Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học lý thuyết kkm và bài toán cân bằng

  • Số trang: 108 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 104 |
  • Lượt tải: 0
tranphuong

Đã đăng 59174 tài liệu

Mô tả:

Môc lôc Lêi nãi ®Çu 1 Ch−¬ng 1 C¬ së lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p« 3 1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . 3 1.2 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ch−¬ng 2.1 2.2 2.3 2 Bµi to¸n c©n b»ng 33 C©n b»ng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bµi to¸n c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ch−¬ng 3.1 3.2 3.3 3 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n 60 Bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 KÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . 61 C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 KÕt luËn 102 Tµi liÖu tham kh¶o 104 Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt KKM ra ®êi n¨m 1961 víi bµi b¸o cña Ky Fan: ”A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem”, trong ®ã cã mét kÕt qu¶ quan träng mµ ngµy nay ®−îc gäi lµ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. KÕt qu¶ nµy lµ sù më réng bæ ®Ò Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) tõ kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu ra kh«ng gian vect¬ t«p« t¸ch bÊt kú. Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM khëi nguån cho mét lo¹t kÕt qu¶ quan träng kh¸c, cã nhiÒu øng dông trong gi¶i tÝch phi tuyÕn, ®Æc biÖt lµ mét bÊt ®¼ng thøc minimax mµ ngµy nay gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Ky Fan. Tõ bÊt ®¼ng thøc nµy cã thÓ dÔ dµng suy ra mét sè kÕt qu¶ næi tiÕng nh− nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder, ®Þnh lý tån t¹i nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. MÆt kh¸c, còng tõ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cã thÓ nhËn ®−îc ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Browder - Fan, tõ ®©y l¹i nhËn ®−îc ®Þnh lý minimax Sion Neumann, ®Þnh lý tån t¹i ®iÓm c©n b»ng Nash... Nh÷ng kÕt qu¶ nµy ®−îc tËp hîp l¹i d−íi mét c¸i tªn chung: Lý thuyÕt KKM. Lý thuyÕt nµy ®· ph¸t triÓn ra c¸c kh«ng gian siªu låi vµ nöa dµn t«p«. N¨m 1950 chøng kiÕn sù ra ®êi cña mét lý thuyÕt quan träng trong To¸n kinh tÕ víi bµi b¸o cña John Nash: ”Equilibrium points in n-person games” vÒ trß ch¬i kh«ng hîp t¸c. Lý thuyÕt nµy cã mét tÇm quan träng ®Æc biÖt trong kinh tÕ nªn t¸c gi¶ cña nã ®· ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Nobel vµo n¨m 1994. §Þnh lý c¬ b¶n cña Nash vÒ tån t¹i ®iÓm c©n b»ng cho mét hÖ kinh tÕ ®Õn nay ®· ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc c¶i tiÕn vµ n©ng cao, tõ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu ra kh«ng gian v« h¹n chiÒu, tõ ¸nh x¹ ®¬n trÞ ra ¸nh x¹ ®a trÞ,... D¹ng tæng qu¸t nhÊt cña bµi to¸n c©n b»ng rÊt gÇn víi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, v× vËy lý thuyÕt KKM ®ãng mét vai trß quan träng khi nghiªn cøu bµi to¸n c©n b»ng, mµ mét tr−êng hîp riªng lµ c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. C¶ hai lý thuyÕt nªu trªn ®Òu rÊt quan träng vÒ lý thuyÕt vµ øng dông, vÉn ®ang trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn vµ hoµn thiÖn. Cã thÓ nãi lý thuyÕt KKM lµ mét c¬ së lý thuyÕt cho bµi to¸n c©n b»ng. §· cã nhiÒu bµi b¸o vÒ c¸c vÊn ®Ò nµy nh−ng theo chóng t«i ®−îc biÕt, ch−a cã mét tµi liÖu nµo giíi thiÖu mét c¸ch hÖ thèng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c lý thuyÕt nãi trªn. V× vËy chóng t«i chän ®Ò tµi: ”Lý thuyÕt KKM vµ bµi to¸n c©n b»ng” víi hy väng cung cÊp cho ®éc gi¶ nh÷ng th«ng tin bæ Ých. V× thêi gian h¹n chÕ nªn chóng t«i chØ giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n theo c¸c h−íng nªu trªn, ®Æc biÖt lµ nh÷ng kÕt qu¶ gÇn ®©y. Trong b¶n luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh ba ch−¬ng gåm nh÷ng néi dung chÝnh sau ®©y: • Ch−¬ng 1 giíi thiÖu c¬ lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«. • Ch−¬ng 2 giíi thiÖu bµi to¸n c©n b»ng. • Ch−¬ng 3 giíi thiÖu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. 