Tài liệu Luận văn thạc sĩ khung gabor

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 MỞ ĐẦU 2 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Định lý Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Khung Gabor trong L2 (R) 16 2.1 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Điều kiện cần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Các biểu diễn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . . 44 2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 Biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.9 Khung Gabor chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo. Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng tôi nhiều kiến thức cơ sở. Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi tôi công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũng như quá trình làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012. Tác giả Vũ Thị Thu Hà 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung. Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trong khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu [4]. . . Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) dựa trên hai lớp toán tử trên L2 (R) là: 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) . Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L2 (R) như một chồng chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L2 (R). Bài báo năm 1986 của Daubechies, Grossmann và Meyer lần đầu tiên đã kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả đã xây dựng khung trong L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z . Từ sau bài báo đó có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời. Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề tài luận văn cao học. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ được định nghĩa bởi Z∞ f (x) e−2πixγ dx, γ ∈ R fˆ (γ) := −∞ Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là Ff .
Nếu L1 ∩ L2 (R) được trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier là một
phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R). Nếu f ∈ L2 (R) và {fk }∞ k=1 là
một dãy của các hàm trong L1 ∩ L2 (R) và hội tụ đến f trong không n o∞ 2 gian L , thì dãy fˆk cũng hội tụ trong L2 (R), với một giới hạn độc k=1 lập với lựa chọn của {fk }∞ k=1 . Định nghĩa fˆ := lim fˆk k→∞ Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L2 (R) lên L2 (R). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt ta có đẳng thức Plancherel D E 2 ˆ f , ĝ = hf, gi , ∀f, g ∈ L (R) , và fˆ = kf k . (1.1) Nếu f ∈ L1 (R), thì fˆ liên tục. Nếu hàm f cũng như fˆ thuộc vào L1 (R), công thức nghịch đảo mô tả cách có được hàm f từ các giá trị fˆ (γ) : 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định lý 1.1.1: Giả sử rằng f, fˆ ∈ L1 (R), khi đó Z∞ f (x) = fˆ (γ) e2πixγ dγ, hầu khắp x ∈ R. (1.2) −∞ Công thức từng điểm (1.2) đúng ít nhất với mọi điểm Lebesgue của f . 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Ta hãy bắt đầu bằng cách đưa ra động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phép biến đổi Fourier thời gian ngắn. Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường được giải thích như thời gian, và biến đổi Fourier fˆ (γ) cung cấp thông tin về độ dao động với tần số γ. Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thời gian bị mất trong biến đổi Fourier, nghĩa là, không có thông tin về tần số nào xuất hiện ở thời gian nào. Một cách để vượt qua khó khăn này là “xem xét tín hiệu ở khoảng thời gian ngắn và lấy biến đổi Fourier ở đây”. Phát biểu này có nghĩa toán học là ta nhân tín hiệu f với hàm cửa sổ g, là hằng số trên khoảng bé, và giảm nhanh, trơn và bằng 0 ngoài khoảng nhỏ này; bằng cách lấy biến đổi Fourier của tích số này, ta có được ý tưởng về tần số của f trong khoảng thời gian nhỏ. Để có thông tin về f trên toàn bộ trục thời gian ta lặp quá trình với phép tịnh tiến của hàm cửa sổ. Thảo luận này dẫn đến định nghĩa của biến đổi Fourier thời gian ngắn, cũng được gọi là biến đổi Gabor liên tục. Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L2 (R) \ {0} . Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm f ∈ L2 (R) tương ứng với hàm cửa sổ g được tính bằng cách lấy Z∞ Ψg (f ) (y, γ) = f (x) g (x − y)e−2πixγ dx, y, γ ∈ R. −∞ Chú ý nếu viết theo toán tử biến điệu và toán tử tịnh tiến thì 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ψg (f ) (y, γ) = hf, Eγ Ty gi . Biến đổi Fourier thời gian ngắn là chìa khoá để có được phép biểu diễn kiểu : Z∞ Z∞ f (x) = cf (a, b) e2πibx g (x − a) dbda. −∞ −∞ 1.3 Khung trong không gian Hilbert Đặc trưng chủ yếu của một cơ sở trong không gian Hilbert H là f ∈ H có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần tử fk trong cơ sở: f= ∞ X ck (f )fk (1.3) k=1 Hệ số ck (f ) là duy nhất. Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm khung [1]. Khung là một dãy các phần tử {fk }∞ k=1 trong H, mà cho phép mỗi f ∈ H được viết như công thức ở (1.3). Tuy nhiên, hệ số tương ứng không nhất thiết duy nhất. Vì vậy một khung có thể không phải là cơ sở. Sự xuất hiện của khung là một ví dụ về sự phát triển toán học. Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer trong bài báo quan trọng của họ [3]; họ đã sử dụng khung như một công cụ trong việc nghiên  cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là, chuỗi thiết lập từ eiλn x n∈Z , ở đây {λn }n∈Z là một họ của các số thực hoặc số phức. Rõ ràng là, cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này; phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung. Khung được giới thiệu một cách trừu tượng, và lại sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỷ nguyên sóng nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] đã quan sát thấy rằng các khung 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L2 (R) tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng của Daubechies, cuốn sách của bà và bài báo trình bày tổng quan và nghiên cứu của Heil và Walnut [5]. Kể từ đó, số lượng bài báo liên quan tới khung đã gia tăng đáng kể. Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {fk }∞ k=1 của các phần tử trong H là một khung cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho: 2 Akf k 6 ∞ X |hf, fk i|2 6 Bkf k2 , ∀f ∈ H. (1.4) k=1 Các số A, B là các cận khung. Chúng không phải là duy nhất. Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới, lưu ý rằng các cận tối ưu là các cận khung. Chúng ta tập trung vào một vài định nghĩa nữa như sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cận khung. (ii) Nếu một khung sẽ không còn là một khung nữa khi một phần tử tùy ý bị lấy đi thì nó được gọi là khung đúng. Khi chúng ta nói về cận khung cho một khung chặt thì điều đó có nghĩa là giá trị đúng A vừa là cận trên vừa là cận dưới. Lưu ý rằng điều này hơi khác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận trên chỉ là một số thỏa mãn điều kiện Bessel. Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy m {fk }m k=1 là khung cho H khi và chỉ khi span {fk }k=1 = H. Thật vậy, giả sử {fk }m k=1 là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho: 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Akf k2 6 ∞ P |hf, fk i|2 6 Bkf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Giả sử phản chứng rằng span {fk }m k=1 ⊂ H. Khi đó tồn tại f khác không trong H sao cho hf, fk i = 0, ∀k = 1, ...m. Từ bất đẳng thức vế trái bên trên ta suy ra Akf k2 = 0. Do đó A = 0 và mâu thuẫn này chứng tỏ span {fk }m k=1 = H. Bây giờ ta giả sử span {fk }m k=1 = H. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được: m X |hf, fk i|2 6 k=1 m X kf k2 .kfk k2 = ! kfk k2 .kf k2 . k=1 k=1 Do đó ta có thể chọn B = m X m X kfk k2 làm cận khung trên. k=1 Bây giờ ta giả sử không phải tất cả các fk đều bằng không. Đặt W := span {fk }m k=1 và xét ánh xạ liên tục φ : W → R, φ (f ) := m X |hf, fk i|2 . k=1 Hình cầu đơn vị trong W là compact nên ta có thể tìm g ∈ W với kgk = 1 sao cho A := m X |hg, fk i|2 = inf ( m X k=1 ) |hf, fk i|2 : f ∈ W, kf k = 1 . k=1 Rõ ràng là A > 0. Với f ∈ W , f 6= 0, ta có: 2 m m  X X   f   kf k2 > Akf k2 . |hf, fk i|2 = , f k   kf k k=1 k=1 Vậy {fk }m k=1 là một khung cho H. Trong trường hợp không gian Hilbert H là vô hạn chiều thì ta chỉ có một chiều nếu {fk }∞ k=1 là một khung trong H thì : span {fk }∞ k=1 = H. 