Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
BÙI ĐỨC HUY
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP
VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
BÙI ĐỨC HUY
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP
VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải
THÁI NGUYÊN - 2019
i
Danh möc h¼nh
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
3.1
3.2
ành lþ Pithot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh ành lþ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh i·u ki»n c¦n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh i·u ki»n õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu . . . . . . . . . . . . . .
Hai ÷íng trán ti¸p xóc 2 c¤nh, 1 ÷íng ch²o . . . . . . . .
C¡c ÷íng trán ti¸p xóc ð c¡c ph½a hai ÷íng ch²o . . . . . .
C¡c ti¸p iºm cõa 4 ÷íng trán . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley . . . . . . . . . . . . . .
°c tr÷ng Vainshtein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
+
=
+
........................
R1 R3
R2 R4
C¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa Christopher Bradley . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C¡c ÷íng cao h1, h2, h3, h4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tù gi¡c ngo¤i ti¸p n y l mët tù gi¡c c¡nh di·u . . . . . . .
÷íng trán nëi ti¸p trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . .
Bèn ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c nhä . . . . . . .
÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c èi di»n ¿nh C . . . . . . . .
Bèn ÷íng trán b ng ti¸p bèn tam gi¡c nhä èi di»n ¿nh P
Tù gi¡c song t¥m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
China Western Mathematical Olympiad 2003 . . . . . . . . .
ABCD nëi ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi ∆IJK l tam gi¡c vuæng
÷íng th¯ng Newton cõa ABCD v W XY Z . . . . . . . . .
H¼nh thang c¥n ngo¤i ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gâc α giúa c°p c¤nh èi di»n cõa tù gi¡c KLM N . . . . . .
ë d i c¡c d¥y cung ti¸p xóc W X v Y Z . . . . . . . . . . .
D¥y cung ti¸p xóc W X, Y Z i qua giao iºm 2 ÷íng ch²o .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
5
6
7
9
11
12
15
16
17
18
19
22
23
26
27
29
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
48
50
ii
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Gâc ϕ giúa 2 d¥y cung W X v Y Z
Tù gi¡c ti¸p xóc W XY Z . . . . . .
Chùng minh ành lþ Fuss . . . . .
T½nh sin cõa mët nûa gâc A . . . .
V½ dö 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . .
V½ dö 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . .
V½ dö 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
52
53
55
56
57
58
iii
Möc löc
Líi c£m ìn
iv
Mð ¦u
1
1 ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng
1.1
1.2
1.3
1.4
Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o . .
C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c .
°c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán . . . . .
2 Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1 Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . .
2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan . . . . . . . . . .
2.1.2 C¡c i·u ki»n c¦n v õ . . . . . . . . . . .
2.1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c .
2.2 Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . .
2.2.1 Mët sè °c tr÷ng cõa tù gi¡c song t¥m . .
2.2.2 Hai °c tr÷ng mîi cõa tù gi¡c song t¥m . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
. 3
. 12
. 13
. 20
.
.
.
.
.
.
.
31
31
31
32
36
41
41
42
3 C¡c v§n · li¶n quan
47
T i li»u tham kh£o
61
3.1 o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc . . . . . . . . . . . 47
3.2 Tù gi¡c ti¸p xóc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o . . . . . . . . . . . . . . 55
iv
Líi c£m ìn
º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn
÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i,
Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y
tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi
vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y
cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11B (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc
- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u
công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc.
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng
ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt
qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i Pháng, th¡ng 5 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t Luªn v«n
Bòi ùc Huy
1
Mð ¦u
1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n
Möc ½ch cõa · t i n y l :
−
Nghi¶n cùu s¥u th¶m v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p: C¡c i·u ki»n v t½nh ch§t
cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p th÷íng ½t ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c s¡ch h¼nh
håc ð Vi»t nam, n¸u câ công ch¿ nâi ¸n ành lþ Pithot, trong khi
t½nh ch§t cõa tù gi¡c nëi ti¸p ÷ñc giîi thi»u th÷íng xuy¶n. Ngo i
ra, cán câ lîp c¡c tù gi¡c °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p câ nhi·u
ùng döng trong gi£i to¡n. Giîi thi»u v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p còng c¡c
tr÷íng hñp °c bi»t cõa nâ l lþ do chån · t i cõa tæi.
