Tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2019 1 Möc löc Ch÷ìng 1 MËT SÈ L›NH CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ V€ GIƒI TCH 5 1.1. C i °t v  sû döng ph¦n m·m Geogebra . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 1.1.2. C i °t ph¦n m·m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Mët sè chùc n«ng ch½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra . . . . . . . . . . 8 1.2. Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong sè håc v  lþ thuy¸t sè . 9 1.2.1. C¡c l»nh li¶n quan ¸n sè nguy¶n tè . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷ . . . . . . . . 11 1.2.3. C¡c l»nh v· ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.4. C¡c c¥u l»nh Lægic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.5. Geogebra vîi ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.6. Geogebra vîi Gi£i t½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ch÷ìng 2 SÛ DÖNG GEOGEBRA TRONG MËT SÈ CHUY–N — LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ, GIƒI TCH 40 2.1. Ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.1. T¼m sè nguy¶n tè d¤ng 1000...01 . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2. Kiºm tra sè nguy¶n tè Mersenne d¤ng 2p − 1 . . . . . . . 51 n 2.1.3. Kiºm tra sè nguy¶n tè Fermat d¤ng 22 + 1 . . . . . . . 55 2.1.4. Ph¥n t½ch c¡c sè d¤ng An = p2 p3 ...pn − 2 ra thøa sè nguy¶n tè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2. Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 2.3. V³ ç thà h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4. T½nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4.1. T½nh t½ch ph¥n tr¶n Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4.2. V· mët ph÷ìng ¡n d¤y t½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . 91 T i li»u tham kh£o 99 3 LÍI NÂI †U Do nhúng ÷u iºm v÷ñt trëi (mi¹n ph½, câ c i °t ti¸ng Vi»t, phõ h¦u h¸t ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc, giao di»n th¥n thi»n,...), bra Geoge- trong kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y ¢ ÷ñc phê bi¸n t¤i Vi»t Nam. Nhi·u gi¡o vi¶n ¢ sû döng Geogebra trong thi¸t k¸ b i gi£ng, vi¸t c¡c s¡ng ki¸n kinh nghi»m v  c¡c chuy¶n ·. Tuy nhi¶n, ch÷a câ mët cuèn s¡ch n o vi¸t Geogebra, c¡c t i li»u tr¶n m¤ng th÷íng tªp trung v o h÷îng d¨n sû döng Geogebra, ch÷a câ nhi·u b i vi¸t v  t i li»u mang t½nh chuy¶n s¥u. Möc ½ch cõa Luªn v«n n y l  thuy¸t minh t½nh hi»u qu£ cõa Geogebra trong v· gi£i quy¸t mët sè v§n · cõa Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch. Luªn v«n gçm hai Ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tªp hñp mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, nh¬m thuªn ti»n cho Ch÷ìng 2. M°c dò ch÷a li»t k¶ ¦y õ c¡c l»nh v  ch÷a minh håa h¸t c¡c kh£ n«ng sû döng Geogebra trong Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, chóng tæi công hi vång Ch÷ìng 1 l  t i li»u câ ½ch v  thuªn ti»n cho nhúng ai mîi b­t ¦u l m quen vîi Ch÷ìng 2 gçm bèn chuy¶n ·. Chuy¶n · 1 minh håa kh£ n«ng sû döng Geogebra. ch¿ mët l»nh ifactor cõa Geogebra trong t¼m hiºu v  gi£i quy¸t