Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương.

  • Số trang: 46 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
okyeuniterd

Tham gia: 20/08/2016

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học. Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018 Trần Thị Thu Hiền 1 LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Luận văn không trùng lặp với các đề tài khác. Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả Trần Thị Thu Hiền 2 Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 LỜI CAM ĐOAN 2 LỜI MỞ ĐẦU 4 1 MA TRẬN DƯƠNG 6 1.1 Các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Chuẩn của tích Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Tính lồi và tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 26 2.1 Sự biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Ánh xạ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính dương . . . 30 2.4 Một số ứng dụng 2.5 Ánh xạ dương trên hệ toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN 43 Tài liệu tham khảo 44 3 LỜI MỞ ĐẦU Trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số tuyến tính và ứng dụng, giải tích ma trận nghiên cứu về ma trận và những tính chất đại số của chúng. Một số chủ đề nổi bật có thể được kể đến, như các phép toán trên ma trận, hàm ma trận và các giá trị riêng của ma trận. Giải tích ma trận được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học, từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới các lĩnh vực ứng dụng hiện đại như khai thác dữ liệu và nhận dạng mẫu. Trong giải tích ma trận, lý thuyết về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương có nội dung phong phú. Các định lý trong lý thuyết này không quá phức tạp trong chứng minh song có ứng dụng mạnh trong lý thuyết đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu, . . . Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương có thể giúp ta giải quyết được khá nhiều bài toán trong thực tế. Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề tài “Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương ” để thực hiện luận văn của mình. Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các tính chất, các kết quả đã được nghiên cứu về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương. Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1. Ma trận dương. Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các ma trận dương. Cụ thể, trước tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng 4 LỜI MỞ ĐẦU của các ma trận dương. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một " số định lý # cơ bản và |A| A∗ ma trận khối. Từ đây, với mọi ma trận A, ma trận là dương. A |A∗ | Ngoài ra, luận văn cũng quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ đến với các định lý về tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar . Chương 2. Ánh xạ tuyến tính dương. Ta sẽ nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính trên các không gian ma trận. Trước tiên, luận văn sẽ trình bày về các biểu diễn của Mn trong Mk và khái niệm về ánh xạ tuyến tính dương và unita. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của các ánh xạ dương và unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye. Từ đây, ta thu được kΦk = kΦ(I)k, đây được xem là kết quả chính của chương này. Sau cùng, một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạ dương trên hệ toán tử cũng được quan tâm. 5 Chương 1 MA TRẬN DƯƠNG Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các ma trận dương. Cụ thể, trước tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng của các ma trận dương. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số " định lý #cơ bản và ma trận khối. Từ đây, với |A| A∗ mọi ma trận A, ma trận là dương. Ngoài ra, luận văn cũng A |A∗ | quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ đến với các định lý về tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar . Tài liệu tham khảo chính cho chương này là [1], [2], [7] và [8]. 1.1 Các đặc trưng Cho H là không gian Hilbert n chiều Cn . Tích trong giữa hai véc-tơ x và y được viết là hx, yi (hay x∗ y ). Ta quy ước rằng tích trong là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến tính theo biến thứ hai. Đồng thời ta ký hiệu: L(H) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính trên H. Mn (C) (hay viết gọn hơn Mn ) là không gian của các ma trận cỡ n × n với các phần tử phức. Mỗi phần tử A của L(H) có thể được đồng nhất với các ma trận của nó đối với cơ sở chuẩn tắc {ej } của Cn . Ta sử dụng ký hiệu A cũng là cho ma trận này. Trước khi đi đến đặc trưng các ma trận dương, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây: 6 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A là một ma trận. Khi đó, (1) A được gọi là nửa xác định dương (positive semi-definite) nếu hx, Axi ≥ 0, ∀x ∈ H; (2) (1.1) A được gọi là xác định dương (positive definite) nếu hx, Axi > 0, ∀x 6= 0. (1.2) Nhận xét 1.1.2 Một ma trận nửa xác định dương là xác định dương nếu và chỉ nếu nó là khả nghịch. Sau đây, một ma trận xác định dương hoặc nửa xác định dương, để cho gọn, ta có thể dùng thuật ngữ là ma trận dương (positive matrix ). Còn nếu muốn nhấn mạnh rằng, ma trận đó là ma trận xác định dương, đôi khi, ta nói nó là ma trận dương chặt (strictly positive matrix ). Ta ký hiệu A ≥ O để chỉ A là ma trận dương và A > O để chỉ nó là ma trận dương chặt. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, toán tử liên hợp của A là toán tử A∗ : H −→ H sao cho hx, Ayi = hA∗ x, yi với mọi x, y ∈ H. Mệnh đề sau đây nói đến các đặc trưng của các ma trận dương và ma trận dương chặt. Mệnh đề 1.1.3 Cho A là một ma trận. Khi đó, (a) A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian (A = A∗ ) và tất cả các giá trị riêng của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng của nó là dương. (b) A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian và tất cả các định thức con chính của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả các định thức con chính của nó là dương. (c) A là dương nếu và chỉ nếu A = B ∗ B với ma trận B nào đó; A là dương chặt nếu và chỉ nếu B là không suy biến (non-singular). 