−
Sau khi tr¼nh b y g¦n 20 i·u ki»n c¦n v õ còng c¡c t½nh ch§t (công
l c¡c i·u ki»n c¦n v õ) cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p, c¡c °c tr÷ng cõa
tù gi¡c c¡nh di·u v cõa tù gi¡c song t¥m chóng tæi muèn kh¯ng ành
sü phong phó v s¥u sc cõa h¼nh håc sì c§p khi chóng ta bi¸t têng
hñp, khai th¡c c¡c kh½a c¤nh cõa kh¡i ni»m b¬ng c¡c cæng cö s®n câ.
−
Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT
gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc.
2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t
Tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i
ti¸p. Sau â x²t 2 tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Tù gi¡c
c¡nh di·u, tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t cõa chóng. Ph¡t biºu v
chùng minh mët sè h» thùc li¶n quan. Nëi dung luªn v«n chia l m 3
ch֓ng:
Ch÷ìng 1. ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng
Sau khi ph¡t biºu v chùng minh ch°t ch³ ba ành lþ cì b£n cõa tù
gi¡c ngo¤i ti¸p (tham kh£o v bê sung chi ti¸t trong [1], [6]) luªn v«n
2
tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ núa v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p chia l m c¡c
d§u hi»u li¶n quan ¸n c¤nh, ÷íng ch²o, li¶n quan ¸n di»n t½ch, li¶n
quan ¸n c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p,... Ch÷ìng n y bao gçm:
1.1. Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
1.2. C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o
1.3. C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c
1.4. °c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán.
Ch÷ìng 2. Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m
¥y l hai tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Vîi nhúng gi£
thi¸t °c bi»t ta thu ÷ñc c¡c d§u hi»u °c tr÷ng cõa tù gi¡c c¡nh di·u
v tù gi¡c song t¥m còng c¡c t½nh ch§t kh¡c. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c
möc sau:
2.1. Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t
2.2. Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t.
Ch÷ìng 3. C¡c v§n · li¶n quan
B¶n c¤nh kh¡i ni»m tù gi¡c ngo¤i ti¸p vîi c¡c tr÷íng hñp °c bi»t
cõa nâ câ r§t nhi·u c¡c v§n · li¶n quan. Trong ch÷ìng n y ta · cªp
¸n c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t hay ÷ñc sû döng trong gi£i to¡n, â l :
3.1. o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc
3.2. Tù gi¡c ti¸p xóc
3.3. Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o
3
Ch֓ng 1
ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n
t֓ng ֓ng
1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
Ta nhc l¤i tù gi¡c ngo¤i ti¸p ÷íng trán l tù gi¡c lçi m t§t c£ c¡c
c¤nh ·u ti¸p xóc vîi mët ÷íng trán hay tù gi¡c ngo¤i ti¸p l tçn t¤i
tçn t¤i mët ÷íng trán nëi ti¸p trong tù gi¡c. L÷u þ r¬ng ÷íng trán nëi
ti¸p â l duy nh§t. Trong to n bë luªn v«n chóng tæi s³ sû döng tù
gi¡c ngo¤i ti¸p ' thay cho c¡ch nâi tù gi¡c ngo¤i ti¸p mët ÷íng trán.
D¹ th§y khæng ph£i måi tù gi¡c lçi ·u l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Do â,
muèn mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p c¦n ph£i câ th¶m mët (ho°c mët sè) i·u
ki»n n o â, m ta gåi l i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
D§u hi»u nhªn bi¸t mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p xu§t hi»n sîm v âng vai
trá quan trång l ành lþ Pithot. Henri Pithot (1695-1771) l mët kÿ
s÷ ng÷íi Ph¡p ¢ cæng bè i·u ki»n c¦n v công l i·u ki»n õ º mët
tù gi¡c ngo¤i ti¸p ngay tø n«m 1725, ph²p chùng minh ¦u ti¶n ÷ñc
thüc hi»n bði nh to¡n håc Thöy s¾ Jakob Steiner (1796-1863) v o n«m
1846.
