Tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 26 |
  • Lượt tải: 0
huynguyen816485

Tham gia: 12/10/2017

Mô tả:

(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả Đoàn Kiên Trung i Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Trước tiên, Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã đặt bài toán và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tôi để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học Toán k20, đã chia sẻ động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Tôi cũng vô cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình, đặc biệt là người vợ đã cảm thông chia sẻ cùng tôi trong hai năm qua để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn này. Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn nên bản luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè, tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả Đoàn Kiên Trung ii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Nón và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại hai 18 2.1 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Bao hàm thức tựa biến phân . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Một số bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . 29 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu 1. Lý do chọn luận văn Lý thuyết cân bằng được hình thành từ những ý tưởng trong kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học kỹ thuật cũng như thực tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa. Lý thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Sau những công trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véc tơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một nghành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa,... Trong kinh tế, bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong [6] và Browder-Minty (1978) trong [4] đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: Tìm x̄ ∈ D sao cho f (x̄, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D, trong đó D là tập cho trước của không gian, f : D × D → R là hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ 0. Đây là 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dạng suy rộng trực tiếp của các bài toán trong lý thuyết tối ưu vô hướng. Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do yêu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả tương tự như các kết quả đã biết từ đơn trị. Chính vì vậy mà bài toán điểm cân bằng trong những năm gần đây được nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm. Với lí do trên tôi chọn đề tài:" Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II " 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả của bài toán cân bằng tổng quát loại II . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích đa trị, một số tính chất của ánh xạ đa trị và các phép toán . Trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại hai và các vấn đề liên quan đến chúng trong lý thuyết tối ưu đa trị. 4. Bố cục của luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón, lồi theo nón và một số định lý điểm bất động làm kiến thức cơ sở cho 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ chương 2. Chương 2 trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Định lý 2.1.1 và 2.1.2 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán. Các hệ quả 2.2.1, 2.2.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II. Sử dụng định lý 2.1.1 và 2.1.2 và tính chất của ánh xạ giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh được các bài toán tựa cân bằng yếu, tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều này thể hiện trong các hệ quả 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11. 3 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về toán tử hay về ánh xạ không còn phù hợp. Do đó việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên cuộc sống. Vì vậy mà môn giải tích đa trị đã được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Chúng ta sẽ dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản về môn giải tích đa trị này. Các kiến thức đó rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở chương sau. 1.1 Nón và các khái niệm liên quan Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không có được trong các không gian tô pô tuyến tính khác. Muốn mở rộng bài toán nhận giá trị thực sang bài toán nhận giá trị véc tơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới, đồng thời có thể xây dựng các khái niệm tương tự của số thực, số phức trong không gian tô pô tuyến tính. Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng các khái niệm đó là đưa nón vào không gian tô pô tuyến tính mà chúng ta sẽ nghiên cứu ngay sau đây. Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y . C được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu 4 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nếu Y là không gian tô pô tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) = C ∩ (−C). khi nghiên cứu các bài toán liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau: i). Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. ii). Nón C gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0. Với nón C cho trước, ta định nghĩa quan hệ như sau: x, y ∈ Y, x  Cy nếu x − y ∈ C . Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản x  y . Ký hiệu x  y nếu x − y ∈ C \ l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC . Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thứ tự từng phần nếu C là nón lồi nhọn. Sau đây là một số ví dụ về nón. Ví dụ 1.1.2. i). Tập {0} và Y là nón trong không gian Y . Ta gọi chúng là các nón tầm thường. n ii). Cho Rn là không gian Euclid n chiều, tập C = R+ = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n} là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong Rn . Nếu lấy C = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 ≥ 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn. Vì l(C) = {x = (0, x2 , ..., xn ) ∈ Rn } = 6 {0}. iii). Cho Lp [0, 1], 0 < p < 1 là không gian các hàm trên đoạn [0,1 ]. Z 1 Lp [0, 1] = {x, (| x |)p dµ < ∞, µ là độ đo Lesberge}. 0 Tô pô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các tập có dạng Z 1 1 1 {x ∈ Lp [0, 1]/( (| x |)p dµ) p < }. n 0 Tập C = {x ∈ Lp [0, 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]}. C là nón lồi đóng. Định nghĩa 1.1.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C , ký hiệu C = coneB, nếu C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0}. Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi c ∈ C, c 6= 0 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đều tồn tại duy nhất b ∈ B, c = tb, thì B được gọi là cơ sở của nón C . Hơn nữa nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập con C = cone(convB) gọi là nón đa diện. Khi ta có một nón trên không gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng trên đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ thứ tự đó ta có thể định nghĩa được các điểm hữu hiệu của tập hợp như sau: Định nghĩa 1.1.4. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng i). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là IM in(A | C). ii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là P M in(A | C) hoặc đơn giản là M in(A | C). iii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (Khi intC 6= ∅ và C 6= Y ) của A đối với nón C , nếu x ∈ M in(A | ({0} ∪ intC)). Tức là x là điểm hữu hiệu Pareto đối với nón C0 = {0} ∪ intC . Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C kí hiệu là W M in(A | C) hoặc W M inA. iv). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu e khác toàn không gian và chứa C \ l(C) trong phần tồn tại nón lồi C e . trong của nó để x ∈ P M in(A/C) Tập các điểm Hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là P rM in(A | C). Từ định nghĩa trên ta luôn có IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA. 1.2 Ánh xạ đa trị Cho X là một tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2X là tập gồm các tập con của X . 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ F từ tập X vào 2Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ký hiệu F : X → 2Y . (Đôi khi người ta sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y , để thống nhất các ký hiệu cho toàn bộ luận văn này ta sử dụng ký hiệu đã trình bày trước). Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y , không loại trừ khả năng đối với một số phần tử x nào đó F (x) là tập rỗng. Nếu với x ∈ X, F (x) gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , thay cho ký hiệu F : X → 2Y ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y . Miền định nghĩa, đồ thị và ảnh của F được định nghĩa lần lượt như sau: domF = {x ∈ D | F (x) 6= ∅}; Gr(F ) = {(x, y) ∈ D × Y | y ∈ F (x)}; rgeF = {y ∈ Y | ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}. Ví dụ 1.2.2. Cho a, b là các số thực, F : R → 2R được xác định bởi  (a, b), nếu x 6= 0; F (x) = {a}, nếu x = 0. Khi đó F là ánh xạ đa trị. Cho F : X → 2Y , ánh xạ đa trị F −1 : Y → 2X xác định bởi F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}, được gọi là ánh xạ ngược của F. Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} mở, thì F được gọi là có nghịch ảnh mở. Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có phép toán sau đối với ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y, Z, W, là các tập hợp bất kỳ. F1 , F2 : X → 2Y , F : X → 2Y , G : Y → 2Y là các ánh xạ đa trị. a). Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F1 , F2 và ánh xạ bù của F là ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi: (F1 ∪ F2 )(x) = F1 (x) ∪ F2 (x); 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (F1 ∩ F2 )(x) = F1 (x) ∩ F2 (x); F c (x) = Y \ F (x). Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G ◦ F : X → 2Z cho bởi công thức: G ◦ F (x) = ∪x∈X G(F (x)). Tích decarde của F : X → Y và G : W → Z là ánh xạ đa trị G × F : X × W → 2Y ×Z cho bởi công thức: (G × F )(x, y) = G(x) × F (y). b). Khi Y là không gian tôpô tuyến tính. Tổng đại số của hai ánh xạ F1 , F2 và phép nhân của một số với ánh xạ F1 là các ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định bởi: (F1 + F2 )(x, y) = F1 (x) + F2 (x); (λF1 )(x) = λF1 (x). Trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính ta có các phép toán sau: Định nghĩa 1.2.4. Cho F : X → 2Y , ký hiệu F̄ , F ◦ là các ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi F̄ (x) = F (x), (F ◦ )(x) = (F (x))◦ . Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của F là (coF )(x) = coF (x), (coF ¯ )(x) = coF ¯ (x). 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Trong phần này ta trình bày khái niệm về nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị. Cho F : X → Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x̄ ∈ X nếu với mỗi tập mở V chứa f (x̄) tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho f (x) ∈ V, với mọi x ∈ U . 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X . Dễ thấy f liên tục trên X nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y, f −1 (V ) = {x ∈ X, f (x) ∈ V } mở trong X . Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mở V bất kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc f (x) ⊆ V , hoặcf (x) ∩ V 6= ∅. Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta nhắc lại định nghĩa của Berge. Định nghĩa 1.3.1. ([2]). Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . a). F được gọi là nửa liên tục trên tại x̄ ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x̄) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U. b). F được gọi là nửa liên tục dưới tại x̄ ∈ domF nếu với mọi V mở, F (x̄)∩V 6= ∅, đều tồn tại tập mở U ⊃ x̄ sao cho F (x)∩V 6= ∅, ∀x ∈ U . c). F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Ví dụ 1.3.2. Cho ánh xạ    {1}, nếu x > 1;   f = [−2, 2], nếu x = 1;    {1}, nếu x < 1. Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. Gọi V là tập mở bất kỳ trong R. Giả sử f (1) = [−2, 2] ⊆ V . Lấy U = (1 − , 1 + ), khi đó U là lân cận của x = 1 và với mọi x ∈ U ta suy ra được f (x) ⊆ [−2, 2] ⊆ V . Vậy f là nửa liên tục trên. Tuy nhiên f không phải là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 1. Thật vậy, ta lấy V = (−, ) thỏa mãn (−, ) ∩ [−2, 2] 6= ∅. Với mọi lân cận U 0 của x = 1 ta thấy với mọi x ∈ U 0 nếu x > 1 thì f (x) = {1} ∩ V = ∅. 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.3.3. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong X × Y . Nếu F (X) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact. Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy {xα }, {yα }, xα → x, yα → y, yα ∈ F (xα ) thì y ∈ F (x). Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng. Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Mệnh đề 1.3.4. ([16]). Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y compact, thì F là nửa liên tục trên. Mệnh đề 1.3.5. a). Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ dãy xβ ∈ D, xβ → x tồn tại dãy {yβ }β∈Λ , yβ ∈ F (xβ ) sao cho yβ → y trong đó Λ là tập các chỉ số. b). Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở. Chứng minh. Ta xem chứng minh a) trong [16]. Sau đây ta chứng minh P b). Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )−1 (y) thì y ∈ co(F (x)), y = ni=1 αi yi với P 0 ≤ αi ≤ 1, ni=1 αi = 1, yi ∈ F (x). Khi đó x ∈ F −1 (yi ) với mọi i = 1, ..., n. Vì F −1 (yi ), i = 1, ..., n là tập mở, ta suy ra tồn tại lân cận U (x) của x sao cho U (x) ⊆ F −1 (yi ) với mọi i = 1, .., n. Điều này dẫn đến yi ∈ F (z) với P z ∈ U (x) và mọi i = 1, ..., n. Do đó y = ni=1 αi yi ∈ (coF )(z) với z ∈ U (x) do đó U (x) ⊆ (coF )−1 (y). Vậy (coF )−1 (y) là tập mở.2 Mệnh đề 1.3.6. ([12]). Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới. Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.6 không đúng Ví dụ 1.3.7. Cho F : R → 2R xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có F −1 (y) = {x|y ∈ (−∞, −x]} = {x|y ≤ −x} = (−∞, −y] không là tập mở. 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó ∪y∈V F −1 (y) = {x|F (x)∩V 6= ∅}. Đặt b = inf {v|v ∈ V }. Ta sẽ chứng minh (−∞, −b) ⊂ ∪y∈V F −1 (y). Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x. Theo cách xác định của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y ≤ −x. Vì vậy x ∈ (−∞, −y] ⊆ ∪y∈V F −1 (y). Từ kết luận này ta có (−∞, −b) ⊆ ∪y∈V F −1 (y) hay ∪y∈V F −1 (y) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục dưới. Ta nhắc lại, hàm vô hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại x̄ nếu với bất kỳ  > 0 đều tồn tại lân cận U 3 x̄ sao cho f (x) ≤ f (x̄)+ (hoặc f (x) ≥ f (x̄) − ). Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véc tơ tôpô lồi địa phương với nón C . Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D, K là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y . Ta có định nghĩa sau (xem trong [15]). Định nghĩa 1.3.8. 1). F là C − liên tục trên(hoặc C − liên tục dưới) tại x0 ∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C; hoặc F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF ; 2). F là C − liên tục tại x0 nếu F vừa là C − liên tục trên vừa là C − liên tục dưới tại x0 . F là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc C − liên tục trên D nếu nó là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc C − liên tục tại mọi x thuộc D. 3). Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói {0}-liên tục trên ({0} -liên tục dưới). Trong các kết quả của các chương sau ta chỉ sử dụng khái niệm C -liên tục trên (dưới) với C là một ánh xạ nón. Định nghĩa 1.3.9. ([15]). Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón). F gọi là C − liên tục trên (hoặc C − liên tục dưới) tại (ȳ, x̄, z̄) ∈ domF nếu với bất kỳ lân cận V của O trong Y đều tồn tại lân cận U của (ȳ, x̄, z̄) 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sao cho: F (y, x, z) ⊆ F (ȳ, x̄, z̄) + V + C(ȳ, x̄), (F (ȳ, x̄, z̄) ⊆ F (y, x, z)+V −C(ȳ, x̄), tương ứng), với mọi (y, x, z) ∈ U ∩domF. Các khái niệm C − liên tục tại một điểm hay trên miền D cũng được định nghĩa tương tự như trường hợp C là nón hằng. Nhận xét. Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C -liên tục trên và C -liên tục dưới là một và lúc đó F được gọi là C -liên tục. Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C -liên tục trên (dưới). Mệnh đề 1.3.10. ([15]). Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là các ánh xạ đa trị. 1). Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là C -liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF với F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) đóng, thì với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) + C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ). Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ )+C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 )+ C(y0 , x0 ), thì F là C -liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ). 