TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======
ĐÀO THỊ TỐ UYÊN
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG
TOÁN TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phƣơng pháp dạy học Toán
HÀ NỘI, 2019
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======
ĐÀO THỊ TỐ UYÊN
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG
TOÁN TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào
HÀ NỘI, 2019
LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục
Tiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo môi trường học tập tốt
nhất để em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại.
Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình
chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng
dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểu học” .
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng
góp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiện
tại.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên
Đào Thị Tố Uyên
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của
bản thân em dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào. Các tài liệu tham
khảo trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên
Đào Thị Tố Uyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài. ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu. ........................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................... 1
4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 1
5. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................... 2
7. Bố cục khóa luận .................................................................................................. 2
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 3
1.1. Tập hợp.............................................................................................................. 3
1.2. Quy tắc cộng...................................................................................................... 4
1.3. Quy tắc nhân...................................................................................................... 4
1.4. Hoán vị .............................................................................................................. 5
1.5. Chỉnh hợp .......................................................................................................... 8
1.6. Tổ hợp ............................................................................................................. 10
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC.................................................................. 13
2.1. Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán số học .................. 13
2.2. Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán hình học .............. 22
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Như chúng ta đã biết, cấp độ của học sinh tiểu học là sự
khởi đầu cho sự phát triển trí tuệ cho trẻ. Ở cấp học này, các em học sinh đã
được làm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán
ở dạng đơn giản, dễ hiểu.
Tuy nhiên, sinh viên được đào tạo trong ngành Giáo dục Tiểu học thường suy
nghĩ các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy
và học toán Tiểu học. Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy,
được áp dụng từ lý thuyết, quy tắc ở chính các bậc học cao hơn.
Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, được sự định hướng
của người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về lý thuyết về tổ hợp và ứng dụng
của lý thuyết này trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học, để hoàn thành
khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng lý thuyết
tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểu học” với hai mục đích:
(i ) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một
số dạng toán Tiểu học.
(ii ) Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp
hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này.
2. Mục đích nghiên cứu. Đưa ra được những cách giải toán hữu hiệu nhất
khi ứng dụng lý thuyết của tổ hợp trong dạy một số bài toán tiểu học.
Bên cạnh đó nhằm rèn luyện tư duy, sự sáng tạo, khả năng suy nghĩ, phát
hiện và giải quyết vấn đề của học sinh tiểu học trong khi giải các bài toán
thuộc dạng này.
3. Đối tƣợng nghiên cứu. Lý thuyết tổ hợp và một số dạng toán bậc Tiểu học
được ứng dụng lý thuyết tổ hợp.
4. Giả thuyết khoa học. Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa ra được những
cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng lý thuyết tổ hợp, để
nâng cao hiệu quả dạy và học.
1
Nghiên cứu việc ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong việc giải một số bài toán tiểu
học.
5. Phạm vi nghiên cứu. Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong việc dạy một số
dạng toán tiểu học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Phương pháp phân tích, tổng hợp.
Phương pháp quan sát sư phạm.
7. Bố cục khóa luận. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề
tài gồm 2 chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểu
học.
2
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Tập hợp
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu. Lý thuyết tập hợp được xem là ngành toán học
khởi đầu cho việc nghiên cứu toán học hiện đại. Bất kì đối tượng nào ta cũng
có thể đưa vào tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối
tượng liên quan đến toán học.
Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor (nhà toán học người Đức)
trong những năm 1874 đến năm 1897.
Công trình của ông công bố năm 1874 đã đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập
hợp giống như sự khởi đầu và đặt nền móng vững chắc cho nền toán học hiện
đại.
1.1.2. Một số khái niệm và ký hiệu. Tập hợp được hiểu là một lớp như: một
số các vật thể; các đối tượng toán học nào đó;... với những tính chất chung để
xác định được những đối tượng hay những vật thể trong đó.
Thông thường, một tập hợp được biểu diễn tương ứng như một mặt phẳng
được giới hạn bởi một đường cong khép kín (như hình)
.A
Người ta kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, X,Y ,... . Các vật
thể hay các đối tượng của một tập hợp được ký hiệu bởi các chữ thường
a,b, x, y,... và được gọi là “phần tử” của tập hợp đó. Tập hợp X gồm các
phần tử x, y, z,... được viết là
X
{x; y; z;...}.
