Tài liệu Luận văn sư phạm ứng dụng tích descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƢỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán và phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI, 2019 1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƢỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán và phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2019 2 LỜI CẢM ƠN Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, đã tạo môi trƣờng học tập tốt nhất để em đƣợc rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại. Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes trong dạy học một số dạng toán Tiểu học” . Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em đƣợc hoàn thiện nhƣ hiện tại. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phƣợng 1 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân em dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào. Các tài liệu tham khảo, trích dẫn trong khóa luận đƣợc chỉ rõ nguồn gốc trung thực. Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phƣợng 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài. ............................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu......................................................................................... 1 4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................... 2 5. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................ 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu.................................................................................... 2 7. Bố cục khóa luận. ............................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3 1.1. Một số vấn đề về lịch sử. ............................................................................... 3 1.2. Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp.; ....................................................... 3 1.3. Cách xác định một tập hợp.............................................................................. 4 1.3.1. Liệt kê các phần tử. ...................................................................................... 4 1.3.2. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trƣng của các phần tử thuộc tập hợp...................... 4 1.4. Khái niệm Tích Descartes............................................................................. 5 1.5. Lũy thừa Descartes. ......................................................................................... 6 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC .................................................................... 7 2.1. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học .............. 7 1 2.2. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán hình học ......... 34 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Chúng ta biết rằng, cấp độ của học sinh tiểu học là sự khởi đầu cho sự phát triển trí tuệ cho trẻ. Ở cấp học này, các em học sinh đã đƣợc làm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ở dạng đơn giản, dễ hiểu. Tuy nhiên, sịnh viên đƣợc đào tạo trong ngành Giáo dục Tiểu học thƣờng nghĩ rằng các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy và học toán Tiểu học. Thực chất, những công thức, khái niệm đó đƣợc lấy từ lý thuyết, quy tắc ở chính các bậc học cao hơn. Để minh chứng cho những suy nghĩ mang tính không chuẩn xác đó, đƣợc sự định hƣớng của ngƣời hƣớng dẫn, em muốn giới thiệu về tích Descartes và ứng dụng của lý thuyết này trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học, để hoàn thành khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng tích Descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học” với hai mục đích (i ) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hƣớng tìm lời giải của một số dạng toán Tiểu học. (ii ) Từ cơ sở định hƣớng ở phần trên, em đƣa ra một số phƣơng pháp hƣớng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này. 2. Mục đích nghiên cứu. Đƣa ra đƣợc những cách giải toán hữu hiệu nhất khi ứng dụng tích Descartes trong việc giải một số bài toán bậc Tiểu học. Bên cạnh đó nhằm rèn luyện tƣ duy sáng tạo, khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh tiểu học trong khi giải các bài toán thuộc dạng này. 3. Đối tƣợng nghiên cứu. Tích Descartes và một số bài toán bậc Tiểu học đƣợc ứng dụng tích Descartes. 1 4. Giả thuyết khoa học. Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đƣa ra đƣợc những cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng tích Descartes, nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học. Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán tiểu học. 5. Phạm vi nghiên cứu. Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán bậc tiểu học. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu. Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp. 7. Bố cục khóa luận. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chƣơng 2: Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học. 2 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số vấn đề về lịch sử. René Descartes (1596–1650) là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học ngƣời Pháp. Ông có nhiều đóng góp quan trọng ở nhiều lĩnh vực khác nhau, trong đó lĩnh vực chính là toán học. Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc đƣợc mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại đƣợc các đƣờng cong dựa theo tính chất của các phƣơng trình đã tạo nên chúng. Ông còn có những đóng góp quan trọng vào lý thuyết về các đẳng thức. Descartes cũng là ngƣời đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái x, y, z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái a,b, c để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x 2 ). Hơn nữa, chính ông đã thiết lập ra phƣơng pháp, gọi là phƣơng pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dƣơng của bất cứ phƣơng trình đại số nào. 1.2. Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp. Tập hợp đƣợc hiểu là một lớp nhƣ: một số các vật thể; các đối tƣợng toán học nào đó;... với những tính chất chung để xác định đƣợc những đối tƣợng hay những vật thể trong đó. Ngƣời ta ký hiệu các tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, X,Y ,... . Các vật thể hay các đối tƣợng của một tập hợp đƣợc ký hiệu bởi các chữ thƣờng a,b, x, y,... và đƣợc gọi là “ph n t ” của tập hợp đó. Hai phần tử x và y của tập hợp X giống nhau ta viết là x y và nói là “ x trùng y ”. Tập hợp X gồm các phần tử x, y, z,... đƣợc viết là X Ký hiệu x ph n t x {x ; y; z;...}. X đọc là “ x à một ph n t thuộ t p h p X ” hoặc “ x à một ủ t p h p X ”. Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X ta ký hiệu là X. 3 Ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B nếu hai tập hợp này có những phần tử nhƣ nhau. Trong trƣờng hợp, có những phần tử thuộc tập hợp A nhƣng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộc tập hợp B nhƣng lại không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp này khác nhau và viết là A B. 1.3. Cách ác định một tập hợp. Có hai cách thông thƣờng để xác định một tập hợp nhƣ sau 1.3.1. Liệt kê các phần tử. Một tập hợp coi nhƣ đƣợc xác định khi ta liệt kê đƣợc các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ 1. Các tập hợp sau đƣợc xác định với sự liệt kê các phần tử của nó nhƣ sau A {1, 3,5,7} B {0,2, 4,6, 8} Ví dụ . Tập hợp X các chữ cái in hoa để viết tên bạn Lan là X {L, A, N }. 1.3.2. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trƣng của các phần tử thuộc tập hợp. Một bộ phận A của tập hợp X mà mọi phần tử của nó đều thỏa mãn tính chất nào đó (gọi đó à thuộ tính đặ trưng của t p h p A ) đƣợc ký hiệu bởi A X : x có tính chất x Ví dụ 3. Tập hợp các tự nhiên ch n C . và tập hợp các số tự nhiên lẻ đƣợc viết tƣơng ứng là x C : x chia hết cho 2 và l x : x chia cho 2 dƣ 1 . 1.4. 4 1.4. Khái niệm Tích Descartes. Tích Descartes của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B , là một tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a,b) với a là một phần tử của A và b là một phần tử của B . Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp A B {(a,b) | a A,b B} Ví dụ 1. Cho hai tập hợp gồm các phần tử nhƣ sau A {1,5}; B {x, y, z } Thế thì, ta xác định đƣợc hai tích Descartes dƣới đây A B {(1, x );(1, y);(1, z );(5, x );(5, y);(5, z )} B {(x,1);(x,5);(y,1);(y,5);(z,1);(z,5)} và A Một số tính chất Theo ví dụ 1, tích Descartes là phép toán không có tính giao hoán. Phép toán này có tính chất kết hợp. Trong toán học,lực lƣợng của một tập hợp về cơ bản để hiểu một cách đơn giản ta hình dung qua các tập hợp hữu hạn dùng đề chỉ “số phần tử” có trong tập hợp đó. Nếu A1, A2,..., An là n tập hợp hữu hạn (n 1) , khi đó số phần tử của tích Descartes các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần. 5 Việc chọn một phần tử của tích đề các A1 A2 ... An đƣợc tiến hành bằng cách chọn lần lƣợt một phần tử của A1 , một phần tử của A2,... , một phần tử của An . Khi đó, ta nhận đƣợc đẳng thứ | A1 ... An | | A1 | ... | An | Trong ví dụ 1, ta thấy | A | 2,| B | 3 và ta thấy| A B | 2 3 6. Tích Descartes giữa hai tập (hoặc một số hữu hạn tập) đếm đƣợc là đếm đƣợc.1.5. 