7 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG (d) A là dương nếu và chỉ nếu A = T ∗ T với ma trận tam giác trên T nào đó. Hơn nữa, T có thể được chọn để có các phần tử đường chéo không âm. Nếu A là ma trận dương chặt, thì T là duy nhất (Khai triển Cholesky của A); A là dương chặt nếu và chỉ nếu B là không suy biến. (e) A là dương nếu và chỉ nếu A = B 2 với ma trận dương B nào đó. Như thế, B là duy nhất. Ta viết B = A1/2 và được gọi là căn bậc hai (dương) của A; A là dương chặt nếu và chỉ nếu B cũng vậy. (f) A là dương nếu và chỉ nếu tồn tại x1 , . . . , xn trong H sao cho aij = hxi , xj i; (1.3) A là dương chặt nếu và chỉ nếu các véc-tơ xj (1 ≤ j ≤ n) là độc lập tuyến tính. Trong mệnh đề này ta chỉ chứng minh ý thứ nhất của đặc trưng (f). Chứng minh (f). Trước hết, ta xem các phần tử của Cn như là các véc-tơ cột. Giả sử x1 , . . . , xm là các véc-tơ như thế, ta viết [x1 , . . . , xm ] để chỉ ma trận cỡ n × m mà các cột của nó là x1 , . . . , xm . Liên hợp của ma trận này được viết như sau   x∗1  .   ..  .   x∗m Đó là một ma trận cỡ m × n mà các dòng của nó là các véc-tơ (dòng) x∗1 , . . . , x∗m .. Ta ký hiệu [[aij ]] để chỉ ma trận với các chỉ số i, j có phần tử là aij . Tiếp theo, giả sử x1 , . . . , xn là các phần tử trong Cn . Khi đó, ta có   x∗1 . . [[x∗i xj ]] =   .  [x1 , . . . , xn ]. x∗n Từ đây, do nó có dạng B ∗ B nên ma trận này là dương. Điều này chứng tỏ rằng, (1.3) là điều kiện đủ để cho A là ma trận dương. 8 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Ngược lại, nếu A là ma trận dương, thì ta có aij = hei , Aej i = hA1/2 ei , A1/2 ej i. Đến đây, ta chọn xj = A1/2 ej thì có ngay (1.3). Nhận xét 1.1.4 Giả sử λ1 , . . . , λm là các số dương. Ma trận A cỡ m×m với các phần tử aij = 1 λi + λj (1.4) được gọi là ma trận Cauchy (được kết hợp với các số λj ). Chú ý rằng Z ∞ aij = e−(λi +λj )t dt. (1.5) 0 Ta đặt fi (t) = e−λi t , 1 ≤ i ≤ m. Khi đó fi ∈ L2 ([0, ∞]) và aij = hfi , fj i. Điều này chứng tỏ A là ma trận dương. Một cách tổng quát, giả sử λ1 , . . . , λm là các số phức có các phần thực dương. Khi đó, ma trận A với các phần tử aij = 1 λi + λj là dương. 1.2 Một số định lý cơ bản Trong mục này, ta sẽ trình bày một số định lý cơ bản về ma trận dương. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ta nhắc lại rằng A là một toán tử dương nếu hx, Axi ≥ 0 với mọi x ∈ H. Nhận xét 1.2.1 Giả sử A là một toán tử dương trên H. Cho X : K −→ H là một toán tử tuyến tính, trong đó K là một không gian Hilbert. Khi 9 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG đó, toán tử X ∗ AX trên K cũng dương. Nếu X là một toán tử khả nghịch và X ∗ AX là dương, thì A là dương. Định nghĩa 1.2.2 Cho A, B là các toán tử trên H. (i) Ta nói rằng A là đồng dạng (congruent) với B (được viết là A ∼ B ), nếu tồn tại một toán tử khả nghịch X trên H sao cho B = X ∗ AX . Sự đồng dạng là một quan hệ tương đương trên L(H); (ii) Nếu X là unita, thì ta nói A tương đương unita (unitarily equivalent) với B (ký hiệu A ' B ); (iii) Nếu A là Hermitian, quán tính (inertia) của A là bội ba các số nguyên không âm In(A) = (π(A), ζ(A), ν(A)), (1.6) trong đó π(A), ζ(A) và ν(A) lần lượt là số các giá trị riêng dương, không và âm của A (được tính theo số bội). Chú ý 1.2.3 Luật quán tính Sylvester chỉ ra rằng In(A) là một bất biến đầy đủ (complete invariant) đối với sự đồng dạng trên tập các ma trận Hermitian. Nói khác đi, hai ma trận Hermitian là đồng dạng nếu và chỉ nếu chúng có cùng quán tính. Mệnh đề 1.2.4 Nếu cả A và B là Hermitian (dương), thì A + B cũng là Hermitian (dương). Mệnh đề dưới đây là một đặc trưng về tích của A và B . Mệnh đề 1.2.5 Tích AB là Hermitian nếu và chỉ nếu A và B giao hoán nhau. Tích đối xứng hóa (symmetrized product) của A và B là ma trận S = AB + BA (1.7) Nếu A và B là Hermitian, thì S cũng là Hermitian. Tuy nhiên, nếu A, B là dương, thì S không nhất thiết là dương. Ví dụ sau sẽ chỉ ra điều này. 10 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Ví dụ 1.2.6 Xét hai ma trận " # " # 1 0 1 β A= , B= . 