Tài liệu Luận văn thạc sĩ lý thuyết sóng nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THỦY LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ 2 1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các 1.3 1.4 biến đổi Fourier dạng cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt . . . . . 9 1.3.3 Các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải . . 12 Tín hiệu và khôi phục tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Biến đổi Fourier 1.4.3 Xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh 2.1 3 37 Phân loại các kỹ thuật nén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Nén tổn hao và không tổn hao: . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Mã hóa dự đoán và mã hóa dựa trên phép biến đổi: . . . 39 2.1.3 Mã hóa băng con: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hóa ảnh. . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Chuẩn nén ảnh tĩnh dựa trên biến đổi sóng nhỏ - JPEG2000. . . . 40 2.3.1 Lịch sử ra đời và phát triển chuẩn JPEG2000: . . . . . . . 40 i 2.3.2 Các tính năng của JPEG2000: . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Các bước thực hiện nén ảnh theo chuẩn JPEG2000: . . . 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của TS. Nguyễn Văn Minh. Thầy đã giành nhiều thời gian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe. Tác giả cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô khoa Toán - Tin, viện Toán học, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc sống. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học toán K6 và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn thạc sĩ. Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ. Nhờ có bố mẹ không quản gian khó, vất vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có được thành quả ngày hôm nay. Thái Nguyên, tháng 8 - 2014 Người Viết Luận Văn Đỗ Thị Thủy iii Mở đầu Lý thuyết sóng nhỏ là môn khoa học phát triển gần đây trong ngành toán học ứng dụng. Tên của chúng đã được ra đời cách đây gần 3 thập kỷ (Morlet, Arens, Fourgeau và Giard (1982), Morlet (1983), Grossmann và Morlet (1984)). Trong 30 năm qua, từ khi ra đời sóng nhỏ đã thu hút đươc nhiều sự chú ý và đã có bước phát triển nhanh chóng. Có một số lý do dẫn đến sự thành công hiện tại của chúng. Một mặt, khái niệm về những sóng nhỏ có thể được xem xét như là một sự tổng hợp của những ý tưởng mà được bắt nguồn trong suốt khoảng thời gian qua trong ngành kỹ thuật (subband coding), vật lý (tình trạng gắn kết, nhóm renormalization) và ngành toán học (nghiên cứu của toán từ Calderón Zygmund). Là kết quả của những nguồn gốc liên quan đến những lĩnh vực học thuật, sóng nhỏ thu hút nhiều nhà khoa học và các kỹ sư ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Mặt khác, sóng nhỏ là công cụ toán học khá đơn giản mà có nhiều ứng dụng có thể. Sóng nhỏ đã có những ứng dụng lý thú trong xử lý tín hiệu. Mục đích của đề tài luận văn nhằm tìm hiểu và giới thiệu về lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng của nó. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày và giới thiệu về một cái nhìn tổng quan của các khía cạnh biến đổi của sóng nhỏ như là: Sự cục bộ hóa tần số thời gian; các biến đổi về sóng; các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau; tín hiệu và khôi phục tín hiệu. Chương 2 trình bày ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Học viên Đỗ Thị Thủy 1 Chương 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) là công cụ chia nhỏ số liệu, hàm số hoặc toán tử thành các phần khác nhau sau đó nghiên cứu mỗi thành phần với một độ phân giải phù hợp với quy mô của nó. Tiền thân của kỹ thuật này đã được phát minh một cách độc lập trong toán học thuần túy (Nhận biết độ phân giải của Calderón trong phân tích hàm điều hoà - xem ví dụ, Caderón (1964)), vật lý học (trạng thái nhất quán của (ax + b) - nhóm trong cơ học lượng tử, lần đầu tiên được xây dựng bởi Aslaksen và Klauder (1968) và liên kết với nguyên tử