ành lþ 1.1
. Tù gi¡c ABCD vîi c¡c c¤nh a, b, c, d ngo¤i ti¸p
(Pithot)
÷íng trán khi v ch¿ khi
AB + CD = BC + DA,
a + c = b + d.
(1.1)
ABCD ngo¤i ti¸p ÷íng trán (I), c¡c ti¸p
c¤nh AB, BC, CD, DA l M, N, P, Q. Suy ra:
Chùng minh. ([1]), Gi£ sû
iºm thù tü tr¶n c¡c
tùc l
4
AM = AQ, BM = BN , CN = CP, DP = DQ.
AB + CD = BC + DA.
Cëng v¸ vîi v¸ ta câ
: ành lþ Pithot
H¼nh 1.1
AB + CD = BC + DA.
Khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t ta coi AB ≤ AD .
Do AB + CD = BC + DA n¶n BC ≤ DC . Khi â tçn t¤i Q ∈ AD,
P ∈ DC sao cho AB = AQ v CB = CP , suy ra DP = DQ. Tø â,
c¡c tam gi¡c ABQ, CBP, DP Q l nhúng tam gi¡c c¥n v c¡c ÷íng
cao tø ba ¿nh A, C, D l 3 trung trüc cõa tam gi¡c BPQ, çng quy t¤i
mët iºm I . Ta câ I c¡ch ·u c¡c c¤nh AD, DC, CB, AB cõa tù gi¡c.
Vªy tçn t¤i ÷íng trán t¥m I ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh tù gi¡c.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tù gi¡c
ABCD
thäa m¢n
Chó þ. Ta cán câ k¸t qu£ m¤nh hìn ành lþ Pithot v công l c¡ch
ABCD l mët
ti¸p xóc vîi AB, AD, BC çng thíi ct
AB + DC ≥ AD + BC . D§u b¬ng x£y
chùng minh kh¡c cõa ph¦n £o ành lþ Pithot: Gi£ sû
tù gi¡c tòy þ v câ ÷íng trán
DC t¤i hai iºm. Khi â
khi ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
c¤nh
ra
Thªt vªy, kþ hi»u nh÷ H¼nh 1.2 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh
trð th nh
x + y + z ≥ c + d.
Ta nhc l¤i ành lþ ph÷ìng t½ch : Cho ÷íng trán
M ct ֒ng
M A.M B = M O − R = d2 − R2 .
cè ành. Mët ÷íng th¯ng thay êi qua
A
v
B.
Khi â
(O; R) v iºm M
2
2
trán t¤i hai iºm
5
: Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc
H¼nh 1.2
Theo ành lþ ph÷ìng t½ch ta câ
c2 = z(y + z), d2 = x(x + y).
Do â, ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc
q
z(y + z) +
q
x(x + y) ≤ x + y + z.
Nh÷ng â ch½nh l h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc AM-GM v¼
z+y+z
2z + y
=
,
2
2
q
x+x+y
2x + y
z(x + y) ≤
=
.
2
2
q
z(y + z) ≤
D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi
y = 0.
Þ ngh¾a cõa b§t ¯ng thùc n y l ð ché: k¸t qu£ têng qu¡t hìn ành
lþ Pithot v ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t khi ÷íng trán ct mët
c¤nh tù gi¡c.
ành lþ 1.2
.
([6]) Tù gi¡c lçi ABCD vîi
P = AC ∩ BD
ngo¤i ti¸p mët
÷íng trán khi v ch¿ khi:
1
1
1
1
+
=
+
.
d(P, AB) d(P, CD) d(P, BC) d(P, DA)
6
hay vi¸t d÷îi d¤ng
1
1
1
1
+
=
+ .
h1 h3
h2 h4
d(P, AB), d(P, BC), d(P, CD), d(P, DA)
P ¸n c¡c o¤n th¯ng AB, BC, CD, DA.