0 α β 1 Ma trận A là dương nếu α > 0 và B là dương khi 0 < β < 1. Trong khi S không là dương khi α tiến đến 0 và β tiến đến 1. Định lý sau sẽ cho biết điều kiện nào của S để B là dương khi mà A là dương chặt. Định lý 1.2.7 Cho A, B là Hermitian và giả sử rằng A là ma trận dương chặt. Khi đó, nếu tích đối xứng hóa S = AB + BA là dương (dương chặt), thì B là ma trận dương (dương chặt). Chứng minh. Chọn một cơ sở trực chuẩn sao cho B là ma trận đường chéo. B = diag(β1 , . . . , βn ). Khi đó sij = 2βi aii . Bây giờ, ta thấy rằng các phần tử đường chéo của một ma trận dương (chặt) là dương (chặt). Từ đó, ta có B là ma trận dương (dương chặt). Định lý được chứng minh. Cho A, B là Hermitian, ta nói rằng A ≥ B nếu A − B ≥ O và A > B nếu A − B > O. Định lý 1.2.8 Nếu A, B là dương và A > B , thì A1/2 > B 1/2 . Chứng minh. Trước hết, ta có đẳng thức X2 − Y 2 = (X + Y )(X − Y ) + (X − Y )(X + Y ) . 2 (1.8) Để ý rằng nếu X, Y là dương chặt thì X + Y cũng là dương chặt. Do đó, nếu X 2 − Y 2 là dương, thì theo Định lý 1.2.7, X − Y cũng dương. 11 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Nhận xét 1.2.9 (1) Nếu A ≥ B , thì không phải lúc nào cũng suy ra được A2 ≥ B 2 . Chẳng hạn, ta có thể xét hai ma " # " 2 1 1 A= và B = 1 1 1 trận # 1 . 1 (2) Sự kiện trong Định lý 1.2.7 có liên hệ mật thiết với việc nghiên cứu phương trình Lyapunov, phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển. Đó là phương trình (trong các ma trận) A∗ X + XA = W. (1.9) Giả sử rằng, phổ của A được chứa trong nửa mặt phẳng phải mở. Khi đó, ma trận A được gọi là ổn định dương (positively stable). Trong trường hợp này, ta biết rằng phương trình (1.9) có một nghiệm duy nhất. Hơn nữa, nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương. (3) Cho A là ma trận chéo với các phần tử đường chéo là α1 , . . . , αn . Khi đó, nghiệm của (1.9) là  X= 1 αi + αj  ◦ W. Từ Nhận xét 1.1.4, ta thấy rằng nếu W là dương, thì X cũng dương. Bây giờ, giả sử A = T DT −1 , trong đó D là ma trận chéo. Khi đó, nếu W dương, thì vẫn kéo theo nghiệm X dương. Do các ma trận chéo hóa được là trù mật trong không gian tất cả các ma trận, nên có thể thu được cùng kết quả với ma trận dương ổn định tổng quát. (4) Nghiệm X của phương trình (1.9) có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân Z X= ∞ ∗ e−tA W e−tA dt. (1.10) 0 Điều kiện A là ổn định dương đảm bảo rằng tích phân này là hội tụ. Dễ thấy X được định nghĩa bởi (1.10) thỏa mãn phương trình (1.9). Và do đó, nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương. 12 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Tiếp theo, cho A là một ma trận nào đó. Giả sử rằng tồn tại các ma trận dương X và W sao cho phương trình (1.9) thỏa mãn. Khi đó, nếu Au = αu, ta có hu, W ui = hu, (A∗ X + XA)ui = hXAu, ui + hu, XAui = 2Re αhXu, ui. Từ đó, ta