1 Cuèi cïng, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh tíi PGS. TSKH §ç Hång T©n ®· h−íng dÉn tËn t×nh t¸c gi¶ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Sù chØ b¶o ©n cÇn cña thÇy §ç Hång T©n trong suèt qu¸ tr×nh t¸c gi¶ viÕt luËn v¨n ®· gióp cho t¸c gi¶ cã ý thøc tr¸ch nhiÖm vµ quyÕt t©m cao khi hoµn thµnh luËn v¨n cña m×nh. T¸c gi¶ còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Th¹c sÜ NguyÔn ThÕ Vinh ®· cung cÊp cho t¸c gi¶ c¸c tµi liÖu quan träng vµ nh÷ng lêi khuyªn quý b¸u. T¸c gi¶ còng xin ch©n thµnh c¸m ¬n nh÷ng ®ãng gãp bæ Ých cña c¸c thµnh viªn cña Xªmina ”H×nh häc cña c¸c kh«ng gian Banach vµ lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng” do Bé m«n Gi¶i tÝch, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi tæ chøc. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c¸c thÇy c« gi¸o Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi, cïng toµn thÓ b¹n bÌ vµ ng−êi th©n ®· ®ãng gãp ý kiÕn, gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Hµ Néi, ngµy 02 th¸ng 09 n¨m 2007 Häc viªn: TrÇn ViÖt Anh1 1 E-mail: tranvietanh.ceqea@gmail.com 2 Ch−¬ng 1 C¬ së lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p« Trong ch−¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«. §ã lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, bÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ c¸c øng dông cña nã. Sau cïng chóng t«i tr×nh bµy mét øng dông kh¸ míi vµ hay cña bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®ã lµ chøng minh ®Þnh lý ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg. 1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng N¨m 1929, ba nhµ to¸n häc Knaster, Kuratowski vµ Mazurkiewicz ®· chøng minh ®−îc mét kÕt qu¶ quan träng mang tªn ”Bæ ®Ò KKM”([35, trang 68]1 ). §Þnh lý 1.1.1. Cho Δn := conv({e0, e1, . . . , en }) lµ n-®¬n h×nh tiªu chuÈn trong Rn , trong ®ã ei , i = 0, 1, . . . , n, lµ vect¬ ®¬n vÞ thø (i + 1) cña Rn+1 vµ c¸c tËp hîp ®ãng F0 , F1, . . . , Fn trong Δn tháa m·n ®iÒu kiÖn:  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 §iÒu thó vÞ lµ ”Bæ ®Ò KKM” ®−îc chøng minh dùa trªn mét kÕt qu¶ cña Sperner n¨m 1928 ([35, trang 67]) vÒ phÐp tam gi¸c ph©n mét ®¬n h×nh, thuéc lÜnh vùc to¸n häc tæ hîp, mét lÜnh vùc t−ëng chõng nh− kh«ng liªn quan g× ®Õn lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng. MÆc dï Bæ ®Ò KKM rÊt quan träng, v× nã cho ta mét chøng minh ®¬n gi¶n Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (xem §Þnh lý 1.1.3), nh−ng l¹i h¹n chÕ do chØ ¸p dông ®−îc cho c¸c kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, n¨m 1961, nhµ to¸n häc næi tiÕng Ky Fan ®· më réng Bæ ®Ò KKM cho tr−êng hîp kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff. §Þnh lý cña Ky Fan ngµy nay ®−îc gäi lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. Sau ®©y chóng t«i sÏ ph¸t biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM b»ng c¸ch sö dông Bæ ®Ò KKM. §iÒu thó vÞ vµ ng¹c nhiªn lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vÉn cßn ®óng khi kh«ng gian nÒn kh«ng cÇn tÝnh ”t¸ch”. Theo nh− t¸c gi¶ ®−îc biÕt th× ý t−ëng chøng Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ph¸t biÓu cho ®¬n h×nh S bÊt kú trong Rn , ë ®©y ta chØ sö dông ®¬n h×nh tiªu chuÈn Δn trong Rn . 1 3 minh ®Þnh lý sau ®©y gÇn gòi víi ý t−ëng cña Horvath vµ Llinares Ciscar (1996) khi hä chøng minh nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cho nöa dµn t«p« [17], tuy nhiªn b¶n th©n t¸c gi¶ kh«ng hÒ biÕt phÐp chøng minh nµy. §Þnh lý 1.1.2 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM). Cho C lµ mét tËp hîp kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM, nghÜa lµ víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C ta cã  conv(A) ⊂ {F (x) : x ∈ A}. Gi¶ sö r»ng F (x) lµ tËp ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã  F (x) = ∅. x∈A Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. i=0 Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi x = n n   λi ei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, λi = 1, th× pi (x) = λi . Râ rµng i=0 i=0 c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc. Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ fi : R −→ X cho bëi fi(λ) = λai víi mäi λ ∈ R. V× X lµ kh«ng gian vect¬ t«p« nªn fi lµ ¸nh x¹ liªn tôc. n  fi ◦ pi nªn ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Tõ ®ã, v× ΦA = i=0 Ta chøng minh víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th× ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}).  