3
Ví dụ. Tập hợp A các học sinh trong một lớp học, tập hợp B các học sinh
trai và tập hợp C các học sinh gái trong lớp học đó.
Tập hợp các số tự nhiên được viết như sau
N
{0;1;2;3;...}.
1.2. Quy tắc cộng
1.2.1. Quy tắc. Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án
A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực
hiện phương án B . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n
m cách.
Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của
A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B , tức là
A B
A
B.
1.2.2. Một số ví dụ. Một hộp nhựa đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu
xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong số các viên bi trong hộp nhựa
đó?
Mỗi lần lấy ra một viên bi là một cách chọn.
Có bốn cách chọn viên bi màu đỏ, năm cách chọn viên bi màu xanh.
Như vậy, số cách chọn một trong số các viên bi là
4
5
9 (cách chọn)
Đáp số: 9 cách chọn
1.3. Quy tắc nhân
1.3.1. Quy tắc. Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và
B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn
A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực
hiện theo m n cách.
Quy tắc nhân có thể thực hiện với một công việc có nhiều công đoạn.
4
1.3.2. Một số ví dụ. Tổ 1 lớp 2A có ba học sinh nữ và bốn học sinh nam. Cô
giáo muốn chọn một cặp học sinh (gồm một học sinh nữ và một học sinh
nam) để tham gia văn nghệ. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn?
Ta đánh số thứ tự ba học sinh nữ lần lượt là a,b, c và bốn học sinh nam lần
lượt là 1,2, 3, 4 .
Công việc 1. Chọn một học sinh nữ, có ba cách chọn (chọn a,b hoặc c )
Công việc 2. Chọn một học sinh nam, có bốn học sinh nam. Ứng với mỗi
cách chọn học sinh nữ có bốn cách chọn học sinh nam (chọn 1,2, 3 hoặc 4 )
Do đó có những cặp học sinh như sau: a1, a 2, a 3, a 4,b1,b2,b 3,b 4, c1, c2, c 3, c4 .
Như vậy, số cách chọn cặp học sinh nam nữ là
3 4
12 (cách chọn)
Đáp số: 12 cách chọn
1.4. Hoán vị
1.4.1. Định nghĩa. Cho tập hợp A có n phần tử (n
1) . Khi sắp xếp n
phần tử này theo một thứ tự nhất định, ta được một phần tử của một tập hợp
mới và được gọi là một hoán vị của tập hợp A .
Ví dụ 1. Có ba vận động viên tham gia cuộc thi bơi lội. Nếu không có trường
hợp có hai người về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra với
các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?
Giả sử ba vận động viên có tên lần lượt là A, B,C .
Khi đó kết quả sắp xếp theo thứ tự nhất, nhì và ba có thể xảy ra như sau
ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA .
Như vậy, mỗi kết quả của việc sắp thứ tự ba vận động viên theo vị trí thứ
nhất, thứ nhì và thứ ba được gọi là một hoán vị của ba vị trí nhất, nhì và ba.
Ví dụ 2. Trong trận chung kết bóng đá Việt Nam với Hàn Quốc, sau hai hiệp
phụ cả hai đội có tỉ số bằng nhau nên phải đá luân lưu. Đội Việt Nam cần
5
chọn ra năm cầu thủ trong đội để tham gia. Hãy nêu ra bốn cách sắp xếp cầu
thủ để đá luân lưu?
Giả sử tên của năm cầu thủ được chọn để đá luân lưu là M, N , P,Q, R .
Cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm.
Kết quả phân công là một danh sách có thứ tự tên của năm cầu thủ.
Bốn cách sắp xếp cầu thủ để đá luân lưu như sau
Cách 1: MNPQR
Cách 2: MNQPR
Cách 3: MPQNR
Cách 4: MPNQR
Như vậy, mỗi kết quả của sự sắp thứ tự tên năm cầu thủ như trên gọi là một
hoán vị tên của năm cầu thủ.
1.4.2. Số các hoán vị
Ví dụ. Có bốn bạn Mai, Ngọc, Phượng, Quyên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp chỗ ngồi cho bốn bạn vào một bàn học?
Ta viết tên bốn bạn Mai, Ngọc, Phượng, Quyên lần lượt là M , N , P,Q và viết
MNPQ để biểu diễn cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn trên.
