Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và các ứng dụng.

  • Số trang: 36 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 32 |
  • Lượt tải: 0
okyeuniterd

Tham gia: 20/08/2016

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ THỊ LÝ XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ THỊ LÝ XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Hữu Thọ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy, người đã định hướng chọn đề tài, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này! Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả luận văn NGÔ THỊ LÝ 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và các ứng dụng" do tôi tự thực hiện. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả luận văn NGÔ THỊ LÝ 2 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Phần mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tích vô hướng và tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Xấp xỉ trực giao Birkhoff 2.1 2.2 Trực giao Birkhoff 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Xấp xỉ trực giao Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Một số đặc trưng của xấp xỉ trực giao Birkhoff 16 . 3 Ứng dụng 22 3.1 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong L(H) . . . . . . . . 22 3.2 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong Co (K) . . . . . . . 27 3.3 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong không gian thương 29 3 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 4 Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Xấp xỉ trực giao là lí thuyết quan trọng xuất phát từ quan hệ trực giao trong Toán học, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số, Giải tích ... Nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu quan hệ này theo những khía cạnh khác nhau. Như ta đã biết, tính trực giao được giảng dạy trong chương trình phổ thông được xây dựng thông qua một tích vô hướng, tuy nhiên trong không gian định chuẩn thì tính trực giao cần được hiểu theo khía cạnh khác tổng quát hơn. Đã có nhiều đặc tính của quan hệ xấp xỉ trực giao được thiết lập, đặc biệt trong Giải tích hiện đại. Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn cũng như các ứng dụng của nó, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài cho luận văn của mình về: Xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và các ứng dụng. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và ứng dụng của nó (trong luận văn này chủ yếu xét tới xấp xỉ trực giao Birkhoff). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5 Trình bày về xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn, mô tả một số ứng dụng của xấp xỉ trực giao trong một số không gian định chuẩn cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Không gian tuyến tính định chuẩn. - Không gian tích vô hướng. - Không gian Hilbert. - Xấp xỉ trực giao Birkhoff. - Một số ứng dụng của xấp xỉ trực giao Birkhoff trong một số không gian định chuẩn. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhận được một nghiên cứu về xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và ứng dụng của nó. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống về xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn liên quan tới tính trực giao Birkhoff và ứng dụng của nó. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1] và [2]) Chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm cơ bản sẽ được dùng trong suốt luận văn. 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1 Cho V là một không gian véc tơ trên trường R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau: h, i : V ×V → R, (x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau: i. hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ V ; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. ii. hkx, yi = k hx, yi với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R. iii. hx + x, , yi = hx, yi + hx, , yi, ∀x, x, , y ∈ V . iv. hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V . Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang bị trên nó một tích vô hướng h, i được gọi là không gian véc tơ Euclid. 7 Kí hiệu: E = (V, h, i) với tích vô hướng trên nó là h, i. Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) |xi ∈ R}). Với x = n P (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ta định nghĩa hx, yi = x i yi . i=1 n n Đây là một tích vô hướng trên R và E = (R , h, i) là một không gian véc tơ Euclid. Định lí 1.1.4 Cho E là không gian Euclid. Khi đó với ∀x, y ∈ E ta luôn có |hx, yi| ≤ kxk . kyk . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.1.5 Giả sử E là không gian véc tơ Euclid. Khi đó: ∀x, y ∈ E : kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ kxk + kyk . 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh xạ k.k : X → R. Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tính chất sau: 1. kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X. 2. kxk = 0 ⇔ x = 0. 3. kkxk = |k| kxk , với mọi x ∈ X, k ∈ R. 4. kx + yk ≤ kxk + kyk , với mọi x, y ∈ X. Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). 8 Nếu h., .i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → p hx, xi là một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Ví dụ 1.2.2 Không gian R2 với các metric: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | h 2 2 d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) i 12 d∞ (x, y) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} ở đây x = (x1 , x2 ) và y = (y1 , y2 ), x, y ∈ R2 lần lượt sinh ra các chuẩn tương ứng sau: kx − yk1 = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | h i1 2 2 2 kx − yk2 = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) kx − yk∞ = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} . Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, k.k) trên trường số R và các dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R sao cho lim xn = x, lim yn = n→∞ n→∞ y, lim λn = λ. Khi đó: n→∞ 1. lim kxn k = kxk. n→∞ 2. lim (xn + yn ) = x + y. n→∞ 3. lim (λn xn ) = λx. n→∞ Hệ quả 1.2.4 Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi f (x) = x0 + x, g(x) = λ0 x, (λ0 ∈ R\ {0}) là đồng phôi. Mệnh đề 1.2.5 1. Trên một không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn bất kì luôn tương đương nhau. 9 2. Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, một tập là compact khi và chỉ khi đóng và bị chặn. 3. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy đủ. Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó. Định lí 1.2.6 Nếu hình cầu đơn vị đóng B̄ (0, 1) := {x ∈ X : kxk ≤ 1} của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gian hữu hạn chiều. 1.3 Không gian Hilbert Một không gian tuyến tính thực X được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là một không gian Hilbert. 1.4 Tích vô hướng và tính trực giao Trong không gian Hilbert, thông qua tích vô hướng ta có thể định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian Rn thông thường. Ta nói hai véctơ x, y của một không gian Hilbert X trực giao với nhau, và kí hiệu x ⊥ y, nếu hx, yi = 0. Từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau: 1. Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x. Ta có x ⊥ x khi và chỉ khi x = 0. Véctơ 0 trực giao với mọi véctơ x. 2. Nếu x ⊥ y1 , y2 , ..., yn thì x ⊥ (α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn ). 3. Nếu x ⊥ yn và yn −→ y (khi n 7−→ ∞) thì x ⊥ y. 10 4. Nếu tập M trù mật trong X thì M T gồm một phần tử duy nhất là 0, nghĩa là: x ⊥ M =⇒ x = 0. 5. Nếu x ⊥ y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (Định lý Pythagore). 6. Nếu {xn } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao với P nhau từng đôi một) thì chuỗi ∞ i=1 xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số P∞ 2 i=1 kxk < ∞. 