Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán Ứng dụng mô hình cokb và thuật giải cho tri thức hình học giải tích hai chiều

Ket-noi.com chia se Đề tài: ỨNG DỤNG MÔ HÌNH COKB VÀ THUẬT GIẢI CHO TRI THỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH HAI CHIỀU Giảng viên hƣớng dẫn: PGS.TS. ĐỖ VĂN NHƠN Học viên thực hiện: NGUYỄN TRÍ PHÚC Mã số: CH1101121 TP. Hồ Chí Minh, tháng 1 năm 2013 MỤC LỤC CHƢƠNG 1 – TỔNG QUAN .............................................................................................. 1 1.1. Đặt vấn đề ............................................................................................................... 1 1.2. Mục tiêu .................................................................................................................. 1 1.3. Phạm vi ................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 2 – MÔ HÌNH COKB ........................................................................................ 2 2.1. Định nghĩa về mô hình COKB................................................................................ 2 2.1.1. Tập hợp C (các khái niệm về các C_Object): .................................................. 2 2.1.2. Mô hình cho một đối tƣợng tính toán (C-Object) ............................................ 4 2.1.3. Tập hợp H (các quan hệ phân cấp giữa các đối tƣợng) .................................... 4 2.1.4. Tập hợp R các khái niệm về các loại quan hệ trên các C-Object .................... 4 2.1.5. Tập hợp Opts các toán tử ................................................................................. 5 2.1.6. Tập hợp Funcs các hàm .................................................................................... 5 2.1.7. Tập hợp Rules các luật ..................................................................................... 5 2.2. Tổ chức cơ sở tri thức theo COKB ......................................................................... 6 2.3. Sơ đồ tổ chức cơ sở tri thức .................................................................................... 7 2.4. Các loại sự kiện trong mô hình COKB ................................................................... 7 2.5. Định nghĩa các bƣớc giải cho mô hình COKB ..................................................... 10 CHƢƠNG 3 – BIỂU DIỄN TRI THỨC HÌNH HỌC 2 CHIỀU........................................ 12 3.1. Mô hình ................................................................................................................. 12 3.1.1. Tập C, tập các khái niệm ................................................................................ 12 3.1.2. Sơ đồ Hasses .................................................................................................. 18 3.1.3. Các quan hệ giữa các đối tƣợng ..................................................................... 