Tài liệu Luận văn thạc sĩ: Dùng ma trận để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc ----------------------------------PH¹M QUANG NGäC øNG DôNG §ÞNH THøC Vµ MA TRËN VµO VIÖC GI¶I QUYÕT LíP C¸C BµI TO¸N CHøNG MINH §¼NG THøC Vµ BÊT §¼NG THøC LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguyªn – 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 3 1. Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức và một số kiến thức liên quan 5 1.1. Ma trận, tính chất và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Tính chất và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Định lý 1(Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . 9 1.3. Ma trận đối xứng và dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Ma trận đối xứng và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 15 2.1. Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức . . . . . . . . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3. Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| . |B| . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4. Áp dụng phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.5. Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3. Áp dụng định lý 3 và định lý 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4. Áp dụng định lý Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5. Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.6. Áp dụng bất đẳng thức Adamar . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết định thức và ma trận nói riêng là kiến thức cơ bản của toán học. Nó là cơ sở để nghiên cứu các lý thuyết khác của toán học như hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế v.v... Ngoài ra nó còn có ứng dụng trong việc nghiên cứu một số nghành khoa học như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học và một số nghành kỹ thuật khác . Hiện nay các bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức ta thường gặp trong rất nhiều các giáo trình, trong các kỳ thi học sinh giỏi và có rất nhiều phương pháp giải hay và độc đáo. Trong phạm vi đề tài này chúng tôi mạnh dạn trình bày một phương pháp tiếp cận khác đó là phương pháp giải dựa trên lý thuyết của ma trận và định thức . Bố cục của luận văn như sau luận văn ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm có hai chương: Chương 1: Lý thuyết ma trận, định thức và một số kiến thức có liên quan. Chương 2: Ứng dụng lý thuyết ma trận và định thức vào lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức . Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã được nhận sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.TS Nông Quốc Chinh. Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã quan tâm, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến qúy báu trong suốt quá trình hoàn thành luận văn của tác giả. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể các thầy cô giáo trong khoa Toán ĐHKH - ĐH Thái Nguyên vì sự dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và là nguồn động viên tinh thần lớn trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Kết quả đạt được trong bản luận văn này còn nhiều khiêm tốn và chắc hẳn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012. Học viên Phạm Quang Ngọc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức và một số kiến thức liên quan 1.1. Ma trận, tính chất và các phép toán 1.1.1. Các định nghĩa Ma trận A cấp m × n là một bảng m hàng ( hay dòng ), n cột được viết cố định như sau:  A = (ai j )m×n a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n =  ... ... ... ...  am1 am2 . . . amn         ( với i = 1,2,....,m; j =1,2,.....n ; aij ∈ R hoặc aij ∈ C). Nếu m = n thì ta nói A là ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (aij )n . Ma trận At = (aji )n×m thu được từ ma trận A = (aij )m×n bằng cách chuyển dòng thành cột, cột thành dòng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A . Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu aij = aji , ∀i, j = 1, n. Ma trận vuông A gọi là ma trận phản đối xứng nếu aij = −aji , ∀i, j = 1, n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma trận vuông A được gọi là ma trận đơn vị nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và ta kí hiệu In . 1.1.2. Tính chất và các phép toán i) Phép nhân ma trận với một số Tích của ma trận A với một số k là một ma trận B = k.A được xác định như sau:  B = (bi j )m×n ka11 ka12 . . . ka1n       ka21 ka22 . . . ka2n    =   ... ... ... ...    kam1 kam2 . . . kamn ii) Phép cộng ma trận Tổng của hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n là một ma trận C = (cij )m×n với cij = aij + bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.      a + b11 b . . . b1n a . . . a1n   11   11  11       a21 . . . a2n   b21 . . . b2n   a21 + b21 = +        ... ... ...  ... ... ...  ...      am1 + bm1 bm1 . . . bmn am1 . . . amn ... a1n + b1n    a2n + b2n     ... ...  . . . amn + bmn ... Hiển nhiên ta cũng thấy phép cộng hai ma trận cũng có tính giao hoán và kết hợp Tính giao hoán: A + B = B + A. Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. iii) Phép nhân các ma trận Tích của hai ma trận A = (aik )m×n và B = (bkj )n×p là một ma trận C = (cij )m×p được định nghĩa như sau: C = A.B = n X ! aik bkj k=1 . m×p Ta chú ý phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện được nếu số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép nhân ma trận nói chung không có tính chất giao hoán. Tức là A.B 6= B.A. Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C = A.(B.C). Ma trận vuôngA = (aij )n được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B = (bij )n sao cho A.B = B.A = In . Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A.At = In . Nhận xét : Ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp n cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một vành không giao hoán với phần tử không là ma trận O và phần tử đơn vị là ma trận đơn vị In . Hơn nữa nếu thêm vào phép nhân vô hướng, nó tạo thành một đại số trên trường K. Kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n là M at(n, K), ở đây K là trường R hoặc C. 1.2. 1.2.1. Định thức của ma trận vuông Các định nghĩa và tính chất Định thức của ma trận vuông A = (aij )n là một số kí hiệu là det(A) hoặc |A| được xác định như sau:    a11 a12    a21 a22 det (A) =  ... ...   am1 am2 ... ... ... ...   a1n    a2n  X = sgn (σ)aσ(1)1... aσ(n)n.  . . .  σ∈Sn   amn  Từ định nghĩa ta có một số tính chất và kết quả sau: a) Nếu một cột(một hàng) của định thức có nhân tử chung thì ta đưa được nhân tử chung ra ngoài. Ví dụ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 http://www.lrc-tnu.edu.vn    a11    a21   ...   am1 ... pa1i + qb1i ... ... pa2i + qb2i ... ... ... ... . . . pami + qbmi . . .      a11 a1n      a a2n   = p  21   ... ...      am1 amn  . . . a1i ... . . . a2i ... ... ... ... . . . ami . . .     a1n   a11     a2n   a21 +q    ...  ...     amn  am1 . . . b1i ... . . . b2i ... ... ... ... . . . bmi . . . b) Đổi chỗ hai cột của định thức thì định thức không đổi dấu. c) Định thức có một cột bằng 0, định thức có hai cột bằng nhau, định thức có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì bằng 0. d) Nếu cộng thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì định thức không thay đổi. e) det (In ) = 1. f) det (A.B) = det (A) . det (B) . g) Ma trận A khả nghịch (không suy biến ) khi và chỉ khi det (A) 6= 0. h) det (A) = det (At ) . 1.2.2. Định lý 1(Laplace) Cho A = (aij )n với các số nguyên 1 6 q < n, 1 6 i1 < ... < iq 6 n, 1 6 j1 < ... < j ...j jq 6 n. Gọi ∆i11...iqq (A) là định thức của ma trận cấp q tạo bởi các phần tử ở giao các e j1 ...jq (A) là định thức của ma trận còn lại từ dòng i1 , ..., iq , với các cột j1 , ..., jq .Còn ∆ i1 ...iq A sau khi xóa đi các dòng i1 , ..., iq , và các cột j1 , ..., jq nhân với (−1)i1 +...+iq +j1 +...