BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ THU HIỀN
MA TRẬN DƯƠNG
VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ THU HIỀN
MA TRẬN DƯƠNG
VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. HOÀNG NGỌC TUẤN
Hà Nội - 2018
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá
trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa
học. Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã
luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những
thiếu sót. Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo và
các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018
Trần Thị Thu Hiền
1
LỜI CAM ĐOAN
Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Luận văn không
trùng lặp với các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả
Trần Thị Thu Hiền
2
Mục lục
LỜI CẢM ƠN
1
LỜI CAM ĐOAN
2
LỜI MỞ ĐẦU
4
1 MA TRẬN DƯƠNG
6
1.1
Các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4
Chuẩn của tích Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5
Tính lồi và tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG
26
2.1
Sự biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2
Ánh xạ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3
Một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính dương . . . 30
2.4
Một số ứng dụng
2.5
Ánh xạ dương trên hệ toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN
43
Tài liệu tham khảo
44
3
LỜI MỞ ĐẦU
Trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số tuyến tính và ứng dụng,
giải tích ma trận nghiên cứu về ma trận và những tính chất đại số của
chúng. Một số chủ đề nổi bật có thể được kể đến, như các phép toán trên
ma trận, hàm ma trận và các giá trị riêng của ma trận.
Giải tích ma trận được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học,
từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới các
lĩnh vực ứng dụng hiện đại như khai thác dữ liệu và nhận dạng mẫu.
Trong giải tích ma trận, lý thuyết về ma trận dương và ánh xạ tuyến
tính dương có nội dung phong phú. Các định lý trong lý thuyết này không
quá phức tạp trong chứng minh song có ứng dụng mạnh trong lý thuyết
đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu, . . . Việc nghiên cứu tìm
hiểu ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương có thể giúp ta giải quyết
được khá nhiều bài toán trong thực tế. Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ma trận dương và ánh xạ tuyến
tính dương, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề
tài “Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương ” để thực hiện luận
văn của mình.
Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các tính chất, các kết quả đã
được nghiên cứu về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương. Với nội
dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Ma trận dương. Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các
ma trận dương. Cụ thể, trước tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng
4
LỜI MỞ ĐẦU
của các ma trận dương. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một
" số định lý
# cơ bản và
|A| A∗
ma trận khối. Từ đây, với mọi ma trận A, ma trận
là dương.
A |A∗ |
Ngoài ra, luận văn cũng quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ
đến với các định lý về tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar .
Chương 2. Ánh xạ tuyến tính dương. Ta sẽ nghiên cứu các ánh xạ
tuyến tính trên các không gian ma trận. Trước tiên, luận văn sẽ trình bày
về các biểu diễn của Mn trong Mk và khái niệm về ánh xạ tuyến tính dương
và unita. Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của các ánh xạ dương
và unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye. Từ đây, ta thu được
kΦk = kΦ(I)k, đây được xem là kết quả chính của chương này. Sau cùng,
một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạ dương trên hệ toán tử cũng
được quan tâm.
5
Chương 1
MA TRẬN DƯƠNG
Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các ma trận dương. Cụ thể, trước
tiên luận văn sẽ trình bày về các đặc trưng của các ma trận dương. Tiếp
đó, ta sẽ nghiên cứu một số
" định lý #cơ bản và ma trận khối. Từ đây, với
|A| A∗
mọi ma trận A, ma trận
là dương. Ngoài ra, luận văn cũng
A |A∗ |
quan tâm đến Định lý Schur. Cuối chương, ta sẽ đến với các định lý về
tính lồi và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar . Tài liệu tham khảo chính
cho chương này là [1], [2], [7] và [8].
1.1
Các đặc trưng
Cho H là không gian Hilbert n chiều Cn . Tích trong giữa hai véc-tơ x
và y được viết là hx, yi (hay x∗ y ). Ta quy ước rằng tích trong là tuyến tính
liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến tính theo biến thứ hai. Đồng thời ta
ký hiệu:
L(H) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính trên H.
Mn (C) (hay viết gọn hơn Mn ) là không gian của các ma trận cỡ n × n với
các phần tử phức.