mët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè. Chuy¶n · 2 minh håa kh£ n«ng sû döng ch¿ mët l»nh factor cõa Geogebra trong ph¥n t½ch a thùc ra thøa sè. Câ thº coi Geogebra nh÷ mët cæng cö th½ nghi»m º t¼m ra quy luªt trong ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè ho°c ph¥n t½ch mët a thùc ra thøa sè. Chuy¶n · 3 minh håa kh£ n«ng sû döng Geogebra trong d¤y v  håc ph¦n H m sè v  ç thà, mët ph¦n quan trång trong Ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Chuy¶n · 4 minh håa kh£ n«ng t½nh c¡c t½ch ph¥n khâ ch¿ b¬ng mët l»nh 4 TichPh¥n cõa Geogebra. çng thíi chóng tæi công n¶u kh£ n«ng khai th¡c Geogebra v  Maple trong d¤y kh¡i ni»m t½ch ph¥n x¡c ành. Trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n, tæi ¢ nhªn ÷ñc nhi·u sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ, c¡c anh chà v  gia ¼nh. Vîi t§t c£ t§m láng ch¥n th nh, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï, ch¿ b£o, h÷îng d¨n tæi thüc hi»n nghi¶n cùu, gâp þ v  sûa chúa º tæi ho n thi»n luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn c¡c Th¦y, Cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t cho tæi ki¸n thùc trong suèt hai n«m håc tªp, l  n·n t£ng cho tæi trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n, l  h nh trang quþ b¡u theo tæi trong suèt cuëc íi. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n gia ¼nh th¥n y¶u cõa tæi, nhúng ng÷íi ¢ luæn ð b¶n tæi, õng hë ëng vi¶n v  l  ché düa vúng ch­c º tæi y¶n t¥m håc tªp ho n th nh khâa håc n y. Cuèi còng tæi xin k½nh chóc quþ Th¦y, Cæ, Anh, Chà v  gia ¼nh dçi d o sùc khäe, th nh cæng trong sü nghi»p! Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn! 5 Ch÷ìng 1 MËT SÈ L›NH CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ V€ GIƒI TCH 1.1. C i °t v  sû döng ph¦n m·m Geogebra 1.1.1. Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra Geogebra l  ph¦n m·m ­c lüc trñ gióp gi£ng d¤y, håc tªp v  nghi¶n cùu to¡n håc. Geogebra câ thº thüc hi»n ÷ñc h¦u h¸t c¡c t½nh to¡n to¡n håc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc (sè håc, ¤i sè, gi£i t½ch, h¼nh håc, to¡n thèng k¶,. . .), do â r§t ti»n dòng trong gi£ng d¤y v  håc tªp, °c bi»t trong gi£ng d¤y v  håc tªp theo ch÷ìng tr¼nh v  s¡ch gi¡o khoa mîi vîi ành h÷îng ph¡t triºn n«ng lüc, khuy¸n kh½ch håc sinh tü håc, tü nghi¶n cùu. Mët trong nhúng ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  ph¦n m·m mi¹n ph½, v  câ thº chuyºn êi ngæn ngú, th½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t ho°c ng÷ñc l¤i, c i °t v  thao t¡c ìn gi£n, thuªn ti»n. Câ thº l¶n m¤ng t£i Geogebra, t¼m hiºu c i °t v  sû döng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) ho°c qua c¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n. Geogebra ¢ ÷ñc giîi thi»u ð Vi»t Nam kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y, v  ¢ ÷ñc nhi·u gi¡o vi¶n (tø lîp 6 ¸n lîp 12 v  ¤i håc) sû döng trong b i gi£ng, trong 6 thüc hi»n c¡c s¡ng ki¸n kinh nghi»m gi£ng d¤y, ¤t hi»u qu£ tèt. Câ thº sû döng Geogebra º v³ h¼nh ëng, v³ ç thà, t½nh to¡n ho°c thüc hi»n c¡c thao t¡c to¡n håc phùc t¤p (ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè, ph¥n