+jq và j ...j j ...j e 1 q (A) là phần bù đại số của được gọi là định thức con bù của ∆i11...iqq (A). Ta gọi ( ∆ i1 ...iq j ...j ∆i11...iqq (A)). Giả sử đã chọn ra q dòng ( tương ứng, q cột ) trong một định thức cấp n(1 6 q < n). Khi đó, định thức đã cho bằng tổng tất cả các định thức con cấp q lấy ra từ q dòng ( tương ứng, q cột ) đã chọn với phần bù đại số của chúng. Nói cách khác ta có : (i) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q dòng i1 , ..., iq : det A = X j ...j e j1 ...jq (A) . (−1)i1 +...+iq +j1 +...+jq ∆i11...iqq (A). ∆ i1 ...iq 16j1 <... 2 định lý đúng. Xét ma trận A = (aij )n đối xứng cấp n. Theo tính chất 1, A có một giá trị riêng λ1 . Chọn véc tơ riêng e1 ứng với giá trị riêng λ1 thỏa mãn |e1 | = 1. Khi đó : Ae1 = λ1 e1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ sung vào e1 các véc tơ v2 , ..., vn để được một cơ sở của Rn , sau đó trực giao hóa và trực chuẩn hóa, ta được một cở sở trực chuẩn E = {e1 , e2 , ..., en } của Rn . Gọi B là ma trận của phép biến đổi tuyến tính A đối với cơ sở E. Khi đó B = S ∗ AS. Với S là ma trận có các véc tơ cột là e1 , e2 , ..., en . Bởi vì ma trận S trực giao nên B ∗ = (S ∗ AS)∗ = S ∗ A∗ S ∗∗ = S ∗ AS = B. Nghĩa là B đối xứng. Do Ae1 = λ1 e1 . nên cột thứ nhất của B là λ1 , 0, ..., 0. Vì B đối xứng nên dòng thứ nhất  λ  11   0 B=  . . .  0 của B cũng như vậy . Từ đó    0 ... 0  λ . . . λ2n   22  λ22 . . . λ2n    , với C =  . . . . . . . . .      ... ... ...  λn2 . . . λnn λn2 . . . λnn là ma trận đối xứng cấp n − 1. Theo giả thuyết quy nạp , tồn tại ma trận trực giao cấp n − 1  t22 . . . t2n   λ2 . . . 0          T0 = . . . . . . . . .  , sao cho T0∗ CT = . . . . . . . . .     0 . . . λn tn2 . . . tnn là một ma trận chéo. Đặt   1 0 ... 0      0 λ22 . . . λ2n  , T1 =    . . . . . . . . . . . .    0 λn2 . . . λnn dễ thấy T1 trực giao và   λ 0 ... 0  1     0 λ2 . . . 0  ∗  T1 BT1 = Dλ =    . . . . . . . . . . . .    0 0 . . . λn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì B = S ∗ AS nên T1∗ S ∗ AST1 = Dλ . Đặt T = ST1 . Vì S, T1 trực giao nên T trực giao và T ∗ AT = Dλ . Suy ra điều phải chứng minh. Tính chất 3. Cho A là ma trận đối xứng cấp n. Khi đó trong Rn tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm những véc tơ riêng của A. Chứng minh. Theo tính chất 2 AT = T Dλ trong đó T là ma trận trực giao, Dλ là ma trận chéo. Gọi E = {e1 , e2 , ..., en } là các véc tơ cột của T. Khi đó E trực chuẩn và Aei = λi ei . với i = 1, ..., n. Vậy các véc tơ thuộc E là các véc tơ riêng của A. Mặt khác vì ma trận A đối xứng nên A chéo hóa được, do đó mọi giá trị riêng bội m của A có đúng m véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Giả sử λ0 là một giá trị riêng bội m. Chọn m véc tơ riêng độc lập ứng với λ0 và sau đó trực chuẩn hóa hệ m véc tơ này ta được một hệ trực chuẩn gồm m véc tơ. Hiển nhiên m véc tơ này cũng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ0 . Tiến hành như vậy đối với tất cả các giá trị riêng ta được hệ n véc tơ E = {e1 , e2 , ..., en }. Hệ này là một cơ sở trực chuẩn của Rn . Gọi T là ma trận có các véc  λ 0  1   0 λ2 T ∗ AT1 =   . . . . . .  0 0 tơ của E là các cột thì T trực giao và  ... 0   ... 0    . . . . . .  . . . λn trong đó λi là các giá trị riêng của véc tơ riêng ei . Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1.3.2. Dạng toàn phương Định nghĩa 5. Dạng Q(x) = Q(x1 , x2 , ..., xn ) = n P aij xi xj được gọi là dạng toàn i,j=1 phương nếu A = (aij )n là ma trận đối xứng. Trong trường hợp này ma trận A được gọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 http://www.lrc-tnu.edu.vn là ma trận của dạng toàn phương. khi sử dụng tích vô hướng của dạng toàn phương Q(x) sẽ được biểu diễn như sau: Q(x) = (x, Ax). Q(x) được gọi là xác định nếu Q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0 Q(x) được gọi là xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x 6= 0. Định lý 2 (Sylvestrer) Cho Q(x) là dạng toàn phương xác định trên R và A là ma trận của Q(x). Q(x) xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính ∆m của A là dương
