lêi nãi ®Çu
b cña K lµ tËp cã
Cho K lµ mét tËp compact trong Cn , ta gäi bao låi ®a thøc K
b = {z; z ∈ Cn , |p(z)| 6 supK |p| cho mäi ®a thøc chØnh h×nh
d¹ng: K
p}.
Còng vËy ta ®Þnh nghÜa bao låi h÷u tû r(K) cña K lµ tËp cã d¹ng: r(K) =
{z ∈ Cn
sao cho víi mçi ®a thøc p mµ p(z) = 0 th×
{p = 0} ∩ K 6= ∅}.
b
VÊn ®Ò ®Æt ra lµ chóng ta cÇn m« t¶ cÊu tróc cña K\K
vµ r(K)\K.
b
Hai t¸c gi¶ Julien Duval vµ Nessim Sibony ®· m« t¶ K\K
vµ r(K)\K bëi
nh÷ng dßng d−¬ng ®ãng song chiÒu (1,1) T trªn Cn \K víi gi¸ bÞ chÆn vµ
ddc T 6 0 trªn Cn \K. Trong luËn v¨n nµy dßng d−¬ng ®ãng vai trß trung t©m
trong viÖc nghiªn cøu tÝnh låi ®a thøc vµ låi h÷u tû .
§Çu tiªn chóng ta x©y dùng nh÷ng siªu mÆt phøc kh«ng giao víi mét tËp
compact cho tr−íc trong phÇn bï cña gi¸ cña mét dßng d−¬ng ®ãng ddc ϕ (ϕ
lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi). Sau ®ã chóng ta còng nhËn ®−îc mét kÕt qu¶ t−¬ng
tù trong kh«ng gian Hausdorff metric cña gi¸ cña mét dßng d−¬ng ®ãng song
bËc (1,1) bëi nh÷ng siªu mÆt gi¶i tÝch. Cô thÓ cho T = ddc ϕ lµ mét dßng
d−¬ng song chiÒu (n-1,n-1) trong Cn víi ϕ lµ mét hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi.
Chóng t«i chøng minh ®−îc r»ng Cn \suppT cã thÓ ®−îc vÐt c¹n bëi nh÷ng
tËp compact låi h÷u tû. H¬n n÷a hµm ϕ nãi trªn lµ giíi h¹n cña mét d·y hµm
1
log|fk | trong L1loc (B) ë ®©y B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ trong Cn , fk lµ nh÷ng
Nk
hµm chØnh h×nh vµ Nk lµ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng.
PhÇn tiÕp theo chóng t«i xÐt tÝnh låi ®a thøc. Víi K lµ mét tËp compact cho
ë trªn, T lµ mét dßng d−¬ng song bËc (1,1) trªn Cn \K, víi gi¸ bÞ chÆn. NÕu
b Ng−îc l¹i cho x ∈ K\K
b
ddc T 6 0 th× suppT ⊂ K.
bÊt kú th× cã mét dßng
T ≥ 0 song bËc (1,1) gi¸ compact sao cho ddc T = µ − δx ë ®©y µ lµ ®é ®o
x¸c suÊt trªn K cßn δx lµ ®é lín Dirac t¹i x. Nh− th«ng th−êng chóng ta
®ång nhÊt nh÷ng dßng song bËc (n,n) trªn Cn víi nh÷ng ph©n bè. Tõ ®ã suy
1
b =
b
ra r»ng nÕu K
6 K th× K\K
lµ gi¸ cña mét dßng d−¬ng song bËc (1,1) T
víi ddc T 6 0.