Mỗi phần tử A của L(H) có thể được đồng nhất với các ma trận của
nó đối với cơ sở chuẩn tắc {ej } của Cn . Ta sử dụng ký hiệu A cũng là cho
ma trận này.
Trước khi đi đến đặc trưng các ma trận dương, ta bắt đầu với định
nghĩa sau đây:
6
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A là một ma trận. Khi đó,
(1)
A được gọi là nửa xác định dương (positive semi-definite) nếu
hx, Axi ≥ 0, ∀x ∈ H;
(2)
(1.1)
A được gọi là xác định dương (positive definite) nếu
hx, Axi > 0, ∀x 6= 0.
(1.2)
Nhận xét 1.1.2 Một ma trận nửa xác định dương là xác định dương
nếu và chỉ nếu nó là khả nghịch.
Sau đây, một ma trận xác định dương hoặc nửa xác định dương, để cho
gọn, ta có thể dùng thuật ngữ là ma trận dương (positive matrix ). Còn
nếu muốn nhấn mạnh rằng, ma trận đó là ma trận xác định dương, đôi
khi, ta nói nó là ma trận dương chặt (strictly positive matrix ).
Ta ký hiệu A ≥ O để chỉ A là ma trận dương và A > O để chỉ nó là
ma trận dương chặt.
Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, toán tử liên hợp của
A là toán tử A∗ : H −→ H sao cho
hx, Ayi = hA∗ x, yi với mọi x, y ∈ H.
Mệnh đề sau đây nói đến các đặc trưng của các ma trận dương và ma
trận dương chặt.
Mệnh đề 1.1.3 Cho A là một ma trận. Khi đó,
(a)
A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian (A = A∗ ) và tất cả các
giá trị riêng của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả
các giá trị riêng của nó là dương.
(b)
A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian và tất cả các định thức
con chính của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cả
các định thức con chính của nó là dương.
(c)
A là dương nếu và chỉ nếu A = B ∗ B với ma trận B nào đó; A là
dương chặt nếu và chỉ nếu B là không suy biến (non-singular).
7
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
(d)
A là dương nếu và chỉ nếu A = T ∗ T với ma trận tam giác trên T
nào đó. Hơn nữa, T có thể được chọn để có các phần tử đường chéo
không âm. Nếu A là ma trận dương chặt, thì T là duy nhất (Khai
triển Cholesky của A); A là dương chặt nếu và chỉ nếu B là không
suy biến.
(e)
A là dương nếu và chỉ nếu A = B 2 với ma trận dương B nào đó.
Như thế, B là duy nhất. Ta viết B = A1/2 và được gọi là căn bậc hai
(dương) của A; A là dương chặt nếu và chỉ nếu B cũng vậy.
(f)
A là dương nếu và chỉ nếu tồn tại x1 , . . . , xn trong H sao cho
aij = hxi , xj i;
(1.3)
A là dương chặt nếu và chỉ nếu các véc-tơ xj (1 ≤ j ≤ n) là độc lập
tuyến tính.
Trong mệnh đề này ta chỉ chứng minh ý thứ nhất của đặc trưng (f).
Chứng minh (f). Trước hết, ta xem các phần tử của Cn như là các
véc-tơ cột. Giả sử x1 , . . . , xm là các véc-tơ như thế, ta viết [x1 , . . . , xm ] để
chỉ ma trận cỡ n × m mà các cột của nó là x1 , . . . , xm . Liên hợp của ma
trận này được viết như sau
x∗1
.
.. .
x∗m
Đó là một ma trận cỡ m × n mà các dòng của nó là các véc-tơ (dòng)
x∗1 , . . . , x∗m .. Ta ký hiệu [[aij ]] để chỉ ma trận với các chỉ số i, j có phần tử
là aij . Tiếp theo, giả sử x1 , . . . , xn là các phần tử trong Cn . Khi đó, ta có
x∗1
.
.
[[x∗i xj ]] =
. [x1 , . . . , xn ].
x∗n
Từ đây, do nó có dạng B ∗ B nên ma trận này là dương. Điều này chứng tỏ
rằng, (1.3) là điều kiện đủ để cho A là ma trận dương.
8
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Ngược lại, nếu A là ma trận dương, thì ta có
aij = hei , Aej i = hA1/2 ei , A1/2 ej i.
Đến đây, ta chọn xj = A1/2 ej thì có ngay (1.3).
