D thỏa mãn lì (0) £ > ỠD n 3 D q là hằng số thì bởi định lý Montcl suy ra: lim A n ( ;:: x ) z ẽ L>0 I\ D\ dí) X) = l , x e C - \ {«} ( 2 . 1 ). T a sẽ chỉ ra rằng nếu giảm nhẹ giả thiết sẽ không tồn tại ánh xạ h để suy ra ước lượng ( 2 .2 ) và đẳng thức (2 . 1 ), kết q u ả đó sẽ rõ ràng hơn trong trường hợp miền giả lồi chặt (và đúng, chẳng hạn trường hợp lồi hình học chặt). Ta đưa ra tính chất (*) như sau: (*) Mọi điểm 2 € dDo n d D đều có một lân cận mở Vz trong c n thỏa mãn: Với mọi r/ > 0, tồn tại hằng số c > 0 phụ thuộc vào 77 sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình h : A — Vz n > D \ , t a có (ICI < 1 - C d ( h ( 0 ))) =* ịh(C) - /.(0)1 < ,Ị. D i n h lý 2 . 1 . 1 . Nếu tính chất (*) thỏa mãn thì tồn tại một hằng số c > 0 sao cho VỚI mỗi z G Dị) và X G Tzc n K d { z \ X ) > (1 - c d ( z ) ) . K D l ( z ; X ) ( 2 .2 ). ước hcợng này tốt nhất nếu ta chọn dược hằng số c thích hợp, phụ thuộc vào A), ĩ)\, D. Chứng minh. Cố định điểm p E d D 0 n d D và gọi Vp là lân cận mở của p Iihư ở trong tính chất (*). Thu nhỏ D nếu cần ta có thổ giả sử Vp n D\ là hợp của những phần bù liên thông của Vp n D. Khi dó, tồn tại một lân cận đủ nhỏ V của p và một hằng số d £ (0, 1) sao cho với mỗi z € V n D, 13 (z, d) n Dị c Vp n Dị (ở dây B (z, d) là khối cầu tâm z,bán kính d). Định lý sẽ đirợc chứng minh nếu ta tìm dược m ột hằng số K > 0 sao cho. với mọi ánh xạ chỉnh hình I). : A — D với h (0) E V ta đều có: » h (A [ Kd(h(0))) c Dị. 2 ‘ .1. 15 D ịa phương hóa của khoảng cách K obayashi Ta giả sử D có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng 1. Cho £ > Ị) — p ( e ) là số lớn n h ấ t t r o n g [0, 1] s a o c h o | / i ( s ) — h (0)1 < 0, gọi fi, với h là ánh xạ chỉnh hình h : A — D, h ( 0 ) € V, d ( h ( 0 )) < £ và |£| < p, do » đó h (Ap) c D\ . Hiển n h i ê n p > d, bởi bổ đề Schwarz. T ừ tính chất (*) t a suy ra tồn tại c > 0 sao cho Ih (£) — h ( 0)1 < ị nếu d (h ( 0 )) < £ và líl < s - Ce. T a có log \h (£) — li (0)1 < 0 trên đĩa đơn vị, và nếu p < 1, ta đặt d = su p Ih( Z) - /ỉ. ( 0)1 líl-p với Ìì nào đó. Bới bổ đề ba đường tròn H adam ard, ta suv ra hàm log sup \h (£) — h (0)1 líl = r là hàm lồi của lo g r. Do đó log (p - Ce) lo g s Nếu t a chỉ xét £ < > log p log d — (do áổ p — C s > ị ) thì ta nhận được: 7 llogH + 2 C | > ỊlogpỊ |l o g f | |logd| và do đó d. lo g 2 □ Ta suy ra, p > 1 — K.E. Định lý 2.1.1 được chứng minh. B ố đ ề 2 .1 .1 . Cho ip : R + — R + là m ột hàm tăng, liên tục, (p (0) = > 0 . Giá sử với mọi A £ ỞD\ n d D , tồn tại hàm Pa € c ( D ị ) n 0(^i), \Pa \ < 1 trên D \ {1 là hàm peak thỏa mãn /} Ci|l - P A ( z)\ < \ z - A\ P a (z ) \ ) , z € Dì (2 .3 ). Khi đó, tính chất (*) thỏa mãn (hằng số c không phụ thuộc A). C h ú ý. Hàm Pj\ là hàm peak trẽn D \, không là hàm peak trên D. Gần mọi (liêm biên giã lồi chặt của D, (Uều kiện (2.3) thỏa mãn với ip(x) — ự x rnà ta có thể thấy tính lồi địa phương của d D gần điểm đã cho. Chứng minh. Kết q u ả sau đây là m ột hệ quả đơn giản của bổ đồ Schwarz trôn A, ta thừ a nhận chứng minh: Cho A > 0 , khi đó tồn tại hằng số 2.1. 