I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN THÀ LUYN
PH×ÌNG PHP DIN TCH
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - N«m 2014
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN THÀ LUYN
PH×ÌNG PHP DIN TCH
Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP
M¢ sè : 60.46.01.13
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
PGS.TS.NGUYN VIT HI
Th¡i Nguy¶n - N«m 2014
Möc löc
Líi nâi ¦u
1
Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch
3
1.1
C¡c ti¶n · v· di»n t½ch. C¡c h¼nh kh£ di»n . . . . . . . .
3
1.1.1
Di»n t½ch a gi¡c. ành lþ tçn t¤i v duy nh§t . .
3
1.1.2
C¡c a gi¡c ¯ng di»n v c¡c a gi¡c ¯ng hñp . .
9
1.1.3
Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc . . . . . . . . . . . .
11
1.2
1.3
2
1
C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng
. . .
14
1.2.1
Di»n t½ch tam gi¡c
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.2
C¡c cæng thùc cì b£n cõa di»n t½ch tù gi¡c . . . .
17
1.2.3
C¡c cæng thùc di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh qu¤t trán
18
T½nh di»n t½ch a gi¡c, h¼nh trán
. . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.1
T½nh di»n t½ch tam gi¡c.
1.3.2
T½nh di»n t½ch tù gi¡c.
. . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3.3
T½nh di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh cong. . . . . . . . .
22
1.4
T½nh di»n t½ch trong m°t ph¯ng tåa ë. . . . . . . . . . .
24
1.5
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng v cæng cö t½ch ph¥n. . . . . . . . .
25
Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng
30
2.1
30
2.2
Mð ¦u
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sû döng di»n t½ch trong b i to¡n chùng minh.
2.2.1
. . . . .
Chùng minh mët ¯ng thùc v· ë d i ho°c gâc
i
.
32
33
2.3
2.2.2
Chùng minh t½nh çng quy, th¯ng h ng, song song.
36
2.2.3
Sû döng di»n t½ch º chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 41
Sû döng di»n t½ch gi£i c¡c b i to¡n v· t½nh to¡n, v· cüc
trà, v· düng h¼nh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3.1
Sû döng di»n t½ch trong nhúng b i to¡n t½nh to¡n
44
2.3.2
Sû döng di»n t½ch t¼m cüc trà
. . . . . . . . . . .
46
Sû döng di»n t½ch trong c¡c b i to¡n düng h¼nh .
53
2.4
Sû döng di»n t½ch · t¼m tªp hñp iºm . . . . . . . . . .
55
2.5
Dòng y¸u tè di»n t½ch trong b i tªp ¤i sè
. . . . . . . .
59
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3.3
ii
Líi nâi ¦u
Di»n t½ch l mët trong nhúng nëi dung quan trång trong H¼nh håc
phê thæng, c¡c b i to¡n t½nh di»n t½ch, chùng minh di»n t½ch c¡c h¼nh
luæn l c¡c b i to¡n câ m°t trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c¡c c§p. Nhi·u
b i to¡n H¼nh håc b· ngo i khæng chùa y¸u tè di»n t½ch nh÷ng n¸u ng÷íi
l m to¡n bi¸t kh²o l²o dòng y¸u tè di»n t½ch th¼ s³ nhªn ÷ñc mët líi
gi£i hay, b§t ngí, câ nhúng tr÷íng hñp n¸u khæng sû döng di»n t½ch th¼
khæng thº gi£i ÷ñc. ¥y l cì sð khoa håc º t¡c gi£ lüa chån · t i
cho b£n luªn v«n
Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch .
D÷îi ti¶u · tr¶n t¡c gi£ ¢ t¼m ra mët ph÷ìng ph¡p hay º gi£i quy¸t
c¡c b i to¡n H¼nh håc ph¯ng: T½nh di»n t½ch c¡c h¼nh v dòng di»n t½ch
nh÷ mët cæng cö hé trñ º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc. B£n luªn v«n gçm
Líi nâi ¦u, hai ch÷ìng, K¸t luªn v danh möc t i li»u tham kh£o.
Ch÷ìng 1. Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch.
Ch÷ìng n y nh¬m x¥y düng l¤i kh¡i ni»m di»n t½ch cõa mët h¼nh. Bt
¦u tø di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¥y düng b¬ng ph÷ìng ph¡p ti¶n ·, ¥y
l nhúng y¸u tè cì sð º câ kh¡i ni»m v· h¼nh kh£ di»n, çng thíi c¡c
cæng thùc ìn gi£n nh§t, cì b£n nh§t º t½nh di»n t½ch c¡c h¼nh.