1.5. Lũy thừa Descartes. Ta có lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình phƣơng Descartes) của tập hợp A đƣợc định nghĩa là tích Descartes của A với A A2 A A Tƣơng tự, tích Descartes bậc n đƣợc xác định nhƣ sau An A A ... A (có n tập hợp A ở vế phải) 6 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC Đối với bậc Tiểu học, đặc biệt là về cuối cấp, ta nhận thấy rằng có rất nhiều bài toán đƣợc giảng dạy, áp dụng triệt để liên quan đến tích Descartes. Em xin minh họa một số bài toán để làm rõ luận điểm trên .1. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học Bài toán 1. Tìm và liệt kê các số có hai chữ số chia hết cho 2 . Hƣớng dẫn. Để hƣớng dẫn cho học sinh giải bài toán này, giáo viên đã biết trong hệ thập phân các số đƣợc cấu tạo từ mƣời chữ số là 0,1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9. Số có hai chữ số có dạng ab với chữ số hàng chục phải khác 0 . Nhƣ thế, các chữ số hàng chục a là các phần tử của tập hợp A {1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9}; với A 9 Căn cứ vào dấu hiệu của số tự nhiên chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng là 0,2, 4,6, 8 hay các số có chữ số tận cùng là số ch n, giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh tìm ra đƣợc chữ số hàng đơn vị. Nhƣ vậy, chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp B {0,2, 4,6, 8}; với B 5 Qua việc phân tích đó, ta có thể thấy rằng các số có hai chữ số chia hết cho 2 chính là số phần tử của tích Descartes của tập hợp A và tập hợp B ở trên. Từ đó, giáo viên có thể dễ dàng biết đƣợc số các số có hai chữ số chia hết cho 2 là 7 A B 9 5 45 (số) Ngoài việc nắm rõ về khái niệm tích Descartes, để giúp ngƣời giáo viên có thể định hình và hƣớng dẫn học sinh có thể biết đƣợc số các số có hai chữ số chia hết cho 2 mà còn có thể hƣớng dẫn các em liệt kê đƣợc đầy đủ các số mà không thừa cũng không thiếu qua việc biểu diễn sắp thứ tự của tích Descartes. Theo đó, ta nhận đƣợc các số sau 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98. Bài toán 2. Tìm số các số có hai chữ số chia hết cho cả 2 và 5 . Hƣớng dẫn. Tƣơng tự nhƣ bài toán 1, số có hai chữ số có dạng cấu trúc ab với chữ số hàng chục phải khác 0. Nhƣ thế, các chữ số hàng chục a thuộc tập hợp A {1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9}; với A 8 9. Để số đó có thể chia hết cho 2 thì số tận cùng phải là số ch n, tức là một trong các chữ số {0,2, 4,6, 8} , để số đó chia hết cho 5 thì tận cùng chỉ có thể là một trong hai chữ số {0, 5} . Từ đó ta thấy để số có 2 chữ số chia hết đồng thời cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng phải bằng 0 hay thuộc tập hợp B {0}; với B 1 Vậy số có hai chữ số chia hết đồng thời cả 2 và 5 là lực lƣợng của tích Descartes A B và bằng A B 9 1 9 (số) Bài toán 3. Từ các số 1,2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm hai chữ số ? Hƣớng dẫn. Để giải bài toán này, học sinh có thể tiến hành giải bằng nhiều cách khác nhau. Giải bằng phƣơng pháp liệt kê: Một cách trực quan, học sinh sẽ chọn và ghép hai số giống nhau hoặc khác nhau lại với nhau để đƣợc một số có hai chữ số. Theo cách làm đó, học sinh sẽ nhận đƣợc các số nhƣ sau 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Bằng cách liệt kê, học sinh sẽ nhận đƣợc kết quả là 16 số có hai chữ số có thể lập đƣợc từ các số 1,2, 3, 4 . Ta thấy rằng, bằng phƣơng pháp này, với các bài toán cho trƣớc 2 đến 4 số thì việc thực hiện có thể dễ dàng và không có sai sót. Nhƣng đối với các bài toán 9 cho trƣớc nhiều số, thì việc giải bài toán bằng phƣơng pháp liệt kê nhƣ trên sẽ mất nhiều thời gian và học sinh có thể liệt kê thiếu hoặc trùng. Để hƣớng dẫn học sinh giải bài toán này, tránh trƣờng hợp học sinh liệt kê trùng hoặc thiếu các số, giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh sử dụng tích Descartes. Số tự nhiên có 2 chữ số có dạng ab . Chữ số hàng chục a thuộc tập hợp A {1,2, 3, 4}; với A 4. Chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp B {1,2, 3, 4}; với B 4. Theo trên, ta có thể biết đƣợc các số tự nhiên có hai chữ số có thể lập đƣợc từ các số 1,2, 3, 4 là A B 4 