hidrô Hamilton bởi Paul (1985)) và kỹ thuật (phục hồi lại bộ lọc QMF bởi Esteban và Galland (1977) và sau đó bộ lọc QMF với tính chất được phục hồi chính xác bởi Smith và Barnwell (1986), Veterli (1986) trong kỹ thuật điện, sóng nhỏ đã được đề xuất để phân tích các dữ liệu địa chấn bởi J.Morlet (1983)). Nhiều năm qua đã cho thấy một sự tổng hợp giữa tất cả các phương pháp khác nhau được coi là tiềm năng cho tất cả các lĩnh vực liên quan đến nó. Chúng ta hãy xem xét trong khuôn khổ phân tích tín hiệu. Các phép biến đổi sóng nhỏ của một tín hiệu phát triển bằng thời gian (VD: Các biên độ áp lực lên màng nhĩ, các ứng dụng cho âm thanh) phụ thuộc vào hai biến: Thang (hoặc thang tần số) và thời gian. Các sóng nhỏ cung cấp một công cụ cho sự khoanh vùng tần số thời gian. Phần đầu cho chúng ta biết sự khoanh vùng tần số thời gian nghĩa là gì và lý do tại sao nó lại được quan tâm. Các phần còn lại mô tả các dạng khác nhau của các sóng nhỏ. 2 1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian Trong nhiều ứng dụng tín hiệu f (t) đã được đưa ra (quan sát chúng, ta giả định t là một biến liên tục) là mối quan tâm về dung lượng khoanh vùng tần số thời gian. Điều này cũng tương tự như ký hiệu âm nhạc. Ví dụ: Nó nói cho các nhạc công biết nốt nhạc nào (bằng thông tin tần số) để chơi vào thời điểm nào đó. Tiêu chuẩn biến đổi Fourier: 1 (F f ) (ω) = √ 2π Z dte−iωt f (t), cũng biểu diễn dung lượng tần số f , những thông tin liên quan đến sự khoanh vùng thời gian, ví dụ: Những vụ nổ có tần số cao không thể được đọc ra dễ dàng từ F f , sự khoanh vùng thời gian có thể đạt được bằng việc thiết lập cửa sổ đầu tiên của tín hiệu f , để cắt những lát đã được định vị rõ của f và sau đó dùng biến đổi Fourier: T win f (ω, t) =
Z dsf (s) g (s − t) e−tωs . (1.1) Đây là sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ, đó là kỹ thuật chuẩn cho sự khoanh vùng tần số thời gian.1 Nó thậm chí còn quen thuộc hơn với các phân tích tín hiệu trong phiên bản riêng biệt của nó, trong đó t và ω được gán các giá trị không gian chính quy (giá trị khoảng trống đều đặn) t = nt0 , ω = mω0 , trong đó m, n trên miền Z và ω0 , t0 > 0 được cố định. Vậy (1.1) trở thành: win Tm,n (f ) Z = dsf (s)g(s − nt0 )e−imω0 s . (1.2) win (f ) tương Phương pháp này được minh họa trong hình 1.1: n cố định Tm,n ứng với các hệ số Fourier của f (·)g(· − nt0 ). Chẳng hạn, nếu g là hỗ trợ có giá win (f ) compact thì rõ ràng là với lựa chọn thích hợp ω0 , các hệ số Fourier của T·,n đủ để mô tả và nếu cần thiết để tái tạo lại f (·)g(· − nt0 ). Thay đổi số lượng n để dịch chuyển các “miếng” bằng các bước của t0 và bội số của nó, cho phép win (f ). Có nhiều sự lựa chọn và được đề xuất cho chức phục hồi tất cả f từ Tm,n năng cửa sổ g trong các phân tích tín hiệu, hầu hết trong số đó giá compact có tính trơn hợp lý. Trong vật lý (1.1) có tính thống nhất tới trạng thái biểu diễn; g ω,t (s) = eiωs g(s − t) được thống nhất các trạng thái liên kết với nhóm Weyl - Heisenberg. Trong trường hợp này, sự lựa chọn rất phổ biến là một Gaussian g . 3 Trong tất cả các ứng dụng, g được cho là tập trung cao độ trong cả thời gian và
tần số; nếu g và ĝ đều tập trung xung quanh giá trị 0, thì T win f (ω, t) có thể được giải thích là "dung lượng" của f gần thời điểm t và gần tần số ω . Hơn thế nữa sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là một mô tả của f trong các mặt phẳng tần số thời gian. Hình 1.1: Fourier dạng cửa sổ: Hàm f (t) là bội số với cửa sổ chức năng và các hệ số Fourier của tích f (t) g (t); các qui trình sau đó được lặp đi lặp lại cho các dịch chuyển của cửa sổ g (t − t0 ) , g (t − 2t0 ) . 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các biến đổi Fourier dạng cửa sổ Các biến đổi sóng nhỏ cung cấp tần số thời gian tương tự với một vài sự khác biệt quan trọng. Các công thức biến đổi sóng nhỏ tương tự với (1.1) và (1.2) là:   Z t−b −1/2 wav (T f ) (a, b) = |a| dtf (t) ψ (1.3) a và wav Tm,n (f ) = −m/2 a0 Z dtf (t) ψ a−m 0 t − nb0 .