19 3.1.4. Các toán tử Ops .............................................................................................. 20 3.1.5. Các luật Rules ................................................................................................ 20 3.2. Giải thuật ............................................................................................................... 22 3.2.1. Định nghĩa về sự hợp nhất hai sự kiện ........................................................... 23 3.2.2. Định nghĩa về bƣớc giải ................................................................................. 23 3.2.3. Thuật giải........................................................................................................ 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 25 1 CHƢƠNG 1 – TỔNG QUAN 1.1. Đặt vấn đề Để đáp ứng các nhu cầu tra cứu và giải toán tự động trên máy tính đã có nhiều nghiên khoa học về ứng dụng tin học trong toán học ở Việt Nam và cả trên thế giới. Các công trình này đã đạt đƣợc một số kết quả nhất định. Có thể kể ra nhƣ công trình hệ hỗ trợ học tri thức và giải toán hình học giải tích, mạng tính toán mở rộng và ứng dụng trong phần mềm giáo dục, mạng đối tƣợng tính toán mở rộng và ứng dụng trong phần mềm giáo dục… Các nghiên cứu này đã tìm ra cách tổ chức, lƣu trữ tri thức và các mô hình dùng trong quá trình suy luận để giải quyết vấn đề trong một số miền tri thức cụ thể. Trong bài tiểu luận này em xin thực hiện một nghiên cứu tìm hiểu cũng nhƣ xây dựng, đƣa ra cách tổ chức mô hình tri thức về hình học giải tích 2 chiều đơn giản. 1.2. Mục tiêu Báo cáo này sẽ hƣớng đến việc xây dựng một hệ thống giải các bài toán hình học giải tích hai chiều đơn giản. 1.3. Phạm vi Các đối tƣợng đƣợc xét đến trong báo cáo này là: - Điểm. - Đoạn thẳng - Đƣờng thẳng - Tam giác - Tứ giác 2 CHƢƠNG 2 – MÔ HÌNH COKB 2.1. Định nghĩa về mô hình COKB Mô hình biểu diễn tri thức COKB(Computational Objects Knowledge Base) [4] là một mô hình tri thức của các đối tƣợng tính toán. Mô hình COKB là một hệ thống gồm 6 thành phần chính đƣợc ký hiệu bởi bộ 6 nhƣ sau: (C,H,R,Opts, Funcs,Rules) 2.1.1. Tập hợp C (các khái niệm về các C_Object): Các khái niệm đƣợc xây dựng dựa trên các đối tƣợng. Mỗi khái niệm là một lớp các đối tƣợng tính toán có cấu trúc nhất định và đƣợc phân cấp theo sự thiết lập của cấu trúc đối tƣợng, bao gồm: - Các đối tƣợng (hay khái niệm) nền: là các đối tƣợng (hay khái niệm) đƣợc mặc nhiên thừa nhận. Ví dụ: nhƣ một số đối tƣợng kiểu boolean (logic), số tự nhiên (natural), số nguyên (integer), số thực (real), tập hợp (set), danh sách (list) hay một số kiểu tự định nghĩa. - Các đối tƣợng cơ bản (hay khái niệm) cơ bản cấp 0: có cấu trúc rỗng hoặc có cấu trúc thiết lập trên một số thuộc tính kiểu khái niệm nền: Các đối tƣợng(hay khái niệm) này làm nền cho các đối tƣợng(hay các khái niệm) cấp