t½ch a thùc ra thøa sè, ìn gi£n biºu thùc, t½nh ¤o h m, t½ch ph¥n, lªp b£ng thèng k¶,. . .) m  khæng m§t nhi·u thíi gian. Geogebra công ¢ ÷ñc ÷a v o Ch÷ìng tr¼nh Tin håc Trung håc Cì sð. Vîi Geogebra, câ thº h÷îng d¨n håc sinh l m c¡c nghi¶n cùu nhä nh÷ t¼m hiºu mët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giúa to¡n håc v  thüc t¸. Th½ dö, câ thº sû döng gâi l»nh thèng k¶ º kh£o s¡t tr¼nh ë håc tªp cõa håc sinh mët tr÷íng, ë tuêi trung b¼nh cõa d¥n sè mët x¢, . . . vîi nhúng dú li»u thüc v  b£ng dú li»u lîn, . . . 1.1.2. C i °t ph¦n m·m • V o http://www.geogebra.org/download º t£i ph¦n m·m v· m¡y. Sau khi c i °t, chån Run, GeoGebra s³ khði ëng ch÷ìng tr¼nh v  hi»n giao di»n nh÷ h¼nh d÷îi. • Chuyºn sang ngæn ngú kh¡c, v½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t: nh¡y Options tr¶n thanh cæng cö (menu), chån Language, chån R-Z, chån Vietnamese/Ti¸ng Vi»t ÷ñc giao di»n ti¸ng Vi»t nh÷ h¼nh d÷îi. v o 7 1.1.3. Mët sè chùc n«ng ch½nh • Chån mæi tr÷íng l m vi»c: Khi khði ëng ch÷ìng tr¼nh s³ xu§t hi»n b£ng phèi c£nh dòng º lüa chån mæi tr÷íng l m vi»c gçm: ¤i sè v  ç thà; H¼nh håc; V³ ç håa 3D; X¡c su§t thèng k¶,... Mæi tr÷íng l m vi»c ÷ñc m°c ành trong luªn v«n l  ¤i sè v  ç thà. Ta câ thº cho ©n/hi»n b£ng phèi c£nh b¬ng c¡ch click chuët v o biºu t÷ñng môi t¶n ð c¤nh ph£i cõa cûa sê º chån l¤i mët mæi tr÷íng l m vi»c kh¡c. Trong ch¸ ë câ thanh Nhªp l»nh ¤i sè v  ç thà ð d÷îi còng cõa cûa sê dòng º nhªp l»nh trüc ti¸p khi v³ h¼nh, t½nh to¡n (H¼nh d÷îi). 8 Geogebra câ thº l m ÷ñc kh¡ nhi·u vi»c: sè håc, gi£i t½ch, h¼nh håc, thèng k¶ v  x¡c su§t. °c bi»t, ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  vai trá cõa nâ trong trñ gióp gi£ng d¤y h¼nh håc mët c¡ch trüc quan, h¼nh håc ëng, cho ph²p v³ h¼nh, v³ thi¸t di»n v  xoay, t¼m quÿ t½ch,... Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y c¡c l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc, Lþ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch. Sû döng Geogebra trong h¼nh håc ho°c x¡c su§t thèng k¶ câ thº xem trong c¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n. 1.1.4. Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra √ 1. sqrt(x) : C«n bªc hai cõa x ( x) 2. abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|). 3. floor(x) : H m s n, h m ph¦n nguy¶n (sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ x). V½ dö: floor(3.14) = 3; √ floor(− 2) = −2. 4. ceil(x) : H m tr¦n (sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng x). √ V½ dö: ceil(3.14) = 4; ceil(− 2) = −1. 5. round(x) : L m trán mët sè tîi mët sè chú sè ¢ x¡c ành. V½ dö: a. L m trán sè 23, 7825 ¸n hai chú sè thªp ph¥n: round(23.7855, 2) = 23.79. b. L m trán sè 21, 5 ¸n mët và tr½ thªp ph¥n v· b¶n tr¡i cõa d§u thªp ph¥n: round(21.5, −1) = 20. 6. exp(x) : ex . 7a. lg(x) : lægarit thªp ph¥n (l  log10 x ). 7b. ln(x) : Lægarit tü nhi¶n (l  lægarit cì sè e). 8. H m sè l÷ñng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x). ex − e−x 9. sinh(x) := . 2 ex + e−x 10. cosh(x) := . 