Ngo i c¡ch t½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng trüc ti¸p c¡c cæng thùc,
ta cán ¡p döng ÷ñc ph÷ìng ph¡p tåa ë v t½ch ph¥n x¡c ành. Méi
ph÷ìng ph¡p ÷ñc l m rã bði c¡c kÿ thuªt v minh håa b¬ng c¡c b i
to¡n iºn h¼nh. Nëi dung ch÷ìng gçm c¡c ph¦n:
- C¡c ti¶n · v· di»n t½ch.
1
- T½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng c¡c cæng thùc.
- T½nh di»n t½ch b¬ng cæng cö t½ch ph¥n.
Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng.
Ch÷ìng n y t¡c gi£ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p mîi gåi l kÿ thuªt
döng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c . Kÿ thuªt n y ÷ñc dòng º:
sû
- Gi£i c¡c b i to¡n chùng minh h¼nh håc (chùng minh hai o¤n th¯ng
b¬ng nhau, chùng minh h» thùc, chùng minh t½nh song song, t½nh çng
quy cõa c¡c ÷íng th¯ng, t½nh th¯ng h ng cõa c¡c iºm, chùng minh
c¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc...).
- Gi£i c¡c b i to¡n v· t¼m cüc trà h¼nh håc, c¡c b i to¡n t½nh to¡n.
- Gi£i c¡c b i to¡n v· düng h¼nh.
- Gi£i c¡c b i to¡n t½nh tªp hñp iºm (quÿ t½ch).
Ch½nh kÿ thuªt
dòng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c l þ t÷ðng cì b£n
cõa ph÷ìng ph¡p di»n t½ch m chóng tæi nghi¶n cùu trong · t i n y.
T i li»u tham kh£o gçm 8 danh möc.
T¡c gi£ ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï tªn t¼nh cõa th y h÷îng d¨n, PGS.TS
Nguy¹n Vi»t H£i, trong vi»c t¼m hiºu c¡c v§n · cõa b£n luªn v«n v
tr¼nh b y theo mët tr¼nh tü logic. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n
th nh tîi tªp thº c¡c th y, cæ cõa Khoa To¡n- Tin, ¤i håc Khoa håc¤i håc Th¡i Nguy¶n; c¡c th y, cæ cõa Vi»n To¡n håc- Vi»n Khoa håc
Vi»t Nam v th y h÷îng d¨n; nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, gióp
ï t¡c gi£ trong suèt khâa håc cao håc t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v ho n
th nh b£n luªn v«n n y.
Th¡i Nguy¶n, ng y 19 th¡ng 9 n«m 2014
T¡c gi£
Nguy¹n Thà Luy¸n
2
Ch֓ng 1
Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p
t½nh di»n t½ch
1.1
C¡c ti¶n · v· di»n t½ch. C¡c h¼nh kh£ di»n
1.1.1 Di»n t½ch a gi¡c. ành lþ tçn t¤i v duy nh§t
L§y tr¶n m°t ph¯ng Euclide
g§p khóc
E2
mët h¼nh F n o â v gi£ sû ÷íng
L ⊂ F chia h¼nh F\L th nh 2 ph¦n F1 ,F2
0
F1
chia th nh c¡c h¼nh
têng cõa c¡c h¼nh
0
=
0
F1 , F2
F1 ∪
L;
v vi¸t
0
F2
=
0
F2 ∪
. Ta nâi h¼nh F ÷ñc
L cán h¼nh F ÷ñc gåi l
0
F = F1 + F2 .
H¼nh 1.1:
Nhî l¤i r¬ng a gi¡c l mët h¼nh ph¯ng m câ thº chia ÷ñc th nh
mët sè húu h¤n c¡c tam gi¡c. a gi¡c ÷ñc gåi l a gi¡c ìn n¸u bi¶n
cõa nâ nâ l ÷íng g§p khóc kh²p k½n, khæng câ iºm ký dà.
Ta kþ hi»u M l tªp hñp c¡c a gi¡c tr¶n m°t ph¯ng Euclide
3
E2 .
Ta
nâi r¬ng di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¡c ành n¸u ¡nh x¤
S : M → R∗+
thäa
m¢n c¡c ti¶n · sau:
(b§t bi¸n qua ph²p díi h¼nh).
ii. F = G + H ⇒ S(F) = S(G) + S(H) (T½nh ch§t cëng t½nh cõa S).
iii. S(F0 ) = 1 vîi F0 l h¼nh vuæng câ c¤nh b¬ng 1 . Sè d÷ìng S(F) ÷ñc
gåi l ë o hay di»n t½ch cõa a gi¡c F.