Còng trong luËn v¨n chóng t«i ®Ò cËp ®Õn kh¸i niÖm cÆp Runge yÕu trong Cn
vµ mét vµi kÕt qu¶ vÒ cÆp Runge yÕu ®−îc ®−a ra trong [10]. Nh− chóng ta
®· biÕt: NÕu hai tËp D, D0 lµ nh÷ng tËp më gi¶ låi cña Cn sao cho D0 ⊂ D vµ
mçi hµm chØnh h×nh trªn D0 cã thÓ xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bëi nh÷ng
hµm chØnh h×nh trªn D th× (D0 , D) ®−îc gäi lµ mét cÆp Runge. VÊn ®Ò ®Æt ra
lµ liÖu cßn cã kh¸i niÖm nµo yÕu h¬n kh¸i niÖm trªn n÷a kh«ng víi suy nghÜ
®ã t¸c gi¶ ®· ®−a ra kh¸i niÖm cÆp Runge yÕu. Mçi hµm chØnh h×nh trªn D0
cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bëi nh÷ng th−¬ng p/q , ë ®ã p, q lµ
nh÷ng hµm chØnh h×nh trªn D vµ q 6= 0 trªn D, cÆp (D0 , D) tho¶ m·n tÝnh chÊt
®ã gäi lµ mét cÆp Runge yÕu. T¸c gi¶ ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn ®Ó nhËn biÕt mét
cÆp Runge yÕu ®ã lµ §Þnh lý 2.2.4 ch−¬ng 2 mµ kÕt qu¶ nµy ®−îc lËp luËn
t−¬ng tù nh− §Þnh lý 4.3.3 trong [7]. Trong tr−êng hîp D0 lµ tËp compact
t−¬ng ®èi trong D th× sö dông §Þnh lý 2.1.3 ch−¬ng 2 trong luËn v¨n vµ c¸ch
chøng minh t−¬ng tù nh− mét kÕt qu¶ cña Julien Duval vµ Nessim Sibony:
Cho K lµ mét tËp compact trong Cn . Víi mçi x 6∈ r(K) cã mét d¹ng d−¬ng
®ãng (1,1) ω tr¬n, d−¬ng chÆt t¹i x vµ triÖt tiªu trong mét l©n cËn cña r(K).
Ng−îc l¹i gi¶ sö x ∈ suppS , ë ®©y S lµ mét dßng d−¬ng ®ãng song bËc (1, 1)
sao cho suppS ∩ K = ∅ th× x 6∈ r(K), ta cã thÓ ®Æc tr−ng ho¸ cÆp Runge yÕu
trong hÖ nh÷ng dßng d−¬ng ®ãng trªn D mµ triÖt tiªu trªn mét tËp compact
bÊt kú cña D0 vµ d−¬ng chÆt gÇn ∂D0 . KÕt qu¶ nµy ®−îc chóng t«i tr×nh bµy
trong §Þnh lý 2.2.5 ch−¬ng 2 cña luËn v¨n.
LuËn v¨n ®−îc hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh cña TiÕn sÜ NguyÔn
Quang DiÖu. Nh©n dÞp nµy, T«i xin ®−îc bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn
ng−êi thÇy cña m×nh. T«i còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn c¸c thÇy ph¶n biÖn
2
®· dµnh thêi gian ®äc vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u cho t«i. T«i còng
xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn c¸c thÇy c« cña Bé m«n Lý thuyÕt
hµm tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi ®· d¹y b¶o trong suèt nh÷ng n¨m th¸ng
t«i häc tËp t¹i tr−êng.
Hµ néi ngµy 30 th¸ng10 n¨m 2006.
T¸c gi¶ luËn v¨n
§ç ViÕt Tu©n
3
Môc lôc
Ch−¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
5
1.1. Kh¸i niÖm hµm chØnh h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØnh h×nh . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Hµm chØnh h×nh nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. §Þnh nghÜa hµm ®a ®iÒu hßa d−íi . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®a ®iÒu hßa d−íi . . . . . . . . . . . 11
1.6. Mét sè kh¸i niÖm vÒ miÒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7. Mét sè tÝnh chÊt cña miÒn gi¶ låi . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8. §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Ph©n bè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10. Dßng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ch−¬ng 2. XÊp xØ dßng d−¬ng ®ãng bëi siªu mÆt phøc
24
2.1. X©y dùng siªu mÆt vµ xÊp xØ dßng . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. CÆp Runge yÕu trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ch−¬ng 3. Bao låi ®a thøc vµ dßng d−¬ng ®ãng
37
3.1. Bao låi ®a thøc vµ dßng d−¬ng ®ãng . . . . . . . . . . . . . . 37
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
Ch−¬ng 1
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1
Kh¸i niÖm hµm chØnh h×nh
§Þnh nghÜa 1.1.1. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn miÒn D ⊂ C. XÐt giíi h¹n
f (z + 4z) − f (z)
; z, z + 4z ∈ D
4z→0
4z
lim
NÕu t¹i ®iÓm z giíi h¹n nµy tån t¹i th× nã ®−îc gäi lµ ®¹o hµm phøc cña f t¹i
df
z , kÝ hiÖu lµ f 0 (z) hay (z).
dz
Nh− vËy
f (z + 4z) − f (z)
f 0 (z) = lim
4z→0
4z
§Þnh nghÜa 1.1.2. Cho hµm f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy x¸c ®Þnh
trong miÒn D ⊂ C. Hµm f ®−îc gäi lµ R2 -kh¶ vi t¹i z = x + iy nÕu c¸c hµm
u(x, y), v(x, y) kh¶ vi thùc t¹i (x, y).
