Tài liệu Luận văn thạc sĩ không gian cận mêtric sober

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Nội dung của luận văn có sự tham khảo, trình bày lại và phát triển các khái niệm, định lý trong bài báo Wei Li, Dexue Zhang (2017), “Sober metric approach spaces”, Topology and its Applications. Tôi cam đoan những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Học viên thực hiện luận văn Hàn Thị Thanh Lan LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ về chuyên môn từ các Giảng viên trong khoa Toán, các giáo viên đồng nghiệp và các bạn trong lớp Hình học và tôpô khóa 28 cùng các anh chị khóa trên. Đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em trong nghiên cứu về chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có một luận văn tốt nhất. Em xin gửi lời cám ơn đến các Thầy, Cô đang công tác tại Phòng Sau đại học đã quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn các thủ tục để em có thể hoàn thành luận văn đúng yêu cầu và đúng tiến độ. Em xin chân thành cảm ơn các Giảng viên đang công tác tại khoa Toán đã giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại lớp cao học này. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Lý Thường Kiệt – Hóc Môn và các đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu. Cảm ơn bạn Dư Ngọc Minh Anh (email [email protected]) đã giúp đỡ tìm tài liệu và chia sẻ kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn. Cảm ơn anh Trần Vũ An và bạn Lê Ngô Ngọc Nam trong lớp cao học Hình học và tôpô khóa 28 đã cùng nhau học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn. Hàn Thị Thanh Lan MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................... 4 1.1. Một số định nghĩa về hàm tử .................................................................. 4 1.1.1. Hàm tử bao hàm .............................................................................. 4 1.1.2. Hàm tử đơn ánh, toàn ánh, song ánh ............................................... 4 1.2. Một số định nghĩa về phạm trù ............................................................... 4 1.2.1. Phạm trù nhỏ.................................................................................... 4 1.2.2. Phạm trù đầy đủ ............................................................................... 4 1.2.3. Phạm trù đóng.................................................................................. 4 1.2.4. Phạm trù con .................................................................................... 4 1.2.5. Phạm trù con đầy đủ ........................................................................ 5 1.2.6. Phạm trù con đầy đủ phản đối xứng ................................................ 5 1.3. Nửa phạm trù .......................................................................................... 5 1.4. Tập hợp sắp thứ tự .................................................................................. 7 1.5. Một số định nghĩa trong không gian tôpô ............................................... 7 1.5.1. Tập bất khả quy ............................................................................... 7 1.5.2. Không gian tôpô Sober .................................................................... 7 1.5.3. Ánh xạ c trên toán tử đóng .............................................................. 8 1.6. Một số định nghĩa trong không gian mêtric ........................................... 8 1.6.1. Không gian mêtric ........................................................................... 8 1.6.2. Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn .................................... 8 1.6.3. Đối của d ; Đối xứng của d . ........................................................... 9 1.6.4. Ánh xạ co; Phép đẳng cự và phạm trù không gian Mêtric .............. 9 1.6.5. Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere)........................................ 9 1.6.6. Trọng và đối trọng của không gian mêtric ...................................... 9 1.6.7. Ánh xạ f   .................................................................................. 