Trong â:
c¡ch tø
(1.2)
l¦n l÷ñt l kho£ng
: Chùng minh ành lþ 1.1
H¼nh 1.3
Chùng minh. Tr÷îc h¸t ta biºu di¹n (1.2) d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c. X²t c¡c
M, N, E, F cõa P l¦n l÷ñt tr¶n c¡c c¤nh AB , BC ,
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, theo ành lþ Thales
h¼nh chi¸u vuæng gâc
CD, DA.
Vîi
PM
AP
PF
=
=
d(C, AB) AC
d(C, AD)
PM
BP
PN
=
=
d(D, AB) BD
d(D, BC)
PC
PE
PN
=
=
d(A, BC)
AC
d(A, DC)
Ngh¾a l ,
PM
PF
PM
PN
PN
PE
=
;
=
;
=
.
b sin B
c sin D d sin A c sin C a sin B
d sin D
H» thùc (1.2) trð th nh
1
1
1
1
+
=
+
.
PM PE
PN PF
Nh¥n c£ 2 v¸ vîi
1+
PM
ta ֖c
PM
PM PM
a sin A sin B
d sin A b sin B
=
+
⇐⇒ 1 +
=
+
PE
PN
PF
c sin C sin D
c sin C c sin D
7
: Chùng minh i·u ki»n c¦n
H¼nh 1.4
Do â, (1.2) t÷ìng ÷ìng vîi
a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A
ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc n¸u v ch¿ n¸u câ (1.3).
ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p th¼ câ mët ÷íng trán
B¥y gií ta chùng minh
i·u ki»n c¦n. N¸u
(1.3)
r. Khi â
A
B
B
C
a = r cot + cot
, b = r cot + cot
2
2
2
2
C
D
D
A
c = r cot + cot
, d = r cot + cot
.
2
2
2
2
nëi ti¸p b¡n k½nh
Do â,
A
B
A
A
B
B
a sin A sin B = r cot + cot
.4 sin cos sin cos
2
2
2
2
2
2
A
B
B
A
A
B
cos cos
= 4r cos sin + cos sin
2
2
2
2
2
2
A+B
A
B
= 4r sin
cos cos
2
2
2
C +D
A
B
= 4r sin
cos cos
2
2
2
8
D
C
C
D
B
A
= 4r cos sin + cos sin
cos cos
2
2
2
2
2
2
D
A
B
C
D
C
cos cos cos cos
= 4r tan + tan
2
2
2
2
2
2
T÷ìng tü,
D
A
A
B
C
D
cos cos cos cos
b sin B sin C = 4r tan + tan
2
2
2
2
2
2
A
B
A
B
C
D
c sin C sin D = 4r tan + tan
cos cos cos cos
2
2
2
2
2
2
B
C
A
B
C
D
d sin D sin A = 4r tan + tan
cos cos cos cos
2
2
2
2
2
2
Tø â suy ra h» thùc (1.3).
i·u ki»n õ. Gi£ sû câ (1.3) v
ABCD
khæng l tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
Tr÷íng hñp 1. H¼nh 1.5 a).
C¡c c¤nh èi cõa tù gi¡c khæng song song, ch¯ng h¤n
X²t ÷íng trán nëi ti¸p
∆ABT ,
AD ∩ BC = T.
ta düng mët ÷íng th¯ng song song
DC , ti¸p xóc vîi ÷íng trán, nâ ct BC ð C 0 , ct DA ð D0 . Gi£
0
0
0 0
0
0
0
0
00 0
0
sû BC = b , C D = c , D A = d , C C = x, D D = y, D D = z , trong
00
00 0
00
00
â, D l iºm tr¶n C D sao cho C CDD l h¼nh b¼nh h nh. Chó þ
b = b0 + x, c = c0 − y, d = d0 + z . V¼ ABC 0 D0 l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n
vîi
a sin A sin B + c0 sin C sin D = c0 sin C sin D
= b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
(1.4)
So s¡nh (1.3) v (1.4) cho
a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A.