Sau ®©y chóng t«i xin ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét hµm lµ C− kh¶
vi ®ã lµ ®Þnh lý Cauchy-Riemann
§Þnh lý 1.1.3. (§iÒu kiÖn Cauchy-Riemann)
§Ó hµm f
C- kh¶ vi t¹i z = x + iy ∈ D ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f
vi t¹i z vµ ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann tho¶ m·n t¹i z
5
R2 - kh¶
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∂u
∂v
(x, y) = − (x, y)
∂y
∂x
(1.1)
NhËn xÐt:
Gi¶ sö f lµ hµm R2 - kh¶ vi t¹i z ∈ D ⊂ C, xÐt vi ph©n
df =
V× dz = dx+idy vµ dz = dx−idy
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
1
1
suy ra dx = (dz+dz), dy = (dz−dz).
2
2i
VËy ta cã
df =
∂f 1
∂f 1
1 ∂f
∂f
1 ∂f
∂f
(dz + dz) +
(dz − dz) = (
− i )dz + (
+ i )dz
∂x 2
∂y 2i
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y
NÕu ®Æt
∂f
1 ∂f
∂f
= (
− i );
∂z
2 ∂x
∂y
∂f
1 ∂f
∂f
= (
+ i )dz
∂z
2 ∂x
∂y
th×
df =
∂f
∂f
dz +
dz
∂z
∂z
Bëi v×
∂f
1 ∂f
∂f
1 ∂u ∂v
∂v ∂u
= (
+ i )dz = [(
− ) + i(
+
)]
∂z
2 ∂x
∂y
2 ∂x ∂y
∂x ∂y
∂f
(z) = 0.
∂z
Nãi c¸ch kh¸c hµm R2 - kh¶ vi f t¹i z lµ C- kh¶ vi t¹i ®ã nÕu vµ chØ nÕu
∂f
(z) = 0.
∂z
nªn f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann nÕu vµ chØ nÕu
§Þnh nghÜa 1.1.4. Hµm f x¸c ®Þnh trong miÒn D ⊂ C víi gi¸ trÞ trong C gäi
lµ chØnh h×nh t¹i z0 nÕu tån t¹i r > 0 ®Ó f C- kh¶ vi t¹i mäi z ∈ D(z0 , r) ⊂ D.
NÕu f chØnh h×nh t¹i mäi z0 ∈ D th× ta nãi f chØnh h×nh trªn D.
6
1.2
Mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØnh h×nh
§Þnh lý 1.2.1. Gi¶ sö D ⊂ C lµ mét miÒn vµ A(D) lµ tËp c¸c hµm chØnh h×nh
trªn D. Khi ®ã
i,
A(D) lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ trªn C
ii,
A(D) lµ mét vµnh
iii,
iv,
NÕu f ∈ A(D) vµ f (z) 6= 0, ∀z ∈ D th× 1/f ∈ A(D)
NÕu f ∈ A(D) vµ f chØ nhËn gi¸ trÞ thùc th× f lµ kh«ng ®æi.
§Þnh lý 1.2.2. (§Þnh lý Taylor)
NÕu hµm f (z) chØnh h×nh trªn h×nh trßn |z − z0 | < R th× trong h×nh trßn nµy
f (z) lµ tæng cña chuçi Taylor cña nã t¹i z0 . Cô thÓ lµ
f (z) =
∞
X
Cn (z − z0 )n , |z − z0 | < R
n=0
ë ®©y c¸c hÖ sè Cn ®−îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt theo c«ng thøc
f n (z0 )
1
Cn =
=
n!
2πi
Z
|η−z0 |=r
f (η)
dη
|η − z0 |n+1
víi 0 < r < R
HÖ qu¶ 1.2.3. Hµm f (z) x¸c ®Þnh trªn miÒn D lµ chØnh h×nh khi vµ chØ khi víi
mäi z0 ∈ D hµm f cã thÓ khai triÓn ®−îc thµnh chuçi luü thõa theo z − z0 mµ
nã héi tô tíi f (z) víi b¸n kÝnh héi tô R ≥ d(z0 , ∂D)
§Þnh lý 1.2.4. (§Þnh lý duy nhÊt )
Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm chØnh h×nh trªn miÒn D. NÕu f (zn ) = g(zn ) trªn mét
d·y c¸c ®iÓm kh¸c nhau {zn } ⊂ D mµ nã héi tô tíi mét ®iÓm a ∈ D, th× f ≡ g
7
1.3
Hµm chØnh h×nh nhiÒu biÕn
§Þnh nghÜa 1.3.1. Hµm l : Cn → C gäi lµ R - tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn
tÝnh) nÕu
i,
l(z 0 + z”) = l(z 0 ) + l(z”) ∀z 0 , z” ∈ Cn
ii,
l(λz) = λl(z) ∀z ∈ Cn , ∀λ ∈ R (t−¬ng øng ∀λ ∈ C).