2 sinh(x) 11. tanh(x) := . cosh(x) 9 12. coth(x) := cosh(x) . sinh(x) 13. sec(x) := sech(x) = (cosh(x))−1 = 14. cosec(x) := csch(x) = (sinh(x))−1 15. sgn(x) : H m d§u. V½ dö: sign(π) = 1; 2 . ex + e−x 2 = x . e − e−x sign(−π) = −1. 1.2. Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong sè håc v  lþ thuy¸t sè 1.2.1. C¡c l»nh li¶n quan ¸n sè nguy¶n tè a. Ph¥n t½ch mët sè tü nhi¶n ra mët sè nguy¶n tè Geogebra câ thº ph¥n t½ch c¡c sè kh¡ lîn ra thøa sè nguy¶n tè. C¥u l»nh : ifactor V½ dö 1.1: Ph¥n t½ch sè 2410199501091995281220171308199315081988 ra thøa sè nguy¶n tè. V½ dö 1.2: Ph¥n t½ch sè 2 (26 ) + 1 ra thøa sè nguy¶n tè. b. T¼m sè nguy¶n tè ùng ngay sau mët sè tü nhi¶n N C¥u l»nh : nextprime(N) V½ dö 1.3: T¼m sè nguy¶n tè ùng ngay sau 123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654321 10 Nhªn x²t: N¸u dòng l»nh ifactor (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433) th¼ Geogebra khæng ph¥n t½ch ÷ñc do sè qu¡ lîn. Nh÷ng Geogebra v¨n t¼m ÷ñc sè nguy¶n tè ùng sau nâ. c. Kiºm tra mët sè câ l  sè nguy¶n tè khæng C¥u l»nh : CâPh£iNguy¶nTè() ho°c Isprime() V½ dö 1.4: Sû döng l»nh CâPh£iNguy¶nTè() kiºm tra sè 290324022019 câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng. Sû döng l»nh ifactor ta ÷ñc: V½ dö 1.5 : Sû döng l»nh Isprime() kiºm tra sè 121499449 câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng. 11 V½ dö 1.6: Sû döng l»nh Isprime() kiºm tra sè 290324022019 câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng. 1.2.2. C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷ a. T¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia mët sè a cho mët sè b C¥u l»nh : Ph²pChia(,) ho°c division(,). V½ dö 1.7: Sû döng l»nh division(,) t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021. Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia 2017201820192020 cho sè 2021 l  998120643340 v  1880. V½ dö 1.8: Sû döng l»nh division(,) t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè 103200610320061032006 cho sè 2010. 12 Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia 2017201820192020 cho sè 2021 l  998120643340 v  1880. V½ dö 1.9 : Sû döng l»nh Ph²pChia(,) t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè 1000000001 cho sè 11. Vªy 1000000001 chia h¸t cho 11, ÷ñc th÷ìng l  90909091. b. T¼m sè d÷ khi chia mët sè a cho mët sè b C¥u l»nh : SoDu(,) V½ dö 1.10 : Sû döng l»nh SoDu(,<×îc sè>) t¼m sè d÷ cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021. Vªy sè d÷ cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021 l  1880. c1. ×îc sè C¥u l»nh : UocSo() L»nh UocSo() cho ph²p t½nh t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa sè ¢ cho. V½ dö 1.11: Sû döng l»nh UocSo() t¼m sè ÷îc sè cõa sè 1000000001. 13 c2. Danh s¡ch ÷îc sè C¥u l»nh : DanhSachUocSo( ) L»nh DanhSachUocSo(): Cho b£ng danh s¡ch li»t k¶ t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa sè ¢ cho. V½ dö 1.12: Sû döng l»nh DanhSachUocSo( ) li»t k¶ c¡c ÷îc sè cõa sè 1000000001. DanhSachUocSo(1000000001) 1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247, 1001, 1463, 1729, 2717, 19019, 52579, 368053, 578369, 683527, 999001, 4048583, 4784689, 6993007, 7518797, 10989011, 12987013, 52631579, 76923077, 