−y sin C sin D = x sin B sin C + z sin D sin A hay
y sin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = 0. i·u n y m¥u thu¨n v¼
c£ 3 sè x, y, z ·u còng d§u v c¡c gi¡ trà l÷ñng gi¡c ·u d÷ìng.
K¸t qu£ thu ÷ñc
Tr÷íng hñp 2. H¼nh 1.5 b).
ch¯ng h¤n
AD k BC
ABCD
câ mët c°p c¤nh èi song song,
. X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh
AB, BC
DA. Düng ÷íng th¯ng song song vîi DC , ti¸p xóc ÷íng trán, nâ
0
0
0
0
0
0
ct BC, DA t÷ìng ùng ð C , D . Gi£ sû C C = D D = x, BC = b v
v
9
: Chùng minh i·u ki»n õ
H¼nh 1.5
D0 A = d0 . Rã r ng b0 = b − x, d = d0 + x, C 0 D0 = CD = c. V¼ABC 0 D0 l
tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n
a sin A sin B + c sin C sin D = b0 sin B sin C
= b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
(1.5)
So s¡nh (1.5) vîi (1.3):
b sin B sin C + d sin D sin A = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = 0.
x 6= 0, sin A = sin B ; sin C sin D (hai gâc bò nhau) n¶n
2 sin A sin C = 0. Væ lþ. ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.
V¼
suy ra:
Trong [6] Nicusor Minculete tr½ch d¨n mët °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa
tù gi¡c ngo¤i ti¸p do Marius Iosifescu cæng bè trong mët t¤p ch½ cô
cõa Romanian (Iosifescu, Problem 1421, The Mathematical Gazette (in
Romanian),
N0
11, 1954). B£n th¥n Nicusor Minculete ch÷a åc ÷ñc
ph²p chùng minh °c tr÷ng n y cõa Iosifescu v¼ khæng câ b£n ti¸ng
Anh, æng công khæng x¡c ành ÷ñc ph²p chùng minh sau ¥y cõa æng
câ gièng ph²p chùng minh cõa Iosifescu khæng. Câ thº coi °c tr÷ng
Iosifescu sau ¥y l °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
ành lþ 1.3
. Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p
( °c tr÷ng Iosifescu, [6])
khi v ch¿ khi
z
y
w
x
tan . tan = tan . tan ,
2
2
2
2
(1.6)
10
trong â,
\ y = ADB,
\ z = BDC,
\ w = DBC
\.
x = ABD,
Chùng minh. Sû döng cæng thùc l÷ñng gi¡c
tan2
u 1 − cos u
=
2
1 + cos u
ta th§y
(1.6) t÷ìng ÷ìng vîi
1 − cos x 1 − cos z 1 − cos y 1 − cos w
.
−
.
.
1 + cos x 1 + cos z 1 + cos y 1 + cos w
i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi
(1 − cos x)(1 − cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) =
= (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z).
a = AB, b = BC, c = CD, d = DA
a2 + q 2 − d 2
, cho n¶n
cho cosx =
2aq
Nhc l¤i
cæ sin
v °t
q = BD,
(1.7)
ành lþ
d2 − (a − q)2
(d + a − q)(d − a + q)
1 − cos x =
=
2aq
(2aq)
(a − q + d)(a − q − d)
(a − q)2 − d2
=
1 + cos x =
2aq
(2aq)
Công b¬ng c¡ch nh÷ th¸:
(a + d − q)(a − d + q)
(d + q + a)(d + q − a)
, 1 + cos y =
(2dq)
(2dq)
(b + c − q)(b − c + q)
(c + q + b)(c + q − b)
1 − cos z =
, 1 + cos z =
(2cq)
(2cq)
(b + c − q)(c − b + q)
(b + q + c)(b + q − c)
1 − cos w =
, 1 + cos w =
(2bq)
(2bq)
1 − cos y =
Nh÷ vªy (1.7) t÷ìng ÷ìng vîi
(d + a − q)(d − a + q)2 (b + c − q)(b − c + q)2
·
·
2aq
2cq
(d + q + a) (b + q + c)
·
·
2dq
2bq
(a + d − q)(a − d + q)2 (c + b − q)(c − b + q)2
=
·
·
2dq
2bq
(a + q + d) (c + q + b)
·
·
.