HiÓn nhiªn hµm l : Cn → C R- tuyÕn tÝnh lµ C-tuyÕn tÝnh nÕu l(iz) =
il(z) ∀z ∈ Cn .
Trong tr−êng hîp l(λz) = λl(z) ta nãi l lµ C- ph¶n tuyÕn tÝnh.
§Þnh nghÜa 1.3.2. Hµm f : Ω → C, Ω lµ më trong Cn gäi lµ R- kh¶ vi (t−¬ng
øng C- kh¶ vi) t¹i z ∈ Ω nÕu
f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h)
ë ®©y l lµ R- tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn tÝnh) vµ
0(h)
→ 0 khi h → 0
h
NhËn xÐt:
Hµm l (nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt) gäi lµ R- tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn tÝnh)
t¹i z, ký hiÖu lµ f 0 (z) hay df (z). B»ng c¸ch viÕt
zj = xj + iyj ,
z j = xj − iyj
j = 1, . . . , n
ta cã
dz j = dxj − idyj
dzj = dxj + idyj ,
suy ra
dxj =
dzj + dz j
,
2
dyj =
8
dzj − dz j
2i
Do
n
X
∂f
∂f
df =
(
dxj +
dyj )
∂x
∂y
j
j
j=1
n
X
∂f dzj + dz j
∂f dzj − dz j
=
(
+
)
∂x
2
∂y
2i
j
j
j=1
n
X
1 ∂f
∂f
1 ∂f
∂f
=
( (
−i
)dzj + (
+i
)dz j )
2
∂x
∂y
2
∂x
∂y
j
j
j
j
j=1
NÕu ®Æt
∂f
1 ∂f
∂f
= (
−i
),
∂zj
2 ∂xj
∂yj
Ta cã
Ta kÝ hiÖu
∂f
1 ∂f
∂f
= (
+i
) j = 1, . . . , n
∂z j
2 ∂xj
∂yj
n
X
∂f
∂f
dzj +
dz j )
df =
(
∂z
∂z
j
j
j=1
n
n
X ∂f
∂f
dzj ,
=
∂z
∂z
j
j=1
X ∂f
∂f
dz j
=
∂z
∂z
j
j=1
th×
df =
∂f ∂f
+
∂z
∂z
§Þnh lý 1.3.3. Hµm R - kh¶ vi t¹i z ∈ Cn lµ C - kh¶ vi khi vµ chØ khi
∂f
∂f
=0⇔
=0
∂z j
∂z j
∀j = 1, . . . , n
§Þnh nghÜa 1.3.4.
i,
Hµm gäi lµ chØnh h×nh t¹i z ∈ Cn nÕu nã C- kh¶ vi trong mét l©n cËn cña
z.
ii,
f : Ω → Cm víi Ω më trong Cn gäi lµ chØnh h×nh t¹i z nÕu fj chØnh h×nh
t¹i z víi mäi j = 1, . . . , n ë ®©y f = (f1 , . . . , fm )
§Þnh lý 1.3.5. Gi¶ sö P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − aj | < rj
9
∀j =
1, . . . , n} lµ ®a ®Üa t©m a b¸n kÝnh r = (r1 , . . . , rn ) vµ Γ = {z ∈ Cn :
|z − aj | = rj
∀j = 1 . . . , n}.
Gi¶ sö f lµ hµm liªn tôc trªn P vµ chØnh h×nh trªn P , khi ®ã
f (z) =
∞
X
Cα (z − a)α
|α|=0
víi
1 n
Cα = (
)
2πi
Z
f (ξ)
dξ
(ξ − a)α+1
Γ
ë ®©y dξ = dξ1 . . . dξn .
§Þnh lý 1.3.6. Gi¶ sö Ω lµ më trong Cn (n > 1) vµ K lµ tËp compact trong
Ω víi Ω\K liªn th«ng. Khi ®ã mäi hµm chØnh h×nh f trªn Ω\K cã thÓ më
réng duy nhÊt tíi mét hµm chØnh h×nh fe trªn Ω.
