Tài liệu Luận văn thạc sĩ Về dãy lập lùi của hàm chỉnh hình

  • Số trang: 34 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 69 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Tham gia: 31/07/2015

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2012 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình Ngày 22 tháng 11 năm 2012 Lời cảm ơn 1 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy TS. Ninh Văn Thu. Thầy đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên em trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Em xin được gửi tới Thầy lời cảm chân thành và sâu sắc nhất. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy PGS.TS. Nguyễn Đình Sang, Thầy đã cho em nhiều ý kiến đóng góp quý báu để em có thể hoàn thành tốt luận văn này. Em muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian em học tập tại trường. Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 3 tháng 12 năm 2012 Học viên Phạm Kim Phượng Danh mục các kí hiệu 2 Danh mục các kí hiệu Cn không gian phức n - chiều Hol(X, X) tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào X. ∆ := {z ∈ C |z| < 1} đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. k C (Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong miền Ω. kết thúc chứng minh. Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Trắc địa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Ánh xạ Elliptic mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình 19 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Lời nói đầu 4 Lời nói đầu Cho f : X → X là hàm chỉnh hình. Dãy lặp lùi của f là {xn }n∈N ∈ X thỏa mãn điều kiện f (xn+1 ) = xn , ∀n ∈ N. Một vấn đề đặt ra là trong miền lồi mạnh, bị chặn, với các ánh xạ chỉnh hình f là hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh thì dãy lặp lùi này sẽ hội tụ như thế nào? Vào năm 2003, Poggi - Corradini đã giải quyết vấn đề trên khi X = ∆, (∆: đĩa đơn vị trong C). Cụ thể, họ đã chứng minh được dãy lặp lùi hội tụ tới một điểm trên biên của ∆. Điểm này là điểm đẩy, hoặc điểm parabolic cố định của f. Năm 2010, O.Ostapyuk đã mở rộng kết quả của Poggi - Corradini bằng việc xét trong hình cầu đơn vị B d ∈ Cd và cho kết quả tương tự. Còn bây giờ, ta sẽ xét dãy lặp lùi trong miền D lồi mạnh, bị chặn của ánh xạ f : D → D và thu được kết quả như sau : Định lý Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. Lấy f ∈ Hol(D, D) là ¯ hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ D và dãy lặp lùi {zn } ∈ D của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn. Khi đó i. Dãy {zn } hội tụ tới điểm đẩy hoặc điểm biên parabolic cố định σ ∈ ∂D; ii.Nếu f là elliptic mạnh hoặc hyperbolic thì σ là điểm đẩy; iii.Nếu σ = τ thì f là parabolic; iv.Tồn tại M > 0 sao cho zn ∈ Kp (σ, M ) với p là điểm bất kỳ thuộc D. Định lý trên đã mô tả rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp lùi. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về tính lặp lùi của hàm chỉnh hình. Nội dung luận văn gồm 2 chương : Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, khoảng cách Kobayashi, Elliptic mạnh, mặt cực hạn, hệ số co giãn và các tính chất của nó. Chương 2 của luận văn tập trung vào chứng minh kết quả của định lý nêu trên, đồng thời tác giả nghiên cứu thêm tính hội tụ của dãy lặp lùi trong miền Lời nói đầu 5 không bị chặn. Do thời gian và trình độ có hạn, bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được các thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến và lượng thứ. Hà Nội, ngày 3 tháng 12 năm 2012 Phạm Kim Phượng Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong Cn , ta có thể đồng nhất Cn với R2n . Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, 2, ..., n. n df = j=1 n = j=1 ∂f dxj + ∂xj ∂f dzj + ∂zj n j=1 n j=1 ∂f dyj ∂yj ∂f dzj , ¯ ∂ zj ¯ trong đó ∂f 1 = ∂zj 2 ∂f ∂f −i ∂xj ∂yj , ∂f 1 = ∂ zj ¯ 2 ∂f ∂f +i ∂xj ∂yj . Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (z) = u (x, y) + iv (x, y), z = x + iy xác định trong Ω với x, y ∈ Rn . Hàm f được gọi là R2n - khả vi tại z0 = x0 + iy0 nếu các hàm u (x, y) và v (x, y) khả vi tại (x0 , y0 ). Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là Cn khả vi tại z0 ∈ Ω nếu f là R2n khả vi tại z0 và thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman ∂f (z0 ) = 0, ∀j = 1, 2, ..., n, ∂ zj ¯ 6 1.2. Giả khoảng cách Kobayashi 7 tức n df = j=1 ∂f dzj . ¯ ∂ zj ¯ Định nghĩa 1.1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu nó là Cn khả vi trong lân cận nào đó của z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi z0 ∈ Ω. 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi Định nghĩa 1.2.1. (Khoảng cách) Khoảng cách k trên tập X là một hàm k :X ×X →R (x, y) → k (x, y) thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y thuộc X i. k (x, y) ≥ 0; k (x, y) > 0 ∀x = y; ii. k (x, y) = k (y, x); iii. k (x, y) ≤ k (x, z) + k (z, y); Nếu k chỉ thoả mãn ii, iii và k (x, y) ≥ 0 thì k được gọi là giả khoảng cách trên X. Định nghĩa 1.2.2. (Khoảng cách Bergman - Poincare) Giả sử ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức C. Trên ∆ ta xét ρ (0, z) = log 1 + |z| , ∀z ∈ ∆. 1 − |z| được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare. Định nghĩa 1.2.3. (Giả khoảng cách Kobayashi) Giả sử X là một không gian phức, p, q là hai điểm tuỳ ý của X. Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q là tập hợp {a1 , a2 , .., an ∈ ∆; f1 , f2 , ..., fn ∈ Hol (∆, X)} 1.3. Trắc địa phức 8 sao cho f1 (0) = p, fi (ai ) = fi+1 (0) , fn (an ) = q ở đó, Hol (∆, X)) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X. Ta đặt Lγ = n i=1 ρ (0, ai ) và định nghĩa kX (p, q) = inf Lγ , ở đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q. Khi đó, kX : X × X → [0, ∞) được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobayashi Tính chất 1.2.1 i. Nguyên lý giảm khoảng cách Giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức. Thế thì kX (p, q) ≥ kY (f (p) , f (q)) , ∀p, q ∈ X. Từ đó, ta suy ra rằng nếu f : X → Y là song chỉnh hình thì kX (p, q) = kY (f (p) , f (q)) , ∀p, q ∈ X. ii. Đối với một không gian phức tuỳ ý, hàm kX là liên tục trên X × X. iii. Giả khoảng cách Kobayashi trên đĩa đơn vị trùng với khoảng cách Bergman Poincare. iv. Giả khoảng cách Kobayashi trên miền D lồi mạnh, bị chặn là đầy đủ tức là với mọi p thuộc D, ta có kD (p, z) → +∞ khi và chỉ khi z → ∂D. Định nghĩa 1.2.4. Đa tạp phức X được gọi là hyperbolic nếu kX là khoảng cách, tức là kX (p, q) = 0 khi và chỉ khi p = q. Ví dụ : Đĩa và đa đĩa là đa tạp hyperbolic. 1.3 Trắc địa phức Định nghĩa 1.3.1. Cho X là đa tạp hyperbolic. Ánh xạ chỉnh hình ϕ : ∆ → X được gọi là trắc địa phức nếu nó là phép đẳng cự lấy theo khoảng cách 1.4. Ánh xạ Elliptic mạnh 9 Kobayashi của ∆ và khoảng cách Kobayashi của X, tức là với mọi z0 , z1 ∈ ∆ thì k∆ (z0 , z1 ) = kX (ϕ (z0 ) , ϕ (z1 )). Với miền D bị chặn, D ⊂⊂ Cn , ta có một số tính chất của trắc địa phức sau. Tính chất 1.3.1 i. Với cặp điểm z, ω ∈ D luôn tồn tại trắc địa phức ϕ : ∆ → D sao cho ϕ (0) = z, ϕ (r) = ω với 0 < r < 1 sao cho k∆ (0, r) = kD (z, ω). Hơn nữa, nếu D là tập lồi mạnh thì ϕ là duy nhất. ii. Với mọi trắc địa phức ϕ ∈ Hol(∆, D) đều tồn tại ánh xạ nghịch đảo pϕ : D → ∆ sao cho pϕ .ϕ = id∆ . Ánh xạ pϕ = ϕ.pϕ được gọi là ánh xạ co của D ˜ ˜ lên ảnh của ϕ. iii. Nếu D là tập lồi mạnh trong lớp C 2 , mọi z ∈ D,τ ∈ ∂D luôn tồn tại trắc địa phức ϕ ∈ Hol(∆, D) sao cho ϕ (0) = z, ϕ (1) = τ ; và với mọi cặp điểm phân biệt σ, τ ∈ ∂D luôn tồn tại trắc địa phức ϕ ∈ Hol(∆, D) sao cho ϕ (−1) = σ, ϕ (1) = τ . 1.4 Ánh xạ Elliptic mạnh Định nghĩa 1.4.1. Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D). Đa tạp con D0 ⊂⊂ D là đa tạp giới hạn của f nếu mọi dãy con của phép lặp {f n } có dạng γ.ρ trong đó, ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình, γ là song ánh trong D0 . Hơn nữa, f |D0 là song ánh trong D0 và F ix(f ) ⊂ D. Định nghĩa 1.4.2. Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. Ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(D, D) được gọi là elliptic nếu F ix(f ) = ∅; được gọi là elliptic mạnh nếu đa tạp giới hạn của nó rút gọn về một điểm (gọi là điểm Wolff của elliptic mạnh). Điểm p ∈ F ix(f ) là điểm hút nếu giá trị riêng của dfp có modun nhỏ hơn 1. Sau đây là tính chất của ánh xạ elliptic mạnh. 1.4. Ánh xạ Elliptic mạnh 10 Bổ đề 1.4.1. Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D). Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương : (i) f là elliptic mạnh ; (ii) dãy lặp của f sẽ hội tụ về một điểm p ∈ D ; (iii) f có điểm hút cố định p ∈ D ; (iv) tồn tại p ∈ F ix(f ) sao cho kD (p, f (z)) < kD (p, z) với mọi z ∈ D\ {p}. Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh (i), (ii), (iii) tương đương với nhau. (i)⇒ (ii). Do f là elliptic mạnh nên đa tạp giới hạn D0 = {p}. Mà giới hạn của phép lặp f k có dạng γ.ρ với ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình và γ : D0 → D0 là song chỉnh hình nên ρ = p và γ = p. Vậy f k có giới hạn γ.