Nhận xét 1.1.4 Giả sử λ1 , . . . , λm là các số dương. Ma trận A cỡ m×m
với các phần tử
aij =
1
λi + λj
(1.4)
được gọi là ma trận Cauchy (được kết hợp với các số λj ).
Chú ý rằng
Z
∞
aij =
e−(λi +λj )t dt.
(1.5)
0
Ta đặt
fi (t) = e−λi t , 1 ≤ i ≤ m.
Khi đó
fi ∈ L2 ([0, ∞]) và aij = hfi , fj i.
Điều này chứng tỏ A là ma trận dương.
Một cách tổng quát, giả sử λ1 , . . . , λm là các số phức có các phần thực
dương. Khi đó, ma trận A với các phần tử
aij =
1
λi + λj
là dương.
1.2
Một số định lý cơ bản
Trong mục này, ta sẽ trình bày một số định lý cơ bản về ma trận dương.
Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ta nhắc lại rằng A là
một toán tử dương nếu hx, Axi ≥ 0 với mọi x ∈ H.
Nhận xét 1.2.1 Giả sử A là một toán tử dương trên H. Cho X : K −→
H là một toán tử tuyến tính, trong đó K là một không gian Hilbert. Khi
9
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
đó, toán tử X ∗ AX trên K cũng dương. Nếu X là một toán tử khả nghịch
và X ∗ AX là dương, thì A là dương.
Định nghĩa 1.2.2 Cho A, B là các toán tử trên H.
(i) Ta nói rằng A là đồng dạng (congruent) với B (được viết là A ∼ B ),
nếu tồn tại một toán tử khả nghịch X trên H sao cho B = X ∗ AX . Sự
đồng dạng là một quan hệ tương đương trên L(H);
(ii) Nếu X là unita, thì ta nói A tương đương unita (unitarily equivalent)
với B (ký hiệu A ' B );
(iii) Nếu A là Hermitian, quán tính (inertia) của A là bội ba các số
nguyên không âm
In(A) = (π(A), ζ(A), ν(A)),
(1.6)
trong đó π(A), ζ(A) và ν(A) lần lượt là số các giá trị riêng dương, không
và âm của A (được tính theo số bội).
Chú ý 1.2.3 Luật quán tính Sylvester chỉ ra rằng In(A) là một bất biến
đầy đủ (complete invariant) đối với sự đồng dạng trên tập các ma trận
Hermitian. Nói khác đi, hai ma trận Hermitian là đồng dạng nếu và chỉ
nếu chúng có cùng quán tính.
Mệnh đề 1.2.4 Nếu cả A và B là Hermitian (dương), thì A + B cũng
là Hermitian (dương).
Mệnh đề dưới đây là một đặc trưng về tích của A và B .
Mệnh đề 1.2.5 Tích AB là Hermitian nếu và chỉ nếu A và B giao hoán
nhau.
Tích đối xứng hóa (symmetrized product) của A và B là ma trận
S = AB + BA
(1.7)
Nếu A và B là Hermitian, thì S cũng là Hermitian. Tuy nhiên, nếu A, B
là dương, thì S không nhất thiết là dương. Ví dụ sau sẽ chỉ ra điều này.
10
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Ví dụ 1.2.6 Xét hai ma trận
"
#
"
#
1 0
1 β
A=
, B=
.
0 α
β 1
Ma trận A là dương nếu α > 0 và B là dương khi 0 < β < 1. Trong khi
S không là dương khi α tiến đến 0 và β tiến đến 1.
Định lý sau sẽ cho biết điều kiện nào của S để B là dương khi mà A là
dương chặt.
Định lý 1.2.7 Cho A, B là Hermitian và giả sử rằng A là ma trận dương
chặt. Khi đó, nếu tích đối xứng hóa
S = AB + BA
là dương (dương chặt), thì B là ma trận dương (dương chặt).
Chứng minh. Chọn một cơ sở trực chuẩn sao cho B là ma trận đường
chéo.
B = diag(β1 , . . . , βn ).
Khi đó
sij = 2βi aii .
Bây giờ, ta thấy rằng các phần tử đường chéo của một ma trận dương
(chặt) là dương (chặt). Từ đó, ta có B là ma trận dương (dương chặt).