cao hơn. Ví dụ: đối tƣợng DIEM có kiểu mô tả không có cấu trúc thiết lập. - Các đối tƣợng (hay khái niệm) cấp 1: Các đối tƣợng này chỉ có các thuộc tính kiểu khái niệm nền và có thể đƣợc thiết lập trên một danh sách nền các đối tƣợng cơ bản. Ví dụ: đối tƣợng DOAN[A,B] trong đó A, B là các đối tƣợng cơ bản loại DIEM, thuộc tính a biểu thị độ dài đoạn thẳng có kiểu tƣơng ứng là “real”. - Các đối tƣợng (hay khái niệm) cấp 2: Các đối tƣợng này có các thuộc tính kiểu khái niệm nền và các thuộc tính loại đối tƣợng cấp 1, có thể 3 đƣợc thiết lập trên một danh sách nền các đối tƣợng cơ bản. Ví dụ: đối tƣợng TAMGIAC[A,B,C] trong đó A, B, C là các đối tƣợng cơ bản loại DIEM, các thuộc tính nhƣ GocA, a, S có kiểu tƣơng ứng là “GOC[C,A,B]”, “DOAN[B,C]”, “real”. - Các đối tƣợng (hay khái niệm) cấp n >0: Các đối tƣợng này có các thuộc tính kiểu khái niệm nền và các thuộc tính loại đối tƣợng cấp thấp hơn, có thể đƣợc thiết lập trên một danh sách nền các đối tƣợng cấp thấp hơn. Cấu trúc bên trong của mỗi lớp đối tƣợng:  Kiểu đối tƣợng: Kiểu này có thể là kiểu thiết lập trên một danh sách nền các đối tƣợng cấp thấp hơn.  Danh sách các thuộc tính của đối tƣợng: Mỗi thuộc tính có kiểu thực, kiểu đối tƣợng cơ bản hay kiểu đối tƣợng cấp thấp hơn. Phân ra làm 2 loại là tập các thuộc tính thiết lập của đối tƣợng và tập các thuộc tính khác (còn gọi là tập thuộc tính).  Tập hợp các điều kiện ràng buộc trên các thuộc tính.  Tập hợp các tính chất nội tại hay sự kiện vốn có liên quan đến các thuộc tính của đối tƣợng.  Tập hợp các quan hệ suy diễn - tính toán trên các thuộc tính của đối tƣợng. Các quan hệ này thể hiện các luật suy diễn và cho phép ta có thể tính toán một hay một số thuộc tính từ các thuộc tính khác của đối tƣợng.  Tập hợp các luật suy diễn trên các loại sự kiện khác nhau liên quan đến các thuộc tính của đối tƣợng hay bản thân đối tƣợng. Mỗi luật suy diễn có dạng: {các sự kiện giả thiết}  {các sự kiện kết luận}. 4 2.1.2. Mô hình cho một đối tƣợng tính toán (C-Object) Một C-Object có thể đƣợc mô hình hóa bởi một bộ 6 thành phần chính: (BasicO,Attrs, CRela, Rules, Prop,Cons) Trong đó: - BasicO: là tập hợp các đối tƣợng nền của một đối tƣợng. - Attrs: là tập hợp các thuộc tính của đối tƣợng. - CRela: là tập hợp các quan hệ suy diễn tính toán. - Rules: là tập hợp các luật suy diễn trên các sự kiện liên quan đến các thuộc tính cũng nhƣ liên quan đến bản thân đối tƣợng. - Prop: là tập hợp các tính chất hay sự kiện vốn có của đối tƣợng. - Cons: là tập hợp các điều kiện ràng buộc. 2.1.3. Tập hợp H (các quan hệ phân cấp giữa các đối tƣợng) Trong tập C, ta có các quan hệ mà theo đó có thể có những khái niệm là sự đặc biệt hoá của những khái niệm khác. Có thể nói, H là một biểu đồ Hasse trên C khi xem quan hệ phân cấp là một quan hệ thứ tự trên C. Cấu trúc của một quan hệ phân cấp: [, ] 2.1.4. Tập hợp R các khái niệm về các loại quan hệ trên các C-Object Mỗi quan hệ đƣợc xác định bởi tên quan hệ và danh sách các loại đối tƣợng của quan hệ. Đối với quan hệ 2 hay 3 ngôi thì quan hệ có thể có các tính chất nhƣ tính phản xạ, tính phản xứng, tính đối xứng và tính bắc cầu. Cấu trúc của một quan hệ: 5 [ < tên quan hệ > , < loại đối tƣợng > , < loại đối tƣợng > ,…] , {< tính chất > , < tính chất >}. 