ThËt vËy, víi x = λj (x)ej ∈ conv({ej : j ∈ J}), λj (x)  0 víi mäi j ∈ J,  j∈J j∈J λj (x) = 1, th× ΦA (x) =  λj (x)aj . Do ®ã ΦA(x) ∈ conv({aj : j ∈ J}). j∈J 4 V× x ∈ conv({ej : j ∈ J}) lµ tuú ý nªn ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.1) X  V× F : C −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.1), ta cã ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂  {F (aj ) : j ∈ J}. Suy ra   −1 conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {F (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1 A (F (aj )) : j ∈ J}. (1.2) §Æt Fj = Φ−1 A (F (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.2),  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ ®ãng trong X nªn c¸c tËp Fj = Φ−1 A (F (aj )) lµ ®ãng trong Δn . Khi ®ã, theo n n   Bæ ®Ò KKM (§Þnh lý 1.1.1) Fj = ∅. NghÜa lµ Φ−1 A (F (aj )) = ∅, suy ra j=0 n  j=0 F (aj ) = ∅. j=0 VËy Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ®−îc chøng minh. Trong Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ta chØ kh¼ng ®Þnh  F (x) = ∅ víi mäi A x∈A h÷u h¹n trong C . TÝnh chÊt nµy th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ hä ”{F (x) : x ∈ C} cã  tÝnh chÊt giao h÷u h¹n”. Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn ®Ó F (x) = ∅, sau ®©y t¸c gi¶ xin ®−a ra ®iÒu kiÖn cã phÇn ”tèt” h¬n. §iÒu x∈C kiÖn ®ã lµ: tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact K n  trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó F (aj ) ⊂ K . j=1 ThËt vËy, ta chøng minh  F (x) = ∅. x∈C   F (x) = ∅. Suy ra X = X\ F (x) = (X\F (x)). V× F (x) x∈C x∈C  x∈C lµ ®ãng trong X vµ K ⊂ X = (X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ Gi¶ sö  x∈C 5 phñ më cña tËp compact K . Do ®ã, tån t¹i x1 , x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂ k k k    (X\F (xi)) = X\ F (xi). Tõ ®ã ta cã K ∩ F (xi) = ∅. KÕt hîp víi i=1 n  i=1 F (aj ) ⊂ K , ta suy ra j=1 n  j=1 F (aj ) ∩ k  i=1 F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi tÝnh chÊt i=1 giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy  F (x) = ∅. x∈C Mét trong nh÷ng ®Þnh lý næi tiÕng nhÊt cña To¸n häc trong thÕ kû tr−íc lµ Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer. §ã lµ ®Þnh lý trung t©m cña lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng vµ còng lµ mét trong nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch phi tuyÕn. §Þnh lý nµy ®−îc Brouwer chøng minh n¨m 1912 dùa vµo mét c«ng cô rÊt s©u s¾c cña t«p« lµ lý thuyÕt bËc cña ¸nh x¹ liªn tôc nªn kh¸ phøc t¹p. V× thÕ, nhiÒu nhµ to¸n häc ®· t×m c¸ch chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer b»ng nh÷ng c«ng cô ®¬n gi¶n h¬n. B©y giê ta sÏ chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer tõ Bæ ®Ò KKM. §Þnh lý 1.1.3 (Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer). Cho T : Δn −→ Δn lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã T cã ®iÓm bÊt ®éng trong Δn.2 Chøng minh. Mçi ®iÓm x ∈ Δn ®−îc biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng x= n  xi ei , víi xi  0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n vµ i=0 n  xi = 1. i=0 n  V× T (x) ∈ Δn nªn ta cã thÓ viÕt T (x) = (T (x))iei , víi (T (x))i  0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n vµ n  i=0 (T (x))i = 1. i=0 Víi mçi i = 0, 1, . . . , n, ®Æt Fi = {x ∈ Δn : xi  (T (x))i}. V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn . ThËt vËy, víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi n n   λi ei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, λi = 1, th× pi(x) = λi . Râ x= i=0 i=0 rµng c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc. V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ 2 Trong mét sè tµi liÖu, Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ:”Mäi ¸nh x¹ liªn tôc tõ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong Rn vµo chÝnh nã ®Òu cã ®iÓm bÊt ®éng”. 