(1.4) Trong cả hai trường hợp, chúng ta cho rằng ψ thỏa mãn Z dtψ (t) = 0. (1.5) Công thức (1.4) là có được từ (1.3) bằng cách giới hạn a, b từ những giá trị m riêng biệt: a = am 0 , b = nb0 a0 trong trường hợp này, với m, n trên miền Z, và a0 > 1, b0 > 0 cố định. Một điểm giống nhau giữa sóng nhỏ và sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là: Cả (1.1) và (1.3) đưa các tích trong của f với họ chuẩn tắc của các hàm và chỉ số của 2 ký hiệu g ω,t (s) = eiωs g(s − t) trong (1.1) và 4 ψ a,b (s) = |a|−1/2 ψ a−b a
trong (1.3). Các hàm ψ a,b được gọi là “sóng nhỏ”; hàm ψ đôi khi được gọi là “sóng nhỏ mẹ” (lưu ý rằng ψ và g được ngầm giả định là có thật mặc dù điều này không cần thiết; thì các liên hợp phức tạp phải được giới thiệu

trong (1.1)(1.3)). Một sự lựa chọn tiêu biểu cho ψ là ψ (t) = 1 − t2 exp −t2 /2 , đạo hàm cấp hai của Gaussian, đôi khi được gọi là chức năng mũ Mexican bởi vì nó giống như một mặt cắt ngang của một chiếc mũ Mexican. Chức năng mũ Mexican được xác định tốt cho cả thời gian và tần số và đáp ứng (1.5). Như là một biến đổi, ψ a,0 (s) = |a|−1/2 ψ (s/a) bao phủ các phạm vi tần số khác nhau (các giá trị lớn của tham số tỷ lệ |a| tương ứng với các tần số nhỏ hoặc thang lớn ψ a,0 , các giá trị nhỏ của |a| tương ứng với tần số cao hoặc thang chuẩn ψ a,0 ). Thay đổi các tham số b cũng cho phép chúng ta di chuyển các trung tâm khoanh vùng thời gian. Mỗi ψ a,b (s) được xác định xung quanh s = b. Vậy là (1.3), giống (1.1) cũng cung cấp tần số thời gian của f . Sự khác biệt giữa sóng nhỏ và các biến đổi Fourier dạng cửa sổ nằm trong các hình dạng của hàm phân tích g ω,t , và ψ a,b như thể hiện trong hình 1.2. Hình 1.2: Hình dạng đặc trưng (a) của biến đổi Fourier dạng cửa sổ của hàm g ω,t và (b) sóng nhỏ ψ a,b . Các g ω,t (x) = e−iωx g (x − t) có thể được xem như là hình bao "đổ vào" g với tần số cao hơn, ψ a,b là bản copi của tất cả các chức năng tương tự, dịch chuyển và nén hoặc kéo dài. 5 Tất cả các hàm g ω,t bao gồm chức năng hình bao g giống nhau, tịnh tiến đến các giá trị thời gian thích hợp và “đổ vào ” dao dộng với tần số cao hơn. Tất cả g ω,t không phụ thuộc vào các giá trị của ω có cùng chiều rộng. Ngược lại, ψ a,b có độ rộng thời gian phù hợp với tần số của chúng: Tần số cao ψ a,b thì rất hẹp, trong khi tần số thấp ψ a,b rộng hơn nhiều. Kết quả là các phép biến đổi sóng nhỏ thì có thể tốt hơn so với biến đổi Fourier dạng cửa sổ để “thu nhỏ” hiện tượng tần số cao diễn ra rất ngắn, chẳng hạn như trong các tín hiệu nhất thời (hoặc điểm kì dị trong các hàm số hoặc các hạch tích phân) điều này được minh họa bằng hình 1.3, hình này cho thấy biến đổi Fourier dạng cửa sổ và các biến đổi sóng nhỏ của cùng tín hiệu f được xác định bởi f (t) = sin (2πv1 t) + sin (2πv2 t) + γ [δ (t − t1 ) + δ (t − t2 )] . Trong thực tế tín hiệu này không biểu diễn sự liên tục, nhưng bằng các mẫu và thêm một chức năng δ thì tính được xấp xỉ bằng cách thêm một hằng số với mẫu duy nhất. Trong bản mẫu thì ta có f (nτ ) = sin (2πv1 nτ ) + sin (2πv2 nτ ) + α [δn,n1 + δn,n2 ] . Với ví dụ trong hình 1.3a, v1 = 500Hz, v2 = 1kHz, τ = 1/8, 00 giây(ví dụ: Chúng ta có 8,000 mẫu trong một giây), α = 1.5, và n2 − n1 = 32 (tương ứng với 4 phần nghìn giây giữa hai xung). 