1.4
§Þnh nghÜa hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi
§Þnh nghÜa 1.4.1. Hµm u : Ω −→ [−∞, ∞) ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn nÕu
lim supu(z) 6 u(z0 ) víi mäi z0 ∈ D
z→z0
Mét c¸ch t−¬ng ®−¬ng tËp u−1 ([−∞, a)) lµ më víi mäi −∞ < a < +∞.
§Þnh nghÜa 1.4.2. Cho tËp con Ω më cña C vµ mét ¸nh x¹ u : Ω −→
[−∞, ∞), ¸nh x¹ u ®−îc gäi lµ ®iÒu hßa d−íi nÕu :
i, u lµ nöa liªn tôc trªn
ii, Víi mäi x ∈ Ω, mäi r > 0 sao cho D(x, r) ⊂⊂ Ω víi 0 < r < d(x,∂Ω) th×
u tháa m·n bÊt ®¼ng thøc sau :
10
u(x)
6
1
2π
Z2π
u(x + reiθ )dθ
0
KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®iÒu hßa d−íi trªn Ω lµ SH(Ω).
§Þnh nghÜa 1.4.3. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn . Mét hµm u : Ω −→
[−∞, ∞) ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi nÕu:
i, u lµ nöa liªn tôc trªn vµ u 6≡ −∞ trªn bÊt cø thµnh phÇn liªn th«ng nµo cña
Ω.
ii, Víi mäi z ∈ Ω vµ mäi w ∈ Cn th× hµm ζ 7→ u(z + ζw) lµ ®iÒu hoµ d−íi
trong mét l©n cËn cña 0 trªn mÆt ph¼ng phøc.
KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω lµ PSH(Ω).
§Þnh nghÜa 1.4.4. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn . §Æt dc = i(∂ − ∂) vµ
d = ∂ + ∂ . Mét hµm ϕ : Ω −→ [−∞, ∞) lµ ®a ®iÒu hßa d−íi nÕu vµ chØ nÕu
ϕ ∈ L1loc (Ω) vµ ddc ϕ ≥ 0.
§Þnh nghÜa 1.4.5. Mét hµm ϕ ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hßa trong Ω nÕu ϕ ®a ®iÒu
hßa d−íi trong Ω vµ ®iÒu hßa trªn mçi mÆt ph¼ng phøc c¾t Ω.
KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®a ®iÒu hßa trong Ω lµ PH(Ω ).
1.5
Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi
MÖnh ®Ò 1.5.1. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn vµ f lµ mét hµm chØnh h×nh
trªn Ω th× Ref, Imf , |f | vµ log|f | lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω.
§Þnh lý 1.5.2. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn vµ u : Ω −→ [−∞, ∞).
hµm u ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hßa d−íi nÕu u lµ nöa liªn tôc trªn, u 6≡ −∞ trªn
bÊt cø thµnh phÇn liªn th«ng nµo cña Ω vµ víi mäi x ∈ Ω vµ b ∈ Cn th×
11
u(x) 6
1
2π
Z2π
u(x + reiθ )dθ
0
víi mäi r > 0 mµ {x + tb : t ∈ C : |t| < 1} ⊂ Ω.
§Þnh lý 1.5.3. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn .
i, NÕu ϕ, ψ lµ nh÷ng hµm ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω th× max(ϕ, ψ ) còng ®a ®iÒu
hßa d−íi trªn Ω
ii, NÕu d·y hµm {ϕn } cã ϕn ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω vµ héi tô tíi ϕ th× ϕ
còng ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω
iii, NÕu d·y hµm {ϕn } ®a ®iÒu hßa d−íi vµ bÞ chÆn trªn ®Òu ®Þa ph−¬ng trªn
Ω th× (supn ϕn )∗ còng ®a ®iÒu hßa d−íi Ω
iv, NÕu hµm ϕ ®a ®iÒu hßa d−íi vµ bÞ chÆn trªn trªn Ω th× ϕ lµ h»ng sè.
Cho hµm ρ ∈ C ∞ (Cn ) sao cho ρ chØ phô thuéc k z k vµ
suppρ = {ρ(z) 6= 0} = B(0, 1) víi B(0, 1) lµ h×nh cÇu t©m t¹i 0 vµ b¸n kÝnh
R
1 vµ ρdλ(z) = 1 trong ®ã λ lµ ®é ®o L¬ be cña Cn .