6 pi : Δn −→ R lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn pi ◦ T : Δn −→ R còng lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chó ý r»ng, v× (pi ◦ T )(x) = (T (x))i nªn c¸c tËp Fi cã thÓ ®−îc viÕt l¹i nh− sau Fi = {x ∈ Δn : pi (x)  (pi ◦ T )(x)}. V× pi : Δn −→ R vµ pi ◦ T : Δn −→ R lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc víi mäi i = 0, 1, . . . , n nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn víi mäi i = 0, 1, . . . , n. Gi¶ sö I ⊂ {0, 1, . . . , n} lµ mét tËp hîp kh¸c rçng, ta chøng minh  conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I}. LÊy x ∈ conv({ei : i ∈ I}) tuú ý, khi ®ã x = i = 0, 1, . . . , n, n  xi ei víi xi  0 víi mäi i=0 n  xi = 1 vµ xi = 0 víi mäi i ∈ / I. i=0  Ta chøng minh x ∈ {Fi : i ∈ I}. Gi¶ sö x ∈ / Fi víi mäi i ∈ I, suy ra xi < (T (x))i víi mäi i ∈ I. Khi ®ã ta gÆp m©u thuÉn 1= n  i=0 VËy x ∈ xi =  i∈I n   xi < (T (x))i  (T (x))i = 1. i=0 i∈I  {Fi : i ∈ I}. V× x ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ tuú ý nªn conv({ei : n   i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I}. Theo Bæ ®Ò KKM Fi = ∅, nghÜa lµ tån t¹i x∗ ∈ n  i=0 Fi . Khi ®ã x∗ ∈ Fi víi mäi i = 0, 1, . . . , n hay x∗i  (T (x∗))i i=0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n. KÕt hîp víi n  i=0 x∗i =1= n  (T (x∗))i, ta suy ra i=0 x∗i = (T (x∗))i víi mäi i = 0, 1, . . . , n. Do ®ã T (x∗) = x∗. VËy T cã ®iÓm bÊt ®éng trong Δn. Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cã néi dung trùc quan rÊt tù nhiªn nh− sau. Gi¶ sö cã n + 1 doanh nghiÖp c¹nh tranh nhau trªn mét thÞ tr−êng, vµ mçi ®iÓm x ∈ Δn biÓu thÞ t×nh thÕ trong ®ã doanh nghiÖp i chiÕm ®−îc mét thÞ phÇn b»ng xi. Do c¹nh tranh nªn tõ mét t×nh thÕ x ∈ Δn cã thÓ dÉn tíi t×nh thÕ míi f (x). §−¬ng nhiªn, doanh nghiÖp i mong muèn chuyÓn ®Õn mét t×nh thÕ f (x) 7 víi (f (x))i > xi. Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cho biÕt nÕu ¸nh x¹ f liªn tôc th× bao giê còng cã mét ®iÓm x∗ = f (x∗), nghÜa lµ mét t×nh thÕ c©n b»ng mµ kh«ng doanh nghiÖp nµo muèn thay ®æi ®Ó ®−îc lîi h¬n. ChÝnh v× thÕ mµ Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (cïng víi c¸c më réng cña nã) lµ c«ng cô x©y dùng c¸c lý thuyÕt c©n b»ng trong kinh tÕ vµ nhiÒu lÜnh vùc kh¸c. Trong chøng minh Bæ ®Ò KKM, tÝnh ®ãng cña c¸c tËp F0 , F1 , . . . , Fn lµ b¾t buéc. Mét ®iÒu bÊt ngê lý thó lµ tÝnh ®ãng ë ®©y cã thÓ thay b»ng tÝnh më vµ viÖc chøng minh l¹i dùa chÝnh vµo Bæ ®Ò KKM. §Þnh lý 1.1.4. Cho F0, F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp më trong Δn tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 Chøng minh. Víi mçi y ∈ n  Fi , ®Æt Hy = i=0 n  {Fi : y ∈ Fi }. Khi ®ã y ∈ Hy i=0 vµ Hy lµ tËp hîp më trong Δn . Do ®ã tån t¹i tËp hîp më Uy trong Δn sao cho y ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Hy . Víi mäi I ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã    Fi }. {Fi : i ∈ I} ⊂ {Uy : y ∈ i∈I vµ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ Suy ra  {Fi : i ∈ I}.   conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ Fi}. i∈I : i ∈ I}) lµ tËp compact trong Rn+1 nªn tån t¹i tËp h÷u h¹n kh¸c V× conv({ei rçng BI ⊂ Fi sao cho i∈I conv({ei : i ∈ I}) ⊂   {Uy : y ∈ BI }. §Æt B = {BI : I ⊂ {0, 1, . . . , n}} th× B lµ tËp h÷u h¹n kh¸c rçng. Víi mçi i ∈ {0, 1, . . . , n}, ®Æt  Gi = {U y : y ∈ B, Uy ⊂ Fi }. 8 Ta chøng tá r»ng tËp Gi lµ x¸c ®Þnh. §Æt I = {i}, v× BI = ∅ nªn tån t¹i y ∈ BI . Ngoµi ra v× BI ⊂ Fi nªn y ∈ Fi. Theo ®Þnh nghÜa cña Hy th× Hy ⊂ Fi vµ do ®ã Uy ⊂ Fi . V× y ∈ BI vµ BI ⊂ B nªn y ∈ B. VËy tån t¹i y ∈ B ®Ó Uy ⊂ Fi , tøc lµ tËp Gi x¸c ®Þnh. Mµ B lµ tËp h÷u h¹n nªn Gi lµ tËp hîp ®ãng trong Δn. NÕu z ∈ Gi th× tån t¹i y ∈ B ®Ó y ∈ Uy ⊂ Fi vµ z ∈ U y ⊂ Hy . Tõ ®Þnh nghÜa cña Hy , ta suy ra z ∈ Fi . VËy Gi ⊂ Fi .  B©y giê ta chøng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I} víi mäi tËp con kh¸c rçng I cña {0, 1, . . . , n}.  LÊy z ∈ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ BI } th× tån t¹i y ∈ BI ⊂ {Fi : i ∈ I} ®Ó z ∈ Uy . Do ®ã tån t¹i j ∈ I ®Ó y ∈ Fj . Theo ®Þnh nghÜa cña Hy th× Hy ⊂ Fj , do ®ã Uy ⊂ Fj . MÆt kh¸c, tõ ®Þnh nghÜa cña  Gj th× U y ⊂ Gj vµ do ®ã z ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Gj hay z ∈ Gj . VËy ta cã z ∈ {Gi : i ∈ I}. V× z ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ  tïy ý nªn conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I}. Chó ý r»ng, v× c¸c tËp Gi n  lµ ®ãng trong Δn nªn theo §Þnh lý 1.1.1 Gj = ∅. Tõ Gj ⊂ Fj víi mäi j = 0, 1, . . . , n, ta suy ra n  j=0 Fj = ∅. §Þnh lý ®−îc chøng minh. j=0 §Þnh lý 1.1.4 ®−îc gäi lµ Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më. VËn dông §Þnh lý 1.1.4, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý Shih. §Þnh lý 1.1.5 (§Þnh lý Shih). Cho C lµ mét tËp hîp låi kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ A lµ mét tËp con h÷u h¹n cña C. Gi¶ sö F : A −→ 2C lµ mét ¸nh x¹ KKM vµ F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A. Khi ®ã  F (x) = ∅. x∈A Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  i=0 9 n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. Ta thÊy r»ng ΦA (x) ∈ C víi mäi x ∈ Δn . ThËt vËy, víi x = Δn , λi (x)  0, i = 0, 1, . . . , n, n  n  λi (x)ei ∈ i=0 λi (x) = 1 th× i=0 ΦA (x) = n  λi (x)ai ∈ conv({a0 , a1, . . . , an }). i=0 V× a0 , a1, . . . , an ∈ C vµ C lµ tËp låi nªn conv({a0, a1 , . . . , an }) ⊂ C, do ®ã ΦA (x) ∈ C. Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th× ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.3) C  V× F : A −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n}. Tõ gi¶ thiÕt F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A, ta cã thÓ viÕt F (x) = C ∩ T (x) víi T (x) lµ tËp më trong X víi mäi x  ∈ A. V× F (x) ⊂ T (x) víi mäi x ∈ A nªn tõ conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} ta  cã conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {T (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.3), ta cã  ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ {T (aj ) : j ∈ J}. Suy ra   −1 conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {T (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1 A (T (aj )) : j ∈ J}. (1.4) §Æt Tj = Φ−1 A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.4),  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Tj : j ∈ J}. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp T (a0), T (a1), . . . , T (an) lµ më trong X nªn c¸c tËp Tj = Φ−1 A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n lµ më trong n  Tj = ∅. Δn . Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më (§Þnh lý 1.1.4) NghÜa lµ n  n  j=0 Φ−1 A (T (aj )) = ∅. LÊy x ∈ n  j=0 Φ−1 A (T (aj )) th× x ∈ Δn vµ ΦA (x) ∈ j=0 T (aj ). KÕt hîp víi ΦA (x) ∈ C, ta suy ra ΦA (x) ∈ j=0 n  (C ∩ T (aj )) hay j=0 10 ΦA (x) ∈ n  F (aj ). VËy j=0 n  F (aj ) = ∅. j=0 VËy ®Þnh lý Shih ®−îc chøng minh. B»ng c¸ch sö dông ®Þnh lý Shih, ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]). Trong môc tiÕp theo, ta sÏ chøng minh ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg b»ng c¸ch sö dông bÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ ®Þnh lý Hahn-Banach. Ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ Bæ ®Ò sau: §Þnh nghÜa 1.1.6. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« vµ T : X −→ 2Y , khi ®ã •. T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G më chøa T (x0), tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc trªn t¹i mäi x ∈ X th× T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn. • T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G më tháa m·n G ∩ T (x0) = ∅, tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho G ∩ T (x) = ∅ víi mäi x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi x ∈ X th× T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi. • T ®−îc gäi lµ ®ãng nÕu ®å thÞ Gr(T ) := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña T lµ tËp ®ãng trong X × Y . Bæ ®Ò 1.1.7. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« Hausdorff vµ T : X −→ 2Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. (i) NÕu X lµ compact vµ T lµ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T (X) lµ compact. (ii) NÕu Y lµ compact vµ T lµ ®ãng th× T lµ nöa liªn tôc trªn. (iii) NÕu T lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T lµ ®ãng. Chøng minh. (i) Gi¶ sö G = {Gi : i ∈ I} lµ mét phñ më tuú ý cña T (X). Khi ®ã víi mäi x ∈ X th× G = {Gi : i ∈ I} còng lµ mét  phñ më cña T (x). V× Gi , trong ®ã I lµ hä T (x) lµ compact nªn tån t¹i Ax ∈ I ®Ó T (x) ⊂ i∈Ax c¸c tËp  con h÷u h¹n kh¸c rçng cña I. V× c¸c tËp Gi lµ më víi mäi i ∈ I nªn Gi còng lµ tËp më. Do ®ã tõ tÝnh liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x ∈ X i∈Ax cña T vµ T (x) ⊂  Gi , tån t¹i l©n cËn më Ux cña x trong X sao cho i∈Ax 11 T (u) ⊂  Gi víi mäi u ∈ Ux. V× X = i∈Ax  x∈X Ux vµ X lµ compact nªn tån n  Uxi . Ta chøng minh r»ng t¹i c¸c ®iÓm x1, x2, . . . , xn ∈ X sao cho X = i=1  T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. ThËt vËy lÊy y ∈ T (X) tuú  T (x) nªn tån t¹i x ∈ X ®Ó cho y ∈ T (x). V× x ∈ X vµ ý, v× T (X) = X= n  