10 1.6.8. Tập hợp tất cả các trọng của không gian mêtric............................ 10 1.6.9. Mêtric tách trên P  X  .................................................................. 11 1.6.10. Tích tenxơ của trọng và đối trọng ............................................... 11 1.6.11. Liên hợp phải, liên hợp trái của trọng và đối trọng..................... 11 1.6.12. Lưới Cauchy, Lưới song Cauchy ................................................ 12 1.6.13. Giới hạn Yoneda .......................................................................... 12 1.6.14. Ánh xạ liên tục Yoneda ............................................................... 12 1.6.15. Trọng Cauchy, trọng phẳng ......................................................... 13 1.7. Một số định nghĩa trong không gian cận .............................................. 13 1.7.1. Không gian cận .............................................................................. 13 1.7.3. Phép co và phạm trù không gian cận............................................. 15 1.7.4. Hàm chính quy và các tính chất .................................................... 15 Chương 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN: KHÔNG GIAN TÔPÔ, KHÔNG GIAN MÊTRIC, KHÔNG GIAN CẬN VÀ THÀNH PHẦN SOBER CỦA KHÔNG GIAN CẬN .............................................................. 17 2.1. Mối liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận..................................................................... 17 2.1.1. Thứ tự đặc biệt của không gian tôpô ............................................. 17 2.1.2. Mêtric đặc biệt trên không gian cận .............................................. 17 2.1.3. Sơ đồ liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, Không gian mêtric và Không gian cận.............................................................. 18 2.2. Thành phần sober của không gian cận .................................................. 20 2.2.1. Không gian cận Sober ................................................................... 20 2.2.1.2. Không gian cận Sober ................................................................ 20 2.2.2. Tập X và ánh xạ  ....................................................................... 20   2.2.3. Không gian X , ......................................................................... 22 2.2.4. Ánh xạ  X ..................................................................................... 22 2.2.5. Định lý ........................................................................................... 22 2.2.6. Phạm trù con SobApp của phạm trù App ....................................... 26 Chương 3. KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER................................. 28 3.1. Tính đầy đủ Yoneda của không gian mêtric ......................................... 28 3.1.1. Không gian mêtric đầy đủ Yoneda ................................................ 28 3.1.2. Tính chất ........................................................................................ 29 3.1.3. Bổ đề .............................................................................................. 30 3.1.4. Tính chất ........................................................................................ 32 3.1.5. Tính chất ........................................................................................ 33 3.1.6. Tính chất ........................................................................................ 34 3.1.7. Định lý ........................................................................................... 35 3.2. Tính đầy đủ Smyth của không gian mêtric ........................................... 35 3.2.1. Không gian mêtric đầy đủ Smyth .................................................. 36 3.2.2. Bổ đề về mối liên hệ giữa lưới Cauchy và song Cauchy .............. 36 3.2.3. Tính chất ........................................................................................ 37 3.2.4. Tính chất ........................................................................................ 38 3.3. Các tính chất của không gian cận mêtric .............................................. 