Định lý được chứng minh.
Cho A, B là Hermitian, ta nói rằng A ≥ B nếu A − B ≥ O và A > B
nếu A − B > O.
Định lý 1.2.8 Nếu A, B là dương và A > B , thì A1/2 > B 1/2 .
Chứng minh. Trước hết, ta có đẳng thức
X2 − Y 2 =
(X + Y )(X − Y ) + (X − Y )(X + Y )
.
2
(1.8)
Để ý rằng nếu X, Y là dương chặt thì X + Y cũng là dương chặt. Do đó,
nếu X 2 − Y 2 là dương, thì theo Định lý 1.2.7, X − Y cũng dương.
11
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Nhận xét 1.2.9 (1) Nếu A ≥ B , thì không phải lúc nào cũng suy ra
được A2 ≥ B 2 . Chẳng hạn, ta có thể xét hai ma
"
#
"
2 1
1
A=
và B =
1 1
1
trận
#
1
.
1
(2) Sự kiện trong Định lý 1.2.7 có liên hệ mật thiết với việc nghiên
cứu phương trình Lyapunov, phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển.
Đó là phương trình (trong các ma trận)
A∗ X + XA = W.
(1.9)
Giả sử rằng, phổ của A được chứa trong nửa mặt phẳng phải mở. Khi đó,
ma trận A được gọi là ổn định dương (positively stable). Trong trường hợp
này, ta biết rằng phương trình (1.9) có một nghiệm duy nhất. Hơn nữa,
nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương.
(3) Cho A là ma trận chéo với các phần tử đường chéo là α1 , . . . , αn .
Khi đó, nghiệm của (1.9) là
X=
1
αi + αj
◦ W.
Từ Nhận xét 1.1.4, ta thấy rằng nếu W là dương, thì X cũng dương. Bây
giờ, giả sử A = T DT −1 , trong đó D là ma trận chéo. Khi đó, nếu W
dương, thì vẫn kéo theo nghiệm X dương. Do các ma trận chéo hóa được
là trù mật trong không gian tất cả các ma trận, nên có thể thu được cùng
kết quả với ma trận dương ổn định tổng quát.
(4) Nghiệm X của phương trình (1.9) có thể được biểu diễn dưới dạng
tích phân
Z
X=
∞
∗
e−tA W e−tA dt.
(1.10)
0
Điều kiện A là ổn định dương đảm bảo rằng tích phân này là hội tụ. Dễ
thấy X được định nghĩa bởi (1.10) thỏa mãn phương trình (1.9). Và do
đó, nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương.
12
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Tiếp theo, cho A là một ma trận nào đó. Giả sử rằng tồn tại các ma
trận dương X và W sao cho phương trình (1.9) thỏa mãn. Khi đó, nếu
Au = αu, ta có
hu, W ui = hu, (A∗ X + XA)ui
= hXAu, ui + hu, XAui
= 2Re αhXu, ui.
Từ đó, ta có A là dương ổn định.
(5) Phương trình ma trận
X − F ∗ XF = W
(1.11)
được gọi là phương trình Stein hay phương trình Lyapunov thời gian rời
rạc (discrete time Lyapunov equation). Giả sử rằng, phổ của F được chứa
trong hình tròn đơn vị mở. Trong trường hợp này, phương trình có một
nghiệm duy nhất được cho bởi
X=
∞
X
F ∗m W F m .
(1.12)
m=0
Từ đây, nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương. Một chứng minh khác
cho sự kiện này như sau. Với mỗi điểm β trong hình tròn đơn vị mở tương
ứng với một điểm duy nhất α trong nửa mặt phẳng phải mở được cho bởi
β=
α−1
.
α+1
Giả sử rằng F là ma trận chéo với các phần tử chéo β1 , . . . , βn . Khi đó,
nghiệm của (1.11) có thể được viết như sau
##
""
1
◦ W.
X=
1 − βi βj
Sử dụng phép tương ứng giữa β và α ta có
""
##
1
(αi + 1)(αj + 1)
1
=
∼
.
2(αi + αj )
αi + αj
1 − βi βj
13
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Đến đây, sử dụng Nhận xét 1.2.9 (3), ta có X là dương nếu W dương.