Cn
Víi ∀ε > 0
z
®Æt ρε = ε−n ρ( ) khi ®ã ta cã ®Þnh lý sau:
ε
§Þnh lý 1.5.4. (TÝnh tr¬n cña hµm ®a ®iÒu hßa d−íi)
R
0
0
Gi¶ sö ϕ ∈PSH(Ω) vµ ϕε (z) = (ϕ ∗ ρε )(z) = ϕ(z − z )ρε (z )dλ(z 0 )
Cn
khi ®ã :
i,
ϕε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε )
ii,
ϕε lµ hµm t¨ng theo ε vµ ϕε (z) héi tô tíi ϕ(z) khi ε → 0.
víi Ωε = {z ∈ Ω, d(z, ∂Ω) > ε}
§Þnh lý 1.5.5. Cho u lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω lµ mét tËp con më cña
Cn vµ v lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn V më cña Ω sao cho lim sup v(z) 6 u(x)
z→x
víi x ∈ Ω ∩ ∂V th× hµm:
12
w=
max(u, v)
trªn V
u
trªn Ω\V
(1.2)
còng ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω
§Þnh lý 1.5.6. Gi¶ sö ϕ ∈ C2 (Ω).
Lϕ (z, ω) =
D¹ng
n
X
j,k=1
∂ 2ϕ
(z)ωj ω k
∂zj ∂z k
®−îc gäi lµ d¹ng Levi cña ϕ t¹i z.
Hµm ϕ ∈ C2 (Ω) lµ ®a ®iÒu hßa d−íi khi vµ chØ khi
Lϕ (z, ω) ≥ 0 víi ∀z ∈ Ω, ∀ω ∈ Cn
§Þnh nghÜa 1.5.7. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn mét hµm ϕ ®−îc gäi lµ
®a ®iÒu hßa d−íi chÆt trªn Ω nÕu d¹ng Lªvi cña ϕ:
Lϕ (z, ω) =
n
X
j,k=1
∂ 2ϕ
(z)ωj ω k
∂zj ∂z k
lµ d−¬ng chÆt víi mäi z ∈ Ω vµ víi mäi ω ∈ Cn .
§Þnh nghÜa 1.5.8. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn vµ hµm ϕ ®a ®iÒu hßa
d−íi chÆt trªn Ω th× tån t¹i mét hµm d−¬ng chÆt f ∈ C ∞ (Ω; R) sao cho :
n
X
j,k=1
n
X
∂ 2ϕ
(z0 )ωj ω k ≥ f (z0 )
|wj |2
∂zj ∂z k
j=1
víi mçi z0 ∈ Ω vµ ω ∈ Cn .
§Þnh lý 1.5.9. Cho mét hµm ϕ thùc tr¬n th× nh÷ng kh¼ng ®Þnh sau t−¬ng ®−¬ng:
i,
ϕ lµ hµm ®a ®iÒu hßa .
13
iii,
∂ 2ϕ
= 0 víi mäi j, k = 1, . . . n.
∂zj ∂z k
Cã mét hµm chØnh h×nh f sao cho ϕ = Ref .
1.6
mét sè kh¸i niÖm vÒ miÒn
ii,
Trong phÇn nµy chóng t«i xin tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c bao låi
chØnh h×nh, bao ®a ®iÒu hoµ duíi, bao låi ®a thøc, miÒn chØnh h×nh, miÒn
Runge, miÒn gi¶ låi vµ mét sè kÕt qu¶ vÒ miÒn gi¶ låi, vÒ gi¶i bµi to¸n ∂
®· ®−îc tr×nh bµy rÊt chi tiÕt trong cuèn s¸ch "An introduction to complex
analysis in several variables" cña L.Hormander.
§Þnh nghÜa 1.6.1. ( Bao låi chØnh h×nh)
b A cña K x¸c ®Þnh
NÕu K lµ tËp con compact cña Ω th× bao låi chØnh h×nh K
Ω
bëi
b A = {z; z ∈ Ω, |f (z)| 6 sup |f |
K
Ω
nÕu f ∈ A(Ω)}
K
§Þnh nghÜa 1.6.2. (Bao ®a ®iÒu hoµ d−íi)
NÕu K lµ tËp con compact cña Ω më ⊂ Cn ta ®Þnh nghÜa bao ®a ®iÒu hoµ d−íi
b P SH cña K bëi:
K
Ω
b P SH = {z; z ∈ Ω, u(z) 6 sup u cho mäi u ∈ P SH(Ω)}
K
Ω
K
§Þnh nghÜa 1.6.3. ( Bao låi ®a thøc)
b Cn cña K ®−îc x¸c ®Þnh
Cho K lµ tËp con compact trong Cn bao låi ®a thøc K
bëi
b =K
b Cn = {z; z ∈ Cn , |p(z)| 6 sup |p| cho mäi ®a thøc chØnh h×nh p}
K
K
§Þnh nghÜa 1.6.4. (MiÒn chØnh h×nh )
14
Mét tËp më Ω ⊂ Cn ®−îc gäi lµ miÒn chØnh h×nh nÕu kh«ng cã nh÷ng tËp më
Ω1 vµ Ω2 trong Cn cã nh÷ng tÝnh chÊt sau:
i, ∅ 6= Ω1 ⊂ Ω2 ∩ Ω.
ii, Ω2 lµ liªn th«ng vµ kh«ng chøa trong Ω .
iii, Víi mçi ϕ ∈A(Ω) tån t¹i hµm ϕ2 ∈A(Ω2 ) sao cho ϕ = ϕ2 trong Ω1 .