m = 1, n . Q(x) xác định âm khi và chỉ khi mọi định thức con chính cấp chẵn của A dương, cấp lẻ của A là âm. Chứng minh Nếu mọi ∆m 6= 0 thì ta sé có một cơ sở để trong cơ sở đó Q (x) = 1 2 ∆1 2 ∆n−1 2 x1 + x2 + ... + x . ∆1 ∆2 ∆n n Do đó nếu ∆m > 0 thì Q(x) sẽ xác định dương, nếu ∆1 < 0, ∆2 > 0, ..., (−1)n ∆n > 0 thì Q(x) sẽ xác định âm. Ngược lại nếu Q(x) xác định dương (    a11    a21 ∆m =  ...   am1 hoặc âm ), xét định thức con chính cấp m   a12 . . . a1m    a22 . . . a2m    ... ... ...    am2 . . . amm  Gọi Xm là các véc tơ con của X sinh bởi các véc tơ cơ sở e1 , e2 , ..., em . Khi đó Qm (x) = Q(x), x ∈ Xm cũng là một dạng toàn phương xác định dương (hoặc âm ).Xét cơ sở mới trong Xm để Q(x) có dạng chính tắc, ma trận của Q(x) trong cơ sở này có dạng  b 0  1   0 b2   . . . . . .  0 0 ... 0    ... 0    . . . . . .  . . . bm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu gọi T là ma trận chuyển từ cở sở e1 , e2 , ..., em sang cơ sở chính tắc thì ta có b1 b2 ... bm = ∆m |T |2 . Do đó nếu Q(x) xác định dương thì mọi bj > 0, nên ∆m > 0. Nếu Q(x) xác định âm thì mọi bj < 0, nên ∆m > 0 nếu m chẵn, ∆m < 0 nếu m lẻ. Định nghĩa 6. Giả sử Q(x) xác định dương, A là ma trận của Q(x), khi đó A được gọi là ma trận xác định dương. Định lý 3. Nếu A là ma trận xác định dương thì mọi giá trị riêng của A đều dương. Chứng minh. Ta có đa thức đặc trưng của A là : Pλ (A) = det A − λIn ) = (−1)n λn + (−1)n−1 b1 λn−1 + ... + bn−1 (−λ) + bn . Giả sử tồn tại một nghiệm của Pλ (A) = 0 thỏa mãn λ 6 0.Khi đó đặt µ = −λ ta có : Pλ (A) = 0 ⇔ µn + b1 µn−1 + ... + bn−1 µ + bn . (1) Do A xác định dương nên các bi > 0, ∀i = 1, n và µ = −λ > 0. suy ra: µn + b1 µn−1 + ... + bn−1 µ + bn > 0 mâu thuẫn với (1), ta có điều phải chứng minh. Chúng ta công nhận mà không chứng minh hai định lí sau: Định lý 4. Mọi dạng toàn phương Q(x) xác định trên R ta đưa về dạng chính tắc sau: Q(x) = (x,Ax) = n X λi yi2 i=1 trong đó λi là các giá trị riêng của A, y = T t x với T là ma trận trực giao đưa A về dạng chéo và (x,x) =(y,y). Định lý 5. Nếu ma trận thực B không suy biến thì ma trận A = B.B t xác định dương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2. Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 2.1. Chứng minh đẳng thức 2.1.1. Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức 0 Định lý 6 ( Bine - Cauchy) Cho A = (aij )mn , B = (bij )mn . Đặt D = AB = (cij )m n n P P 0 aik bjk . Ký hiệu A(i1 i2 ...im ) và B(i1 i2 ...im ) là định thức aik bkj = trong đó cij = k=1 k=1 con cấp m của các ma trận A và B được tạo bởi các dòng i1 , i2 , ..., im khi đó ta có : P với m 6 n thì |D| = Ai1 i2 ...im Bi1 i2 ...im , ( 1 ). 16i1 n thì |D| = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Ta có :  n P  k1 =1 a1k1 b1k1  n  P  a2k1 b2k1  D =  k1 =1   ...  n P amk1 bmk1 k1 =1 n P k2 =1 n P a1k2 b2k2 ... a2k2 b2k2 ... ... ... k2 =1 n P amk2 b2k2 . . . k2 =1 n P  a1km bmkm    a2km b2km   km =1    ...  n P  amkm bmkm km =1 n P km =1
Trong ma trận D ở cột thứ j j = 1, m mỗi phần tử là tổng của n phần tử theo chỉ số kj = 1, n. Phân tích định thức |D| cột thứ nhất thành tổng của n định thứ cấp m,sau đó lại phân tích định thức cấp m vừa thu được thành tổng của n định thức theo cột thứ hai,..., phân tích theo cột thứ m, cuối cùng ta có được định thức |D| được khai triển thành tổng của nm định thức, mà trong mỗi định thức của tổng đó từ cột thứ j có nhân tử
chung là bjkj được rút ra ngoài định thức j = 1, m , do vậy ta có : n P b1k1 b2k2 ...bmkm Ak1 k2 ...km (∗), trong đó nm hạng tử của tổng trên, chỉ số |D| = k1 ,...,km =1 lấy tổng thay đổi từ 1 đến n và không phụ thuộc lẫn nhau. Khi có hai chỉ số trùng nhau thì định thức Ak1 k2 ...km (∗) có ít nhất hai cột như nhau nên nó bằng không.Vì vậy , khi m > n ta có mọi hạng tử đều bị triệt tiêu suy ra |D| = 0. Xét trường hợp m 6 n, đối với mỗi bộ chỉ số :1 6 i1 < i2 < ... < im 6 n, trong tổng (*) xét tất cả các hạnh tử có các chỉ số k1 , k2 , ..., km được tạo nên từ một hoán vị nào đó của các chỉ số i1 , i2 , ..., im , ta sẽ có tổng của các hạng tử đó bằng : ! X Ai1 i2 ...im Sgn (f ) b1f (1) b2f (2) ...bmf (m) = Ai1 i2 ...im Bi1 i2 ...im . f ∈Sm ( Sm là tập tất cả các phép thế bậc m của m phần tử ). P Vậy |D| = Ai1 i2 ...im Bi1 i2 ...im , Ta có đẳng thức Bine - Cosi. 16i1 - Xem thêm -