2). Nếu F là ánh xạ compact và C − liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF , thì với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 )+C(y0 , x0 ), tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ), sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ −t0 → c ∈ C(y0 , x0 ), (tβγ → t0 + c ∈ t0 + C(y0 , x0 )). Ngược lại, nếu F (y0 , x0 , z0 ) là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ), tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) , sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) thì F là C -liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ). Cho F, C : D → 2Y là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón. Sau đây ta trình bày khái niệm C -hemi liên tục trên (dưới) và khái niệm hemi liên tục trên (dưới) trong [5]. 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.3.11. i). F được gọi là C − hemi liên tục trên nếu với mọi x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) 6= ∅ với mọi α ∈ (0, 1) kéo theo F (y) ∩ C(y) 6= ∅. ii). F được gọi là C − hemi liên tục dưới nếu với mọi x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) * −intC(αx + (1 − α)y) với mọi α ∈ (0, 1) kéo theo F (y) * −intC(y). iii). F được gọi là hemi liên tục trên (dưới), nếu với mọi x, y ∈ D, ánh xạ f : [0, 1] → 2Y định nghĩa bởi f (α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới). Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C -hemi liên tục trên và được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Mệnh đề 1.3.12. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác rỗng. Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x), hoặc C(x) là tập compact, thì F là C -hemi liên tục trên. Chứng minh. Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] → 2Y bởi f (α) = F (αx + (1 − α)y) và c(α) = C(αx + (1 − α)y), α ∈ [0, 1]. Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0. Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong đoạn [0,1 ] sao cho: F ((αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ; C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V, với mọi α ∈ U. Do đó, nếu F ((αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) 6= ∅ với mọi α ∈ (0, 1), thì (F (y)+V )∩(C(y)+V ) 6= ∅. Điều này dẫn đến F (y)∩(C(y)+2V ) 6= ∅. Giả sử F (y) là tập compact ta sẽ chứng minh F (y) ∩ C(y) 6= ∅. Thật vậy, giả sử Vβ là lân cận bất kỳ của gốc trong Y , lấy aβ ∈ F (y) ∩ (C(y) + 2Vβ ),aβ = bβ +vβ , trong đó bβ ∈ C(y) và vβ ∈ Vβ . Ta có thể chọn Vβ sao cho ∩Vβ = {0}, giả sử vβ hội tụ đến 0 khi β hội tụ đến 0. Từ aβ ∈ F (y) và F (y) là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng aβ hội tụ đến a ∈ F (y) khi β hội tụ đến 0. Vì vậy bβ cũng hội tụ đến a. Mặt khác, C(y) đóng nên a ∈ C(y). Ta suy ra a ∈ F (y) ∩ C(y) hay F (y) ∩ C(y) 6= ∅. Nếu 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng có F (y) ∩ C(y) 6= ∅. Vậy F là C -hemi liên tục trên.  1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị Trong mục này chúng ta trình bày tính lồi, lõm, giống như tựa lồi của ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi của hàm véc tơ. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là nón lồi trong Y . Hàm véc tơ f : D → Y được gọi là C -lồi trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] ta luôn có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − C. f được gọi là C -lõm trên D nếu −f là C -lồi trên D. Trong trường hợp Y = R, C = R+ , định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theo định nghĩa thông thường. Định nghĩa 1.4.1. Cho ánh xạ F : D → 2Y , C là nón lồi trong Y . i). F được gọi là C -lồi trên (hoặc C -lồi dưới) nếu: αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C, hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C, với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1]. ii). F được gọi là C -lõm trên (hoặc C -lõm dưới) nếu: αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C, hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C, với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1]. Chú ý. 14 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i). Nếu C = {0} thì tính {0}-lồi trên và {0}-lõm trên của F đồng nhất với nhau và F được gọi là dưới tuyến tính. ii). Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì tính C -lồi trên và C -lồi dưới (hoặc C -lõm trên, C -lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C -lồi (hoặc C -lõm). Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc lõm. Ngoài các khái niệm trên người ta còn sử dụng các khái niệm sau đây: Định nghĩa 1.4.2. Cho F là ánh xạ đa trị từ D ⊂ X vào 2Y , Y là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C . i). F được gọi là C -giống như tựa lồi trên trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1], hoặc F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C, hoặc F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C. ii). F được gọi là C -giống như tựa lồi dưới trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1], hoặc F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C, hoặc F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C. Các khái niệm C -lồi trên (dưới) hay C -giống như tựa lồi trên(dưới) là dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được giới thiệu. có những ví dụ chỉ ra rằng, ánh xạ đa trị C -lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C -giống như tựa lồi trên (dưới) và hiển nhiên có chiều ngược lại ngay cả trường hợp đơn trị. 1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị Năm 1992, Browder đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K ⊆ Rn vào chính nó có điểm bất động. Sau đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập 15 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/
- Xem thêm -