§Þnh nghÜa 1.6.5. (MiÒn Runge)
Mét miÒn chØnh h×nh Ω ⊂ Cn ®−îc gäi lµ miÒn Runge nÕu mäi hµm f ∈A(Ω)
cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bÊt kú trong Ω bëi nh÷ng ®a thøc
chØnh h×nh .
§Þnh nghÜa 1.6.6. (MiÒn gi¶ låi)
Cho Ω më trong Cn , δ lµ mét hµm liªn tôc trong Cn sao cho δ > 0 trõ t¹i ®iÓm
0 vµ
δ(tz) = |t|δ(z),
t ∈ C,
z ∈ Cn
§Æt
δ(z, {Ω) = inf δ(z − w)
w∈{Ω
th× Ω lµ miÒn gi¶ låi nÕu hµm −logδ(z, {Ω) lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω.
1.7
Mét sè tÝnh chÊt cña miÒn gi¶ låi
Trong phÇn nµy chóng t«i ®−a ra mét sè kÕt qu¶ ®−îc tr×nh bµy trong [7]
kh«ng chøng minh, ®−îc sö dông trong luËn v¨n nµy.
§Þnh lý 1.7.1. NÕu Ω lµ mét tËp më trong Cn th× nh÷ng ®iÒu kiÖn sau lµ t−¬ng
®−¬ng:
i,
−logδ(z, {Ω) lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω.
ii,
Tån t¹i mét hµm u ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω sao cho
15
Ωc = {z; z ∈ Ω, u(z) < c} ⊂⊂ Ω víi ∀c ∈ R.
iii,
b P SH ⊂⊂ Ω nÕu K ⊂⊂ Ω.
K
Ω
Xem chøng minh §Þnh lý 2.6.7 trang 46 trong [7].
Chøng minh:
§Þnh lý 1.7.2. Cho K lµ mét tËp con compact cña tËp më gi¶ låi Ω ⊂ Cn th×
bA = K
b P SH .
K
Ω
Ω
Chøng minh:
Xem chøng minh §Þnh lý 4.3.4 trang 91 trong [7].
§Þnh lý 1.7.3. Cho Ω lµ mét tËp më gi¶ låi trong Cn , cho K mét tËp con
b P SH , th× tån t¹i mét hµm u ∈ C ∞ (Ω)
cmpact cña Ω vµ V lµ mét l©n cËn cña K
Ω
sao cho :
i,
u lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi chÆt .
ii,
u < 0 trong K vµ u > 0 trong Ω ∩ {V .
iii,
{z ∈ Ω : u(z) < c} ⊂⊂ víi ∀c ∈ R.
Chøng minh:
Xem chøng minh §Þnh lý 2.6.11 trang 48 trong [7].
§Þnh lý 1.7.4. Cho p lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi chÆt líp C ∞ trong Ω sao cho
Kc = {z; z ∈ Ω, p(z) 6 c} ⊂⊂ Ω víi mäi c ∈ R.
th× víi mçi hµm chØnh h×nh trong l©n cËn cña K0 cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trong
chuÈn L2 trªn K0 bëi nh÷ng hµm trong A(Ω).
Chøng minh:
Xem chøng minh Bæ ®Ò 4.3.1 trang 89 trong [7].
§Þnh lý 1.7.5. Cho Ω lµ mét miÒn më gi¶ låi trong Cn vµ ϕ ∈ PSH(Ω). Cho
g ∈ L2p,q+1 (Ω, ϕ) víi ∂g = 0 th× cã mét nghiÖm u ∈ L2p,q (Ω, loc) cña ph−¬ng
tr×nh ∂u = g sao cho
16
Z
Z
2 −ϕ
|u| e
2 −2
Ω
Chøng minh:
|g|2 e−ϕ dλ
(1 + |z| ) dλ 6
Ω
Xem chøng minh §Þnh lý 4.4.2 trang 94 trong [7] .