39 3.3.1. Tính chất ........................................................................................ 39 3.3.3. Tính chất ........................................................................................ 40 3.3.4. Bổ đề .............................................................................................. 41 3.3.5. Định lý ........................................................................................... 42 3.3.6. Định lý ........................................................................................... 43 3.4. Mối liên hệ giữa tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober .......................................................................... 45 3.4.1. Định lý ........................................................................................... 45 3.4.2. Định lý ........................................................................................... 47 KẾT LUẬN ................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 50 1 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu đề tài Vào năm 1906, Maurice Frechet lần đầu tiên giới thiệu về không gian mêtric trong quyển sách “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Từ đó, các nhà khoa học đã tìm hiểu sâu hơn về không gian này và đưa ra nhiều ứng dụng của nó. Không gian mêtric được xây dựng dựa trên lý thuyết về khoảng cách giữa hai điểm trong tập hợp. Có nhiều mở rộng của không gian mêtric, trong đó có không gian cận mêtric Sober được W. Li, D. Zhang giới thiệu trong bài báo “Topology and its Applications” vào năm 2017. Trong tôpô, không gian cận là một mở rộng chung của không gian tôpô và không gian mêtric, dựa trên khoảng cách từ một điểm đến tập hợp, thay vì khoảng cách giữa hai điểm như trong không gian mêtric. “Không gian cận” được giới thiệu lần đầu tiên bởi Robert Lowen trong tài liệu “Approach spaces: a common supercategory of TOP and MET, Mathematische Nachrichten, 141” vào năm 1989. Đến năm 1997, Lowen một lần nữa đề cập về không gian cận trong bài báo “Approach Spaces: The Missing Link in the Topology – Uniformity - Metric Triad”. Lowen đã đưa ra những tính chất cơ bản của không gian cận rằng một không gian cận là một không gian tôpô nếu được cảm sinh trên không gian tôpô và là không gian mêtric nếu được cảm sinh trên không gian mêtric. Luận văn này nhằm giới thiệu không gian cận Sober – Một bản sao của không gian tôpô Sober dưới góc nhìn của mêtric, được giới thiệu bởi B. Banaschewski, R. Lowen và C. Van Olmen trong quyển “Sober approach spaces, Topology and its Applications” được viết năm 2006. Một vấn đề cần quan tâm là khi nào thì không gian tôpô Sober là không gian cận Sober? Không gian như thế nào gọi là không gian cận mêtric, khi nào không gian cận mêtric là không gian cận mêtric Sober? Trong [4], “Cho d là một mêtric 2 thông thường (đối xứng, tách và hữu hạn) trên tập X, thành phần Sober của không gian cận mà là tạo thành không gian mêtric  X , d  khi và chỉ khi  X , d  là không gian mêtric đầy đủ”. Bài luận văn này nhằm mô tả chi tiết kết quả trên bằng sự tổng quát được phát biểu như sau: “Cho  X , d  là không gian mêtric, thành phần Sober của không gian cận có dạng tạo thành của không gian mêtric   X , d  là không gian cận mêtric khi và chỉ khi  X , d  là không gian mêtric đầy đủ Smyth”. Không gian mêtric đầy đủ Smyth lần đầu được tìm ra bởi nhà toán học Smyth, được trình bày trong quyển “Quasiuniformities: Reconciling domains with metric spaces, Lecture Notes in Computer Science và Completeness of quasi-uniform and syntopological spaces, Journal of London Mathematical Society”. Không gian mêtric  X , d  được gọi là đầy đủ Smyth nếu nó tách và mọi lưới Cauchy trong không gian  X , d  đều hội tụ trong  X , d sym  . Mối quan hệ giữa không gian cận và không gian mêtric tương tự như mối quan hệ giữa không gian tôpô và tập sắp thứ tự. Ta có mối liên hệ giữa tập sắp thứ tự, không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận được thể hiện qua sơ đồ sau: Ord Top Top Ord Met App App Met Nội dung luận văn còn quan tâm đến: - Tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth của không gian mêtric và các tính chất liên quan của nó. - Tính đầy đủ Yoneda và đầy đủ Smyth liên quan đến không gian cận mêtric Sober như thế nào? 3 2. Phương pháp nghiên cứu Trình bày các lý thuyết về tính chất không gian cận, không gian cận Sober và không gian cận mêtric Sober, trình bày các kết quả qua lập luận và chứng minh chi tiết. Tổng hợp, bổ sung, hoàn thiện và sắp xếp hệ thống những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu. 3. Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày như sau: Mở đầu: Gồm có giới thiệu đề tài, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1: Kiến thức tổng quan. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm các định nghĩa, tính chất cơ bản trong không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận. Chương 2: Trình bày mối liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận. Định nghĩa và các tính chất của thành phần Sober trong không gian cận. Chương 3: Trình bày các tính chất của không gian đầy đủ Yoneda, không gian đầy đủ Smyth, không gian cận mêtric và mối liên hệ giữa tính đầy đủ Yoneda, tính đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober. Kết luận: Hệ thống các kết quả trình bày trong chương 2 và chương 3. Tài liệu tham khảo. 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định nghĩa về hàm tử 1.1.1. Hàm tử bao hàm Cho C là phạm trù con của phạm trù D. Hàm tử I : C  D được gọi là hàm tử bao hàm nếu I biến mỗi vật trong phạm trù C đến chính nó. 1.1.2. Hàm tử đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho hai phạm trù C, D và hàm tử F : C  D . Hàm tử F cảm sinh một hàm FX ,Y : HomC  X ,Y   HomD  F  X  , F Y   , với mọi vật X, Y trong C. - Hàm tử F được gọi là đơn ánh nếu FX ,Y đơn ánh. - Hàm tử F được gọi là toàn ánh nếu FX ,Y toàn ánh. - Hàm tử F được gọi là song ánh nếu FX ,Y song ánh. 1.2. Một số định nghĩa về phạm trù 1.2.1. Phạm trù nhỏ Một tập hợp được gọi là tập hợp nhỏ nếu nó là một tập con thực sự và không thuộc lớp cực lớn. Một phạm trù được gọi là phạm trù nhỏ nếu nó có vật là các tập hợp nhỏ và có tập các xạ từ A đến B, với A và B là hai vật trong phạm trù, kí hiệu Hom  A, B  cũng là tập hợp nhỏ. 1.2.2. Phạm trù đầy đủ Một phạm trù C được gọi là đầy đủ nếu mọi hàm tử F : J  C từ một phạm trù nhỏ đến C có một giới hạn trong C. 1.2.3. Phạm trù đóng Một phạm trù được gọi là phạm trù đóng nếu với mọi cặp vật a, b thì cấu xạ đi từ a đến b cũng là vật trong phạm trù đó. 1.2.4. Phạm trù con Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù D nếu: 5  i  Vật của C cũng là vật của D C  D  .  ii  Với cặp vật A, B trong C, tập các xạ từ A đến B trong C nằm trong tập các xạ từ A đến B trong D.  iii  Phép hợp thành trong C cũng là phép hợp thành trong D. 1.2.5. Phạm trù con đầy đủ Một phạm trù con C của phạm trù D được gọi là đầy đủ nếu với mọi vật x, y của C, cấu xạ f đi từ x đến y trong C cũng nằm trong D. 1.2.6. Phạm trù con đầy đủ phản đối xứng Cho C là phạm trù con của phạm trù D. Phạm trù C được gọi là phạm trù con phản đối xứng của D nếu nó là phạm trù con đầy đủ mà hàm tử bao hàm của nó có một liên hợp phải. 1.3. Nửa phạm trù Nửa phạm trù B  B, , e, ,  ,  được trang bị bởi một hàm tử hai ngôi : B  B  B , một vật e  B và ba phép đẳng cấu tự nhiên  ,  ,  thỏa mãn những điều kiện sau:  i  Với ba vật bất kì  ii  Với vật bất kì a, b, c  B ,    a ,b,c : a a  B ,   a : e  iii  Với bốn vật bất kì Hàm tử hai ngôi b c  a a  a và   a : a b c. ea. a, b, c, d  B : Biểu đồ sau giao hoán: trong định nghĩa nửa phạm trù B được gọi là phép nhân của B và vật e được gọi là vật đơn vị của phép nhân của B. Ví dụ về nửa phạm trù - Đầu tiên nói về định nghĩa nửa dàn: Nửa dàn là một cấu trúc đại số 6  S ,   , bao gồm một tập hợp S, được trang bị một toán tử hai ngôi  , được gọi là phép giao, thỏa mãn các điều kiện sau:  i  Kết hợp: x   y  z    x  y   z , x, y, z  S .  ii  Giao hoán: x  y  y  x , x, y  S .  iii  Tính lũy đẳng: x  x  x , x  S . Một nửa dàn  S ,   được gọi là bị chặn nếu tồn tại một phần tử đơn vị e  S sao cho e  x  x  e  x , x  S . - 0,1 ,  là một ví dụ của nửa phạm trù được xây dựng dựa trên lý thuyết nửa dàn. Từ tập hợp S  0,1 , ta có thể xây dựng cấu trúc nửa dàn như sau: Định nghĩa toán tử hai ngôi  : S  S  S bởi những điều kiện sau: i    0,0   0 .  