Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục về tính trực giao birkhoff.

  • Số trang: 37 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 32 |
  • Lượt tải: 0
okyeuniterd

Tham gia: 20/08/2016

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ ÁNH VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ ÁNH VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Hữu Thọ. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này! Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả NGUYỄN THỊ ÁNH i Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ánh ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Tích vô hướng và tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Nửa tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tính trực giao Birkhoff 10 2.1 Trực giao Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích vô hướng . . . . . 18 2.3 Đặc trưng theo trực giao Birkhoff . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Định lý phân tích trực giao Birkhoff . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Tính trực giao là một trong những vấn đề quan trọng nhất trong lý thuyết không gian tích vô hướng. Những định lý quan trọng dựa vào lý thuyết này có nhiều ứng dụng rộng rãi và được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và phát triển. Tính trực giao được nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau khi xét trong các không gian khác nhau và do đó có nhiều khái niệm về trực giao đã được đề xuất và nghiên cứu. Trong không gian định chuẩn thì tính trực giao cần được hiểu theo khía cạnh khác tổng quát hơn. Tính trực giao Birkhoff (được đề xuất bởi G. Birkhoff lần đầu vào năm 1935) và từ đó đã có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng khái niệm này và khai thác ứng dụng trong những lĩnh vực Toán học nói riêng và trong những bài toán thực tế nói chung. Với mong muốn được hiểu biết sâu hơn về tính trực giao, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài cho luận văn của mình là: Về tính trực giao Birkhoff. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về trực giao Birkhoff, đặc trưng và một số ứng dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày một cách có hệ thống về trực giao Birkhoff trên không gian định chuẩn và một số ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 - Không gian tuyến tính định chuẩn. - Không gian tích vô hướng. - Trực giao Birkhoff. - Một số đặc trưng của trực giao Birkhoff và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm các tài liệu, sách, báo liên quan đến kết quả đã có về tính trực giao Birkhoff trong không gian định chuẩn để nhận được một nghiên cứu về trực giao Birkhoff. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống về trực giao Birkhoff trên không gian định chuẩn và ứng dụng của nó. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ánh 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và [9].) Chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm cơ bản sẽ được dùng trong suốt luận văn. 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một không gian véc tơ trên trường R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau: h, i : V × V → R, (x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau: i. hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ V ; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. ii. hkx, yi = k hx, yi với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R. iii. hx + x, , yi = hx, yi + hx, , yi, ∀x, x, , y ∈ V . 3 iv. hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V . Định nghĩa 1.1.2. Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang bị trên nó một tích vô hướng h, i được gọi là không gian véc tơ Euclid. Kí hiệu: E = (V, h, i) với tích vô hướng trên nó là h, i. Ví dụ 1.1.3. Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) |xi ∈ R}). Với x = n P (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ta định nghĩa hx, yi = xi y i . i=1 n n Đây là một tích vô hướng trên R và E = (R , h, i) là một không gian véc tơ Euclid. Định lí 1.1.4. Cho E là không gian Euclid. Khi đó với ∀x, y ∈ E ta luôn có |hx, yi| ≤ kxk . kyk . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.1.5. Giả sử E là không gian véc tơ Euclid. Khi đó: ∀x, y ∈ E : kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ kxk + kyk . Định nghĩa 1.1.6. Giả sử V là một không gian véc tơ trên trường R, tập con C của V được gọi là một nón lồi nếu với với mọi vô hướng dương α, β ∈ R và với mọi x, y ∈ C ta luôn có αx + βy ∈ C. 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh xạ k.k : X → R. Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tính chất sau: 4 1. kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X. 2. kxk = 0 ⇔ x = 0. 3. kkxk = |k| kxk , với mọi x ∈ X, k ∈ R. 4. kx + yk ≤ kxk + kyk , với mọi x, y ∈ X. Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). Nếu h., .i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → p hx, xi là một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Ví dụ 1.2.2. Không gian R2 với các metric: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | h i1 2 2 2 d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) d∞ (x, y) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} ở đây x = (x1 , x2 ) và y = (y1 , y2 ), x, y ∈ R2 lần lượt sinh ra các chuẩn tương ứng sau: kx − yk1 = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | h i1 2 2 2 kx − yk2 = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) kx − yk∞ = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} . Mệnh đề 1.2.3. Cho không gian định chuẩn (X, k.k) trên trường số R và các dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R sao cho lim xn = x, lim yn = n→∞ y, lim λn = λ. Khi đó: n→∞ 5 n→∞ 1. lim kxn k = kxk. n→∞ 2. lim (xn + yn ) = x + y, n→∞ 3. lim (λn xn ) = λx. n→∞ Hệ quả 1.2.4. Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi f (x) = x0 + x, g(x) = λ0 x, (λ0 ∈ R\ {0}) là đồng phôi. Mệnh đề 1.2.5. 1. Trên một không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn bất kì luôn tương đương nhau. 2. Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, một tập là compact khi và chỉ khi đóng và bị chặn. 3. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy đủ. Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó. Định lí 1.2.6. Nếu hình cầu đơn vị đóng B̄ (0, 1) := {x ∈ X : kxk ≤ 1} của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gian hữu hạn chiều. Nếu X là một không gian định chuẩn, khi đó tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X được gọi là không gian liên hợp (hay còn gọi là 6 không gian đối ngẫu) của X, ký hiệu là X ∗ . Dễ thấy rằng X ∗ cũng là một không gian véc tơ với các phép toán thông thường. Với mỗi phần tử f ∈ X ∗ , đặt kf k = sup |f (x)|, x∈X, kxk=1 khi đó X ∗ trở thành một không gian định chuẩn. Và như vậy X ∗ cũng có không gian liên hợp, ký hiệu X ∗∗ = (X ∗ )∗ , và ta gọi X ∗∗ là không gian đối ngẫu (hay không gian liên hợp) thứ hai của X. Nếu X = X ∗∗ thì khi đó không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.2.7. Tập M được gọi là tập gần kề của một không gian định chuẩn X nếu với mọi x ∈ X, tồn tại y ∈ M sao cho kx − yk = dist(x, M ). Chú ý rằng: dist(x, M ) = inf kx − mk. m∈M Định lí 1.2.8 (Định lý thác triển Hahn-Banach). Cho X là một không gian định chuẩn, V là một không gian con không tầm thường của X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V . Khi đó luôn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕ trên X sao cho kf kV = kϕkX . 7 1.3 Tích vô hướng và tính trực giao Trong không gian tích vô hướng, ta có thể định nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian Rn thông thường. Ta nói hai véctơ x, y ∈ X trực giao với nhau, và kí hiệu x ⊥ y, nếu hx, yi = 0. Từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau: 1. Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x. Ta có x ⊥ x khi và chỉ khi x = 0. Véctơ 0 trực giao với mọi véctơ x. 2. Nếu x ⊥ y1 , y2 , ..., yn thì x ⊥ (α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn ). 3. Nếu x ⊥ yn và yn −→ y (khi n 7−→ ∞) thì x ⊥ y. 4. Nếu tập M trù mật trong X thì M T gồm một phần tử duy nhất là 0, nghĩa là: x ⊥ M =⇒ x = 0 5. Nếu x ⊥ y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (Định lý Pythagore) 6. Nếu {xn } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao với P nhau từng đôi một) thì chuỗi ∞ i=1 xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số P∞ 2 i=1 kxk < ∞. 1.4 Nửa tích vô hướng Cho X là không gian định chuẩn thực, chuẩn trong X không nhất thiết được xây dựng từ một tích vô hướng. Tuy nhiên, luôn tồn tại một ánh xạ [·|·]: X × X → R thỏa mãn các điều kiện: 8 1. [λx + µy|z] = λ[x|z] + µ[y|z], với x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R; 2. [x|λy] = λ[x|y], với x, y ∈ X, λ ∈ R; 3. |[x|y]| ≤ kxkkyk, với x, y ∈ X; 4. [x|x] = kxk2 , x ∈ X. Ánh xạ [·|·] thỏa mãn 4 tính chất như trên được gọi là một nửa tích vô hướng trong không gian định chuẩn X. 9 Chương 2 Tính trực giao Birkhoff (Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3], [4], [5],[9], [10], [11], [12] và [13]) Trong không gian tích vô hướng, khái niệm trực giao thường được định nghĩa thông qua tích vô hướng. Còn đối với không gian định chuẩn, tính trực