3 đồ thị của hàm phổ (đồ thị các mođun của các biến đổi Fourier dạng cửa sổ) trong hình 1.3b, sử dụng các cửa sổ Hamming chuẩn, với độ rộng tương ứng 3,2, 6,4, và 12,8 mili giây (thời gian t thay đổi theo chiều ngang, tần số ω theo chiều dọc, trên những đồ thị này, các mức độ   màu xám cho biết giá trị của T win (f ), màu đen thay cho giá trị cao nhất). Vì chiều rộng của cửa sổ tăng lên nên độ phân giải của hai tông màu thuần túy được tốt hơn, nhưng nó trở nên khó khăn hơn hoặc thậm chí không thể giải quyết được hai xung. Hình 1.3c cho thấy mođun của các phép biến đổi sóng nhỏ f được tính toán hóa bằng các giá trị trung bình của sóng nhỏ Morlet (phức hợp) ψ(t) = Ce−t 2 /α2 (eiπt − e−π 2 λ2 /4 ), với α = 4 để so sánh các đồ thị của hàm phổ dễ dàng hơn, một trục tần số tuyến tính (tần số loga) đã được sử dụng nhiều hơn. Người ta thấy rằng 2 xung được giải thức thậm chí rất tốt với các cửa sổ Hamming 8,2 ms (bên phải trong hình 1.3b), trong khi độ phân giải tần số với 2 tông màu thuần túy có thể so sánh với những gì thu được từ cửa sổ Hamming 6 Hình 1.3: Tín hiệu f (t).  Biến đổi Fourier dạng cửa sổ của f với 3 của sổ có độ rộng khác nhau. Đây gọi là hàm phổ: Chỉ T win (f ) là đồ thị (giai đoạn không được vẽ ra trên đồ thị) sử dụng các  mức xám (giá trị cao màu đen, 0 màu trắng, mức xám trung gian được chỉ định tỷ lệ loga T win (f ) trong t (đường ngang), ω(tọa độ) phẳng. (c) biến đổi sóng nhỏ của f thực hiện so sánh với (b) chúng tôi   cũng đã vẽ T win (f ) với cùng một phương pháp thì mức độ màu xám và tần số tuyến tính trục, (VD: Các tọa độ tương ứng với a−1 ). (d) so sánh độ phân giải tần số giữa 3 phổ và biến đổi sóng nhỏ. 6,4 ms (ở giữa trong hình 1.3b). Sự so sánh các độ phân giải tần số này được minh họa rõ ràng hơn bời hình 1.3d: Đây là các lát cắt đồ thị của hàm phổ   (ví dụ: đồ thị của (T win f )(·, t) với t cố định) được so sánh với biến đổi mođun sóng nhỏ (|(T wav f ) (·, b)|) với b cố định). Khoảng biến thiên (tỷ lệ giữa cực đại và "nhúng" giữa hai đỉnh) của biến đổi sóng nhỏ có thể so sánh với phổ 6,4 ms (lưu ý "phần dư" phẳng ngang đối với các phép biến đổi cho biến đổi sóng nhỏ trong đồ thị hình 1.3d là một phần của khối đồ thị được sử dụng, trong đó thiết lập một điểm ngắt khá cao khi so sánh với các lô phổ; dù sao điểm ngắt này cũng ở mức - 24 dB). Trên thực tế, tai của chúng ta sử dụng biến đổi sóng nhỏ khi phân tích âm thanh, ít nhất trong giai đoạn đầu tiên. Các dao động biên độ áp lực được truyền từ màng nhĩ tới lớp màng đáy, kéo dài trên toàn bộ chiều dài của ốc tai. Ốc tai được cuộn lại như một xoắn ốc bên trong tai của chúng ta, tưởng tượng nó nằm trên một đoạn thẳng, do vậy màng đáy cũng được kéo dài ra. Tiếp đó chúng ta có thể đưa vào một tọa độ y dọc theo đoạn này. Thử nghiệm và mô phỏng 7 sẽ cho thấy một sóng áp lực là một âm đơn, fω (t) = eiωt , dẫn đến một phản ứng kích thích dọc theo màng đáy mà có cùng tần số thời gian, nhưng với một vỏ trong y , Fω (t, y) = eiωt φω (y). Trong phương pháp đầu tiên, mà kết quả nhận được cũng khá tốt cho các tần số ω trên 500 Hz, sự phụ thuộc vào ω của φω (y) tương ứng với một sự dịch chuyển bằng tốc độ kế ω : Ở đó tồn tại một hàm φ bởi vậy φω (y) là luôn đóng với φ (y − log ω). Cho một hàm kích thích chung f , R f (t) = √12π dω fˆ (ω)eiωt , có nghĩa là hàm đáp ứng F (t, y) được cho bởi sự chồng chất tương ứng của "các hàm đáp ứng cơ bản": Z 1 F (t, y) = √ dω fˆ (ω) Fω (t, y) 2π Z 1 dω fˆ (ω) eiwt φ (y − log ω) . =√ 2π Nếu bây giờ chúng ta thay đổi tham số, bằng cách xác định:
−1/2 −x ψ̂ e = (2π) φ (x) , G (a, t) = F (t, log a) , thì có nghĩa là Z G (a, t) = dt0 f t0 ψ a t − t0