ành lþ 1.N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ èi vîi h¼nh chú nhªt P c¤nh câ ë
d i x, y h m S câ d¤ng S(P)=xy.
i. F
∼
=
F'
⇒
S(F) = S(F')
Chùng minh. Gi£ sû h m S(F) tçn t¤i v ta x²t nâ tr¶n tªp hñp
M0
t§t c£ c¡c h¼nh chú nhªt. Khi â S(P) l h m cõa x v y x¡c ành vîi
måi
x, y ∈ R∗+
v ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng: S(P)=f(x,y). H m n y câ c¡c
t½nh ch§t sau:
(a)
f(x,y) = f(y,x).
(b)
f (x1 +x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y).
T½nh ch§t (a) suy ra tø i·u ki»n i. Vîi chó þ r¬ng hai a gi¡c câ c¤nh
x, y v c¤nh l y, x l hai a gi¡c b¬ng nhau.
T½nh ch§t (b) suy ra tø i·u ki»n ii. Ta kþ hi»u
Tø t½nh ch§t (b) suy ra:
f(x, y) |y=const = g(x).
g(x1 +x2 ) = g(x1 ) + g(x2 ),∀x1 , x2 ∈ R∗+ .
Theo k¸t qu£ cõa gi£i t½ch, h m g(x) câ t½nh ch§t n y, x¡c ành tr¶n tªp
H¼nh 1.2:
hñp
R∗+
v ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng, ÷ñc biºu di¹n bði g(x) = k.x, trong
â k = const. Ngh¾a l
f(x, y) |y=const = k.x.
4
Vîi c¡c gi¡ trà y = const kh¡c nhau th¼ gi¡ trà k công kh¡c nhau, bði vªy
ta ph£i coi k = k(y). Nh÷ th¸ ta nhªn ÷ñc f(x,y) = k(y).x. °t x = 1 ta
÷ñc f(1,y) = k(y). Bði vªy ta câ t½nh ch§t (c): f(x,y) = f(1,y).x.Tø (a)
v (c) suy ra: f(1,y) = f(y, 1) = f(1,1).y v (b) câ d¤ng f(x,y) = f(1,1).x.y.
Nh÷ng theo ti¶n · iii. f(1,1) = 1. Do â, S(P) = x.y.(pcm)
H¼nh vuæng
F0
sao cho
S(F0 ) = 1
÷ñc gåi l h¼nh vuæng ìn và. Rã
r ng h¼nh vuæng n y x¡c ành n¸u chån ÷ñc o¤n th¯ng ìn và. i·u
ki»n t½ch cõa hai o¤n th¯ng ÷ñc hiºu l t½ch hai ë d i cõa chóng.
N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ :
i. Vîi h¼nh chú nhªt P, sè S(P) b¬ng t½ch cõa ¡y v ÷íng cao.
ii. Vîi h¼nh thang tòy þ T, sè S(T) b¬ng t½ch ÷íng trung b¼nh v ¡y.
iii. Vîi tam gi¡c tòy þ H, sè S(H) b¬ng nûa ë d i mët c¤nh nh¥n
vîi ÷íng cao t÷ìng ùng.
iv. Vîi h¼nh b¼nh h nh b§t ký B, sè S(B) b¬ng t½ch mët c¤nh vîi ÷íng
cao t÷ìng ùng.
H» qu£ 1.
Chùng minh.
K¸t qu£ i ¢ câ ð tr¶n. K¸t qu£ ii hiºn nhi¶n tr¶n h¼nh v³ 1.3. X²t iii.
H¼nh 1.3:
5
1
SABC = SAFNB + SFNC = SBNMA = EF.AH = BC.AH
2
Cuèi còng x²t iv.
SABCD = SABD + SBCD = 12 AB.DH+ 12 CD.BH1 = AB.DH.
H» qu£ ÷ñc chùng minh.
Nh÷ vªy v§n · cán l¤i l tçn t¤i hay khæng h m S(F)?
Gåi AB l mët c¤nh cõa a gi¡c F, n¸u H l iºm khæng ký dà tr¶n
c¤nh n y th¼ tçn t¤i h¼nh trán B(H,
ε)
sao cho h¼nh
F1 = F ∩ B(H, ε)
l
mët nûa h¼nh trán. Tçn t¤i tia [HN) thäa m¢n 2 i·u ki»n sau:
+ [HN) vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng (AB).
+
[HN) ∩ B(H, ε)\F1 6= ∅.
→
−
V²c tì ìn và n câ h÷îng
1
còng h÷îng vîi tia [HN) ÷ñc gåi l ph¡p
v²c tì ìn và ngo i cõa a gi¡c F. Nh÷ vªy vîi méi c¤nh cõa a gi¡c F
ta ·u x¡c ành ÷ñc ph¡p v²c tì ìn và ngo i. Gi£ sû a gi¡c F câ k
c¤nh. Ta kþ hi»u li l ë d i c¤nh thù i;
ùng vîi c¤nh n y;
Hi
→
−
ni
l ph¡p v²c tì ìn và ngo i
l iºm n o â tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i.