2.1.5. Tập hợp Opts các toán tử Các toán tử thể hiện các qui tắc tính toán nhất định trên các biến thực cũng nhƣ trên các đối tƣợng. Chẳng hạn nhƣ các phép toán số học, các phép tính toán trên các đối tƣợng đoạn, góc tƣơng tự nhƣ đối với các biến thực hay các phép tính toán vecto, tính toán ma trận,… Trong trƣờng hợp các phép toán 2 ngôi thì phép toán có thể có các tính chất nhƣ tính giao hoán, tính kết hợp,tính nghịch đảo, tính trung hoà. 2.1.6. Tập hợp Funcs các hàm Tập hợp Funcs trong mô hình COKB thể hiện tri thức về các hàm hay nói cách khác là thể hiện tri thức về các khái niệm và các qui tắc tính toán trên các biến thực cũng nhƣ trên các loại C-Object, đƣợc xây dựng thông qua các quan hệ tính toán dạng hàm. Mỗi hàm đƣợc xác định bởi , danh sách các đối số và một qui tắc định nghĩa hàm về phƣơng diện toán học. 2.1.7. Tập hợp Rules các luật Mỗi luật cho ta một qui tắc suy luận để từ các sự kiện đang biết suy ra đƣợc các sự kiện mới thông qua việc áp dụng các định luật, định lý hay các qui tắc tính toán nào đó. Mỗi luật suy diễn r có thể đƣợc mô hình hoá dƣới dạng : r : {sk1, sk2, ..., skm}  {skm+1, skm+2, ..., skn}. Cấu trúc của một luật: [ Kind, BasicO, Hypos, Goals] Trong đó: 6  Kind: loại luật.  BaseO: tập các đối tƣợng cơ bản.  Hypos: tập các sự kiện giả thiết của một luật. Goals: tập các sự kiện kết luận của một luật. 2.2. Tổ chức cơ sở tri thức theo COKB Cơ sở tri thức đƣợc tổ chức bởi một hệ thống tập tin văn bản có cấu trúc dựa trên một số từ khoá và qui ƣớc về cú pháp, thể hiện các thành phần trong mô hình tri thức COKB. Hệ thống này bao gồm các tập tin nhƣ sau: - Tập tin OBJECT.txt : Lƣu trữ tất cả các khái niệm đối tƣợng của cơ sở tri thức. - Tập tin HIERARCHY.txt: Lƣu lại các biểu đồ Hasse thể hiện quan hệ phân cấp đặc biệt hoá giữa các loại đối tƣợng C-Object. - Tập tin RELATIONS.txt: Lƣu trữ tất cả các quan hệ cũng nhƣ các tính chất giữa các loại đối tƣợng C-Object. - Tập tin OPERATORS.txt: lƣu trữ các thông tin, cơ sở tri thức của thành phần toán tử trên các đối tƣợng C-Object. - Tập tin OPERATORS_DEF.txt: Lƣu trữ định nghĩa về các loại toán tử hay định nghĩa của các thủ tục tính toán phục vụ toán tử. - Tập tin RULES.txt: Lƣu trữ các hệ luật trên các loại đối tƣợng và các sự kiện trong cơ sở tri thức. - Tập tin FUNCTIONS.txt: Lƣu trữ cách khai báo hàm, thông tin về hảm trên các C-Object. - Tập tin FUNCTIONS_DEF.txt: Lƣu trữ định nghĩa về các hàm trên các đối tƣợng và các sự kiện. - Các tập tin có tên .txt: Lƣu trữ cấu trúc của đối tƣợng . 