4 16 (số). Bài toán 4. Từ các số 1,2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm hai chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau ? Hƣớng dẫn. Số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab;a sẽ trải qua hai bƣớc Chữ số hàng chục a thuộc tập hợp A {1,2, 3, 4}; với A Chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp 10 4. b . Việc tạo thành số này B {1,2, 3, 4} \ {a}; với B 3 (do không chọn lại a ) Theo trên, ta có thể biết đƣợc các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau có thể lập đƣợc từ các số 1,2, 3, 4 là A B 4 3 12 (số) Bài toán 5. Cho các chữ số 1,5,6,7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau. Hƣớng dẫn. Để giải bài toán này, học sinh có thể thực hiện bằng phƣơng pháp liệt kê: Học sinh tiến hành chọn và ghép bốn chữ số lại với nhau sao cho các chữ số không lặp lại (các chữ số khác nhau). Bằng phƣơng pháp đó, học sinh sẽ nhận đƣợc các số 1576 5167 6157 7165 1567 5176 6175 7156 1657 5716 6715 7615 1756 5617 6517 7516 1765 5761 6571 7651 1675 5671 6751 7561 Bằng phƣơng pháp liệt kê, học sinh sẽ nhận đƣợc kết quả là 24 số có bốn chữ số khác nhau có thể lập đƣợc từ các chữ số 1,5,6,7. Tuy nhiên, qua việc thực hiện ta thấy rằng phƣơng pháp này mất nhiều thời gian và việc chọn và ghép các chữ số với nhau sẽ gây nhầm lẫn, cần sử dụng một phƣơng pháp ngắn gọn và có tính chính xác cao hơn. 11 Để hƣớng dẫn cho học sinh giải bài toán này, tránh liệt kê trùng hoặc thiếu, giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh sử dụng tích Descartes. Số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd . Chữ số hàng nghìn a thuộc tập hợp {1,5,6,7}; với A A 4. Chữ số hàng trăm b thuộc tập hợp B {1,5,6,7} \ {a}; với B 3. Chữ số hàng chục c thuộc tập hợp C {1,5,6,7} \ {a,b}; với C 2. Chữ số hàng đơn vị d thuộc tập hợp D {1,5,6,7} \ {a,b, c}; với D 1 Qua việc phân tích trên, ta thấy rằng số các số tự nhiên có thể lập đƣợc từ các số 1,5,6,7 chính là phần tử của tích Descartes của tập hợp A , tập hợp B , tập hợp C và tập hợp D . Từ đó, có thể biết đƣợc số các số tự nhiên có bốn chữ số có thể lập đƣợc từ các chữ số 1,5,6,7 là A B C D 4 3 2 1 24 (số) Bài toán 6. Cho các chữ số 2, 3, 4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số lẻ gồm ba chữ số khác nhau? 12 Hƣớng dẫn. Để tránh trƣờng hợp học sinh liệt kê một cách trực quan dẫn đến việc liệt kê trùng hoặc thiếu, giáo viên nên sử dụng tích Descartes. Ta thấy, số có ba chữ số có dạng cấu trúc abc . Trong đó, chữ số hàng trăm a thuộc tập hợp A {2, 3, 4,5}; với A 4. Chữ số hàng chục b thuộc tập hợp {2, 3, 4,5}; với B B 4. chữ số hàng đơn vị c là số lẻ nên thuộc tập hợp C {3,5}; với C 2. Mỗi một số lẻ có ba chữ số thành lập từ bốn chữ số cho trƣớc tƣơng ứng với một phần tử của tích Descartes A B C và số các số đó bằng A B C Bài toán 7. Cho tập E 4 4 2 32 (số) {1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Từ các phần tử của E có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên ch n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau ? Hƣớng dẫn. Nếu học sinh tiến hành giải bài toán này bằng phƣơng pháp liệt kê với tập E gồm 9 chữ số thì việc liệt kê ra tất cả các số tự nhiên ch n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau sẽ mất nhiều thời gian hoặc xẩy ra trùng, thiếu. Đối với bài toán cho trƣớc nhiều chữ số và yêu cầu từ những chữ số đó lập thành một số tự nhiên khác, ta nên áp dụng sử dụng tích Descartes vào trong giải toán để việc giải toán không mất nhiều thời gian và độ chính xác cao. 13 Viết số tự nhiên có bốn chữ số dạng abcd . Vì số này là số ch n nên chữ số hàng đơn vị d thuộc tập hợp D {2, 4,6, 8}; với D 4. Chữ số hàng nghìn a thuộc tập hợp A {1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9} \ {d}; với A 8. Chữ số hàng trăm b thuộc tập hợp B {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \ {d,a}; với B 7. Chữ số hàng chục c thuộc tập hợp C {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \ {d,a,b}; với C 6. Theo trên, ta biết đƣợc các số tự nhiên ch n có bốn chữ số đôi một khác nhau có thể lập đƣợc từ các phần tử của E là: A B C D 4 8 7 6 1311 (số) Bài toán 8. Với ba chữ số 2, 0,5 : a) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 2 . b) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 5 . Hƣớng dẫn a ) Cách 1. Bằng cách trực quan, học sinh có thể tìm đƣợc các số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 2 là 250,502,520 14