L§y iºm O tr¶n m°t ph¯ng cõa a gi¡c F v lªp têng
k
X
−−→ →
li OHi .−
ni .
(1.1)
i=1
Têng n y khæng phö thuëc v o vi»c chån iºm O, khæng phö thuëc v o
vi»c chån iºm
Hi
tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i cõa a gi¡c.
H¼nh 1.4:
6
Thªt vªy, n¸u l§y mët iºm O' kh¡c th¼
k
k
k
−−→ −
−−→ P
P
P
−−→ →
−
li OHi .−
ni .
li O0 Hi .→
ni = O0 O li →
ni +
i=1
i=1
−−0→ −−→
−−→
O Hi = O0 O+OHi
, ngh¾a l :
Ta chùng minh:
i=1
k
X
→
−
−
li .→
ni = 0 .
(1.2)
i=1
Tr÷îc ti¶n x²t tr÷íng hñp k = 3 (xem h¼nh 1.5). N¸u tø iºm H b§t ký
H¼nh 1.5:
−→
−→
−→
HP ∈ AB; HQ ∈ BC; HR ∈ CA, sau
→
−
→
−
→
−
o¤n th¯ng HP0 ∈ AB. n1 ; HQ0 ∈ BC. n2 ; HR0 ∈ CA. n3 th¼
π
r¬ng qua ph²p quay t¥m quay H, gâc quay ϕ = − , c¡c
2
ta °t c¡c o¤n th¯ng ành h÷îng
â l¤i °t c¡c
d¹ nhªn th§y
iºm A,B,C chuyºn th nh c¡c iºm P,Q,R th nh c¡c iºm P',Q',R'.
Bði vªy, tø ¯ng thùc
−→ −→ −→ →
−
AB+BC+CA = 0 ,
ta suy ra ¯ng thùc (1.2).
Vîi k > 3, bi¶n cõa h¼nh F gçm mët ho°c mët sè ÷íng g§p khóc
âng. Suy luªn t÷ìng tü èi vîi méi ÷íng g§p khóc âng n y ta kh¯ng
ành ÷ñc ¯ng thùc (1.2) óng vîi måi k>3. Do â têng (1.1) khæng
phö thuëc v o vi»c chån iºm O.
N¸u tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i cõa a gi¡c F ta l§y iºm
−−→0
−−→ −
−
OHi .→
ni = OHi .→
ni
→
−
vîi n .
th¼
v¼
−−→0
−−→ −
−
OHi .→
ni = OHi .→
ni
i
ành lþ 2(tçn t¤i v duy nh§t)
+
−−→0 →
Hi Hi .−
ni
v
−−→0
Hi Hi
0
Hi
vuæng gâc
nh x¤ S :M → R∗+ theo quy tc
k
1 X −−→ →
S(F) =
li OHi .−
ni .
2 i=1
7
(1.3)
trong â, k l sè c¤nh a gi¡c F l ¡nh x¤ duy nh§t M → R∗+, thäa m¢n
c¡c ti¶n · trong ành ngh¾a di»n t½ch.
Chùng minh.
a. Tr÷îc h¸t, ¡nh x¤ x¡c ành bði (1.3) thäa m¢n c¡c ti¶n · (i),(ii),(iii).
+ Gi£ sû
F, F0 ∈ M, F ∼
= F0
. Tçn t¤i ph²p díi
díi n y sinh ra ph²p bi¸n êi trüc giao
tì n·n cõa
2
E
r ng v²c tì
ϕ
∂|∂(F) = ∂(F0 ).
n o â trong khæng gian v²c
−−→
ϕ(OHi )
0
0
∂(O) = ∂(O ), ∂(Hi ) = ∂(Hi ) th¼
→
−0
−
ϕ(→
ni ) = ni l ph¡p v²c tì ìn và ngo i cõa
. N¸u
Ph²p
=
−−→0
O0 Hi .
Rã
a gi¡c F'.
V¼ ph²p díi b£o to n ë d i o¤n th¯ng, bi¸n êi trüc giao b£o to n
t½ch væ h÷îng hai v²c tì n¶n ta k¸t luªn S(F)=S(F').