x∈X Uxi nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît qu¸ n sao cho x ∈ Uxk . i=1    Do ®ã T (x) ⊂ Gi . KÕt hîp víi y ∈ T (x) vµ Gi ⊂ {Gi : i ∈ i∈Axk i∈Axk  Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }, ta suy ra y ∈ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. V×  y ∈ T (X) lµ tuú ý nªn T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. Chó ý r»ng, v× c¸c tËp hîp Axi ∈ I nªn Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn ∈ I . Do ®ã G0 = {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn } lµ mét phñ con h÷u h¹n cña G. V× mäi phñ më G cña T (X) ®Òu cã mét phñ con h÷u h¹n G0 nªn T (X) lµ compact. (ii) LÊy x0 ∈ X tuú ý, ta chøng minh T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã T lµ nöa liªn tôc trªn. V× Y lµ compact vµ T (X) lµ ®ãng trong Y nªn T (X) lµ compact. Gi¶ sö G lµ tËp më chøa T (x0), ta cÇn ph¶i chøng minh tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . Víi mäi y ∈ / G, v× G chøa T (x0) nªn y ∈ / T (x0), do ®ã (x0, y) ∈ / Gr(T ). V× T lµ ®ãng, nghÜa lµ Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X ×Y nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña y trong Y vµ l©n cËn Ux0 (y) cña x0 trong X sao cho (Ux0 (y) × Vy ) ∩ Gr(T ) = / G} lµ phñ më cña tËp compact T (X) nªn tån t¹i ∅. V× {Vy ∪ G : y ∈ n n   y1 , y2, . . . , yn ∈ / G sao cho T (X) ⊂ (Vyi ∪ G). §Æt U = Ux0 (yi) th× U i=1 i=1 lµ l©n cËn cña x0 trong X. Ta chøng minh T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . LÊy z ∈ T (x) tuú ý, tõ T (x) ⊂ T (X) vµ T (X) ⊂ z∈ n  n  (Vyi ∪ G), ta suy ra i=1 (Vyi ∪ G). Gi¶ sö z ∈ / G, khi ®ã tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît i=1 qu¸ n sao cho z ∈ Vyk . V× x ∈ U = n  i=1 12 Ux0 (yi) nªn x ∈ Ux0 (yk ). KÕt hîp víi z ∈ Vyk vµ z ∈ T (x), ta suy ra (x, z) ∈ (Ux0 (yk ) × Vyk ) ∩ Gr(T ). VËy (Ux0 (yk )×Vyk )∩Gr(T ) = ∅, tuy nhiªn ®iÒu nµy tr¸i víi (Ux0 (y)×Vy )∩Gr(T ) = ∅ ë trªn. VËy z ∈ G, v× z ∈ T (x) lµ tuú ý nªn T (x) ⊂ G. Nh− vËy, ta ®· chøng minh ®−îc T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . Chó ý r»ng v× U lµ l©n cËn cña x0 trong X nªn T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã T lµ nöa liªn tôc trªn. (iii) Ta chøng minh T lµ ®ãng, nghÜa lµ ph¶i chøng minh ®å thÞ Gr(T ) := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña T lµ tËp ®ãng trong X × Y hay t−¬ng ®−¬ng víi (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp më trong X × Y Gi¶ sö (a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ), suy ra (a, b) ∈ / Gr(T ) hay b ∈ / T (a). Suy ra víi mäi y ∈ T (a) th× y = b. V× Y lµ kh«ng gian t«p« Hausdorff nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña y trong Y vµ l©n cËn Ub(y) cña b trong Y sao cho Vy ∩ Ub (y) = ∅. V× {Vy : y ∈ T (a)} lµ phñ më cña tËp compact T (a) nªn tån t¹i y1, y2 , . . . , yn ∈ T (a) sao cho n n   T (a) ⊂ Vyi . §Æt G = Vyi , khi ®ã G lµ tËp më chøa T (a). MÆt kh¸c, i=1 i=1 v× T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i a nªn tån t¹i l©n cËn U cña a trong X sao cho n  T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . §Æt V = Ub(yi) th× V lµ l©n cËn cña b trong Y . i=1 Ta chøng minh (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅. ThËt vËy, nÕu (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅, tøc lµ tån t¹i (x, y) ∈ (U × V ) ∩ Gr(T ). Khi ®ã y ∈ T (x) vµ x ∈ U . V× n  x ∈ U nªn T (x) ⊂ G. KÕt hîp víi y ∈ T (x), ta suy ra y ∈ G. V× G = Vyj j=1 vµ y ∈ G nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng i kh«ng v−ît qu¸ n ®Ó y ∈ Vyi . Tõ n  y ∈ V = Ub(yi), ta suy ra y ∈ Ub (yi). KÕt hîp víi y ∈ Vyi , ta suy ra i=1 Vyi ∩ Ub(yi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi Vy ∩ Ub (y) = ∅ víi mäi y ∈ T (a). VËy (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅ vµ do ®ã U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Nh− vËy víi mäi (a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ), tån t¹i l©n cËn U cña a trong X vµ l©n cËn V cña b trong Y sao cho U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Do ®ã (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp më trong X × Y hay Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X × Y . VËy T lµ ®ãng. KÕt hîp §Þnh lý 1.1.1 vµ §Þnh lý 1.1.4, ta cã Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t 3 sau: §Þnh lý 1.1.8 (Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t). Cho F0 , F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp ®ãng trong Δn (t−¬ng øng më) tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. 