Bài toán trên có thể giải theo hai cách sau
a ) Cách 1: Dùng phương pháp liệt kê
Có những cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn vào một bàn học như sau
MNPQ, MNQP, MPNQ, MPQN , MQNP, MQPN .
NMPQ, NMQP, NPMQ, NPQM , NQMP, NQPM .
PMNQ, PMQN , PNMQ, PNQM , PQMN , PQNM .
QMNP,QMPN ,QNMP,QNPM ,QPMN ,QPNM .
6
Vậy có tất cả 24 cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn Mai, Ngọc, Phượng,
Quyên vào một bàn học.
b ) Cách 2: Dùng quy tắc nhân
Vị trí ngồi thứ nhất: Có bốn cách chọn trong bốn bạn.
Vị trí ngồi thứ hai: Có ba cách chọn (vì đã chọn một bạn vào vị trí ngồi thứ
nhất).
Vị trí ngồi thứ ba: Có hai cách chọn (vì đã chọn hai bạn vào hai vị trí đầu
tiên).
Vị trí ngồi thứ tư: Có một cách chọn (vì chỉ còn một bạn còn lại).
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn là
1 2 3 4
24 (cách chọn)
Định lý 1. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
Pn
n!
n (n
1) (n
2) ... 2 1.
Chứng minh. Để xác định số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử, ta
làm như sau
Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của một tập hợp là một công việc gồm n hành
động. Hành động thứ nhất là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất, hành
động thứ hai là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ hai, hành động thứ ba là
chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ ba,…
Hành động thứ nhất: Có n cách chọn phần tử vào vị trí thứ nhất.
Hành động thứ hai: Có n 1 cách chọn phần tử vào vị trí thứ hai (vì
đã chọn một phần tử vào vị trí thứ nhất).
Tiếp tục như vậy, ở hành động thứ ba ta có n
vào vị trí thứ ba,…
2 cách chọn phần tử
Cuối cùng ở hành động n (hành động cuối) ta chỉ còn một cách thực
hiện.
7
Theo quy tắc nhân, ta có tất cả n (n
1) (n
2) ... 2 1
n ! cách
sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho của tập hợp, tức là có n ! hoán vị. Vậy
Pn
Kí hiệu: Pn
n!
n (n
1) (n
2) ... 2 1.
n ! (đọc là n giai thừa)
1.5. Chỉnh hợp
1.5.1. Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương k với
1
k
n . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta
được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp
chập k của tập hợp A ).
Ví dụ. Cho các chữ số: 0,1,2,...,9 . Hãy nêu ra năm số có ba chữ số khác
nhau mà các chữ số của chúng đều là số lẻ?
Gọi số cần tìm là abc ( a khác 0;a,b, c là các số tự nhiên)
Theo yêu cầu bài toán, năm số cần tìm bao gồm các chữ số trong năm chữ số
sau
1, 3,5,7,9 .
Ta có bảng sau
a
b
c
1
3
5
3
5
9
3
7
1
7
5
3
9
1
7
Năm số thỏa mãn đề bài là: 135, 359, 371,753,917 . Mỗi số cần tìm trong bảng
trên chính là một chỉnh hợp chập 3 của 5 .
8
1.5.2. Số các chỉnh hợp
Ví dụ. Tổ 4 lớp 5A có 10 bạn học sinh. Lớp trưởng cần phân công bốn bạn
để làm các công việc sau: giặt khăn lau, quét lớp, lau cửa sổ và đổ rác. Hỏi
lớp trưởng có bao nhiêu cách phân công?
Phân công một bạn giặt khăn lau, có mười cách chọn.
Phân công một bạn quét lớp, có chín cách chọn (vì đã chọn một bạn giặt khăn
lau).
Phân công một bạn lau cửa sổ, có tám cách chọn (vì đã chọn hai bạn để giặt
khăn lau và quét lớp).
Phân công một bạn đổ rác, có bảy cách chọn (vì đã chọn ba bạn để giặt khăn
lau, quét lớp và lau cửa sổ) .
Theo quy tắc nhân, số cách phân công là
7 8 9 10
5040 (cách chọn)
Ta có 5040 là một chỉnh hợp chập 4 của 10 bạn.