F =F1 +F2
AB ∈ L
S(F1 )
−−→→
1
theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû
AB.OH.−
n , H ∈ AB (*) v khi
2
−
−→ →
1
AB.OH. n0 , H ∈ B (**).
t½nh S(F2 ) theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû
2
→
−0
→
−
D¹ nhªn th§y r¬ng c¡c v²c tì n v n èi nhau. Do â khi lªp têng
+ Gi£ sû
S(F1 ) + S(F2 ),
v
(xem h¼nh v³ 1.5). Khi t½nh
c¡c h¤ng tû (*) v (**) tri»t ti¶u l¨n nhau. K¸t qu£ â
óng vîi måi o¤n th¯ng cõa ÷íng g§p khóc L.
S(F) = S(F1 ) + S(F2 ).
Tø â ta suy ra:
+ X²t h¼nh vuæng ABCD, c¤nh câ ë d i 1. L§y iºm O l t¥m h¼nh
vuæng cán
Hi
l c¡c trung iºm c¡c c¤nh. Khi â
1 −−→ →
1
li .OHi .−
ni = , (i = 1, 2, 3, 4)
2
2
t½nh theo cæng thùc (1.3) ta ÷ñc S(ABCD) = 1.
b. Gi£ sû câ ¡nh x¤
S0 : M → R∗+
∆
Vîi måi tam gi¡c
thäa m¢n c¡c ti¶n · (i), (iii).
theo h» qu£ cõa ành lþ 1, ta câ: S(∆)=S'(∆).
L§y mët a gi¡c F tòy þ, câ thº ph¥n t½ch F th nh c¡c tam gi¡c:
F=∆1+∆2+. . . +
∆n,
0
theo ti¶n · ii.
S (F) =
n
X
0
S (∆j); S(F) =
j=1
n
X
j=1
8
S(∆j).
Tø â suy ra S'(F)=S(F). ¯ng thùc n y óng vîi måi
F ∈ M,
do â S
v S' tròng nhau, t½nh duy nh§t cõa S ÷ñc chùng minh(pcm).
Vîi måi c¡ch ph¥n t½ch a gi¡c F th nh tªp hñp húu h¤n c¡c
tam gi¡c th¼ têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c n y l nh÷ nhau.
H» qu£ 2.
Thªt vªy, theo ti¶n · ii, têng n y b¬ng di»n t½ch S(F) cõa a gi¡c F,
m theo ành lþ 2 khæng phö thuëc v o c¡ch ph¥n t½ch F th nh c¡c tam
gi¡c.
1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v c¡c a gi¡c ¯ng hñp
Hai a gi¡c gåi l ¯ng di»n n¸u chóng câ di»n t½ch b¬ng nhau. Hai
a gi¡c F v F' gåi l ¯ng hñp n¸u chóng câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh
còng mët sè c¡c a gi¡c t÷ìng ùng b¬ng nhau. Ta vi¸t
¯ng hñp,
ρ
FρF0
n¸u F v F'
kþ hi»u quan h» ¯ng hñp.
N¸u FρF0 th¼ S(F)=S(F').
H» qu£ n y l m cì sð cho ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch khi t½nh di»n t½ch
H» qu£ 3.
a gi¡c F: a gi¡c F ¢ cho ÷ñc ph¥n t½ch th nh mët sè húu h¤n c¡c
a gi¡c m tø chóng câ thº gh²p l¤i th nh a gi¡c F', câ di»n t½ch ¢
bi¸t. Di»n t½ch h¼nh b¼nh h nh, tam gi¡c, h¼nh thang trong s¡ch gi¡o
khoa phê thæng ÷ñc t½nh nh÷ vªy.
Khæng tçn t¤i hai a gi¡c ¯ng hñp m mët trong chóng n¬m
trong a gi¡c kia.
o
o
H» qu£ 4.
Thªt vªy, gi£ sû
FρF0 .
N¸u
F ⊂ F0 ,
trong â,
F0
l ph¦n trong cõa F'.
Khi â, F'=F+F, vîi F l mët a gi¡c n o â, d¨n tîi S(F')>S(F),
m¥u thu¨n vîi h» qu£ 1. Rã r ng ¯ng di»n l mët quan h» t÷ìng ÷ìng
tr¶n tªp hñp c¡c a gi¡c. Ta ph¡t biºu v chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo:
ành lþ 3.
ρ
l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp hñp M.
Hiºn nhi¶n vîi måi a gi¡c
l¤i ph£i chùng minh
ρ
F∈M
ta câ:
FρF
;
FρF0 ⇒ F0 ρF.
câ t½nh ch§t bc c¦u. Gi£ sû
9
Cán
F, F0 , F00 ∈ M
v
FρF0 , F0 ρF00 . Ta câ:
m
m
n
n
P
P
P
P
00
00
0
0
0
0
Gj , Gj ∼
Gj , F00 =
Fi , Fi ∼
Fi , F0 =
F=
= Gj .