2aq
2cq
11
: C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu
H¼nh 1.6
i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi
P.[(d − a + q)2 (b − c + q)2 − (a − d + q)2 (c − b + q)2 ] = 0
trong â,
P =
(d + a + q)(b + c − q)(d + q + a)(b + q + c)
16abcdq 4
(1.8)
l biºu thùc
d÷ìng do c¡c b§t ¯ng thùc tam gi¡c trong c¡c tam gi¡c ABD, BCD.
Khai triºn (1.8) nhªn ÷ñc
P.[(d − a + q)(b − c + q) + (a − d + q)(c − b + q)]×
×[(d − a + q)(b − c + q) − (a − d + q)(c − b + q)] = 0
¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi
4qP.(b + d − a − c)[q 2 − (a − d)(b − c)] = 0
Sû döng b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ
2
q − (a − d)(b − c) > 0.
tan
(1.9)
q > a − d; q > b − c,
Tø ¥y ta k¸t luªn ÷ñc
z
y
w
x
· tan = tan · tan
⇐⇒ b + d = a + c
2
2
2
2
°c tr÷ng Iosifescu ÷ñc chùng minh theo ành lþ Pithot.
vªy
12
1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o
Mët trong nhúng con ÷íng t¼m ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ º tù gi¡c
lçi ngo¤i ti¸p l chùng minh c¡c i·u ki»n mîi n y t÷ìng ÷ìng vîi mët
trong ba ành lþ cì b£n ð tr¶n. Sau ¥y l hai °c tr÷ng t÷ìng tü vîi
ành lþ Pithot:
M»nh · 1.1. N¸u ABCD l mët tù gi¡c lçi m c¡c c¤nh èi di»n AB
v
CD
ct nhau ð
P, AD
v
BC
ct nhau ð
Q
th¼
ABCD
ngo¤i ti¸p
khi v ch¿ khi x£y ra 1 trong 2 i·u ki»n
BP + BQ = DP + DQ; AP − AQ = CP − CQ.
Chùng minh. i·u ki»n n y ÷ñc chùng minh b¬ng ph£n chùng.
K, L, M, N l c¡c
ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi l¦n l÷ñt c¡c c¤nh AB, BC, CD, DA.
i·u ki»n c¦n. Gi£ sû tù gi¡c
ABCD
ngo¤i ti¸p. Gåi
Khi â,
BP + BQ = AP − AB + BC + CQ = (AP + CQ) + (BC − AB)
= AQ + CP + CD − AD = DP + DQ;
AP + CQ = AK + P K + QL − CL = AN + P M + QN − CM
= AQ + CP.
: i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu
H¼nh 1.7
13
i·u ki»n õ. Ta chùng minh ch¯ng h¤n câ
ABCD
th¼
BC
BP + BQ = DP + DQ
l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¤nh
AD khæng ti¸p xóc
0
0
vîi ÷íng trán. Gåi S l iºm tr¶n AQ sao cho Q S song song DD .
0
0
0 0
V¼ BP + BQ = DP + DQ v BP + BQ = D P + D Q , k²o theo
QS + SQ0 = QQ0 . M¥u thu¨n.
v c¡c tia
SXY Z
BA
v
ch¿ di»n t½ch
CD.
Gi£ sû ÷íng th¯ng
∆XY Z . Ta câ 3 i·u ki»n li¶n quan ¸n di»n t½ch.