90909091, 142857143, 1000000001. Vªy 1000000001 câ 32 ÷îc sè, tròng vîi v½ dö 1. c3. Têng ÷îc sè C¥u l»nh :Têng×îcSè( ) L»nh Têng×îcSè() cho t§t c£ c¡c têng cõa ×îc sè ¢ cho. V½ dö 1.13: Sû döng l»nh Têng×îcSè( ) t¼m têng ÷îc sè cõa sè 1000000001. Kiºm tra: 1 + 7 + 11 + 13 + 19 + 77 + 91 + 133 + 143 + 209 + 247 + 1001 + 1463 + 1729 + 2717 + 19019 + 52579 + 368053 + 578369 + 683527 + 999001 +4048583 + 4784689 + 6993007 + 7518797 + 10989011 + 12987013 + 52631579 + 76923077 + 90909091 + 142857143 + 1000000001 = 1413350400. d. T¼m bëi sè chung nhä nh§t C¥u l»nh : BSCNN (); BSCNN(,) ho°c lcm(,) 14 V½ dö 1.14: Sû döng l»nh BSCNN(,) t¼m bëi sè chung nhä nh§t cõa hai sè 2410199501091995, 2812201711122017. Hai sè 2410199501091995 v  2812201711122017 câ BSCNN=6777967161116340019928186953915. Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta ph¥n t½ch hai sè ¢ cho ra thøa sè nguy¶n tè V¼ 2410199501091995 v  2812201711122017 khæng câ ÷îc chung n¶n BSCNN cõa chóng ch½nh l  t½ch cõa chóng. V½ dö 1.15 : Sû döng l»nh lcm(,) t¼m bëi sè chung nhä nh§t cõa hai sè 2410199501091995, 2812201711122017. V½ dö 1.16: Sû döng l»nh BSCNN() t¼m bëi sè chung nhä nh§t cõa c¡c sè A = 118932, B = 157993, C = 38743. Theo ành l½ v· BSCNN cõa ba sè A,B,C ta câ BSCNN(A,B,C)=BSCNN(BSCNN(A,B),C). Vªy º t¼m BSCNN cõa ba sè A, B,C, ta °t E = BSCNN(A,B), sau â t¼m 15 BSCNN(E,C) ta ÷ñc k¸t qu£ c¦n t¼m. C¡ch 1: Ho°c C¡ch 2: Muèn kiºm tra k¸t qu£ tr¶n, ta t½nh 16 Nh÷ vªy, BSCNN cõa A, B, C ch½nh l  22 × 3 × 11 × 17 × 43 × 53 × 271 = 1385914596. L÷u þ:Sau khi t½nh ÷ñc E:=BSCNN(A,B), m¡y tü ëng hiºn thà E tr¶n danh s¡ch Hiºn thà èi t÷ñng. e. T¼m ÷îc sè chung lîn nh§t C¥u l»nh : USCLN(); USCLN(,) ho°c gcd(,) V½ dö 1.17: Sû döng l»nh USCLN(,) t¼m ÷îc sè chung cõa hai sè 2410199501091995, 2812201711122017. Hai sè 24101995 v  01091995 câ USCLN=1. Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta ph¥n t½ch ra thøa sè: 17 Hai sè khæng câ ÷îc sè chung kh¡c 1 n¶n USCLN l  1. V½ dö 1.18: Sû döng l»nh USCLN() t¼m ÷îc sè chung cõa ba sè 2000, 1975, 1910. Muèn t¼m USCLN cõa ba sè 2000, 1975, 1910 ta câ thº t¼m USCLN cõa hai sè 2000, 1975 b¬ng 25 sau â t¼m USCLN cõa 25 v  1910. Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta t½nh: V½ dö 1.19: Sû döng l»nh gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè 24101995, 01091995. V½ dö 1.20: Sû döng l»nh 2000, 1975, 1910. gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa ba sè 18 f. M¨u sè chung cõa hai biºu thùc C¥u l»nh :MauSoChung( , ) V½ dö 1.21: Sû döng l»nh MauSoChung( , ) t¼m m¨u sè chung cõa hai biºu thùc 121 , 211 . g. Chuyºn biºu di¹n cõa mët sè trong h» cì sè a sang h» cì sè b g1. Chuyºn biºu di¹n cõa mët sè trong h» cì sè a sang h» thªp ph¥n C¥u l»nh : ChuyºnSangH»ThªpPh¥n( "", ) Ð ¥y,"" l  biºu di¹n cõa sè trong h» cì sè ¢ cho, l  cì sè m  sè d¤ng v«n b£n ÷ñc vi¸t, k¸t qu£ l  sè trong h» thªp ph¥n. V½ dö 1.22: Sû döng l»nh ChuyºnSangH»ThªpPh¥n( "",) chuyºn sè 1000001 tø h» cì sè 2 sang h» thªp ph¥n. Muèn kiºm tra k¸t qu£ ta l m nh÷ sau: 10000012 = 1.26 + 0.25 + 0.24 + 0.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20