ii    0,1   1,0   0 .  iii   1,1  1. Ta có thể kiểm tra những điều kiện trong định nghĩa nửa dàn để kết luận 0,1,  là một nửa dàn. Hơn nữa, cho e  0, 0  0  0  1  1  0  0 , suy ra rằng 0 là một phần tử đơn vị của ta thấy rằng 0,1,  . Cho  S ,   là một tập hợp được sắp bộ phận thỏa mãn điều kiện sau: Với mọi phần tử x, y  S , tồn tại chặn dưới lớn nhất của x và y. Định nghĩa  : S  S  S bởi x  y là chặn dưới lớn nhất của x và y. Ta nói rằng  S ,   là một nửa dàn, cảm sinh từ một tập hợp được sắp bộ phận  S ,   . Ta có thể xây dựng được nửa phạm trù từ một nửa dàn bị chặn  S ,   cảm sinh từ một tập hợp được sắp bộ phận  S ,   . Lạm dụng kí hiệu, ta kí hiệu 7  S ,   cho nửa phạm trù được xây dựng từ nửa dàn  S ,   , được xây dựng như sau:  i  Vật của S là những phần tử trong tập hợp S.  ii  Với x, y là hai phần tử của S: Nếu x  y , ta định nghĩa cấu xạ đi từ x đến y là cấu xạ duy nhất. Do đó Hom  x, y  bao gồm duy nhất một cấu xạ. Nếu x  y thì Hom  x, y    . Ta định nghĩa hàm tử hai ngôi (phép nhân của S) là định bởi  x, y   x  y  S , : S  S  S xác x, y  S . Cho  ,  ,  là những đẳng cấu đồng nhất và vật đơn vị của phép nhân là phần tử đơn vị e của nửa dàn  S ,   . Ta có thể chứng minh rằng phạm trù S, được trang bị với , e,  ,  như trên là một nửa phạm trù. 1.4. Tập hợp sắp thứ tự 0,1,  là nửa phạm trù đóng, nhỏ, đầy đủ. Một tập hợp sắp thứ tự là tập hợp X với thứ tự trong X được định nghĩa p : X  X  0,1,   sao cho: x, y, z  X :  i  p  x, x   1 .  ii  p  x, y   p  y, z   p  x, z  . Ta có: x  y khi và chỉ khi p  x, y   1 . 1.5. Một số định nghĩa trong không gian tôpô 1.5.1. Tập bất khả quy Trong không gian tôpô X, tập con A đóng, khác rỗng được gọi là bất khả quy nếu với mọi tập con B, C đóng và A   B  C  , ta có A  B hoặc A  C . 1.5.2. Không gian tôpô Sober Một không gian tôpô X được gọi là Sober nếu với mọi tập con A đóng, 8 bất khả quy, tồn tại duy nhất x  X sao cho A   x . 1.5.3. Ánh xạ c trên toán tử đóng Cho không gian tôpô X, toán tử đóng trên X cảm sinh ra ánh xạ 1, x  A . c : X  2 X  0,1 ,   xác định bởi: c  x, A   0, x  A  Ánh xạ này thỏa các điều kiện:  C1 c  x,x  1 .  C 2  c  x,    0 .  C 3 c  x, A  B   c  x, A  c  x, B  .  C 4  c  x, A  c  x, B   yB c  y, A . Điều kiện  C 4  biểu thị cho tính lũy đẳng của toán tử đóng. Tôpô trên tập X tương ứng 1-1 với ánh xạ c : X  2 X  0,1,   thỏa 4 điều kiện từ  C1 đến  C 4  . 1.6. Một số định nghĩa trong không gian mêtric 1.6.1. Không gian mêtric Không gian mêtric là khái niệm được trình bày trong [18], được mở rộng thông qua nửa dàn đóng Lawvere 0,  ,   . Không gian mêtric  X , d  là op một tập hợp X cùng với ánh xạ d : X  X  0;  thỏa d  x, x   0 và d  x, y   d  y, z   d  x, z  với mọi x, y, z  X . Ánh xạ d được gọi là mêtric và giá trị d  x, y  được gọi là khoảng cách từ x đến y. 1.6.2. Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn Cho không gian mêtric  X , d  . -  X , d  được gọi là đối xứng nếu x, y  X : d  x, y   d  y, x  . -  X , d  được gọi là tách nếu x, y  X : d  x, y   d  y, x   0 , ta có x  y . 9 -  X , d  được gọi là hữu hạn nếu d  x, y    , x, y  X . Nhận xét: Không gian mêtric theo nghĩa thông thường có ba tính chất đối xứng, tách và hữu hạn. 1.6.3. Đối của d ; Đối xứng của d . Cho d là mêtric trên không gian X. - Đối của d , kí hiệu là d op là mêtric được xác định: d op  x, y   d  y, x  . - Đối xứng của d , kí hiệu là d sym là mêtric được xác định: d sym  x, y   max d  x, y  , d  y, x  . 1.6.4. Ánh xạ co; Phép đẳng cự và phạm trù không gian Mêtric Cho  X , d  , Y , p  là các không gian mêtric. - Ánh xạ f :  X , d   Y , p  được gọi là ánh xạ co nếu: d  x, y   p  f  x  , f  y   , x, y  X . - Ánh xạ f :  X , d   Y , p  được gọi là phép đẳng cự nếu: d  x, y   p  f  x  , f  y   , x, y  X . Phạm trù không gian mêtric, kí hiệu là Met, được định nghĩa: Vật là các không gian mêtric, cấu xạ là các ánh xạ co. 1.6.5. Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere) Lấy a, b  0;  . Khoảng cách Lawvere từ a đến b, kí hiệu là d L  a, b  được xác định như sau: d L  a, b   b a  max 0; b  a . Ta quy ước     0 và   a   , a   . Khi đó, 0; , d  L là không gian mêtric tách, không đối xứng và không hữu hạn. Đối của mêtric Lawvere, kí hiệu là d R được xác định: d R  x, y   d Lop  x, y   d L  y, x   x y. 1.6.6. Trọng và đối trọng của không gian mêtric Cho  X , d  là không gian mêtric. 10 - Hàm  : X  0;  được gọi là trọng, hay môđun trái của  X , d  nếu   x     y   d  x, y  , x, y  X . - Hàm  : X  0;  được gọi là đối trọng, hay môđun phải của  X , d  nếu   y     x   d  x, y  , x, y  X . Hay nói cách khác: Trọng của  X , d  là phép co  :  X , d   0; , d R  . Đối trọng của  X , d  là phép co  :  X , d   0; , d L  . Thật vậy: - Vì  là phép co nên x, y  X : d  x, y   d R   x  ,  y      x    y   max 0,  x     y     x     y     x     y   d  x, y    là trọng của  X , d  . - Vì  là phép co nên x, y  X : d  x, y   d L   x  ,  y      y    x   max 0,  y    x     y    x     y     x   d  x, y    là đối trọng của  X , d  . 1.6.7. Ánh xạ f   Cho  X , d  , Y , p  là không gian mêtric và f :  X , d   Y , p  là ánh xạ co. Nếu  là trọng của  X , d  thì ánh xạ f   : Y  0,  xác định bởi   f   y   inf   x   p  y, f  x   cũng là trọng của Y , p  . xX Hàm f   có tính chất: - Nếu  là trọng của Y , p  thì  f cũng là trọng của  X , d  . - Nếu  là đối trọng của Y , p  thì  f cũng là đối trọng của  X , d  . 1.6.8. Tập hợp tất cả các trọng của không gian mêtric Cho  X , d  là không gian mêtric. Tập hợp tất cả các trọng của  X , d  , được kí hiệu là P  X  có các tính chất sau: 11 Tính chất 1: x  X , d  , x   P  X  . Mọi trọng đều có thể lấy đại diện. Tính chất 2: Với mọi tập con i iI của P  X  , ta có: inf i  P  X  và supi  P  X  . iI iI Tính chất 3:   P  X  và   0;  ,      P  X  và    P  X  . 1.6.9. Mêtric tách trên P  X  Cho không gian mêtric  X , d  , P  X  là tập tất cả các trọng của  X , d  . Ánh xạ d : P  X   P  X   0,  xác định bởi d  ,   sup d L   x  ,  x   , xX  ,  P  X  . Ta nói d là mêtric tách trên P  X  . Hơn nữa, x  X ,   P  X  , ta có: d  d  , x  ,   sup d L  d  y, x  ,  y    supmax 0,  y   d  y, x     x  yX yX Ánh xạ  :  X , d    P  X  , d  được xác định   x   d  , x  , x  X là một phép đẳng cự vì d  x, y   d  d  , x  , d  , y   , x, y  X . Đây là một ví dụ của Bổ đề Yoneda và phép nhúng Yoneda trong lý thuyết phạm trù mở rộng. 1.6.10. Tích tenxơ của trọng và đối trọng Với mỗi trọng  và mỗi đối trọng  trong không gian mêtric  X , d  , tích tenxơ của  và  (một trường hợp đặc biệt của phép hợp thành hai môđun) là một phần tử trong 0,  , xác định bởi    inf   x    x   . xX 1.6.11. Liên hợp phải, liên hợp trái của trọng và đối trọng Gọi  là trọng và  là đối trọng trong không gian mêtric  X , d  . Ta nói  là một liên hợp phải của  (hay  là một liên hợp trái của  ) nếu    0 và   x    y   d  x, y  , x, y  X . Khái niệm này là trường hợp đặc biệt của phép hợp thành hai môđun trong lý thuyết phạm trù mở rộng. Vì vậy, liên hợp trái của một trọng nếu tồn tại là duy nhất. 12 1.6.12. Lưới Cauchy, Lưới song Cauchy - Một lưới  x  trong không gian mêtric  X , d  được gọi là lưới Cauchy nếu inf sup d  x , x   0 .      - Một lưới  x  trong không gian mêtric  X , d  được gọi là lưới song Cauchy nếu inf sup d  x , x   0 .   ,   Ví dụ: Mọi lưới Cauchy trong 0, , d  là song Cauchy. Dãy n trong L 0, , d  là dãy Cauchy, nhưng không là song Cauchy. R Dễ thấy rằng với mọi lưới Cauchy  x  trong không gian mêtric  X , d  , d  x, x  là lưới Cauchy trong 0, , d  L với mọi x  X . Ngoài ra, ta còn có: inf sup d  x, x   supinf d  x, x  .       1.6.13. Giới hạn Yoneda Cho  x  là lưới trong không gian mêtric  X , d  . Phần tử a  X được gọi là giới hạn Yoneda (được hiểu như giới hạn dưới) của  x  nếu với mọi x  X , ta có d  a, x   inf sup d  x , x  .    Nói chung, giới hạn Yoneda có thể không duy nhất. Tuy nhiên, trong không gian mêtric tách, nếu có x và y là giới hạn Yoneda của lưới  x  thì d  x, y   d  y, x   0  x  y . Khi đó, giới hạn Yoneda là duy nhất. 1.6.14. Ánh xạ liên tục Yoneda Ánh xạ co f :  X , d   Y , p  được gọi là liên tục Yoneda nếu nó bảo toàn giới hạn Yoneda, nghĩa là nếu a là một giới hạn Yoneda của lưới Cauchy  x  thì f  a  là một giới hạn Yoneda của  f  x  .