Nếu F là ma trận bất kỳ sao cho phương trình (1.11) được thỏa mãn
bởi các ma trận dương X và W nào đó, thì phổ của F được chứa trong
hình tròn đơn vị.
Ta sẽ kết thúc mục này với chú ý rằng, nếu A ≥ B thì
I ≥ A−1/2 BA−1/2
và do đó mệnh đề sau được thỏa mãn:
Mệnh đề 1.2.10 Nếu A, B là các ma trận dương chặt thỏa mãn A ≥ B ,
thì A−1 ≤ B −1 .
1.3
Ma trận khối
Mục này có thể xem như là chủ đề chính của toàn luận văn. Các ma
trận khối cỡ 2 × 2
"
A B
C D
#
,
ta sẽ thấy, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các ma
trận dương.
Các phần tử A, B, C, D trong khối ma trận này là các ma trận cỡ n×n.
Vì thế, ma trận lớn là một phần tử của M2n (hoặc của L(H ⊕ H)). Hơn
nữa, ta sẽ thấy rằng, một số tính chất của A có thể thu được từ các tính
chất của một khối ma trận mà trong đó A là một trong các phần tử. Đặc
biệt hơn, đó là sự liên hệ giữa tính dương (một tính chất của đại số) với
tính co (một tính chất của metric).
Định nghĩa 1.3.1 (i) Ta viết A = U P để chỉ phân tích cực (polar
decomposition) của A. Nhân tử U là unita và P là dương. Ta có P =
(A∗ A)1/2 và được gọi là phần dương (positive part) hay giá trị tuyệt đối
của A (được viết là |A|). Ta có
A∗ = P U ∗ ,
14
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
và
|A∗ | = (AA∗ )1/2 = (U P 2 U ∗ )1/2 = U P U ∗ ;
(ii) A được gọi là chuẩn tắc (normal ) nếu AA∗ = A∗ A. Điều kiện này
tương đương với U P = P U và tương đương với |A| = |A∗ |;
(iii) Ta viết A = U SV để chỉ phân tích giá trị suy biến (singular value
decomposition) (SV D) của A. Trong đó U và V là unita và S là ma trận
đường chéo với các phần tử đường chéo không âm
s1 (A) ≥ · · · ≥ sn (A).
Đó là các giá trị suy biến của A (các giá trị riêng của |A|).
Ký hiệu kAk là chuẩn của A, nó xem như là một toán tử tuyến tính
trên không gian Hilbert H, nghĩa là
kAk = sup kAxk = sup kAxk.
kxk=1
kxk≤1
Ta có thể thấy rằng kAk = s1 (A) và chuẩn này có một số tính chất quan
trọng sau:
Mệnh đề 1.3.2
kABk ≤ kAkkBk;
kAk = kA∗ k;
kAk = kU AV k với mọi unita U, V.
(Tính bất biến unita)
Có nhiều chuẩn khác trên Mn cũng có các tính chất như trên. Điều kiện
kA∗ Ak = kAk2
giúp cho chuẩn toán tử k · k càng trở nên đặc biệt.
Tiếp theo, ta chú ý rằng, nếu kAk ≤ 1, thì ta nói A là co (contractive)
hay A là một phép co (contraction).
Mệnh đề sau nói đến điều kiện cần và đủ để một toán tử là co.
"
#
I A
Mệnh đề 1.3.3 Toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử
là
A∗ I
dương.
15
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Chứng minh.
"
1
nếu ma trận
ā
được làm thông
Ta
# biết rằng nếu a là một số phức, thì |a| ≤ 1 nếu và chỉ
a
là dương. Việc chuyển từ một chiều sang nhiều chiều
1
qua SV D. Cho A = U SV , khi đó ma trận
"
# "
#
I A
I
U SV
=
A∗ I
V ∗ SU ∗
I
"
#"
#"
#
∗
U O
I S U O
=
.
O V∗ S I
O V
"
là tương đương unita với
I S
S I
#
và nó tương đương unita với tổng trực
tiếp
"
1 s1
#
s1 1
"
⊕
1 s2
#
"
⊕ ··· ⊕
s2 1
1 sn
#
,
sn 1
trong đó s1 , . . . , sn là các giá trị suy biến của A. Tất cả các ma trận cỡ
2 × 2 này đều là dương nếu và chỉ nếu s1 ≤ 1 ("tức là kAk
# ≤ 1). Từ đó,
I A
chứng tỏ toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử
là dương. Mệnh
A∗ I
đề được chứng minh.