ρ = p khi k →∝. (ii)⇒(iii). k→∞ Giả sử f k − − p ∈ D. −→ Ta có f (p) = lim f (f k ) = k→∝ lim f (k+1) = p. (k+1)→∝ nên p là điểm cố định của f . Lại có, theo định lý Cartan - Caratheodory, giá trị riêng của dfp modun nhỏ hơn 1 nên p là điểm hút cố định. (iv)⇒ (i). Giả sử f không là elliptic mạnh. Khi đó, đa tạp giới hạn D0 có nhiều hơn một phần tử. Giới hạn của dãy con f kν có dạng γ.ρ với ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình và γ : D0 → D0 là song chỉnh hình và F ix(f ) ⊆ D. Do γ là song chỉnh hình nên kD (z, ω) = kD (f (z), f (ω))∀z, ω ∈ D0 Khi đó, với p ∈ F ix(f ) ⊂ D0 ⊂ D thì kD (p, f (z)) = kD (p, z) , ∀z ∈ D\ {p} . mâu thuẫn với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh. (i)⇒ (iv). 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 11 Giả sử tồn tại p ∈ F ixf và z0 ∈ D\ {p} sao cho kD (p, f (z)) = kD (p, z). Lấy ϕ ∈ Hol(∆, D) là trắc địa phức với ϕ(0) = p, ϕ(r) = z0 với 0 < r < 1. Khi đó kD (p, f (ϕ (z))) = kD (p, z0 ) = k∆ (0, r) . Vì p ∈ F ix(f ) nên f (p) = p, vì thế kD (f (p) , f (ϕ (z))) = k∆ (0, r) . Suy ra f.ϕ cũng là trắc địa phức. Do đó, kD ϕ (0) , ϕ (0) = kD f · ϕ (0) , dfp ϕ (0) , nên ánh xạ f không thể co tại p = ϕ (0) được.Vậy f không là elliptic mạnh. 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn Cho D ⊂⊂ C là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. ∀τ ∈ ∂D, xét hτ,p : D → R+ được xác định như sau 1 log hτ,p (z) = lim [kD (z, ω) − kD (p, ω)] . ω→τ 2 Giới hạn này luôn tồn tại, xem định lý [2, 2.6.47]. Khi đó, mặt cực hạn tâm τ ∈ ∂D, bán kính R > 0, cực p ∈ D là tập hợp Ep (τ, R) = {z ∈ D|hτ,p < R} . Bổ đề 1.5.1. Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và τ ∈ ∂D. Khi đó hτ,q = 1 h(τ,p) . hτ,p (q) ∀p, q ∈ D. Hơn nữa ∀R > 0, Eq (τ, R) = Ep (τ, hτ,p (q)R). Chứng minh. Ta có kD (z, ω) − kD (q, ω) = [kD (z, ω) − kD (p, ω)] − [kD (q, ω) − kD (p, ω)] . 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 12 Khi ω → τ thì hτ,q = 1 h(τ,p) . hτ,p (q) Hơn nữa, ∀z ∈ Eq (τ, R) suy ra hτ,q (z) < R suy ra hτ,p (z) < R, hτ,p (q) nên hτ,p (z) < R.hτ,p (q), do đó z ∈ Ep (τ, hτ,p (q)R). Vậy ∀R > 0, Eq (τ, R) = Ep (τ, hτ,p (q)R). Tương tự như trên, ta xét khái niệm miền K. Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. Khi đó, miền Kp (τ, M ) tâm τ ∈ ∂D, biên độ M > 0, và cực p ∈ D là tập hợp Kp (τ, M ) = 1 z ∈ D : loghτ,p (z) + kD (p, z) < logM 2 . Dễ dàng chứng minh được, ∀p, q ∈ D, ∃L > 0 sao cho Kp τ, M L ≤ Kq (τ, M ) ≤ Kp (τ, M L) ∀M > 0. Thật vậy Ta có kD (z, ω) − kD (p, ω) = kD (z, ω) − kD (q, ω) + kD (q, ω) − kD (p, ω) Suy ra lim [kD (z, ω) − kD (p, ω)] + kD (p, z) = lim [kD (z, ω) − kD (q, ω)] + kD (q, z) + ω→τ ω→τ 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 13 lim [kD (q, ω) − kD (p, ω)] + kD (p, z) − kD (q, z) . ω→τ Do đó lim [kD (z, ω) − kD (p, ω)] + kD (p, z) ω→τ ≤ lim kD (z, ω) − kD (q, ω) + kD (q, z) + lim kD (q, ω) − kD (p, ω) + kD (p, q). ω→τ ω→τ Đặt log L = lim [kD (q, ω) − kD (p, ω)] + kD (p, q). ω→τ Khi đó lim [kD (z, ω) − kD (p, ω)] + kD (p, z) ω→τ ≤ lim [kD (z, ω) − kD (q, ω)] + kD (q, z) + log L ω→τ ≤ log M + log L = log M L. Ta nói hàm F : D → Cn có K-giới hạn l ∈ Cn tại τ ∈ ∂D nếu F (z) → l khi z → τ trong miền K tâm τ . Định nghĩa 1.5.1. Cho f ∈ Hol(D, D) với D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và σ ∈ ∂D. Khi đó, hệ số co giãn βσ,p ∈ (0, + ∝] của f tại σ ∈ ∂D và cực p ∈ D được xác định như sau 1 log βσ,p = lim inf [kD (p, z) − kD (p, f (z))] . z→σ 2 Hơn nữa, σ ∈ ∂D là điểm biên cố định của f nếu f có K-giới hạn σ tại σ. Nhận xét 1. Ta có kD (p, z) − kD (p, f (z)) ≥ kD (f (p) , f (z)) − kD (p, f (z)) ≥ −kD (p, f (p)) , nên βσ,p = 0. 2. Trong bổ đề [2, 2.7.22 ], ta có thể sử dụng công thức sau để tính hệ số co giãn 1 log βσ,p = lim [kD (p, ϕ (t)) − kD (p, f (ϕ (p)))] t→1 2 = lim [kD (p, ϕ (t)) − kD (p, pϕ .f (ϕ (p)))] . t→1 (1.1) 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 14 với ϕ ∈ Hol(∆, D) là trắc địa phức, ϕ (0) = p, ϕ (1) = σ, pϕ = ϕ.˜ϕ là ánh xạ p co chỉnh hình liên hợp với ϕ. Bổ đề 1.5.2. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D) và σ ∈ ∂D là điểm biên cố định của f . Khi đó, βσ,p = βσ,q với mọi p, q ∈ D. Chứng minh. Nếu hệ số co giãn là vô hạn với mọi điểm cực thì ta có ngay điều phải chứng minh. Ngược lại, giả sử tồn tại p ∈ D sao cho hệ số co giãn βσ,p là hữu hạn. Với q ∈ D, ta có kD (q, z) − kD (q, f (z)) = kD (p, z) − kD (p, f (z)) + [kD (q, z) − kD (p, z)] + [kD (p, f (z)) − kD (q, f (z))] . Lấy φ ∈ Hol(∆, D) là trắc địa phức với φ (0) = p và φ (1) = σ. Khi đó, f (σ (t)) → σ. Đặt z = φ (t), cho t → 1− , ta có 1 1 1 1 1 log βσ,q ≤ log βσ,p + log hβ,p (q) − log hβ,p (q) = log βσ,p 2 2 2 2 2 1 Suy ra βσ,q hữu hạn. Tương tự, hoán đổi vai trò p, q ta có 2 log βσ,p ≤ 1 log βσ,q . 2 Do đó, βσ,p = βσ,q với mọi p, q ∈ D. Định nghĩa 1.5.2. Với σ ∈ ∂D là điểm biên cố định của f ∈ Hol(D, D), kí hiệu βσ là hệ số co giãn của điểm biên cố định. Ta nói σ là điểm hút nếu 0 < βσ < 1, là điểm parabolic nếu βσ = 1, là điểm đẩy nếu βσ > 1. Định lý 1.5.1. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. Khi đó, với mọi z0 ∈ D, x ∈ ∂D và R > 0 thì Ez0 (τ, R) ∩ ∂D = {x} . Định lý 1.5.2. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D). Lấy σ ∈ ∂D và p ∈ D sao cho hệ số co giãn βσ,p hữu hạn. Khi đó, tồn tại duy nhất τ ∈ ∂D sao cho f (Ep (σ, R)) ⊆ Ep (τ, βσ,p R) , ∀R > 0 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 15 và f có K-giới hạn τ tại σ. Chứng minh. Chọn dãy {wν } ⊂ D hội tụ tới σ sao cho lim [kD (p, wν ) − kD (p, f (wν ))] = lim inf [kD (p, w) − kD (p, f (w))]. ν→∞ w→σ ¯ Không mất tính tổng quát, giả sử f (wν ) → τ ∈ D as ν → ∞. Vì khoảng cách Kobayashi trong miền lồi mạnh, bị chặn là đầy nên kD (p, f (wν )) → +∞ khi và chỉ khi τ ∈ ∂D. Với z ∈ Ep (σ, R) ta có lim [kD (f (z), y) − kD (p, y)] y→τ = lim [kD (f (z), f (wν )) − kD (p, f (wν ))] ν→∞ ≤ lim [kD (z, wν ) − kD (p, wν )] ν→∞ (1.2) + lim [kD (p, wν ) − kD (p, f (wν ))] ν→∞ 1 1 log R + log βσ,p 2 2 1 ≤ log(βσ,p R). 