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Một dãy {fk }k được gọi là đầy đủ trong H nếu span {fk }k = H . Chúng ta thường phải xem xét các dãy không đầy đủ nằm trong H; chúng không thể hình thành khung trong H, nhưng chúng có thể hình thành khung cho bao tuyến tính đóng của các phần tử: Định nghĩa 1.3.3 Cho {fk }∞ k=1 là một dãy trong H. Chúng ta nói rằng ∞ {fk }∞ k=1 là một dãy khung nếu nó là khung cho span {fk }k=1 . Sau đây là một vài ví dụ về khung. Chúng có thể xuất hiện khá là “thô sơ”, nhưng chúng có ích cho việc tìm hiểu lý thuyết khung. Ví dụ 1.3.4 Cho {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H (i) Bằng việc lặp lại 2 lần mỗi phần tử trong {ek }∞ k=1 chúng ta có: {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}, khung chặt với cận khung A = 2. Nếu chỉ có e1 được lặp lại thì chúng ta có {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} là một khung với các cận A = 1, B = 2 . (ii) Cho {fk }∞ k=1  :=  1 1 1 1 1 e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ... ; 2 2 3 3 3 1 √ tức là, {fk }∞ là dãy mà mỗi véc tơ ek được lặp lại k lần. k=1 k Khi đó, cho mỗi f ∈ H,  2 ∞ ∞ X X   1 2 |hf, fk i| = k  f, √ ek  = kf k2 k k=1 k=1 Do đó {fk }∞ k=1 là khung chặt trong H với cận khung A = 1. (iii) Nếu I ⊂ N là tập hợp con thực sự, thì {ek }k∈I là không đầy đủ trong H, và không thể là một khung trong H. Tuy nhiên, {ek }k∈I là một khung trong span{ek }k∈I , nghĩa là nó là một dãy khung. Định nghĩa 1.3.5 Nếu một dãy {fk } vừa là cơ sở vừa là khung cho H thì 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 {fk } được gọi là một cơ sở Riesz. Một dãy {fk }∞ k=1 trong H được gọi là một dãy Bessel nếu tồn tại một ∞ X |hf, fk i|2 6 Bkf k2 , ∀f ∈ H. hằng số B > 0 sao cho Do một khung k=1 ∞ {fk }k=1 là dãy Bessel, toán tử 2 T : ` (N) → H, T {ck }∞ k=1 = ∞ X ck fk (1.5) k=1 là bị chặn; T được gọi là toán tử tổng hợp. Toán tử liên hợp được đưa ra bởi công thức: T ∗ : H → `2 (N), T ∗ f = {hf, fk i}∞ k=1 . (1.6) T ∗ được gọi là toán tử phân tích. Bằng việc kết hợp T và T ∗ chúng ta có toán tử khung ∗ S : H → H, Sf = T T f = ∞ X hf, fk i fk . (1.7) k=1 Lưu ý rằng {fk }∞ k=1 là dãy Bessel, chuỗi xác định S hội tụ vô điều kiện cho tất cả f ∈ H. Chúng ta xem xét một vài tính chất quan trọng của S : Bổ đề 1.3.6 Cho {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung S và các cận khung A, B . Khi đó ta có : (i) S là bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp, và dương.  ∞ (ii) S −1 fk k=1 là một khung với các cận B −1 , A−1 ; nếu A, B là các  −1 ∞ −1 −1 cận tối ưu của {fk }∞ , khi đó các cận B , A là tối ưu của S fk k=1 . k=1  −1 ∞ Toán tử khung của S fk k=1 là S −1 . Chứng minh: (i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn, kSk = kT T ∗ k = kT k kT ∗ k = kT k2 6 B . Từ S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S , toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng thức (1.4) có nghĩa là Akf k2 6 hSf, f i 6 Bkf k2 với mọi f ∈ H, hoặc, 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 nói một cách tương đương, AI 6 S 6 BI vì vậy S là dương. Hơn nữa, 0 6 I − B −1 S 6 B−A B I và hệ thức 