7 2.3. Sơ đồ tổ chức cơ sở tri thức Mối liên hệ về cấu trúc thông tin trong cơ sở tri thức có thể đƣợc minh hoạ trên sơ đồ sau đây: Hình - Sơ đồ tổ chức theo mô hình COKB 2.4. Các loại sự kiện trong mô hình COKB Sự kiện loại 1: Sự kiện thông tin về loại của đối tƣợng. Cấu trúc sự kiện: [<đối tƣợng>, ] Ví dụ: Tam giác cân ABC đƣợc định nghĩa nhƣ sau : [TAMGIAC[A,B,C], “TAMGIACCAN”]. Sự kiện loại 2: Sự kiện về tính xác định của một đối tƣợng hay của một thuộc tính của đối tƣợng. Cấu trúc sự kiện: <đối tƣợng>|<đối tƣợng >. 8 Ví dụ: Trong tam giác ABC ta có các cạnh AB, AC, BC và các góc ABC, góc BAC và góc ACB đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  Các cạnh: DOAN[A,B], DOAN[A,C], DOAN[B,C].  Các góc: GOC[A,B,C], GOC[B,A,C], GOC[A,C,B]. Sự kiện loại 3: Sự kiện về tính xác định của một đối tƣợng hay của một thuộc tính của đối tƣợng thông qua biểu thức hằng. Cấu trúc sự kiện: <đối tƣợng> | <đối tƣợng >. = Ví dụ: DOAN[A,B].a = 5; GOC[A,B,C] = Pi/2. Sự kiện loại 4: Sự kiện về sự bằng nhau của một đối tƣợng hay một thuộc tính của đối tƣợng với một đối tƣợng hay một thuộc tính khác. Cấu trúc sự kiện: <đối tƣợng> | <đối tƣợng >. = <đối tƣợng> | <đối tƣợng >. Ví dụ: DOAN[A,B].a = DOAN[B,C].a, GOC[A,B,C].a = GOC[A,C,B].a. Sự kiện loại 5: Sự kiện về sự phụ thuộc giữa các đối tƣợng và các thuộc tính của các đối tƣợng thông qua một công thức tính toán hay một đẳng thức theo các đối tƣợng hay các thuộc tính. Cấu trúc sự kiện: <đối tƣợng>|<đối tƣợng >.= 9 Ví dụ: CV = DOAN[A,B].a + DOAN[A,C].a + DOAN[B,C].a Sự kiện loại 6: Sự kiện về một quan hệ trên các đối tƣợng hay trên các thuộc tính của các đối tƣợng. Cấu trúc sự kiện: [,,,…] Ví dụ: ["THUOC", M,DOAN[A,B]]  Điểm M thuộc đoạn AB. Sự kiện loại 7: Sự kiện về tính xác định của một hàm. Cấu trúc sự kiện: Ví dụ: TRUNGDIEM(A,B)  Hàm xác định trung điểm của 2 điểm A,B. Sự kiện loại 8: Sự kiện về tính xác định của một hàm thông qua một biểu thức hằng. Cấu trúc sự kiện: = Ví dụ: KHOANGCACH(d1, d2) = 9  Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng d1 và d2 bằng 9. Sự kiện loại 9: Sự kiện về sự bằng nhau giữa một đối tƣợng hay thuộc tính với một hàm. Cấu trúc sự kiện: <đối tƣợng> | <đối tƣợng >. = Ví dụ : GOC[A,B,C] = GOC(d1, d2), H1 = HINHCHIEU(A, d) Sự kiện loại 10: Sự kiện về sự bằng nhau của một hàm với một hàm khác. 10 Cấu trúc sự kiện: = Ví dụ: KHOANGCACH(d,d1) = KHOANGCACH(d1,d2) Sự kiện loại 11: Sự kiện về sự phụ thuộc của một hàm theo các hàm hay các đối tƣợng khác thông qua một công thức tính toán. Cấu trúc sự kiện: = Ví dụ: GOC(d,d1) = GOC(d,d2) + GOC(d,d3). Sự kiện loại 12: Sự kiện về sự phụ thuộc giữa các hàm hay các đối tƣợng thông qua một đẳng thức theo các hàm hay các đối tƣợng. Cấu trúc sự kiện: <đẳng thức theo các hàm hay các đối tƣợng> Ví dụ: GOC(d,d1)+ GOC(d,d3) = GOC[A,B,C].a+GOC(d,d2). 