= Fi ; F0 =
i=1
j=1
i=1
i=1
(xem h¼nh 1.6). X²t c¡c a gi¡c
0
0
0
0
0
Fi , Gj ∈ F . Giao cõa chóng Fi ∩ Gj
câ
H¼nh 1.6:
thº réng, mët iºm, mët sè o¤n th¯ng hay c¡c a gi¡c. Trong tr÷íng
0
Fij .
m
P 0
0
0
Fi = Fij nh÷ng Fi ∼
= Fi
hñp cuèi còng, ta kþ hi»u c¡c a gi¡c l
V¼
0
Fi ⊂ F0 =
m
P
j=1
0
Gj
n¶n
Fi
=
F=
n X
m
X
i
0
Gj
=
m
P
i=1
0
Fij
00
F =
v v¼
0
Fij .
(1.4)
00
Gj ∼
= Fj
0
m X
n
X
n¶n
00
Fj
=
m
P
i=1
0
Fij .
0
Fij .
Do â,
(1.5)
i=1
FρF00 (pcm).
ành lþ 4 (Boian-Gevina ).
0
Fij .
j=1
j
Tø (1.2) v (1.3) suy ra:
m
P
j=1
j=1
Bði vªy,
Công óng nh÷ vªy,
n¶n
Ta câ ành lþ sau:
N¸u S(F) = S(F0) th¼ FρF0.
ành lþ n y v h» qu£ 2 cho k¸t qu£ sau:
S(F) = S(F0 ) ⇔ FρF0 .
Nâi
c¡ch kh¡c tr¶n tªp hñp t§t c£ c¡c a gi¡c M, quan h» ¯ng di»n tròng
vîi quan h» ¯ng hñp.
10
1.1.3 Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc
Kþ hi»u J l tªp hñp t§t c£ c¡c h¼nh ph¯ng câ t½nh ch§t sau:
∀Φ ∈ J∃F, F0 ∈ M|F ⊂ Φ ⊂ F0 .
Hiºn nhi¶n, tªp hñp t§t c£ c¡c a gi¡c
M⊂J
(1.6)
v måi h¼nh
Φ∈J
·u bà
ch°n (bði h¼nh câ ÷íng k½nh húu h¤n). Tø (1.6) suy ra:
S(F) ≤ S(F0 ).
L§y mët h¼nh
Φ∈J
(1.7)
v x²t c¡c tªp hñp sau:
(F) = {F|F ∈ M&F ⊂ Φ} .
(F0 ) = {F0 |F0 ∈ M&Φ ⊂ F0 } .
Tªp hñp sè (S(F)) theo (1.7) bà ch°n tr¶n. Do â, tçn t¤i cªn tr¶n óng
S∗ = sup(S(F)),
m ÷ñc gåi l ë o Jocdan trong cõa h¼nh
Ta kþ hi»u nâ l
S∗ (Φ).
T÷ìng tü, tªp hñp sè (S(F')) bà ch°n d÷îi. Do
â, tçn t¤i cªn d÷îi óng
ngo i cõa h¼nh
Φ ∈ J,
Φ ∈ J.
S∗ = inf(S(F0 ))
kþ hi»u bði
S∗ (Φ).
m ÷ñc gåi l ë o Jocdan
Nh÷ vªy, måi h¼nh
Φ∈J
·u
câ ë o Jocdan trong v ngo i, tø (1.7) suy ra:
S∗ (Φ) ≤ S∗ (Φ).
H¼nh
Φ
(1.8)
÷ñc gåi l h¼nh o ÷ñc n¸u c¡c ë o Joc dan trong v ngo i
S(Φ) =S∗ (Φ) = S∗ (Φ) ÷ñc gåi l di»n t½ch cõa h¼nh n y.
0
N¸u Φ l h¼nh o ÷ñc v Φ ∼
= Φ th¼ hiºn nhi¶n Φ0 công o ÷ñc, hìn
b¬ng nhau, sè
núa
S(Φ0 ) = S(Φ).
Câ thº chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u
h¼nh o ÷ñc th¼ h¼nh
Nh÷ vªy h m
S(Φ)
Φ
Φ=Φ0 + Φ00
công o ÷ñc v
Φ0 , Φ00
·u l c¡c
S(Φ)= S(Φ0 ) + S(Φ00 ).
x¡c ành tr¶n tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc
thäa m¢n c¡c ti¶n · m h m di»n t½ch a gi¡c
â l m cì sð º gåi sè
, c£
S(Φ)
S(F)
¢ thäa m¢n. i·u
l di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng
11
Φ.
(D§u hi»u nhªn bi¸t h¼nh o ÷ñc). º h¼nh ph¯ng Φ l h¼nh
o ÷ñc c¦n v õ l vîi måi sè ε > 0 t¼m ÷ñc c¡c a gi¡c:
ành lþ 5:
0
0
0
F0 , F0 |F0 ⊂ Φ ⊂ F0 &S(F0 ) − S(F0 ) < ε.
Chùng minh. Gi£ sû
Vîi måi
Φ
o ÷ñc, khi â
(1.9)
sup S(F)) = inf S(F0 ) = S(Φ).
ε
. Theo t½nh ch§t cªn tr¶n óng, cªn d÷îi óng tçn
2
0
0
F0 , F0 sao cho S(F0 ) > S(Φ)−ε1 , S(F0 ) < S(Φ)+ε1 .
ε > 0, ε 1 =
t¤i c¡c a gi¡c
Tø â,
0
S(F0 ) - S(F0 )
<
2ε1 = ε.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ (1.9). Tø ành ngh¾a ë o tr¶n, ë o d÷îi ta
suy ra:
0
S(F0 ) ≤ S∗ (Φ), S∗ (Φ) ≤ S(F0 ).
Tø â,
câ:
0
S∗ (Φ) - S∗ (Φ) ≤ S(F0 ) - S(F0 ) < ε. K¸t hñp vîi k¸t qu£ (1.8) ta
0 ≤ S∗ (Φ)−S∗ (Φ) < ε v v¼ ε l sè d÷ìng tòy þ n¶n: S∗ (Φ)−S∗ (Φ) = 0.
Do â, h¼nh
Φ
l h¼nh o ÷ñc.(pcm)
H¼nh 1.7:
V¼
00
F0
0
F0 ⊂ F0
00
a.
F0
b.
F0
00
n¶n
0
00
F0 = F0 +F0
. Câ thº x£y ra 2 kh£ n«ng sau:
l mët a gi¡c (xem h¼nh 1.7a ).
l hñp (khæng li¶n thæng) cõa mët sè a gi¡c (tr¶n h¼nh 1.7b,
l hñp cõa 2 a gi¡c). i·u quan trång l h¼nh
00
F0
chùa bi¶n cõa h¼nh
Φ. Bði vªy ành lþ vøa chùng minh câ thº ph¡t biºu nh÷ sau: C¦n v õ
º h¼nh
Φ
o ÷ñc l bi¶n cõa nâ n¬m trong hñp cõa tªp húu h¤n c¡c
a gi¡c câ di»n t½ch nhä tòy þ. Nh÷ vªy t½nh ch§t o ÷ñc hay khæng o
12
÷ñc cõa mët h¼nh ph¯ng phö thuëc ho n to n v o bi¶n cõa nâ.
i·u ki»n c¦n v õ º h¼nh Φ o ÷ñc l tçn t¤i hai d¢y a
gi¡c (Xn)n∈N ; (Yn)n∈N sao cho Xn ⊂ Φ ⊂ Yn v di»n t½ch cõa chóng câ
giîi h¤n chung: n→+∞
lim S(Xn ) = lim S(Yn ). Giîi h¤n chung n y ch½nh l
n→+∞
di»n t½ch S(Φ) cõa Φ.
H» qu£ 5.
H» qu£ n y suy ra tø ành ngh¾a di»n t½ch h¼nh
V½ dö. Gi£ sû
Φ
l h¼nh trán b¡n k½nh R,
nëi ti¸p trong ÷íng trán,
÷íng trán (
n ≥ 3).
Yn
Xn
Φ
v c¡c ành lþ ð tr¶n.
l c¡c a gi¡c ·u n c¤nh
l c¡c a gi¡c ·u n c¤nh ngo¤i ti¸p trong
Khi â:
n
2π
π
S(Xn ) = R2 sin , S(Yn ) = nR2 tg .
2
n
n
H¼nh 1.8:
Ta t¼m ÷ñc:
sin 2π
tg π
2
2
n
n = πR2 .
lim S(Xn ) = R lim
= πR ; lim S(Yn ) = R lim
2
1
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n
n
2
Do â, h¼nh trán l h¼nh o ÷ñc v di»n t½ch cõa nâ b¬ng πR .
2
H» qu£ 6. Di»n t½ch h¼nh qu¤t trán.
Cho h¼nh trán t¥m O, b¡n k½nh R, cung AB tr¶n ÷íng trán câ sè o
n0 , gåi ` l ë d i cung n0 . Khi â di»n t½ch h¼nh qu¤t AmB ÷ñc t½nh
theo cæng thùc sau:
2
S=
πR n `R
= .