 I − B −1 S = sup  I − B −1 S f, f  6 kf k=1 B−A B < 1, Do đó S là khả nghịch. ( ii ) Lưu ý rằng với f ∈ H, ∞ ∞ X   −1 2 X  −1  f, S fk  =  S f, fk 2 6 k=1 2 B S −1 f k=1 2 6 B S −1 kf k2 .  ∞ Nghĩa là, S −1 fk k=1 là một dãy Bessel. Từ đó suy ra rằng toán tử  ∞ khung của S −1 fk k=1 là được xác định tốt. Theo định nghĩa, nó tác động lên f ∈ H bằng công thức: ∞ X −1  −1 f, S fk S fk = S k=1 −1 ∞ X  S −1 f, fk fk = S −1 SS −1 f k=1 = S −1 f. (1.8)  ∞ Điều này chỉ ra rằng toán tử khung cho S −1 fk k=1 bằng S −1 . Toán tử S −1 giao hoán với cả S và I , vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳng thức” AI 6 S 6 BI với S −1 ; sẽ tạo thành B −1 I 6 S −1 6 A−1 I , tức là  B −1 kf k2 6 S −1 f, f 6 A−1 kf k2 , ∀f ∈ H. Thông qua (1.8), B −1 ∞ X    f, S −1 fk 2 6 A−1 kf k2 , ∀f ∈ H; kf k 6 2 k=1  ∞ Do đó S −1 fk k=1 là một khung với các cận khung B −1 , A−1 . Để chứng minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho {fk }∞ k=1  −1 ∞ 1 và giả sử cận trên tối ưu cho S fk k=1 là C < A . Bằng việc áp dụng 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S −1 {fk }∞ k=1o có toán tử n ∞
−1 −1 −1 khung S −1 , chúng ta thấy rằng {fk }∞ = S S f có cận k k=1 k=1  ∞ dưới C1 > A, nhưng điều này là mâu thuẫn. Vì vậy S −1 fk k=1 có cận trên 1 A. Các lập luận về cận dưới tối ưu là tương tự.   −1 ∞ Khung S fk k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞ k=1 vì nó tối ưu đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở; Chúng ta thường xuyên bỏ qua từ “chính tắc” và chỉ nói về “khung đối ngẫu”. Sự khai triển khung được phát biểu ở bên dưới, là kết quả khung quan trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ k=1 là một khung trong H, thì mỗi phần tử trong H có một biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó một cách tự nhiên ta có thể coi khung như là một dạng “cơ sở suy rộng”. Định lý 1.3.7 Cho {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung S . Khi đó: f= ∞ X  f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H. (1.9) k=1 Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H . Chứng minh: Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong bổ đề 1.3.6, −1 f = SS f = ∞ X −1  S f, fk fk = k=1 ∞ X  f, S −1 fk fk . k=1 Do {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel và  f, S −1 fk  ∞ k=1 ∈ `2 (N), chuỗi hội tụ  không điều kiện. Tương tự, chúng ta có biểu diễn sau: −1 f = S Sf = ∞ X hf, fk i S −1 fk , ∀f ∈ H. (1.10) k=1  Định lý 1.3.7 chỉ ra rằng mọi thông tin về f ∈ H nằm trong dãy  ∞  f, S −1 fk k=1 . Các số f, S −1 fk được gọi là các hệ số khung. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong một tập trù mật. Bổ đề 1.3.8 Giả sử rằng {fk }∞ k=1 là dãy các phần tử trong H và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho 2 Akf k 6 ∞ X |hf, fk i|2 6 Bkf k2 (1.11) k=1 với mọi f trong tập con trù mật V của H. Khi đó {fk }∞ k=1 là một khung trong H với các cận A, B. Chứng minh: Ta cần chứng minh rằng điều kiện Bessel thỏa mãn với mọi f ∈ H. ∞ X Giả sử g ∈ H và |hg, fk i|2 > Bkgk2 . Khi đó tồn tại một tập hữu k=1 X |hg, fk i|2 > Bkgk2 . hạn F ⊂ N sao cho k∈F Do V là trù mật trong H, điều này suy ra rằng tồn tại h ∈ V sao cho X |hh, fk i|2 > Bkhk2 . k∈F Từ mâu thuẫn trên suy ra ∞ X |hg, fk i|2 6 Bkgk2 , ∀g ∈ H. k=1 Bây giờ ta chứng minh rằng (1.11) suy ra điều kiện khung dưới được thỏa mãn trên H. Biểu thị qua toán tử tổng hợp T , giả thiết của ta có nghĩa là Akf k2 6 kT ∗ f k2 , ∀f ∈ V. (1.12) Do T ∗ là bị chặn và V là trù mật trong H, suy ra (1.12) đúng với mọi f ∈ H. 1.4  Định lý Balian-Low Trong không gian Hilbert L2 (R) ta có cơ sở trực chuẩn Gabor 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14   e2πimx χ[0,1] (x − n) m,n∈Z = Em Tn χ[0,1] (x) m,n∈Z trong đó χ[0,1] là hàm đặc trưng trên [0, 1] và Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) ; a, b ∈ R. Tuy nhiên, ví dụ này cho ta thấy một hạn chế như sau. Quan sát: Z1 χ̂[0,1] (γ) = e−2πixγ dx = e−πiγ sin πγ . i πγ 0 Do χ[0,1] không liên tục, và sự dao động và phân rã chậm của χ̂[0,1] , nên hàm đặc trưng ít hấp dẫn theo cách nhìn của giải tích thời gian - tần số. Người ta hy vọng các kết quả tốt hơn có thể đạt được bằng cách thay thế hàm χ[0,1] bởi một hàm trơn g ; không may, định lý Balian – Low chứng tỏ có hạn chế trên các tính chất của g nếu ta muốn {Em Tn g}m,n∈Z trở thành một cơ sở Riesz. Định lý 1.4.1 Cho g ∈ L2 (R). Nếu {Em Tn g}m,n∈Z là một cơ sở Riesz trong L2 (R) thì  ∞  ∞  Z Z  |xg (x)|2 dx  |γĝ (γ)|2 dγ  = ∞. −∞ (1.13) −∞ Định lý Balian – Low có nghĩa