có A là dương ổn định. (5) Phương trình ma trận X − F ∗ XF = W (1.11) được gọi là phương trình Stein hay phương trình Lyapunov thời gian rời rạc (discrete time Lyapunov equation). Giả sử rằng, phổ của F được chứa trong hình tròn đơn vị mở. Trong trường hợp này, phương trình có một nghiệm duy nhất được cho bởi X= ∞ X F ∗m W F m . (1.12) m=0 Từ đây, nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương. Một chứng minh khác cho sự kiện này như sau. Với mỗi điểm β trong hình tròn đơn vị mở tương ứng với một điểm duy nhất α trong nửa mặt phẳng phải mở được cho bởi β= α−1 . α+1 Giả sử rằng F là ma trận chéo với các phần tử chéo β1 , . . . , βn . Khi đó, nghiệm của (1.11) có thể được viết như sau ## "" 1 ◦ W. X= 1 − βi βj Sử dụng phép tương ứng giữa β và α ta có "" ##     1 (αi + 1)(αj + 1) 1 = ∼ . 2(αi + αj ) αi + αj 1 − βi βj 13 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Đến đây, sử dụng Nhận xét 1.2.9 (3), ta có X là dương nếu W dương. Nếu F là ma trận bất kỳ sao cho phương trình (1.11) được thỏa mãn bởi các ma trận dương X và W nào đó, thì phổ của F được chứa trong hình tròn đơn vị. Ta sẽ kết thúc mục này với chú ý rằng, nếu A ≥ B thì I ≥ A−1/2 BA−1/2 và do đó mệnh đề sau được thỏa mãn: Mệnh đề 1.2.10 Nếu A, B là các ma trận dương chặt thỏa mãn A ≥ B , thì A−1 ≤ B −1 . 1.3 Ma trận khối Mục này có thể xem như là chủ đề chính của toàn luận văn. Các ma trận khối cỡ 2 × 2 " A B C D # , ta sẽ thấy, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các ma trận dương. Các phần tử A, B, C, D trong khối ma trận này là các ma trận cỡ n×n. Vì thế, ma trận lớn là một phần tử của M2n (hoặc của L(H ⊕ H)). Hơn nữa, ta sẽ thấy rằng, một số tính chất của A có thể thu được từ các tính chất của một khối ma trận mà trong đó A là một trong các phần tử. Đặc biệt hơn, đó là sự liên hệ giữa tính dương (một tính chất của đại số) với tính co (một tính chất của metric). Định nghĩa 1.3.1 (i) Ta viết A = U P để chỉ phân tích cực (polar decomposition) của A. Nhân tử U là unita và P là dương. Ta có P = (A∗ A)1/2 và được gọi là phần dương (positive part) hay giá trị tuyệt đối của A (được viết là |A|). Ta có A∗ = P U ∗ , 14 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG và |A∗ | = (AA∗ )1/2 = (U P 2 U ∗ )1/2 = U P U ∗ ; (ii) A được gọi là chuẩn tắc (normal ) nếu AA∗ = A∗ A. Điều kiện này tương đương với U P = P U và tương đương với |A| = |A∗ |; (iii) Ta viết A = U SV để chỉ phân tích giá trị suy biến (singular value decomposition) (SV D) của A. Trong đó U và V là unita và S là ma trận đường chéo với các phần tử đường chéo không âm s1 (A) ≥ · · · ≥ sn (A). Đó là các giá trị suy biến của A (các giá trị riêng của |A|). Ký hiệu kAk là chuẩn của A, nó xem như là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H, nghĩa là kAk = sup kAxk = sup kAxk. kxk=1 kxk≤1 Ta có thể thấy rằng kAk = s1 (A) và chuẩn này có một số tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 1.3.2 kABk ≤ kAkkBk; kAk = kA∗ k; kAk = kU AV k với mọi unita U, V. (Tính bất biến unita) Có nhiều chuẩn khác trên Mn cũng có các tính chất như trên. Điều kiện kA∗ Ak = kAk2 giúp cho chuẩn toán tử k · k càng trở nên đặc biệt. Tiếp theo, ta chú ý rằng, nếu kAk ≤ 1, thì ta nói A là co (contractive) hay A là một phép co (contraction). Mệnh đề sau nói đến điều kiện cần và đủ để một toán tử là co. " # I A Mệnh đề 1.3.3 Toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử là A∗ I dương. 