360
2
13
Vi»c t½nh di»n t½ch cõa mët h¼nh o ÷ñc tòy þ ÷ñc thüc hi»n b¬ng
cæng cö t½ch ph¥n. Trong gi£i t½ch ng÷íi ta ÷a ra mët sè v½ dö c¡c h¼nh
ph¯ng khæng o ÷ñc. Do â, khæng ph£i måi h¼nh
N¸u kþ hi»u
M ⊂ J0 ⊂ J,
1.2
J0
Φ∈J
l o ֖c.
l tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc th¼ ta câ thº vi¸t:
hìn núa
M 6= J0 6= J.
C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng
Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng, håc sinh nhi·u l¦n l m quen vîi
kh¡i ni»m di»n t½ch a gi¡c. Trong ph¦n n y chóng tæi x¥y düng v chùng
minh mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch tam gi¡c v di»n t½ch c¡c tù gi¡c
°c bi»t º phöc vö cho · t i luªn v«n cõa m¼nh.
1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c
X²t tam gi¡c ABC vîi BC=a, CA=b, AB=c, nûa chu vi
p=
a+b+c
,
2
÷íng cao AH = h, l¦n l÷ñt gåi r v R l b¡n k½nh ÷íng trong nëi ti¸p
v ngo¤i ti¸p tam gi¡c. Ta câ c¡c cæng thùc sau:
1
S = ah.
2
S = pr
1
S = absinC.
2
abc
S=
.
4R
a2 sinBsinC
S=
.
2sinA
S = 2R2 sinAsinBsinC.
q
S = p(p − a)(p − b)(p − c).
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Xu§t ph¡t tø cæng thùc (1.10) ta câ thº chùng minh c¡c cæng thùc kh¡c
nh÷ d÷îi ¥y:
14
H¼nh 1.9:
(1.10) → (1.11): Gåi O l t¥m ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC, b¡n
k½nh r. Gåi D, E, F l¦n l÷ñt l ÷íng vuæng gâc k´ tø O ¸n c¡c c¤nh
BC, CA, AB th¼ OE = OF = OD = r. Ta câ:
1
SABC = SAOB + SBOC + SCOA = r. (c + a + b) = p.r.
2
(1.10) → (1.12):
1
1
SABC = a.AH = a.b.sinC.
2
2
(gâc C câ thº nhån, vuæng hay tò)
º chùng minh (1.13), (1.14), (1.15) c¦n câ ành lþ h m sè sin:
a
b
c
=
=
= 2R.
sinA sinB sinC
V³ ÷íng trán t¥m O ngo¤i ti¸p (ABC), k´ ÷íng k½nh BD = 2R.
H¼nh 1.10:
15
a
.
2R
b < 900 th¼ sinA = sinBAC=
[ sinBDC=
[ BC = a .
- N¸u A
BD 2R
0
0 [
b
[
[ BC = a .
- N¸u A > 90 th¼ BAC= 180 −BDC n¶n sinA = sinBAC=
BD 2R
b
c
T÷ìng tü ta câ:
sinB = sinC = 2R.
1
1
c
abc
(1.12) → (1.13): SABC = ab sin C = ab
=
.
2
2 2R
4R
1
1
asinB a2 sinBsinC
(1.12) → (1.14): SABC = absinC = asinC.
=
.
2
2
sinA
sinA
1
(1.12) → (1.15): SABC = .2RsinA.2RsinB.sinC = 2R2 sinA.sinB.sinC.
2
p
(1.10) → (1.16): SABC = p(p − a)(p − b)(p − c).
1
2
2
2
2
V¼ S = a.AH n¶n 4S = a .AH = a
b2 − CH2 (*) n¶n c¦n t½nh CH2
2
2
2
2
2
theo a, b, c. Gi£ sû AB ≥ AC. Ta câ: BH = AB − AC + CH .
- N¸u
b = 900
A
th¼
sinA = 1 =
H¼nh 1.11:
M°t kh¡c
BH2 = (BC ± CH)2 = BC2 + CH2 ± 2BC.CH.
Trong ¯ng thùc tr¶n ta l§y d§u + khi gâc C tò, l§y d§u - khi gâc C
nhån, cán khi khi gâc C vuæng th¼ CH = 0 v BH = BC = a.
AB2 − AC2 = BC2 ± BC.CH, hay c2 − b2 = a2 ± 2a.CH,
2
2
2
2
2 2
n¶n 4a .CH = a + b − c
. Thay ¯ng thùc n y v o (*), ta ÷ñc:
2
16S2 = 4a2 b2 − 4a2 .CH2 = (2ab)2 − a2 + b2 − c2 .
Tø â suy ra
Ta bi¸n êi nh÷ sau:
16S2 = 2ab + a2 + b2 − c2 2ab − a2 − b2 + c2
= (a + b + c) (a + b − c) (c + a − b) (c − a + b)
= 2p.2 (p − c) 2. (p − b) 2. (p − a) .
16
- Xem thêm -