3 Do t¸c gi¶ tù ®Æt 13 Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 VËn dông Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM tæng qu¸t 4 sau: §Þnh lý 1.1.9 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM tæng qu¸t). Cho C lµ mét tËp hîp kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM. Gi¶ sö F (x) lµ tËp ®ãng trong X (t−¬ng øng më) víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã  F (x) = ∅. x∈A H¬n n÷a, nÕu tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact n  F (aj ) ⊂ K th× K trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó j=1  F (x) = ∅. x∈C Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. i=0 Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th×  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}, (1.5) trong ®ã Fj = Φ−1 A (F (aj )) víi mäi j = 0, 1, . . . , n. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ ®ãng trong X (t−¬ng øng më) nªn c¸c tËp Fj = Φ−1 A (F (aj )) lµ ®ãng trong 4 Do t¸c gi¶ tù ®Æt 14 Δn (t−¬ng øng më). Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t (§Þnh lý 1.1.8) n n n    −1 Fj = ∅. NghÜa lµ ΦA (F (aj )) = ∅, suy ra F (aj ) = ∅. j=0 j=0 Ta chøng minh j=0  F (x) = ∅. x∈C   F (x) = ∅. Suy ra X = X\ F (x) = (X\F (x)). V× K ⊂ Gi¶ sö x∈C x∈C x∈C (X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ phñ më cña tËp compact K. Do X=  x∈C ®ã, tån t¹i x1, x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂ Tõ ®ã ta cã K ∩ k  k  i=1 F (xi) = ∅. KÕt hîp víi i=1 n  F (aj ) ∩ j=1 k  i=1 (X\F (xi))) = X\ F (xi) = ∅ vµ do ®ã n  F (aj ) ∩ j=1 n  k  F (xi). i=1 F (aj ) ⊂ K, ta suy ra j=1 k  F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i i=1 víi tÝnh chÊt giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy  F (x) = ∅. x∈C 1.2 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông Mét hÖ qu¶ quan träng cña nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ®−îc sö dông réng r·i trong Gi¶i tÝch phi tuyÕn lµ mét bÊt ®¼ng thøc do Ky Fan chøng minh n¨m 1961. Nh−ng tr−íc hÕt ta cÇn mét sè kh¸i niÖm sau: §Þnh nghÜa 1.2.1. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ f : X −→ R lµ mét hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ nöa liªn tôc d−íi nÕu tËp {x ∈ X : f (x) > λ} lµ më trong X víi mäi λ ∈ R vµ f lµ nöa liªn tôc trªn nÕu tËp {x ∈ X : f (x) < λ} lµ më trong X víi mäi λ ∈ R. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy f nöa liªn tôc trªn nÕu vµ chØ nÕu −f nöa liªn tôc d−íi. §Þnh nghÜa 1.2.2. Gi¶ sö C lµ mét tËp hîp trong kh«ng gian vect¬ X vµ f : C −→ R lµ mét hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ tùa lâm nÕu tËp {x ∈ C : f (x)  λ} lµ låi víi mäi λ ∈ R vµ f lµ tùa låi nÕu tËp {x ∈ C : f (x)  λ} lµ låi víi mäi λ ∈ R. 15 DÔ dµng thÊy r»ng nÕu f lµ tùa lâm (t−¬ng øng tùa låi) th× tËp hîp {x ∈ X : f (x) > λ} (t−¬ng øng tËp hîp {x ∈ X : f (x) < λ}) lµ låi víi mäi λ ∈ R. B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan. §Þnh lý 1.2.3 (BÊt ®¼ng thøc Ky Fan). Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm, nghÜa lµ tËp {x ∈ C : f (x, y)  λ} lµ låi víi mäi sè thùc λ; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi, nghÜa lµ tËp {y ∈ C : f (x, y) > λ} lµ më trong C víi mäi sè thùc λ; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} víi mäi x ∈ C. V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C : f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} lµ ®ãng trong C. V× C lµ tËp compact trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X nªn C lµ ®ãng trong X. Cïng víi F (x) lµ ®ãng trong C víi mäi x ∈ C, ta suy ra F (x) lµ ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng minh n  conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂ F (xi). i=1 LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i λ1 , λ2, . . . , λn  0 víi n n   λi = 1 sao cho y = λi xi. V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C nªn y ∈ C. i=1 Gi¶ sö y ∈ / n  i=1 F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n. V× f (·, y) i=1 lµ tùa lâm nªn tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Tõ x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) > n  