"
#
A X
Mệnh đề 1.3.4 Cho A, B là dương. Khi đó, ma trận khối
là
X∗ B
dương nếu và chỉ nếu
X = A1/2 KB 1/2 ,
với phép co K nào đó.
Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng A, B là dương chặt. Khi đó, ta
có
"
A X
X∗ B
#
"
A
∼
#"
O
A X
#"
−1/2
O
O
#
B −1/2
A
B −1/2
X∗ B
I
A−1/2 XB −1/2
B −1/2 X ∗ A−1/2
I
O
"
=
−1/2
16
.
#
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Tiếp theo, ta chọn
K = A−1/2 XB −1/2 .
Từ đó, theo Mệnh đề 1.3.3 ma trận khối này là dương nếu và chỉ nếu K
là một phép co. Điều này chỉ ra kết luận của mệnh đề khi A, B là dương
chặt. Trường hợp tổng quát được suy ra nhờ tính liên tục. Mệnh đề được
chứng minh.
"
Nhận xét 1.3.5 Từ Mệnh đề 1.3.4, ta thấy rằng, nếu ma trận
A X
#
X∗ B
là dương, thì miền (range) của X là một không gian con của miền của A,
và miền của X ∗ là một không gian con của miền của B . Hạng (rank ) của
X không thể lớn hơn, hạng của A hoặc hạng của B .
Mệnh
đề
"
# 1.3.6 Cho A, B là các ma trận dương chặt. Khi đó, ma trận
A X
là dương nếu và chỉ nếu
X∗ B
A ≥ XB −1 X ∗ .
Chứng minh. (Cách 1 )
"
A X
X∗ B
#
"
Ta có
I −XB −1
#"
A X
#"
I
∼
O
#
O
I
X ∗ B −B −1 X ∗ I
"
#
A − XB −1 X ∗ O
=
.
O
B
"
#
A − XB −1 X ∗ O
Mà ma trận
là dương nếu và chỉ nếu A ≥ XB −1 X ∗ .
O
B
Mệnh đề được chứng minh.
(Cách 2 )
Ta có A ≥ XB −1 X ∗ nếu và chỉ nếu
I ≥ A−1/2 (XB −1 X ∗ )A−1/2
= A−1/2 XB −1/2 · B −1/2 X ∗ A−1/2
= (A−1/2 XB −1/2 )(A−1/2 XB −1/2 )∗ .
17
Chương 1. MA TRẬN DƯƠNG
Điều này tương đương với
kA−1/2 XB −1/2 k ≤ 1,
hay
X = A1/2 KB 1/2 ,
trong đó kKk ≤ 1. Cuối cùng, sử dụng Mệnh đề 1.3.4 ta thu được điều
cần chứng minh.
"
Bổ đề 1.3.7 Ma trận A là dương nếu và chỉ nếu
"
Chứng minh. Ma trận
A A
A A
A A
#
là dương.
#
có thể được viết như sau
A A
"
# "
#"
#
1/2
1/2
1/2
A A
A
O A
A
=
.
A A
A1/2 O
O
O
"
#
A A
Từ đây, ta thấy ngay ma trận
dương khi và chỉ khi A dương.
A A
"
#
∗
|A| A
Hệ quả 1.3.8 Ma trận
là dương, với mọi ma trận A.
A |A∗ |
Chứng minh. Sử dụng phân tích cực A = U P để thu được
"
# "
#
|A| A∗
P
P U∗
=
A |A∗ |
UP UP U∗
"
#"
#"
#
I O P P
I O
=
,
O U P P O U∗
"
#
∗
|A| A
Và bây giờ áp dụng Bổ đề 1.3.7, ta suy ra
là ma trận dương.
A |A∗ |
"
#
|A| A∗
Hệ quả 1.3.9 Cho A là một ma trận chuẩn tắc. Khi đó, ma trận
A |A|
là dương.
"
#
A I
Hệ quả 1.3.10 Nếu A là một ma trận dương chặt, thì
là ma
I A−1
trận dương.
18
- Xem thêm -