11 Chương 2 Xấp xỉ trực giao Birkhoff (Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [4], [5], [6], [7], [8] và [10]) Chương này sẽ trình bày về định nghĩa và một số đặc trưng cơ bản của xấp xỉ trực giao (chủ yếu là xấp xỉ trực giao Birkhoff). Trong Chương 2 và Chương 3 chúng ta sẽ thường xét không gian định chuẩn thực (X, k·k), với dimX > 2. Như thường lệ, X ∗ kí hiệu không gian đối ngẫu của X; BX và SX theo thứ tự là hình cầu đơn vị đóng và mặt cầu đơn vị trong X, còn ExtA là tập hợp các điểm cực trị của A. 2.1 2.1.1 Trực giao Birkhoff Khái niệm Định nghĩa 2.1.1 Cho (X, k · k) là không gian định chuẩn, x, y là hai phần tử trong X, ta nói x trực giao Birkhoff với y, kí hiệu là x⊥B y nếu kx + λyk ≥ kxk với mọi λ ∈ R. Có nhiều đặc trưng của mối quan hệ này hướng tới các tính chất hình học khác nhau liên quan tới tính trực giao. Với x ∈ X, tập J(x) (khác 12 trống) thỏa mãn J(x) = {ϕ ∈ X ∗ : kϕk = 1, ϕ(x) = kxk} là tập các hàm tựa của x. Như ta đã biết, một trong những đặc trưng của trực giao Birkhoff được James đề xuất trong [9] như sau: x ⊥B y khi và chỉ khi ∃ϕ ∈ J(x) : ϕ(y) = 0. (2.1) Ngoài ra, trong [10], với không gian định chuẩn thực X và x, y ∈ X, Singer cũng đưa ra một đặc trưng: x⊥B y khi và chỉ khi ∃ϕ, ψ ∈ Ext(BX ∗ ) ∩ J(x) và ∃α ∈ [0, 1] sao cho αϕ(y) + (1 − α)ψ(y) = 0. (2.2) 2.1.2 Ví dụ Cho (X, h·, ·i) là không gian tích vô hướng thực, khi đó với hai phần tử x, y ∈ X ta nói x⊥y nếu hx, yi = 0, và khi đó tính trực giao này tương đương với tính trực giao Birkhoff. Thật vậy, nếu hx, yi = 6 0, khi đó với λ=− hx, yi hy, yi ta có:  hx, yi hx, yi kx + λyk = x − y, x − y hy, yi hy, yi hx, yi2 hx, yi2 = hx, xi − 2 + hy, yi hy, yi hy, yi2 2  hx, yi2 = hx, xi − hy, yi < hx, xi = kxk2 , 13 do đó, x không trực giao Birkhoff với y. Mặt khác, nếu hx, yi = 0, thì với mọi λ ∈ R ta có: kx + λyk2 = hx + λy, x + λyi = kxk2 + |λ|2 kyk2 ≥ kxk2 , và như vậy, x trực giao Birkhoff với y. 2.2 2.2.1 Xấp xỉ trực giao Birkhoff Khái niệm Đối với không gian tích vô hướng (X, h., .i), với x, y ∈ X khi đó x được gọi là trực giao với y nếu hx, yi = 0. Một cách tự nhiên để dẫn tới khái niệm xấp xỉ trực giao (hay là ε - trực giao với ε ∈ [0, 1)), ký hiệu x⊥ε y, như sau: x⊥ε y ⇔ |hx, yi| 6 εkxkkyk. Dễ dàng chúng ta nhận được tính chất sau: x⊥ε y ⇔ ∃z ∈ X : x⊥z, kz − yk 6 εkyk. hx, yi x + y với x 6= 0 và kxk2 z = y với x = 0. Ngược lại, giả sử x⊥z và kz − yk 6 εkyk, ta nhận được Thật vậy, nếu x⊥ε y, khi đó ta chỉ cần lấy z = − |hx, yi| = |hx, y − zi| 6 kxkky − zk 6 εkxkkyk, và tức là x⊥ε y. Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian định chuẩn, x, y ∈ X. Với ε ∈ [0, 1), ta nói x xấp xỉ trực giao Birkhoff với y (hay là x là ε - trực giao Birkhoff với y), ký hiệu x⊥εB y, nếu kx + λyk2 ≥ kxk2 − 2εkxkkλyk với mọi λ ∈ R. Dễ thấy rằng, với ε = 0, khi đó ⊥εB = ⊥B . Đặc biệt, trong các không gian tích vô hướng ta có kết quả sau. 14 Định lí 2.2.2 Nếu X là không gian tích vô hướng, khi đó với ε ∈ [0, 1) ta luôn có: x⊥ε y khi và chỉ khi x⊥εB y. Sau đây chúng ta xét một số khái niệm liên quan. Trước hết là các qui tắc đạo hàm theo chuẩn: ρ0± (x, y) kx + tyk2 − kxk2 , x, y ∈ X, t ∈ R = lim± t→0 2t và mối liên hệ liên quan đến quan hệ trực giao của chúng: x⊥ρ± y ⇔ ρ0± (x, y) = 0. Tính xấp xỉ trực giao tương ứng được xác định bởi: x⊥ερ± y ⇔ |ρ0± (x, y)| ≤ εkxkkyk. Cho X là không gian định chuẩn thực, chuẩn trong X không nhất thiết được xây dựng từ một tích vô hướng. Tuy nhiên, luôn tồn tại một ánh xạ [·|·]: X × X → R thỏa mãn các điều kiện: 1. [λx + µy|z] = λ[x|z] + µ[y|z], với x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R; 2. [x|λy] = λ[x|y], với x, y ∈ X, λ ∈ R; 3. |[x|y]| ≤ kxkkyk, với x, y ∈ X; 4. [x|x] = kxk2 , x ∈ X. Ánh xạ [·|·] thỏa mãn 4 tính chất như trên được gọi là một nửa tích vô hướng trong không gian định chuẩn X. Nói chung, trừ khi chuẩn là trơn, khi đó có thể có nhiều nửa