2 ≤ Vậy f (z) ∈ Ep (τ, βσ,p R). Lấy cố định M > 1, và {zν } ⊂ Kp (σ, M ) hội tụ đến σ. Với R > 0 ta có zν ∈ Ep (σ, R), nên theo trên f (zν ) ∈ Ep (τ, βσ,p R). Theo bổ đề [2, 2.4.14] suy ra điểm giới hạn của {f (zν )} hội tụ tới Ep (τ, βσ,p R) ∩ ∂D = {τ }. Vì vậy, f (zν ) → τ khi ν → ∞ và τ là duy nhất. Bổ đề 1.5.3. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D) không có điểm cố định. Khi đó, tồn tại x ∈ ∂D sao cho f k (Ez0 (x, R)) ⊂ Ez0 (x, R) , với mọi z0 ∈ D, R > 0 và k ∈ N. Chứng minh. Lấy {gν } là dãy các ánh xạ hội tụ tới idD sao cho gν ⊂ D với mọi ν ∈ N. Đặt fν = gν · f . Theo bổ đề [2, 2.1.32], fν có điểm cố định ων ∈ D. 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 16 ¯ Ta giả sử {ων } hội tụ đến x ∈ D. Nếu x ∈ D thì f (x) = lim fν (ων ) = lim ων = x. ν→∞ ν→∞ vô lý với giả thiết f không có điểm cố định. Suy ra x ∈ ∂D. Lại có, z ∈ Ez0 (x, R) nên lim (kD (z, ων ) − kD (z0 , ων )) < ω→x 1 log R. 2 Suy ra tồn tại ν0 ∈ N và > 0 sao cho ∀ν ≥ ν0 thì kD (z, ων ) < kD (z0 , ων ) + 1 log R − . 2 k Vì ων là điểm cố định của (fν ) với mọi k ∈ N do đó, k kD (fν ) (z) , ων < kD (z0 , ων ) + 1 log R − . 2 Mà k kD (fν ) (z) , ων − kD f k (z) , ων k ≤ kD (fν ) (z) , f k (z) → 0. khi ν → +∞. Vì thế, tồn tại ν1 ≥ ν0 sao cho kD f k (z) , ων < kD (z0 , ων ) + 1 log R − /2. 2 Vậy lim kD f k (z) , ω − kD (z0 , ω) ω→x ≤ lim kD f k (z) , ων − kD (z0 , ων ) ν→∞ < 1 log R 2 nên f k (Ez0 (x, R)) ⊂ Ez0 (x, R). Định lý 1.5.3. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D) không có điểm cố định. Khi đó, tồn tại duy nhất τ ∈ ∂D sao cho dãy lặp f hội tụ đến τ . 1.5. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 17 Chứng minh. Theo bổ đề 1.5.3, suy ra tồn tại τ ∈ ∂D sao cho f k (Ez0 (τ, R)) ⊂ Ez0 (τ, R) . Ta cần chứng minh f k → τ . Lấy h ∈ Hol(D, Cn ) là điểm giới hạn của f k . Ta sẽ chứng minh h ≡ τ . Chọn một dãy con f kν hội tụ đến h. Theo [định lý 2.4.20,2] h (D) ⊂ ∂D. Theo bổ đề 1.5.3 ở trên, với mọi z0 ∈ D, R > 0 ta có f kν (Ez0 (x, R)) ⊂ Ez0 (x, R) . Cho ν → +∞ ta được h (Ez0 (τ, R)) ⊂ Ez0 (τ, R) ∩ ∂D = {τ } . Vậy h ≡ x. Định nghĩa 1.5.3. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D) không có điểm cố định. Điểm τ ∈ ∂D ở định lý trên được gọi là điểm Wolff của f . Định lý 1.5.4. Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn và f ∈ Hol(D, D) không có điểm cố định. Với τ ∈ ∂D, các khẳng định sau đây là tương đương (i) τ là điểm biên cố định với 0 < βτ ≤ 1; (ii) f (Ep (τ, R)) ⊆ Ep (τ, R), ∀R > 0, p ∈ D; (iii) τ là điểm Wolff của f . Chứng minh. i → ii : Từ mệnh đề 1.5.3 suy ra điều phải chứng minh. ii → iii : Theo chứng minh định lý 1.5.5, ta suy ra dãy lặp của f hội tụ đến τ nên τ là điểm Wolff của f . iii → i : Vì f không có điểm cố định nên theo bổ đề 1.5.3 suy ra tồn tại τ ∈ ∂D sao cho f Ep τ , R ⊂ Ep τ , R . nên τ là điểm Wolff của f và f có K-giới hạn τ tại τ . Mà τ cũng là điểm Wolff của f nên τ ≡ τ .
- Xem thêm -