M»nh · 1.2. Tù gi¡c lçi ABCD vîi P = AC ∩ BD. C¦n v õ º
ABCD
•
ngo¤i ti¸p l câ mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau:
a
+
c
=
b
+
d
(1.10)
•
SAP B SCP D
SBP C SDP A
a.SCP D + c.SAP B = b.SDP A + d.SBP C
•
a.P C.P D + c.P A.P B = b.P A.P D + d.P B.P C.
Chùng minh. Tø c¡c h» thùc
(1.11)
(1.12)
a
a
1
=
=
,...
d(P, AB) a.d(P, AB) 2S(∆AP B)
suy ra (1.10) t÷ìng ÷ìng vîi (1.2).
Sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.10), (1.11) v (1.12) rót ra tø c¡c ¯ng thùc
1
SAP B = P A.P B. sin ϕ, v.v..., ϕ l gâc giúa hai ÷íng ch²o
2
1
2
r¬ng SAP B .SCP D = SBP C .SDP A = .P A.P B.P C.P D. sin ϕ.
4
vîi l÷u þ
1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c
Trong mët b i b¡o n«m 2000, (Problem 10698, Amer. Math. Monthly,
105(1998) 995; solution, 107 (2000), 657-658 ), Wu Wei Chao ÷a ra
mët °c tr÷ng kh¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Gåi
P
l giao hai ÷íng ch²o
ABCD v r1 , r2 , r3 , r4 l b¡n k½nh c¡c ÷íng trán nëi ti¸p
∆AP B, ∆BP C, ∆CP D, ∆DP A, t÷ìng ùng. Khi â câ k¸t qu£ sau
cõa tù gi¡c lçi
M»nh · 1.3. Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi
1
1
1
1
+ = +
r1 r2
r3 r4
Chùng minh. X²t tam gi¡c
ùng l
ha , hb , hc
ABC
(1.13)
tòy þ vîi c¤nh a, b, c ÷íng cao t÷ìng
v b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p
r.
Tø c¡c cæng thùc
14
1
1
1
1
SABC = (a + b + c) · r = aha = bhb = chc
2
2
2
2
ta suy ra:
1 a+b+c
1
b
c
1
b
c
=
=
+
+
=
+
+
.
r
aha
ha aha aha
ha bhb chc
Ngh¾a l b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c quan h» vîi c¡c ÷íng
cao bði h» thùc
1
1
1
1
=
+
+
r
ha hb hc
p döng ¯ng thùc â v o 4 tam gi¡c
1
r1
1
r2
1
r3
1
r4
(1.14)
AP B, BP C, CP D, DP A
ta câ:
1
1
1
+
+
,
d(P, AB) d(A, BD) d(B, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, BC) d(C, BD) d(B, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, CD) d(C, BD) d(D, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, AD) d(A, BD) d(D, AC)
=
Tø â suy ra sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.13) v (1.2).
M»nh · 1.4. Tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¸u v ch¿ n¸u hai
÷íng trán nëi ti¸p trong hai tam gi¡c t¤o bði mët ÷íng ch²o ti¸p xóc
vîi nhau.
ABCD, gi£ sû c¡c ÷íng trán nëi ti¸p
c¡c tam gi¡c ABC, CDA, BCD, DAB l¦n l÷ñt ti¸p xóc vîi AC v BD
ð X, Y, Z, W (H¼nh 1.8 ). Tr÷îc h¸t ta chùng minh:
Chùng minh. Trong tù gi¡c lçi
1
ZW = |a − b + c − d| = XY.
2
Thªt vªy, sû döng t½nh ch§t ti¸p tuy¸n ngo i ta câ
BZ = b − z
BW = a − w,
n¶n
ZW = BW − BZ = a − w − b + z.
Công b¬ng c¡ch nh÷ vªy,
DW = d − w
v
DZ = c − z
ZW = DZ − DW = c − z − d + w.
n¶n
- Xem thêm -
.PDF 
67 
26 
137 