tích vô hướng khác nhau được thiết lập từ một chuẩn đã cho trong X. Nếu chuẩn trong X được xây dựng từ một tích vô hướng thì tích vô hướng đó chính là nửa tích vô hướng duy nhất. Với một nửa tích vô hướng [·|·] cố định và x, y ∈ X, ta định nghĩa tính bán trực giao như sau: 15 x⊥s y ⇔ [y|x] = 0; và tính ε - bán trực giao (xấp xỉ bán trực giao) tương ứng: x⊥εs y ⇔ |[y|x]| ≤ εkxkkyk. Dễ thấy rằng, trong không gian tích vô hướng ta luôn có: ⊥s = ⊥ và ⊥εs = ⊥ε . Với x, y ∈ X và x⊥B y, sẽ tồn tại một nửa tích vô hướng [·|·] thỏa mãn [y|x] = 0. Trong [6] đã chứng minh rằng, nếu X là một không gian định chuẩn thực và ε ∈ [0, 1) khi đó ta luôn có ⊥εs ⊂ ⊥εB , ⊥ερ+ ⊂ ⊥εB và ⊥ερ− ⊂ ⊥εB . Hơn nữa, trong một không gian trơn, tất cả các quan hệ này trùng nhau (xem [11]), nghĩa là: ⊥εs = ⊥ερ+ = ⊥ερ− = ⊥εB . Ký hiệu SIP X là tập tất cả các nửa tích vô hướng trong X. Đối với không gian định chuẩn thực X ta có ρ0+ (x, y) = sup{[y|x] : [·|·] ∈ SIP X }, (2.3) ρ0− (x, y) = inf{[y|x] : [·|·] ∈ SIP X }. (2.4) và Ta cũng sẽ sử dụng đặc trưng dưới đây của ε - trực giao Birkhoff x⊥εB y ⇔ ρ0− (x, y) − εkxkkyk ≤ 0 ≤ ρ0+ (x, y) + εkxkkyk. 2.2.2 (2.5) Một số đặc trưng của xấp xỉ trực giao Birkhoff Trước hết chúng ta xét một kết quả phụ trợ sau. Mệnh đề 2.2.3 Cho X là một không gian định chuẩn thực và x, y ∈ X cố định thỏa mãn x⊥εB y (với ε ∈ [0, 1)). Khi đó với mỗi n ∈ N tồn tại một nửa tích vô hướng [·|·]n trong X thỏa mãn:  1 kxkkyk. |[y|x]n | ≤ ε + n 16 (2.6) Chứng minh: Áp dụng (2.5) và (2.3) - (2.4), với mỗi số nguyên n mà 1 ∈ (1, 1 − ε) ta có thể chọn các nửa tích vô hướng [·|·]0n và [·|·]00n sao cho: n   1 1 0 [y|x] n < ε + kxkkyk và − ε + kxkkyk < [y|x]00n . (2.7) n n Do đó, với λn ∈ [0, 1] ta có:   1 1 00 0 − ε+ kxkkyk ≤ λn [y|x]n + (1 − λn )[y|x]n ≤ ε + kxkkyk. n n (Ở đây chúng ta đã sử dụng một lập luận đơn giản là nếu a < δ và −δ < b với a, b ∈ R và δ > 0, thì −δ ≤ λa + (1 − λ)b ≤ δ với λ ∈ [0, 1].) Bây giờ, ta xét một nửa tích vô hướng [·|·]n := λn [·|·]0n + (1 − λn )[·|·]00n và từ các bất đẳng thức trên suy ra: 1 1 −(ε + )kxkkyk ≤ [y|x]n ≤ (−ε + )kxkkyk. n n Sau đây là một trong những kết quả quan trọng.  Định lí 2.2.4 Cho X là một không gian định chuẩn thực. Với x, y ∈ X và ε ∈ [0, 1), khi đó x⊥εB y ⇔ ∃z ∈ Lin{x, y} : x⊥B z, kz − yk ≤ εkyk. (2.8) Khẳng định theo chiều ” ⇐ ” cũng đúng trong không gian định chuẩn phức. Chứng minh. Trước hết, giả sử rằng x⊥εB y. Ta giả thiết x 6= 0 (trường hợp còn lại cho kết quả tầm thường). Theo Mệnh đề 2.2.3, với n tùy ý ∈ N, luôn tồn tại một nửa tích vô hướng [·|·]n trong X thỏa mãn (2.6). Ký hiệu ⊥s,n là quan hệ trực giao liên quan tới nửa tích vô hướng này. Ta định nghĩa zn := − [y|x]n x + y ∈ Lin{x, y} kxk2 và dễ thấy rằng x⊥s,n zn . Vì ⊥s,n ⊂ ⊥B nên x⊥B zn . Áp dụng (2.6) ta đánh giá kz − yk và nhận được : 17 x⊥B zn và 1 kyk. (2.9) kzn − yk ≤ ε + n Chú ý rằng kzn k ≤ 2kyk, nghĩa là các phần tử của dãy (zn )n=1,2,... nằm  trong một hình tròn đóng trong không gian hai chiều Lin{x, y}. Vì vậy, tồn tại z ∈ Lin{x, y} và một dãy con (znk ) hội tụ đến z. Cuối cùng, (2.9) và tính liên tục của chuẩn sẽ suy ra x⊥B z và kz − yk ≤ εkyk. Bây giờ, với X là không gian định chuẩn thực và giả thiết rằng tồn tại z ∈ X sao cho x⊥B z và kz − yk ≤ εkyk. Vì x⊥B z nên tồn tại một nửa tích vô hướng [·|·] thỏa mãn [z|x] = 0, do vậy: |[y|x]| = |[y − z|x]| ≤ ky − zkkxk ≤ εkykkxk, tức là x⊥εs y. Do ⊥εs ⊂ ⊥εB , nên ta có x⊥εB y.  Trong không gian định chuẩn phức, kết quả theo chiều ” ⇒ ” vẫn còn là một vấn đề mở. Chúng ta sẽ sử dụng kết quả trên để chứng minh tính chất khác của tính xấp xỉ trực giao ⊥εB . Định lí 2.2.5 Cho X là không gian định chuẩn thực. Với x, y ∈ X và ε ∈ [0, 1) : x⊥εB y ⇔ ∃ϕ ∈ J(x) : |ϕ(y)| ≤ εkyk. (2.10) Kết quả theo chiều ” ⇐ ” cũng đúng trong không gian định chuẩn phức. Chứng minh: Cho x⊥εB y. Áp dụng (2.8) ta thấy sẽ tồn tại z ∈ X thỏa mãn x⊥B z và kz − yk ≤ εy. 18
- Xem thêm -