2.5. Định nghĩa các bƣớc giải cho mô hình COKB 1. Deduce_from3s: suy ra các sự kiện loại 2 từ các sự kiện loại 2. Deduce_from43s: suy ra các sự kiện mới loại 3 từ các sự kiện loại 3 và 4 bằng cách thay thế các biến trong sự kiện loại 3 vào sự kiện loại 4. 3. Deduce_from53s: suy ra các sự kiện mới loại 3, 4, 5 từ các sự kiện loại 3 và 5 bằng cách thay thế các biến trong sự kiện loại 3 vào sự kiện loại 5. 4. Deduce_from45s: suy ra các sự kiện mới loại 3 từ các sự kiện loại 4 và 5 bằng cách giải hệ phƣơng trình. 5. Deduce_from8s: suy ra các sự kiện loại 7 từ các sự kiện loại 8. 11 6. Deduce_from983s: suy ra các sự kiện loại 3, 8 từ các sự kiện loại 3, 8, 9 bằng cách thay thế các sự kiện loại 8 (hay sự kiện loại 3) vào các sự kiện loại 9. 7. Deduce_Objects: thực hiện suy diễn và tính toán bên trong cấu trúc của từng đối tƣợng. Các đối tƣợng tham gia vào bƣớc giải có khả năng tham gia vào các bƣớc giải có khả năng thực hiện các hành vi nhất định để phát sinh sự kiện mới, thực hiện suy diễn tính toán trên các thuộc tính của đối tƣợng, bản thân đối tƣợng hay các đối tƣợng liên quan đƣợc thiết lập trên nền của đối tƣợng. 8. Deduce_from9s: suy ra các sự kiện loại 2, 3 , 6, 7, 8 từ các sự kiện loại 9 bằng cách thực hiện tính toán hàm. 9. Deduce_Rules: dò tìm luật có thể áp dụng đƣợc. 10. Deduce_Funcs: dò tìm hàm có thể áp dụng đƣợc. 11. Deduce_EqsGoal: giải hệ phƣơng trình đơn giản gồm n phƣơng trình n ẩn. 12 CHƢƠNG 3 – BIỂU DIỄN TRI THỨC HÌNH HỌC 2 CHIỀU 3.1. Mô hình 3.1.1. Tập C, tập các khái niệm (1): Các biến số thực, đây là tiền đề đầu tiên của mô hình. (2): Điểm: Đối tƣợng nền. Kí hiệu: POINT. Mỗi một điểm có chƣa 2 thuộc tính x vày, có thể thuộc kiểu thực hoặc là một biểu thức khi giải các bài toán mở rộng. (3): Các đối tƣợng đƣợc xây dựng từ các đối tƣợng lớp (1) và (2): Đoạn thẳng, đƣờng thẳng và góc. - Đƣờng thẳng (LINE) có một thuộc tính là phƣơng trình đƣờng thẳng. - Đoạn thẳng (SEGMENT) Là sự kế thừa từ Đƣờng thẳng nhƣng có chứa thêm 2 đối tƣợng thuộc loại điểm (Là 2 đầu mút của đoạn thẳng). (4): Các đối tƣợng đƣợc xây dựng dựa trên các đối tƣợng thuộc lớp (3): Tam giác, tứ giác. Kí hiệu: Tam giác – TRIANGLE, Tứ giác – QUADRANGLE. TRIANGLE: - Là một tập 3 điểm A, B, C. - Độ dài 3 cạch: a,b,c (hay BC, AC, AB). - Các thuộc tính khác: S,p. QUADRANGLE: - Là một tập 4 điểm A, B, C, D. - Độ dài 4 cạnh: AB, BC, CD, DA. - Các thuộc tính khác: S,p. 13 Cấu trúc chi tiết cho từng đối tƣợng: (1) POINT (Điểm): - Kiểu: Sơ cấp. - Thuộc tính: Tên điểm, tọa độ điểm (X,Y) thuộc kiễu thực. - Quan hệ: là thuộc tính của các đối tƣợng cấp cao hơn. - Điều kiện ràng buột: Mỗi điểm có một tên riêng biệt(Tức không tồn tại hai điểm - trùng tên hoặc trùng độ tọa độ trong cùng một tập). - Tính chất của đối tƣợng:... - Luật suy diễn:... (2) LINE (Đƣờng thẳng): - Kiểu: Đối tƣợng nền. - Thuộc tính: Phƣơng trình đƣờng thẳng: Ax+By+C=0. - Quan hệ: là thuộc tính của các đối tƣợng cấp cao hơn. (3) SEGMENT (Đoạn thẳng): - Kiểu: Đối tƣợng nền. - Thuộc tính: Phƣơng trình đƣờng thẳng Ax+By+C=0, và hai đầu mút A và B của đoạn thẳng. - Quan Hệ: là thuộc tính của các đối tƣợng cấp cao hơn. - Ràng buột: . (4) VECTOR (Vec-tơ): - Kiểu: Đối tƣợng nền 14 - Thuộc tính: x, y thể hiện phƣơng và độ lớn của vector. - Quan Hệ: Vector có thể đƣợc xác định từ một đoạn thẳng. (5) ANGLE (Góc): - Kiểu: Đối tƣợng nền. - Thuộc tính: 3 điểm, tên góc đƣợc tạo bởi 3 điểm. Số đo góc p. - Quan hệ: là thuộc tính của các đối tƣợng cấp cao hơn. - Điều kiện ràng buột: Qui ƣớc về góc trong và góc ngoài. Ràng buột về số đo của góc. - Tính chất góc: - Luật suy diễn: - Phép toán trên góc: (6) TRIANGLE (Tam Giác): - Kiểu: Đối tƣợng cấp cao. - Thuộc tính: 3 điểm không thẳng hàng và các đoạn thẳng tƣơng ứng đƣợc tạo từ các điểm này ngoài ra còn có các thuộc tính liên quan đến bản chất của tam giác nhƣ S, P v.v.. POINT[A], POINT[B], POINT[C]: Các đỉnh của tam giác. 15 SEGMENT[AB], SEGMENT[BC], SEGMENT[CA]: Các cạnh của tam giác. ANGLE[BAC], ANGLE[ABC], ANGLE [BCA]: Các góc của tam giác. Ha,Hb,Hc: Độ dài các đƣờng cao. S,P : Diện tích, nữa chu vi kiểu thực. Để tiện theo dỏi, có thể xem ANGLE[ABC] là B, điểm A là POINT[A]. Và SEGMENT[AB] là c. - Ràng buột: - Quan hệ suy diễn: √ - Các luật suy diễn nội tại tam giác: 16 * Định lý Pitago: * Xác định tam giác vuông: * Xác định tam giác cân: (7) QUADRANGLE (Tứ giác): - Kiểu: Đối tƣợng cao cấp. - Thuộc tính: 4 điểm, 2 đƣờng chéo cùng các thuộc tính khác nhƣ p (Chu vi), - S(Diện tích). POINT[A], POINT[B], POINT[C], POINT[D]: Các Đỉnh của tứ giác. 17 ANGLE[A], ANGLE[B], ANGLE[C], ANGLE[D]: Các góc của tứ giác. AB, BC, CD, AD: Các cạnh của tứ giác (Kiểu SEGMENT). AC, BD: hai đƣờng chéo của tứ giác (Kiểu SEGMENT). S,p: Diện tích, chu vi của tứ giác, kiểu thực. - Quan hệ suy diễn: - Các luật suy diễn nội tại tứ giác: * Song song giữa 2 cạnh tứ giác: (8) PARALLELOGRAM (Hình bình hành): - Kế thừa từ tứ giác, hình bình hành có tất cả các thuộc tính của một tứ giác (4 điểm, 4 cạnh, 2 đƣờng chéo nhƣ trên). - Ràng buột: 18 (9) RECTANGLE (Hình chữ nhật): - Kế thừa từ tứ giác, hình bình hành có tất cả các thuộc tính của một tứ giác (4 điểm, 4 cạnh, 2 đƣờng chéo nhƣ trên). - Ràng buột: (10) SQUARE (Hình vuông): - Kế thừa từ tứ giác, hình bình hành có tất cả các thuộc tính của một hình chữ nhật (4 điểm, 4 cạnh, 2 đƣờng chéo nhƣ trên). - Ràng buột: 3.1.2. Sơ đồ Hasses Mô tả sự phân cấp cho từng đối tƣợng trong tập C. H nhƣ một cây. Trong đó một nút sẽ là một kiểu đối tƣợng và mỗi nút sẽ có một cha (Parent) hay còn gọi là BaseClass (Lớp cơ sở). Đây là tiền đề để ta xét xem hai đối tƣợng có thuộc cùng một dạng hay không (Cùng là tam giác hoặc cùng là tứ giác). Từ đó ta có thể so sánh và thao tác trên các thuộc tính của hai đối tƣợng này