, mà (lên mức chuẩn hóa) chính xác là một biến đổi sóng nhỏ. Tất nhiên, xuất hiện tham số giãn nở vì những sự dịch chuyển loga về tần số ở φω . Sự xuất hiện của biến đổi sóng nhỏ trong giai đoạn đầu phân tích âm thanh sinh học cho thấy rằng các phương pháp dựa trên sóng nhỏ để phân tích âm thanh có cơ hội tốt hơn các phương pháp ban đầu, ví dụ chúng ta không thể phát hiện sơ đồ nén bằng tai. 1.3 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau Có sự tồn tại của nhiều loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau, tất cả bắt đầu từ những công thức cơ bản (1.3), (1.4). Trong các ghi chép này, chúng ta sẽ phân biệt giữa: A. Sóng nhỏ biến đổi liên tục (1.3), và B. Biến đổi sóng nhỏ rời rạc (1.4). Trong biến đổi sóng nhỏ rời rạc, chúng ta phân biệt hơn nữa giữa: B1. Hệ thống riêng biệt dư thừa (khung) và B2. Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn. 8 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục Ở đây sự giãn và các tham số tịnh tiến a, b thay đổi liên tục trên R (với ràng buộc a 6= 0). Các biến đổi sóng nhỏ được cho bởi công thức (1.3); một hàm có thể được phục hồi từ sóng nhỏ của nó bằng công thức "độ phân giải có tính đồng nhất" f= Cψ−1 ở đâu ψ a,b (x) = |a|−1/2 ψ Z x−b a ∞ Z −∞
∞ −∞  a,b dadb a,b ψ , f, ψ a2 (1.6) , và h, i có nghĩa là L2 - bên trong. Hằng số Cψ chỉ phụ thuộc vào ψ và được cho bởi Z ∞ Cψ = 2π 2 dξ ψ̂ (ξ) |ξ|−1 ,  (1.7) −∞ chúng tôi giả định Cψ < ∞ (nếu không (1.6) không có ý nghĩa). Nếu ψ nằm trong L1 (R)(đây là trường hợp ở tất cả các ví dụ cần cần quan tâm thực tế), thì R ψ̂ là liên tục, vì vậy mà Cψ có thể là hữu hạn chỉ khi ψ̂ (0) = 0, VD: dxψ (x) = 0 (lưu ý rằng chúng ta đã giả định ngầm rằng ψ là có thực; với phức hợp ψ , chúng ta nên sử dụng ψ̄ thay cho ψ trong (1.3). Trong một số ứng dụng, phức hợp ψ rất hữu ích. Công thức (1.6) có thể được nhìn nhận bằng hai cách khác nhau: 1) Như một cách để phục hồi f một khi biến đổi sóng nhỏ của nó T wav f được biết, hoặc 2) Là một cách để viết f như sự chồng chất của sóng nhỏ ψ a,b , các hệ số trong sự chồng chất này được đưa ra một cách chính xác bởi biến đổi sóng nhỏ của f . Cả hai quan điểm dẫn đến các ứng dụng thú vị. Sự tương ứng f (x) → (T wav f ) (a, b) đại diện cho hàm một biến bằng một hàm hai biến, mà trong đó rất nhiều mối tương quan được xây dựng. Sự dư thừa của phép biểu diễn có thể được khai thác, một ứng dụng tuyệt vời là khái niệm "bộ khung" của một tín hiệu, được sử dụng ở biến đổi sóng nhỏ liên tục, mà có thể được sử dụng cho lọc phi tuyến. 1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt Trong trường hợp này cả tham số giãn a và tham số tịnh tiến có các giá trị riêng biệt. Với a chúng ta chọn các số nguyên (dương và âm), các lũy thừa của 9 một số nguyên cố định tham số giãn a > 1, (VD: a = am 0 ). Như đã được minh họa bởi hình 1.2, các giá trị khác nhau của m tương ứng với độ rộng khác nhau của sóng nhỏ. Có nghĩa là sự riêng biệt của các tham số tịnh tiến b nên phụ thuộc vào m: Các sóng nhỏ hẹp (tần số cao) được tịnh tiến các bước nhỏ để bao phủ toàn bộ phạm vi thời gian, trong khi các sóng nhỏ rộng hơn (tần số thấp)
m được tịnh tiến bởi bước lớn hơn. Vì chiều rộng của ψ a−m 0 x tỷ lệ thuận với a0 , do đó chúng ta chọn để riêng biệt hóa b bằng b = nb0 am 0 , trong đó b0 > 0 là cố định, và n ∈ Z. Các sóng nhỏ được ký hiệu riêng biệt tương ứng là vì lý do đó: −m/2 ψm,n (x) = a0 m ψ a−m 0 (x − nb0 a0 ) −m/2 = a0
ψ a−m 0 x − nb0 .