Bæ ®Ò 1.7.6. Cho K lµ mét tËp compact låi ®a thøc vµ U lµ mét l©n cËn cña
K , th× cã thÓ t×m thÊy nh÷ng ®a thøc P1 ,. . . , Pm sao cho
K ⊂ {z, |Pj (z)| 6 1, j = 1, . . . , m} = L ⊂ U
L ®−îc gäi lµ ®a diÖn låi ®a thøc .
Chøng minh: Xem chøng minh Bæ ®Ò 2.7.4 trang 53 trong [7].
§Þnh lý 1.7.7. Cho Ω lµ mét miÒn më trong Cn vµ ph−¬ng tr×nh ∂u = f cã
∞
∞
mét nghiÖm u ∈ C(p,q)
(Ω) cho mäi f ∈ C(p,q+1)
(Ω) víi ∂f = 0 (p, q ≥ 0) th×
H r (Ω, C) ≈{Nh÷ng d¹ng f chØnh h×nh cña bËc r víi ∂f = 0 }/ {∂g víi g
chØnh h×nh bËc
r − 1} .
V× vËy H r (Ω, C) = 0 khi r > n.
§Æc biÖt nÕu Ω lµ mét miÒn Runge trong Cn th× V× vËy H r (Ω, C) = 0 khi
r ≥ n.
( ë ®©y H r (Ω, C) lµ nhãm ®èi ®ång ®iÒu thø r cña Ω víi hÖ sè phøc).
Chøng minh:
Xem chøng minh §Þnh lý 2.7.10 vµ 2.7.11 trang 58 trong [7]
Bæ ®Ò 1.7.8. NÕu φ lµ mét hµm ®iÒu hoµ d−íi liªn tôc trong X ∈ Rn vµ φj lµ
mét d·y nh÷ng hµm ®iÒu hoµ d−íi , φj 6 φ sao cho φj (x) → φ(x) khi j → ∞
víi mäi x trong mét tËp E trï mËt cña X th× φj → φ trong L1loc (X).
Chøng minh:
Bëi Bæ ®Ò 4.1.9 trong [8] th× d·y φj lµ tiÒn compact trong L1loc vµ gäi giíi h¹n
cña nã lµ hµm ®iÒu hoµ d−íi ψ, dÔ thÊy ψ 6 φ vµ còng theo 4.1.8 trong [8]
17
ta cã ψ(x) ≥ φ(x) khi x ∈ E
v× vËy
Z
φ(x) 6
Z
ψ(y)dy/
|y−x| 0) nÕu
x∈E
|y| 0 sao cho:
u(ϕ) 6 c
X
||Dα ϕ||K
|α|6k
víi ϕ ∈ D(K)
u lµ ph©n bè bËc k nÕu bÊt ®¼ng thøc nµy ®óng víi k cho mäi tËp K.
§Þnh lý 1.9.3. (§Þnh lý biÓu diÔn Riesz)
Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Metric cã mét vÐt c¹n compact. NÕu mét phiÕm
hµm tuyÕn tÝnh d−¬ng trªn C0 (X) th× tån t¹i duy nhÊt mét ®é ®o Radon µ trªn
X sao cho
Z
Λ(φ) =
φdµ (φ ∈ C0 (X))
X
chó ý: X cã mét vÐt c¹n compact nghÜa lµ tån t¹i mét d·y compact (Kn )n≥1
sao cho Kn ⊂ int(Kn+1 ) víi mäi n vµ ∪n Kn = X.
NhËn xÐt 1.9.4. NÕu u lµ mét ph©n bè bËc 0 khi ®ã víi mäi K ⊂⊂ Ω, ∃c > 0
ta cã
|u(ϕ)| 6 csup|ϕ| víi mäi ϕ ∈ D(Ω), suppϕ ⊂ K.
Tõ ®ã suy ra u lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn D(Ω ).
Theo ®Þnh lý biÓu diÔn Riesz, mäi ph©n bè bËc kh«ng cã thÓ ®−îc ®ång nhÊt
víi nh÷ng ®é ®o phøc chÝnh quy cho bëi c«ng thøc sau:
Z
u(ϕ) =
ϕdµ, víi
ϕ ∈ C0 (Ω)
Ω
MÖnh ®Ò 1.9.5. NÕu u lµ mét ph©n bè trªn Ω tho¶ m·n u(ϕ) ≥ 0, ∀ϕ ∈ D(Ω),
ϕ ≥ 0. Khi ®ã u cã thÓ ®ång nhÊt víi mét ®é ®o d−¬ng.
20
- Xem thêm -
.PDF 
45 
90 
76 