λi xi ∈ {x ∈ C : 0}. Mµ tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi nªn y = i=1 f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy tr¸i víi f (x, x)  0 víi mäi 16 x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong  F (x) = ∅. Chó ý r»ng, v× F (x) ⊂ C víi mäi x ∈ C vµ C lµ tËp C, ta cã x∈A   F (x) = ∅. LÊy y ∗ ∈ F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C compact trong X nªn ta cã ∗ x∈C x∈C vµ f (x, y )  0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý ®−îc chøng minh. Xem kü l¹i chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan th× ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm” chØ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Do ®ã ®iÒu kiÖn thø nhÊt trong bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã thÓ ®−îc thay thÕ b»ng ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi”. Do ®ã bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã thÓ ®−îc ph¸t biÓu l¹i cho ”tèt h¬n” nh− sau: §Þnh lý 1.2.4. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. Trong bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact lµ cÇn thiÕt cho chøng minh. Sau ®©y ta sÏ thay ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact b»ng ®iÒu kiÖn C lµ tËp ®ãng, ®iÒu thó vÞ lµ kh«ng gian nÒn X chØ cÇn gi¶ thiÕt lµ kh«ng gian vect¬ t«p«. §Þnh lý 1.2.5. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ w0 ∈ C sao cho f (w0, x) > 0 víi mäi x ∈ C\B. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. 17 Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} víi mäi x ∈ C. V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C : f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} lµ ®ãng trong C. V× C lµ tËp ®ãng trong X nªn ta suy ra F (x) lµ ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng minh n  conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂ F (xi). i=1 LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i ξ1 , ξ2, . . . , ξn  0 n n   ξi = 1 sao cho y = ξi xi . V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C víi i=1 i=1 nªn y ∈ C. Gi¶ sö y ∈ / n  F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i = i=1 1, 2, . . . , n. V× x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}. V× tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ n  låi nªn y = ξi xi ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy i=1 tr¸i víi f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong  C, ta cã F (x) = ∅. Chó ý r»ng, tõ ®iÒu kiÖn (iv) ta cã F (w0) ⊂ B. ThËt x∈A vËy, víi x ∈ F (w0) th× x ∈ C vµ f (w0, x)  0. Khi ®ã x ∈ B v× nÕu kh«ng th× x ∈ C\B vµ do ®ã f (w0, x) > 0 theo ®iÒu kiÖn (iv), tr¸i víi f (w0, x)  0. VËy F (w0) ⊂ B, chó ý r»ng v× B lµ tËp compact nªn ta cã  F (x) = ∅. LÊy y ∗ ∈  x∈C F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C vµ f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý x∈C ®−îc chøng minh. B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y trong §Þnh lý 1.2.5 ®ång thêi thay f bëi −f , ta thu ®−îc ®Þnh lý sau: §Þnh lý 1.2.6. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: 18 (i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {y ∈ C : f (x, y) < 0} lµ låi; (ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ y0 ∈ C sao cho f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\B. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. Trong §Þnh lý 1.2.6, ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ ®−îc thay bëi ®iÒu kiÖn: ”víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi”, do ®ã ta cã: §Þnh lý 1.2.7. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi; (ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng K trong C vµ y0 ∈ C sao cho f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\K. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. §Þnh lý 1.2.7 sÏ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sÏ ®−îc ®Ò cËp ë trong Ch−¬ng 3. B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y , ®«i khi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan ë §Þnh lý 1.2.3 ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng sau: §Þnh lý 1.2.8. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc d−íi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa lâm; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. 19
- Xem thêm -