(1.8) Hình 1.4a cho thấy phác họa sơ đồ mạng các trung tâm khoanh vùng tần số thời gian tương ứng với ψm,n . Với một hàm đã cho f , các tích số bên trong hf, ψm,n i thì cho biến đổi sóng wav (f ) chính xác như đã được xác định ở (1.4) (chúng ta giả nhỏ riêng biệt Tm,n định lại ψ là có thật). Trong trường hợp riêng biệt, nói chung, không có sự tồn tại một công thức "độ phân giải đồng nhất ", tương tự với (1.6) đối với trường hợp liên tục. Khôi phục f từ T wav (f ), nếu có thể phải được thực hiện bằng một số phương pháp khác. Những câu dưới đây được phát sinh một cách tự nhiên: 1) Liệu có thể mô tả f hoàn toàn bằng cách biết T wav (f )? 2) Liệu có thể khôi phục f một cách ổn định về số lượng từ T wav (f )? Những câu hỏi này liên quan đến sự phục hồi của f từ biến đổi sóng nhỏ của nó. Chúng ta cũng có thể xem xét các bài toán đối ngẫu, khả năng mở rộng f vào sóng nhỏ, mà sau đó dẫn đến những câu hỏi kép: 0 1 ) Bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết như một sự chồng chất của ψm,n ? 0 2 ) Có một thuật toán ổn định về số lượng để tính toán các hệ số cho việc mở rộng như vậy không? Vì trong các trường hợp sau các biến đổi sóng nhỏ riêng biệt này thường đưa ra một mô tả thừa của hàm gốc. Sự dư thừa này có thể được khai thác (ví dụ, nó có thể tính toán các biến đổi sóng nhỏ một cách xấp xỉ, trong khi vẫn có 10 Hình 1.4: Sự cục bộ hóa thời gian tần số cho các biến đổi sóng nhỏ và biến đổi Fourier dạng cửa sổ. m (a) Các định   biến đổi sóng nhỏ: ψm,n xung quanh sự khoanh vùng thời gian a0 nb0 . Chúng tôi giả −t 2   2 rằng ψ̂  có 2 đỉnh trong tần số tại ±ξ0 (đây là trường hợp sóng nhỏ mũ Mexico ψ (t) = (1 − t )e 2 );     ψ̂m,n (ξ) sau đó đạt đến đỉnh điểm tại am 0 nb0 , đó là trung tâm sự khoanh vùng của f trong tần số. (b) Biến đổi Fourier dạng cửa sổ: Xung quanh sự khoanh vùng gm,n trong thời gian nt0 , xung quanh tần số mω0 . 11 được sự khôi phục của f với độ chính xác cao), hoặc loại bỏ để giảm các biến đổi với sự cần thiết cơ bản (như trong công việc nén hình ảnh của Mallat và Zhong (1992)). Ở dạng riêng biệt này biến đổi sóng nhỏ gần nhất với "φ - biến đổi" của Frazier và Jawerth (1998). Sự lựa chọn của sóng nhỏ ψ được sử dụng trong biến đổi sóng nhỏ liên tục hoặc trong các khung họ wavelet có dán nhãn riêng biệt là giới hạn cần thiết bởi điều kiện rằng Cψ là hữu hạn vì được xác định bởi (1.7). Vì những lý do thực tế, người ta thường chọn ψ để nó tập trung tốt trong cả thời gian và miền tần số, nhưng điều này còn để lại rất nhiều vấn đề. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xem xét từ bỏ hầu hết những vấn đề này như thế nào để chúng ta đi xây dựng các cơ sở trực chuẩn của sóng nhỏ. 1.3.3 Các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải Đối với một số lựa chọn rất đặc biệt của ψ và a0 , b0 , ψm,n tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho L2 (R). Đặc biệt, nếu chúng ta chọn a0 = 2, b0 = 1,2 thì ở đó tồn tại ψ , với các tính chất khoanh vùng tần số thời gian tốt, như vậy là ψm,n (x) = 2−m/2 ψ(2−m x − n) (1.9) tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho L2 (R) (chúng ta giới hạn để a0 = 2). Ví dụ cũ nhất của một hàm ψ mà ψm,n , xác định bởi (1.9) tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho L2 (R) là hàm Haar:  0≤x<  1 ψ(x) =  −1 0 1 2 1 2 ≤x<1 Trường hợp còn lại. Cơ sở Haar đã được biết đến từ Haar (1910). Lưu ý rằng hàm Haar không có sự khoanh vùng tần số thời gian tốt: Biến đổi Fourier ψ̂(ξ) phân rã như |ξ|−1 cho ξ → ∞. Tuy nhiên chúng tôi sẽ sử dụng nó ở đây với mục đích minh hoạ. Những phần tiếp theo chứng minh rằng tập hợp Haar không thực sự tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Sự chứng minh này khác với chứng minh trong hầu hết các sách; trong thực tế, phân tích đa phân giải sẽ được sử dụng như một công cụ. Để chứng minh rằng ψm,n (x) tạo thành một cơ sở trực chuẩn, chúng ta cần phải thiết lập: 12 Hình 1.5: Hai sóng nhỏ Haar, sự hỗ trợ của các sóng nhỏ "hẹp" là hoàn toàn nằm trong khoảng thời gian mà các sóng nhỏ "rộng hơn" là không đổi. 1) Các ψm,n là trực chuẩn; 2) Bất kỳ L2 (R) - hàm f có thể xấp xỉ, lên đến độ chính xác nhỏ tùy ý, bởi sự kết hợp tuyến tính hữu hạn của ψm,n. Trực chuẩn rất dễ dàng để thiết lập. Vì giá (ψm,n ) = [2m n, 2m (n + 1)], hoá ra là hai sóng nhỏ Haar có cùng thang (cùng giá trị m) không bao giờ trùng nhau, do đó hψm,n , ψm,n0 i = δn,n0 . Những giá chồng nhau là có thể nếu hai sóng nhỏ có kích cỡ khác nhau, như trong hình 1.5. Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra nếu m < m0 , thì giá (ψm,n ) nằm hoàn toàn trong một miền mà ψm0 ,n0 là hằng số (như hình 1.5). Hóa ra là tích trong của ψm,n và ψm0 ,n0 tỷ lệ thuận với tích phân của chính ψ , đó là 0. Bây giờ ta tập trung vào một hàm tùy ý f có thể được xấp xỉ bằng các tổ hợp tuyến tính của sóng nhỏ Haar hoạt động tốt thế nào. Bất kỳ f trong L2 (R) có thể đo xấp xỉ bằng một hàm với giá compact mà từng khoảng liên tục trên  −j
`2 , (` + 1) 2−j , nó thỏa mãn để nhận giá và j đủ lớn. Do đó chúng ta có thể tự   thu hẹp tới các hàm từng khoảng liên tục; giả định f được hỗ trợ trên −2J1 , 2J1 , 
và là từng khoảng liên tục trên `2−J0 , (` + 1) 2−J0 , ở đó cả J1 và J0 có thể lớn tùy ý (xem hình 1.6). 
Chúng ta hãy biểu thị giá trị hằng số của f 0 = f trên `2−J0 , (` + 1)2−J0 bởi f`0 . Bây giờ chúng ta biểu diễn f 0 như tổng của hai phần, f 0 = f 1 + δ 1 , trong đó f 1 xấp xỉ với f 0 là từng khoảng liên tục qua các đoạn lớn gấp hai lần ban đầu,  ví dụ: f 1 [k2−J0 +1 ,(k+1)2−J0 +1 ) ≡ constant = fk1 . 13  
 Hình 1.6: (a) Một hàm f với hỗ trợ trên −2J1 , 2J1 , từng khoảng liên tục trên k2−J0 , (k + 1)2−J0 . (b) Một phần của f được tách ra. Trên mỗi cặp khoảng cách, f được thay thế (→ f 1 ) bằng mức trung bình của nó; sự khác biệt giữa f và f 1 là δ 1 . Một sự kết hợp tuyến tính của sóng nhỏ Haar. Các giá trị fk1 được cho bởi trung bình của hai giá trị không đổi tương ứng 0 + f0 1 với f 0 , fk1 = 21 (f2k 2k+1 )(xem hình 1.6). Hàm δ là từng khoảng liên tục với cùng độ rộng từng bước như f 0 ; ngay lập tức có: 1 0 0 1 0 = f2t − f`1 = (f2` ) δ2` − f2`+1 2 và 1 0 1 0 1 0 − f`1 = (f2`+1 δ2`+2 = f2`+1 − f2` )=δ . 2 2` Hóa ra δ 1 là một sự kết hợp tuyến tính của thang và chức năng tịnh tiến của các hàm Haar: δ1 = +J0 −1 2J1X 1 δ2` ψ(2J0 −1 x − `). `=−2J1 +J0 −1 +1 Vì vậy chúng tôi đã viết f như f = f0 = f1 + X c−J0 +1,` ψ−J0 +1,` . ` trong đó f 1 là cùng loại như f 0 , nhưng độ rộng của từng bước lớn gấp đôi. Chúng ta có thể áp dụng cùng mẹo với f 1 , do đó: 14     Hình 1.7: Mức trung bình của f trên 0, 2J1 , 0, 2J1 , có thể được làm mờ trong khoảng thời gian lớn  J +1   J +1  hơn 0, 2 1 , −2 1 , 0 khác biệt là ở sư kết hợp tuyến tính của hàm Haar được giãn ra. f1 = f2 + X c−J0 +2,` ψ−J0 +2,` , `   với f 2 vẫn được hỗ trợ trên −2J1 , 2J1 , nhưng từng khoảng liên tục trên các 
đoạn thậm chí lớn hơn các đoạn k2−J0 +2 , (k + 1)2−J0 +2 . Chúng ta tiếp tục như vậy, cho đến khi chúng ta có: f =f J0 +J1 J1 X X m=−J0 +1 ` cm,` ψm,`. Ở đây f J0 +J1 bao gồm hai phần liên tục(xem hình 1.7),  
với f J0 +J1 [0,2J1 ) ≡ f0J0 +J1 bằng với mức trung bình của f trên 0, 2J1 , và  
f J0 +J1  J ≡ f J0 +J1 trung bình của f trên −2J1 , 0 . [−2 1 ,0) −1 Mặc dù chúng ta đã "hoàn thành đủ" toàn bộ giá của f , chúng ta vẫn có thể tiếp tục đi tính trung bình, không có gì ngăn chúng ta trong việc mở rộng đường nằm ngang từ 2J1 đến 2J1 +1 , và viết f J1 +J2 = f J1 +J2 +1 + δ J1 +J2 +1 , trong đó   1 1 J1 +J2 f J1 +J2 +1 [0,2J1 +1 ) ≡ f J1 +J2 , f J1 +J2 +1 [−2J1 +1 ,0) ≡ f−1 2 2 15 và
1 J1 +J2
1 δ J1 +J2 = f0J1 +J2 ψ 2−J1 −1 x − f−1 ψ 2−J1 −1 x + 1 2 2 (xem hình 1.7). Điều này có thể được lặp lại, dẫn đến: f =f J0 + J1 +K + JX 1 +K X m=−J0 +1 ` cm,` ψm,` ,
  ở giá đó f J0 +J1 +K = −2J1 +K , 2J1 +K , và J0 +J1 f J0 +J1 +K [0,2J1 +K ) = 2−K f0J0 +J1 , f J0 +J1 +K [−2J1 +K ,0) = −2−K f−1 .   Kết quả là 2 J1P +K P J +J +K 2 f 0 1 2 f − = c ψ m,` m,` L m=−J0 +1 ` L2 h   J +J 2 i1/2 J1 /2  J0 +J1 2 −K/2 =2 .2 f + f 0 1  , 0 −1 có thể được thực hiện nhỏ tùy ý bằng cách lấy K đủ lớn. Như vật f có thể đo xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bởi sự kết hợp tuyến tính hữu hạn của sóng nhỏ Haar! Lập luận mà chúng ta vừa xem sử dụng một phương pháp tiếp cận "đa phân giải": Chúng ta đã viết thô liên tiếp và thô tiệm cận tới f (các f j , trung bình f lớn hơn và các khoảng thời gian lớn hơn) và tại mỗi bước chúng tôi đã viết sự khác biệt giữa tính xấp xỉ với độ phân giải 2J−1 , và mức độ thô tiếp theo với độ phân giải 2J , như một sự kết hợp tuyến tính của ψj,k . Thực tế, chúng tôi đã giới thiệu một bậc thang không gian (Vj )j∈Z đại diện cho các mức độ phân giải  liên tiếp: Trong trường hợp đặc biệt này Vj = f ∈ L2 (R) ; f từng khoảng liên 
tục trên 2j k, 2j (k + 1) , k ∈ Z}. Các không gian này có các tính chất sau: 1) ... ⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ⊂ ...; 2) T 3) f ∈ Vj ↔ f 2j · ∈ V0 ; 4) f ∈ V0 → f (· − n) ∈ V0 cho tất cả n ∈ Z. j∈Z Vj S = {0} , j∈Z Vj = L2 (R) ;
Tính chất 3 thể hiện tất cả các không gian là các phiên bản của một không gian (dạng "đa phân giải"). Trong ví dụ Haar chúng ta thấy rằng có tồn tại một 16