15 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Chứng minh. " 1 nếu ma trận ā được làm thông Ta # biết rằng nếu a là một số phức, thì |a| ≤ 1 nếu và chỉ a là dương. Việc chuyển từ một chiều sang nhiều chiều 1 qua SV D. Cho A = U SV , khi đó ma trận " # " # I A I U SV = A∗ I V ∗ SU ∗ I " #" #" # ∗ U O I S U O = . O V∗ S I O V " là tương đương unita với I S S I # và nó tương đương unita với tổng trực tiếp " 1 s1 # s1 1 " ⊕ 1 s2 # " ⊕ ··· ⊕ s2 1 1 sn # , sn 1 trong đó s1 , . . . , sn là các giá trị suy biến của A. Tất cả các ma trận cỡ 2 × 2 này đều là dương nếu và chỉ nếu s1 ≤ 1 ("tức là kAk # ≤ 1). Từ đó, I A chứng tỏ toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử là dương. Mệnh A∗ I đề được chứng minh. " # A X Mệnh đề 1.3.4 Cho A, B là dương. Khi đó, ma trận khối là X∗ B dương nếu và chỉ nếu X = A1/2 KB 1/2 , với phép co K nào đó. Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng A, B là dương chặt. Khi đó, ta có " A X X∗ B # " A ∼ #" O A X #" −1/2 O O # B −1/2 A B −1/2 X∗ B I A−1/2 XB −1/2 B −1/2 X ∗ A−1/2 I O " = −1/2 16 . # Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Tiếp theo, ta chọn K = A−1/2 XB −1/2 . Từ đó, theo Mệnh đề 1.3.3 ma trận khối này là dương nếu và chỉ nếu K là một phép co. Điều này chỉ ra kết luận của mệnh đề khi A, B là dương chặt. Trường hợp tổng quát được suy ra nhờ tính liên tục. Mệnh đề được chứng minh. " Nhận xét 1.3.5 Từ Mệnh đề 1.3.4, ta thấy rằng, nếu ma trận A X # X∗ B là dương, thì miền (range) của X là một không gian con của miền của A, và miền của X ∗ là một không gian con của miền của B . Hạng (rank ) của X không thể lớn hơn, hạng của A hoặc hạng của B . Mệnh đề " # 1.3.6 Cho A, B là các ma trận dương chặt. Khi đó, ma trận A X là dương nếu và chỉ nếu X∗ B A ≥ XB −1 X ∗ . Chứng minh. (Cách 1 ) " A X X∗ B # " Ta có I −XB −1 #" A X #" I ∼ O # O I X ∗ B −B −1 X ∗ I " # A − XB −1 X ∗ O = . O B " # A − XB −1 X ∗ O Mà ma trận là dương nếu và chỉ nếu A ≥ XB −1 X ∗ . O B Mệnh đề được chứng minh. (Cách 2 ) Ta có A ≥ XB −1 X ∗ nếu và chỉ nếu I ≥ A−1/2 (XB −1 X ∗ )A−1/2 = A−1/2 XB −1/2 · B −1/2 X ∗ A−1/2 = (A−1/2 XB −1/2 )(A−1/2 XB −1/2 )∗ . 17 Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG Điều này tương đương với kA−1/2 XB −1/2 k ≤ 1, hay X = A1/2 KB 1/2 , trong đó kKk ≤ 1. Cuối cùng, sử dụng Mệnh đề 1.3.4 ta thu được điều cần chứng minh. " Bổ đề 1.3.7 Ma trận A là dương nếu và chỉ nếu " Chứng minh. Ma trận A A A A A A # là dương. # có thể được viết như sau A A " # " #" # 1/2 1/2 1/2 A A A O A A = . A A A1/2 O O O " # A A Từ đây, ta thấy ngay ma trận dương khi và chỉ khi A dương. A A " # ∗ |A| A Hệ quả 1.3.8 Ma trận là dương, với mọi ma trận A. A |A∗ | Chứng minh. Sử dụng phân tích cực A = U P để thu được " # " # |A| A∗ P P U∗ = A |A∗ | UP UP U∗ " #" #" # I O P P I O = , O U P P O U∗ " # ∗ |A| A Và bây giờ áp dụng Bổ đề 1.3.7, ta suy ra là ma trận dương. A |A∗ | " # |A| A∗ Hệ quả 1.3.9 Cho A là một ma trận chuẩn tắc. Khi đó, ma trận A |A| là dương. " # A I Hệ quả 1.3.10 Nếu A là một ma trận dương chặt, thì là ma I A−1 trận dương. 18
- Xem thêm -