giao nói chung cần được hiểu theo khía cạnh khác tổng quát hơn, và do đó cũng có nhiều cách tiếp cận khái niệm này theo những cách khác nhau và đã có nhiều kiểu trực giao xuất hiện như: trực giao Birkhoff, trực giao cân, trực giao Phytago, trực giao Singer, trực giao Robert, trực giao nửa tích vô hướng... Trong luận văn này, trước hết chúng tôi xét tới trực giao Birkhoff, khái niệm này lần đầu được đề xuất bởi G. Birkhoff vào năm 1935 và từ đó nó đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và mở rộng nó theo những hướng khác nhau như trực giao Birkhoff - James,  - trực giao Birkhoff, ρ - trực giao... Sau đó luận văn sẽ xem xét tới tính tương đương giữa trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích vô hướng, một số đặc trưng 10 và định lý phân tích trực giao Birkhoff. 2.1 Trực giao Birkhoff Theo G. Birkhoff, khái niệm trực giao trong một không gian định chuẩn được phát biểu như sau. Định nghĩa 2.1.1. Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn, x, y là hai phần tử trong X, ta nói x trực giao Birkhoff với y, kí hiệu là x⊥y(B) nếu kx + λyk ≥ kxk với mọi λ ∈ R. Có nhiều đặc trưng của mối quan hệ này hướng tới các tính chất hình học khác nhau liên quan tới tính trực giao. Với x ∈ X, tập J(x) (khác trống) thỏa mãn J(x) = {ϕ ∈ X ∗ : kϕk = 1, ϕ(x) = kxk} là tập các hàm tựa của x. Như ta đã biết, một trong những đặc trưng của trực giao Birkhoff được James đề xuất trong [10] như sau: x ⊥ y(B) khi và chỉ khi ∃ϕ ∈ J(x) : ϕ(y) = 0. (2.1) Ngoài ra, trong [13], với không gian định chuẩn thực X và x, y ∈ X, 11 Singer cũng đưa ra một đặc trưng như sau: x⊥y(B) khi và chỉ khi ∃ϕ, ψ ∈ Ext(BX ∗ ) ∩ J(x) và ∃α ∈ [0, 1] sao cho αϕ(y) + (1 − α)ψ(y) = 0. (2.2) Ở đây Ext(A) là tập các điểm cực trị của A. Ví dụ 2.1.2. Cho (X, h·, ·i) là không gian tích vô hướng thực, khi đó với hai phần tử x, y ∈ X ta nói x⊥y nếu hx, yi = 0, và khi đó tính trực giao này tương đương với tính trực giao Birkhoff. Thật vậy, nếu hx, yi = 6 0, khi đó với λ=− hx, yi hy, yi ta có:   hx, yi hx, yi kx + λyk2 = x − y, x − y hy, yi hy, yi hx, yi2 hx, yi2 = hx, xi − 2 + hy, yi hy, yi hy, yi hx, yi2 = hx, xi − hy, yi < hx, xi = kxk2 , do đó, x không trực giao Birkhoff với y. 12 Mặt khác, nếu hx, yi = 0, thì với mọi λ ∈ R ta có: kx + λyk2 = hx + λy, x + λyi = kxk2 + |λ|2 kyk2 ≥ kxk2 , và như vậy, x trực giao Birkhoff với y. Hệ quả 2.1.3. Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, x, y, z thuộc X và t thuộc R. Sau đây là một số hệ quả đơn giản suy ra trực tiếp từ định nghĩa trực giao Birkhoff ở trên: i) 0 ⊥ x(B) và x ⊥ 0(B) ii) x ⊥ x(B) nếu và chỉ nếu x = 0, và iii) x ⊥ y(B) thì x ⊥ (ty)(B). Tuy nhiên: iv) x ⊥ y(B) không thể suy ra y ⊥ x(B), và v) x ⊥ y(B) và x ⊥ z(B) không thể suy ra x ⊥ (y + z)(B). Ví dụ 2.1.4. Xét không gian chuẩn thực X = (R2 , k.k1 ), ở đây kxk1 = Pn k=1 |xk | với x = (x1 , x2 ) ∈ X. Cho x = (−2, 1), y = (1, 1) ∈ X. khi đó với mọi α ∈ R, chúng ta có: kx + αyk1 = | − 2 + α| + |1 + α| ≥ 3 = kxk1 , 13 như vậy x ⊥ y(B). 1 Nhưng với α = , ta có: 2   3 3 ky + αxk1 = k 0, k =  2 = kyk1 , 2 2 do đó y là không trực giao Birkhoff với x. Ta cũng thấy, với x = (2, 2), y = (5, −4) và z = (−3, 5) nằm trong X, khi đó với mọi α ∈ R, ta có: kx + αyk1 = |2 + 5α| + |2 − 4α| > 4 = kxk1 , và kx + αzk1 = |2 − 3α| + |2 + 5α| > 4 = kxk1 , suy ra x ⊥ y(B) và x ⊥ z(B). Tuy nhiên, với α = 1, ta có: kx + α(y + z)k1 = k(0, 1)k1 = 1  4 = kxk1 , như vậy x là không trực giao Birkhoff với (y + z). Với x ∈ X và G ⊆ X, ký hiệu Sx là không gian sinh bởi x (Sx = span{x}) và d(x, G) là khoảng cách từ x tới G. Khi đó ta có khẳng định sau. Định lí 2.1.5. Cho (X, k.k) là một không gian chuẩn, và x, y ∈ X. Khi đó x ⊥ y(B) nếu và chỉ nếu kxk = d(x, Sy ). Chứng minh. Nếu x ⊥ y(B), khi đó với mọi α ∈ R, ta có: kxk 6 kx + αyk 6 kxk + |α|kyk, 14 do vây: kxk = inf{kx + αyk : α ∈ R} = inf{kx − zk : z ∈ Sy } = d(x, Sy ). Ngược lại, nếu kxk = d(x, Sy ), khi đó với mọi z ∈ Sy ta có: kxk 6 kx − zk, từ đó: kxk 6 kx + αyk, α ∈ R, hay là, x ⊥ y(B) và ta nhận được điều cần chứng minh. Định nghĩa 2.1.6. Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, G là một tập con khác trống của X và x ∈ X. Chúng ta nói rằng x là trực giao Birkhoff với G, kí hiệu là x ⊥ G(B), nếu x ⊥ y(B) với mọi y ∈ G. Theo định nghĩa thì 0 ⊥ G(B) với mọi tập con khác trống G của X. Định nghĩa 2.1.7. Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn và G là một tập con khác trống của X. Khi đó tập {x ∈ X : x ⊥ G(B)} được gọi là phần bù trưc giao Birkhoff của G và được kí hiệu là G⊥ (B). Nếu y ∈ X, khi đó phần bù trực giao Birkhoff của y, kí hiêu là y ⊥ (B), 15
- Xem thêm -