là một hàm g tạo ra một cơ sở Riesz Gabor không thể địa phương hóa tốt trong cả thời gian và tấn số. Ví dụ, g và ĝ không thể có ước lượng như |g (x)| 6 C C , |ĝ (γ)| 6 2 1+x 1 + γ2 đồng thời xảy ra. Nếu sự giảm nhanh hơn của g và ĝ là cần thiết, ta hỏi liệu có cần tất cả các tính chất đặc trưng của cơ sở Riesz hoặc liệu có thể giảm nhẹ một số tính chất. Tính chất chúng ta muốn giữ là với mọi f ∈ L2 (R) có khai triển hội tụ không điều kiện theo các phép biến điệu và tịnh tiến của hàm 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 g . Tuy nhiên, tính chất khai triển (hội tụ không điều kiện) thực sự có thể kết hợp với g và ĝ giảm rất nhanh: phần trong định nghĩa của một cơ sở phải bỏ đi là tính duy nhất của khai triển đó. Điều này đưa ta từ cơ sở đến khung. 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Khung Gabor trong L2 (R) 2.1 Khung Gabor Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) được dựa trên 2 lớp toán tử trên L2 (R), đó là: Phép tịnh tiến với a ∈ R , Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R , Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x). Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L2 (R) như một chồng chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L2 (R). Có hai cách để tiếp cận vấn đề này. Thứ nhất là tìm biểu diễn tích phân chứa toàn bộ các tịnh tiến và biến điệu có thể, nghĩa là, biểu diễn như: Z∞ Z∞ f (x) = cf (a, b) e2πibx g (x − a) dbda. (2.1) −∞ −∞ Ở đây chúng ta phải tìm một hàm cf của hai biến số làm điều này xảy ra. Phương pháp thứ hai là để hạn chế các tham số tịnh tiến và biến điệu trên một tập hợp con rời rạc Λ ⊂ R2 và yêu cầu biểu diễn chuỗi của f theo các hàm  e2πibx g (x − a) (a,b)∈Λ . (2.2) Chìa khoá cho phương pháp thứ nhất là phép biến đổi Fourier thời gian ngắn, mà ta định nghĩa trong mục (1.2). Liên quan đến phương pháp thứ 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 hai, câu hỏi tự nhiên là làm cách nào ta có thể lựa chọn g ∈ L2 (R) và tập hợp Λ sao cho các hàm trong (2.2) tạo thành một khung trong L2 (R). Với cách đặt vấn đề tổng quát như vậy thì câu hỏi là rất khó, và ta sẽ chủ yếu thảo luận trường hợp trong đó Λ là một dàn trong R2 . Ý tưởng cơ bản thuộc về Gabor, người xét dãy các hàm có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z , trong đó ab = 1 và g là hàm Gauss, g (x) = e−x 2 /2 . Khá lâu sau này David và Heller quan sát rằng hệ Gabor đặc biệt này dẫn đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho hầu hết các ứng dụng về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn này bằng cách lựa chọn a, b sao cho ab < 1. Giải tích Gabor đi theo hướng mới hoàn toàn với bài báo cơ sở của Daubechies, Grossmann và Meyer từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên ý tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả xây dựng các khung chặt trong L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z . Từ sau bài báo đó có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời. Chương này chứa các cơ sở thiết yếu, như các điều kiện tương đương (điều kiện cần và điều kiện đủ) cho {Emb Tna g}m,n∈Z là khung. Để cung cấp bức tranh đầy đủ ta cũng nói đến hệ Gabor là trường hợp đặc biệt của lớp lớn hơn, là hệ bất biến với các phép tịnh tiến. Các kết quả khái quát về khung Gabor có thể tham khảo ở tài liệu tham khảo [1], [4], [5]. Các toán tử Eb và Ta sẽ đóng vai trò quan trọng trong chương này. Chú ý rằng, mặc dù Eb được định nghĩa là toán tử tác động trên L2 (R) , ta sẽ thường xuyên dùng cùng ký hiệu khi toán tử tác động lên các không gian hàm khác. Chẳng hạn như, ký hiệu Eb một mình sẽ có nghĩa đơn giản là hàm x 7→ e2πibx . Bây giờ ta sẵn sàng định nghĩa đối tượng chính của chương này. Định nghĩa 2.1.1 Một khung Gabor là khung trong L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z , khi a, b > 0 và g ∈ L2 (R) là một hàm cố định. Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg. Hàm g được 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn