Tài liệu (Luận văn thạc sĩ) Bài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. VŨ NGỌC PHÁT THÁI NGUYÊN – 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên i Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Toán học Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên ii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kí hiệu toán học 1 1 Cơ sở toán học 2 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân . . . . . 4 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. . . . . . . 7 2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. 2.1 2.2 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính . . 9 9 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu 12 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ . . . 18 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận chung 25 Tài liệu tham khảo 26 iii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý thuyết ổn định hữu hạn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Bài toán ổn định hữu hạn được khởi xướng từ những năm 1970 nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động, của một hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân. Một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định hữu hạn nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu của hệ là bị chặn thì toàn bộ hệ bị chặn. Do đó, lý thuyết ổn định hữu hạn được nghiên cứu xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học thực tế: toán kinh tế, toán thống kê, vật lý toán, .... Đã hơn một nửa thế kỷ trôi qua lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi nhất và đạt được nhiều kết quả sâu sắc phong phú và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và môi trường, .... Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, khái niệm về tính ổn định hữu hạn nghiệm của hệ phương trình vi phân. Chương 2 giới thiệu các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tình chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn và các thày cô trong trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN cũng như các thầy cô đã giảng dậy lớp cao học khóa 2012-2014. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thày cô và các ban. 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu toán học Tập số thực. R R+ Tập số thực không âm. n R Không gian véctơ Euclide n chiều. Rn×n Không gian các ma trận thực. I AT P >0 λ(P ) λ(Q) λmax (P ) λmin (P ) C([a; b], Rn ) Ma trận đơn vị. Ma trận chuyển vị của ma trận A. Ma trận xác định dương. Các giá trị riêng thực của ma trận P . Các giá trị riêng của ma trận Q. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận P . Giá trị riêng thực nhỏ nhất của ma trận Q. Không gian các hàm liên tục đi từ [a; b] vào Rn . 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Cơ sở toán học Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân nhằm mục đích sử dụng cho chương sau. Nội dung của chương này bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lý cơ bản về hệ phương trình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov và tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân. Những nội dung chương này được trình bày từ [1] − [3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân dạng tổng quát có dạng  ẋ(t) = f (t, x), t≥0 x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0 (1.1) trong đó f : R+ × Rn −→ Rn . Nếu vế phải của (1.1) không phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là hệ ôtônôm, ngược lại ta nói hệ là không ôtônôm. Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn . ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1). Khi hàm f(t,x) liên tục trên I × D thì nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân sau: Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. t0 Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1). Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff ). Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó D là tập tất cả những x ∈ Rn sao cho ||x − x0 || < a với a > 0 , 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ f : R+ × D −→ Rn liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ 0. Khi đó, với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được một số d > 0 sao cho hệ phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng [x0 − d, x0 + d]. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm dạng  ẋ(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0. (1.2) trong đó A ∈ Rn×n và g : [0; +∞) −→ Rn là hàm liên tục. Hệ phương trình (1.2) luôn có nghiệm (duy nhất) xác định trên [0, +∞) cho bởi công thức Cauchy x(t) = x0 e A(t−t0 ) t Z eA(t−s) g(s)ds. + t0 Đối với hệ phương trình vi phân không ôtônôm tuyến tính dạng  ẋ(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0 x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0. trong đó A(t) ∈ Rn×n các hàm số liên tục trên R+ và g : R+ −→ Rn là hàm liên tục. Khi A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| ≤ m(t) trong đó g(t) và m(t) là các hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm (duy nhất) trên [0; ∞). Nghiệm của hệ này biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ thuần nhất ẋ(t) = A(t)x(t), t ≥ 0, và được cho bởi công thức : t Z x(t) = φ(t, t0 )x0 + φ(t, s)g(s)ds. t0 Trong đó ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ tuyến tính trên thỏa mãn hệ phương trình d = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0 φ(t, t) = I. dt φ(t, s) Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân  x˙1 = 1, x˙2 = 2tx1 + et , t≥0 3 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta có  A(t) = 0 0 2t 0   , g(t) = 1 et  ma trận nghiệm cơ bản  1 0 2 2 t −s 1 φ(t, s) =  khi đó nghiệm tổng quát của hệ có dạng     Z t 1 0 1 0 1 x(t) = t2 − t2 1 x0 + 2 2 et ds, t −s 1 0 t0 với  x(0) = 2 1  . Vậy nghiệm tổng quát của hệ đã cho được biểu diễn dưới dạng   t+2 x(t) = 2 t3 + 2t2 + et 3 1.2 1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân : ẋ(t) = f (t, x), t ≥ 0, (1.3) trong đó f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ (1.3) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0 luôn có nghiệm trên [0; ∞). Điều kiện ban đầu này thường có được bằng cách đo lường nên không thể tránh khỏi việc phạm một sai số nào đó. Một câu hỏi đặt ra là sai số đó sẽ ảnh hưởng ít hay nhiều đến nghiệm phải tìm ?. Nếu ảnh hưởng đó là nhiều tức một sự thay đổi khá bé của điều kiện ban đầu lại gây nên một sự thay đổi lớn đối với nghiệm tìm được thì nghiệm này nói chung ít có giá trị về phương diện ứng dụng và không thể dùng để mô tả gần đúng hiện tượng đang xét. 4 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nếu t biến thiên trong đoạn hữu hạn t0 ≤ t ≤ T thì từ định lý về sự phụ thuộc nghiệm theo điều kiện ban đầu ta suy ra rằng nếu điều kiện ban đầu thay đổi ít thì nghiệm sẽ thay đổi ít. Nhưng nếu t có thể nhận giá trị lớn tùy ý thì vấn đề đó cần phải xét và đó chính là mục đích của lý thuyết ổn định. Vào khoảng cuối thế kỷ XIX nhà toán học Nga A. M. Lyapunov đã đưa ra định nghĩa khái niệm ổn định và đã đề ra những phương pháp hữu hiệu để giải bài toán ổn định. Xét hệ (1.3) với giả thiết hệ có nghiệm 0 tức là f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 và ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định nếu với mọi số t0 ≥ 0 ε > 0, sẽ tồn tại số δ > 0 phụ thuộc ε và t0 sao cho bất kỳ nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 của hệ thỏa mãn ||x0 || < δ thì nghiệm đúng bất đẳng thức ||x(t)|| < ε ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ > 0 sao cho ||x0 || < δ thì lim ||x(t)|| = 0. t→∞ Định nghĩa 1.3. Hệ (1.4) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0 δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Để ngắn gọn từ nay ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định thay vào nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân sau trong R ẋ(t) = ax(t), t ≥ 0. Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 eαt , t ≥ 0. • Nếu a < 0, thì hệ là ổn định tiệm cận. Thật vậy, theo định nghĩa nếu ||x0 || ≤ δ thì ta có ||x(t)|| ≤ ||x0 eat || ≤ ||x0 ||eat . Chọn δ = ε và eat ≤ 1 ta có ||x(t)|| < ε, hơn nữa vì ||x(t)|| → 0 khi t → +∞ 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Nếu a = 0 thì hệ là ổn định, không ổn định tiệm cận vì ||x(t)|| = ||x0 || • Nếu a > 0, hiển nhiên hệ không ổn định. Xét hệ phương trình vi phân có dạng  ẋ(t) = f (x(t)), f (0) = 0. t ≥ 0, (1.4) Định nghĩa 1.4. Hàm khả vi liên tục V (x) : R+ −→ R, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.4) nếu i) V (x) là hàm xác định dương theo nghĩa V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , V (x) = 0 ii) Df V (x(t)) := ∂V ∂x(t) f (x(t)) ≤ 0, với nghiệm x(t) và Df V (x(t)) d V (x(t)) dt ∂V (x(t)) ∂x = ∂x(t) ∂t ∂V (x(t)) = f (x(t)). ∂x(t) = Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (ii) là thực sự âm, với mọi x nằm ngoài một lân cận 0 nào đó, nói cách khác : ∃c > 0 : Df V (x(t)) ≤ −c||x(t)||, với mọi nghiệm x(t). Định lý 1.2. [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Ví dụ 1.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân  x˙1 = −x42 x1 t≥0 4 x˙2 = x1 x2 . Lấy hàm Lyapunov V (x) = x41 + x42 , ta có Df V (x) = 4x31 x˙1 + 4x32 x˙2 = −4x41 x42 + 4x41 x42 = 0 khi đó ta có tính ổn định của hệ đã cho. 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.3. [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân  x˙1 = −x2 − x31 , t ≥ 0 . x˙2 = x1 − x32 . Lấy hàm Lyapunov V (x) = x21 + x22 ta có Df V (x) = 2x1 x˙1 + 2x2 x˙2 suy ra Df V (x) = 2x1 (−x2 − x31 ) + 2x2 (x1 − x32 ) = −2(x41 + x42 ) do đó Df V (x) < −2||x|| < 0, ∀x ∈ R+ \{0}. khi đó ta có tính ổn định tiệm cận của hệ đã cho. 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Trong thực tế người ta thường gặp bài toán xét dáng điệu nghiệm cân bằng hệ phương trình vi phân không trên toàn bộ [0; +∞] mà chỉ trên đoạn hữu hạn [0; T ]. Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi nhiễu các giá trị ban đầu cũng bị chặn bởi một số cho trước. Đây cũng là nội dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn [3]. Xét hệ phương trình vi phân dạng:  ẋ = f (t, x(t)), x(0) = 0. t ∈ [0; T ] (1.5) Định nghĩa 1.5. Cho c1 > 0, c2 > 0, c1 < c2 , ma trận đối xứng xác định dương R, và thời gian T > 0. Hệ (1.5) gọi là ổn định hữu hạn (f inite − time stable) đối với (c1 , c2 , T, R) nếu từ xT0 Rx0 ≤ c1 , suy ra xT (t)Rx(t) < c2 , ∀ ∈ [0; T ] 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tính ổn định hữu hạn là khái niệm độc lập với tính ổn định Lyapunov. Hệ có thể ổn định hữu hạn nhưng không ổn định Lyapunov và ngược lại. Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình vi phân sau: ẋ(t) = cost, nghiệm của hệ là x(t) = sint + x0 . Rõ ràng hệ trên không ổn định tiệm cận nhưng ổn định hữu hạn đối với ( 12 , 32 , π, I). Ví dụ 1.6. Xét hệ phương trình sau: ẋ(t) = −ax(t), a > 0. Nghiệm của hệ là x(t) = e−at x0 . Hệ là ổn định Lyapunov và cũng ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, I), với mọi c1 , c2 , c1 < c2 , T > 0. Ví dụ 1.7. Xét hệ phương trình vi phân mà nghiệm x(t) liên tục tuyệt đối được xác định bởi  x(t) = sint + 1 0 ≤ t ≤ π, e−(t−π) t > π. Ta thấy x(t) → 0, khi t → +∞ như vậy hệ ổn định Lyapunov nhưng hệ không ổn định hữu hạn đối với ( 32 , 2, π, I) 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Nội dung của chương này là giới thiệu một số kết quả cơ bản về điều kiện đủ tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Nội dung chương này được trình bày trong các kết quả của [3], [6]. 2.1 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:  ẋ(t) = Ax(t), t ≥ 0, x(0) = x0 . (2.1) trong đó A ∈ Rn×n , x(t) ∈ Rn , x0 ∈ Rn Định lý 2.1. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại số α > 0 và ma trận Q ∈ Rn×n đối xứng xác định dương sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1 AQ̃ + Q̃AT − αQ̃ < 0 (2.2) λmax (Q) c2 −αT < e , λmin (Q) c1 (2.3) 1 trong đó Q̃ = R− 2 QR− 2 . Chứng minh. Lấy hàm V (x(t)) = xT (t)Q̃−1 x(t). Lấy đạo hàm cả hai vế theo t ta được V̇ (x(t)) ˙ x(t)i = 2hQ̃−1 Ax(t), x(t)i = 2hQ̃−1 x(t), = h(Q̃−1 A + AT Q̃−1 )x(t), x(t)i − αV (x(t)) + αV (x(t)) = h(AT Q̃ −1 + Q̃−1 A − αQ̃−1 )x(t), x(t)i + αV (x(t)). (2.4) 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ (2.2) suy ra AT Q̃−1 + Q̃−1 A − αQ̃−1 < 0, nên ta có ∀t ∈ [0; T ], V̇ (x(t)) < αV (x(t)), (2.5) suy ra V̇ (x(t)) < α. V (x(t)) Lấy tích phân từ 0 tới t ∀t ∈ [0; T ] ta được V (x(t)) < eαt V (x(0)), ∀t ∈ [0; T ] (2.6) Đặt  P = Q−1 0 0 Q−1   , M= 1 2 R 0 0 I   , z= x 0  . Từ V̇ (x(t)) <α V (x(t)) ta có z T (t)M P M z(t) < z T (0)M P M z(0)eαt (2.7) Ta có z T (t)M P M z(t) 1 1 = xT (t)R 2 Q−1 R 2 x(t) ≥ λmin (Q−1 )xT (t)Rx(t) (2.8) và z T (0)M P M z(0) 1 1 = (xT (0)R 2 Q−1 R 2 x(0))eαt ≤ λmax (Q−1 )xT (0)Rx(0)eαt ≤ λmax (Q−1 )c1 eαt . (2.9) suy ra z T (0)M P M z(0) ≤ λmax (Q−1 )c1 eαt Từ (2.7)- (2.10) suy ra xT (t)Rx(t) < λmax (Q) αt c1 e < c2 , ∀t ∈ [0; T ]. λmin (Q) Định lý được chứng minh. 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.10) Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình ẋ(t) = Ax(t). Lấy R = I suy ra Q̃ = Q, chon α = 1, T = 1. Giả sử     q1 0 a1 0 Q = 0 q ,A = 0 a . 2 2 Xét AQ + QAT − Q < 0 hay  a1 0 0 a2          q1 0 q1 0 a1 0 q1 0 · 0 q + 0 q · 0 a − 0 q = 2 2 2 2   2a1 q1 − q1 0 0 2a2 q2 − q2 . Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có   2a1 q1 < q1 , ∀q1 > 0 a1 < 0, 5 ⇔ 2a2 q2 < q2 , ∀q2 > 0 a2 < 0, 5 ∀q1 > 0, ∀q2 > 0. lấy  Q= 2 0 0 1   ,A = 1 3 0 0 1 4  . Khi đó λmax (Q) = 2, λmin (Q) = 1 và c2 = 3, c1 = e−1 . Khi đó hệ  x˙1 (t) = 13 x1 (t) x˙2 (t) = 14 x2 (t) ổn định hữu hạn đối với (e−1 , 3, 1, I) Ví dụ 2.2. Xét hệ phương trình ẋ(t) = Ax(t). Lấy R = I suy ra Q̃ = Q, chon α = 1, T = 1. Giả sử     2 0 a1 0 Q = 0 5 ,A = a a . 2 3 Xét AQ + QAT − Q < 0 hay  a1 a2 0 a3          2 0 2 0 a1 0 2 0 · 0 5 + 0 5 · a a − 0 5 = 2 3 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/  4a1 − 2 a2 2a2 10a3 − 5 Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có  a1 < 0, 5 (10a3 − 5)(4a1 − 2) − 10a22 > 0  a1 = 14  a1 = 14 a =2  2 a3 = 5  .  a1 < 0, 5 ⇔ 5a22 > 1 − 5a3  a1 = 14 lấy  1 4 0 2 5 A=  . Khi đó λmax (Q) = 5, λmin (Q) = 2 và c2 = 6, c1 = 2e−1 . Khi đó hệ  x˙1 (t) = 14 x1 (t) x˙2 (t) = 2x1 (t) + 5x2 (t) ổn định hữu hạn đối với (2e−1 , 6, 1, I) 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu Xét hệ phương trình tuyến tính ẋ(t) = Ax(t) + Gw(t), x(0) = x0 , ẇ(t) = F w(t), w(0) = w0 , (2.11) (2.12) trong đó A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×r , F ∈ Rr×r . Định nghĩa 2.1. Hệ (2.11) được gọi là hệ ổn định hữu hạn đối với (c1 , δ, c2 , T, R) nếu với mọi nhiễu thỏa mãn (2.12) thì xT0 Rx0 ≤ c1 , w0T Rw0 ≤ δ suy ra xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0; T ]. Định lý 2.2. .Hệ (2.11) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , δ, c2 , T, R) nếu tồn tại số α ≥ 0, và số thực λi i = 1, 2, 3, 4 và hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n và Q2 ∈ Rr×r sao cho thỏa mãn điều kiện sau  T  A Q̃1 + Q̃1 A − αQ̃1 Q̃1 G <0 (2.13) GT Q̃1 F T Q̃2 + Q̃2 F − αQ̃2 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ λ3 I < Q1 < λ1 I, (2.14) λ4 I < Q2 < λ2 I, (2.15) λ4 eλ0 −αT − λ2 < 0, (2.16) c1 λ1 + δλ2 − δeλ0 −αT λ4 < e−αT c2 λ3 , (2.17) trong đó 1 1 1 1 Q̃1 = R− 2 Q1 R− 2 , Q̃2 = R 2 Q2 R 2 , λ0 = min λ¯0 t, λ¯0 = λmin (F T + F ). 0≤t≤T Chứng minh. Lấy V (x(t)) = xT (t)Q̃1 x(t) và gọi V̇ (x(t)) là đạo hàm của V (x) trong quá trình giải hệ (2.11). Khi đó ta có ˙ V (x(t)) = ẋT (t)Q̃1 x(t) + xT (t)Q̃1 ẋ(t) = xT (t)[AT Q̃1 + Q̃1 A]x(t) + wT (t)GT Q̃1 x(t) + xT (t)Q̃1 Gw(t)  = x(t) w(t) T    AT Q̃1 + Q̃1 A Q̃1 G x(t) w(t) GT Q̃1 0 (2.18) Theo (2.18) và (2.13) ta có V̇ (x(t)) < αV (x(t)) + αwT (t)Q̃2 w(t) − wT (t)(F T Q̃2 + Q̃2 F )w(t) (2.19) nhân cả hai vế của (2.19) với e−αt ta được e−αt V̇ (x(t)) − e−αt αV (x(t)) < αe−αt wT (t)Q̃2 w(t) −e−αt wT (t)(F T Q̃2 + Q̃2 F )w(t). Do đó d −αt (e V (x(t))) < αe−αt wT (t)Q̃2 w(t) dt −e−αt wT (t)(F T Q̃2 + Q̃2 F )w(t) Lấy tích phân cả hai vế trong (2.20) từ 0 tới t với t ∈ [0; T ] ta được Z t −αt e V (x(t)) −V (x(0)) < α e−αs wT (s)Q̃2 w(s)ds 0 Z t − e−αs wT (s)(F T Q̃2 + Q̃2 F )w(s)ds 0 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.20) Z =α t −αs e = −e 0 −αt T w (s)Q̃2 w(s)ds − Z t e−αs d(wT (s)Q̃2 w(s)) 0 T T w (t)Q̃2 w(t) + w (0)Q̃2 w(0) Như vậy ta có e−αt V (x(t)) − V (x(0)) < −e−αt wT (t)Q̃2 w(t) + wT (0)Q̃2 w(0) (2.21) từ (2.21) ta có T < eαt [V (x(0)) + wT (0)Q̃2 w(0) − e−αt wT (0)eF t Q̃2 eF t w(0)] h i αT T T - Xem thêm -