16 D ụi phương hóa của khoảng cách K obayashi C \ > 0 sao cho với mỗi C > 0 và mỗi ánh xạ chỉnh hình (J : A — A > thỏa m ãn |1 — |1 - 5,(01 < A (2.4). C h o 7/ > 0 n h ư t í n h c h ấ t (*), c h ọ n A > 0 t h ỏ a m ã n 2ự) (A) = ĩ]. C h o C \ là hằng số mà ở đó (2.4) thỏa mãn. Giả sử h : A — D \ là chỉnh hình, // (0) € Do và £ = d ( h ( 0)). Chọn > một diem A £ d D\ n d D sao cho: \h (0) — A\ = £. Ta chỉ cần xét £ đủ nhỏ sao cho £ < 2 ' T ìf (2-3) ta suv ra |1 - PA ( h ( 0))| < f - , C\ áj) dụng (2.4) cho hàm q — Pa -Iỉ ( l í l < 1 - C A- Ì : A — A, t a suy ra » =H1 - PA ( h ( m < A. Do đó, với 1^1 < 1 — C \ —, ta có \ h ( í ) - h ( 0 ) \ < |/ » ( í ) - / l | + |/i( 0 ) - .4 | < kiện D im jỳ '^ - d x < oo. Giả sử với mỗi điểm A E d D \ n d D tồn tại một hàm P a € c (D ) n 0 ( D ị ) , \P a \ < 1 trên D \ \ {-4}, là hàm peak tạt A và thỏa mãn: Cị |1 - PA ( z ) I < \z - A\ < i p{\ - \P a (-2)1), z € D l Khi đó, với mỗi diêm Ị) thuộc phần trong tương đối của d D \ n ỜD, tồn tại một lân cận Ư của p và một hằng số K sao cho K o b d isto iz; D \ D l ) > - l 2 o g d{z) K, z e u n Dị (2.5). 2 1 17 Đ ịa phương hóa của khoảng cách Kúbayciòhi chúng minh. Từ bổ đề 2.1.1 và định lý 2.1.1, ta có thổ chọn Do c D 1 sao cho điểm p là điểm trong tương đối của dDo n OD và ước lượng ( 2 .2 ) thỏa mãn. Gọi Ư là một lân cận đủ nhỏ của p, Ư n Dị c D() sao cho với mỗi z £ ư n Dị tồn tại một điểm gần 2 nhất A z € dD( j n OD thỏa m ãn in f \A X - z'\ > 6 > 0 , ơ đó ố độc lập với z. z' € D \D q 7 (0 ) Cho 7 : [0, 1] — > là một đường trong lớp c 1, € ỠD 0 n D. 7 ( 1 ) € ư n Do, 7 (t) G D q với t > 0 . Cho A € d D 0 là điểm gần 7 (1) n h ấ t trên d D và P \ G c ( D L n 0 ( Dị ) là hàm peak tại A. Ta kí ) hiệu A (í) = P 4 (A (í)) là đường tương ứng trong A và đặt £ (t) — |A (£)|. Ta cỏ th ể gỉa sử rằng P 4 không có khống điểm trên Do bởi Ẹ thuộc lớp c l . T heo đinh lý 2.1.1 ta có J Id (7) — K d ( l i t ) - , í {tỶ)dt - fo 1 (- c d ('y(t ))) K Dl (7 (í); 7 (o) dt. Do những ánh xạ chỉnh hình làm giảm khoảng cách Kobayashi nên ta có Bởi giả thiết ta cũng có, 1 - cd (7 (í)) > 1 - c |7 (/) - A\ > 1 - ct p( l - |P ,i(7 (* ))l) > 1- CV ( 1- í (< )), và t a có thể giả sử rằng biểu thức cuối là dương. Do dó, h (7) Tích phân th ứ n h ất - - l o g - - — - l o e ------------- — - ■ 2 1 ( 1) í 2 6 1 - ( (0 ) GẦŨ 'ìCLCCb 5 1 2 I 18 D ụi phương hóa của khoảng cách K ubayashi Ta có: 1 - £ ( 1 ) = 1 - |P, 1 (7 ( 1 ))| < ^/(1 ) — — c1 = ‘ h Ả D l' Ẳ c1 | P 4 ( 7 (0 ))| > ¥ > -'(1 7 (0 ) - -t|) > ¥>-1 (<■ >) 1 - í(0 ) = 1 Do đó: / o ( 7 ) ằ 2 l o g rf( 7 (I)) - K' với A' = ị ( lo g - + i o g - 4 n ) + ° í — d x 2 V C\ ụ > (7 )/ ./() X Định lý 2.1.2 được chửng minh. □ H ệ q u ả 2.1.1. Cho D là miền bị chặn trong c n với d D là giả lồi chặt lớp c 2 trong một lân cận của hai điểm phân biệt w°, w l E d D . Khi đó, tồn tại một hằng số K sao cho K o b d is to (a, b) > — - l o g d( a, d D ) — - l o g r f ( 6, d D ) — K ề é i m ề* m với mỗi điểm a đủ gần w° và điểm b đủ gần w l . Chứng minh. Mỗi đường 7 trong D bắt đầu từ a và kết thúc ở 6 đều phải di qua những lân cận của IU0 và WẢ Do vậv hệ quả dược suy ra từ định lý . 2 . 1 .2 . □ M ệ n h đ ề 2 .1 .1 . Nếu D là một miền mà d D thuộc lớp c l +£ (e > 0) gần điểm A € d D thì tồn tại một lăn cận Ư của A vàmột hằng số c G IR sao cho VỚI m ọ i Zo, Z\ € D n ư : 1 1 1 1 1 ĩ< obdist n {zQ Zi) < 2 ^ 2 [o g J ( ~ ) ~ 2 , j =0 V log j =0 / J 1 d ( z j ) + \zo - z1 Biổu thức th ứ hai mô tả sự khác nhau của khoảng cách Kobayashi giữa h a i đ i ể m ZQ, Z\ khi ít n h ấ t m ộ t Zj tiế n đ ế n d D ị t ù y v à o liệu 1^0 — Z\ \ có tiến đến 0 hay không? Chứng minh. Ta lấy Ư là một khối cầu tâm A, bán kính ị) > 0; u là khối cầu đóng, bán kính 4() tâm A. Chọn ị) đủ nhỏ đổ é)D n u là một m ặt liên t h ô n g lớp ổ 1 +s v à t h ỏ a m ã n hai t ín h c h ấ t s a u : 2.1 19 D ịa phương hóa của khoảng cách Kobayaatu i) Với V/; £ ỎD n Ư ta ký hiệu Up là vec tơ pháp tuyến đơn vị của Ỡ D tại Ị), khi đó ịìip — IIa\ < ịii) Với mỗi ố £ [0, 2!> và z & \ D n ư, p £ dD n u : 3Ô z + ôrip £ D v ầ d ( z + ổnp) > — . 4 Cho 2o, ~1 là các điểm trong D n u ,với j = 0 , 1 ; cho kỳ trên OD có khoảng cách nhỏ nhất đến Zj ( d ( z j ) = Zj — Zj + \zq — Z\ \ n a Khi đó, ta có ctj \zj là điểm bất — I). Đ ặt 1 j =0 Vé phải của biểu thức dễ thấy bị chặn với Zo, Z\. Chú V rằng \zq — Zi\ < 2p vào ii) và \zq — Z\ \ < \ \zo — 2 i | , dựa hình từ c lên c n định nghĩa bởi ĩp (£) = { í G c , min ( 1 1, 1 — 1 |) < | } là tập ^ ^ D, '0 ( 0 ) = Z(J, t/’ ( 1) = Z\ . Do đó trẽn bởi một hằng số độc lập => d ( z j ' ) > I \zo — 2 i|, dựa vào i). Cho 'ộ là ánh xạ chỉnh zỏ + € (zi — z ó ). Cho 0 = mở trong c , khi đó V; ( 0 ) c K o b d is tp (^Z , Zi j < Kobdistợị (0, 1). o Đổ kết thúc chứng minh, ta cần tìm chặn trên của K obdisti) (zj, z'j), (j = 0, 1). Cho ộ j là ánh xạ chỉnh hình từ c đến cn,(Ị)j : £ — » c\j + £na , với rtj như trôn. Khi đó C \i)Ỹ 1c I • N ế u c là h ằ n g số p n ư. c ố định c và cố định miền thích hợp C Q đố i x ứ n g với p h ầ n th ự c n h ậ n đ ư ợ c t ừ việc là m n h ẵ n Ớ Ư tr o n g Ư, CQ một lân cận đủ nhỏ nếu có hai điểm góc. Ta có Kobdi s t . pị z j , Zj ) < Kobdi st u ( d ( z j ) , d ( z j ) + \z0 + 2i|) .
- Xem thêm -