Định lý 2. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
(1
k
n) là
Ank
n (n
1) (n
2) ... (n
k
1)
Chứng minh. Việc lập một chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được
xem như một công việc gồm k hành động. Hành động thứ nhất là chọn phần
tử xếp vào vị trí thứ nhất. Hành động thứ hai là chọn phần tử xếp vào vị trí
thứ hai,…. Hành động thứ k là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ k .
Hành động 1: Có n cách chọn phần tử vào vị trí thứ nhất.
Hành động 2: Có n 1 cách chọn phần tử vào vị trí thứ hai (vì đã chọn
một phần tử vào vị trí thứ nhất).
Tương tự như vậy, ở hành động 3 có n
Hành động cuối (hành động thứ k ) có n
9
2 cách chọn vào vị trí thứ ba.
k
1 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có n (n
1) (n
2) ... (n
k
1) cách lập ra
một chỉnh hợp chập k .
Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử.
Nhận xét
1. Một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó,
nên
Ann
2. Với 0
k
Pn
n thì ta có thể viết
n!
n k !
Ank
Ta quy ước 0!
k
n!
1 và An0
1 . Khi đó công thức trên đúng với cả k
0 và
n.
1.6. Tổ hợp
1.6.1. Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với
1
k
n . Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp
chập k của tập hợp A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A )
Như vậy, một tổ hợp chập k của tập hợp A chính là việc lấy ra k phần tử của
tập hợp này mà không quan tâm đến sự sắp xếp về mặt thứ tự của các phần tử
trong đó.
Ví dụ. Trong mặt phẳng cho bốn điểm M , N , P,Q (không có ba điểm nào
thẳng hàng). Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh được tạo nên từ bốn điểm
trên?
Ta thấy rằng một tam giác được tạo nên từ ba đỉnh. Ba đỉnh đó thuộc bốn
điểm đã cho trong đề bài.
Như vậy số tam giác được tạo nên là
MNP, MNQ, MPQ, NPQ .
10
Mỗi tam giác được tạo nên từ bốn điểm trên chính là một tổ hợp chập 3 của
4 điểm.
1.6.2. Số các tổ hợp
Ví dụ. Trong một hộp nhựa có 10 viên bi xanh, 15 viên bi đỏ và 20 viên bi
vàng.
Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi mà trong đó không có viên bi nào
trùng màu nhau?
Chọn ra một viên bi màu xanh: Có 10 cách chọn trong số 10 viên bi màu
xanh
Chọn ra một viên bi màu đỏ: Có 15 cách chọn trong số 15 viên bi màu đỏ
Chọn ra một viên bi màu vàng: Có 20 cách chọn trong số 20 viên bi màu
vàng
Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra 3 viên bi là
10 15 20
3000 (cách chọn)
Định lý 3. Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (0
k
n)
là
C nk
Chứng minh. Với k
n!
k !(n k )!
0 : Ta quy ước C n0
1 . Với quy ước này, công thức
trên hiển nhiên đúng.
Với k
1 : Ta thấy mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k
của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A . Hay nói cách khác, mỗi hoán vị
của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A .
Vậy từ một tổ hợp chập k của A ta lập được k ! chỉnh hợp chập k của A , ta
có
11
Ank
C nk
k!
hay
C nk
Ank
k!
n!
k !(n k )!
12
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC
2.1. Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán số học
Bài toán 1 [2,Ví dụ 1.1 – trang 7]. Cho bốn chữ số 0,1,2, 3 . Viết được bao
nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?
Hƣớng dẫn
Cách 1. Chọn chữ số hàng nghìn là 1 , ta có sơ đồ sau
1
0
2
3
2
3
0
3
0
2
3
2
3
0
2
0
1032
1203
1230
1302
1320
1023
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, với chữ số hàng nghìn ta nhận được 6 số thỏa mãn đề
bài.
Vì chữ số hàng nghìn phải khác 0 nên chữ số hàng nghìn chỉ có thể bằng 1
hoặc bằng 2 hoặc bằng 3 .
Vì vậy, số các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là
6 3
18 (số)
Cách 2. Các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là
1230
1023
2103
3012
3201
1203
1032
2130
3021
3210
13
1320
2013
2301
3120
1302
2031
2310
3102
Vậy có tất cả 18 số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho.
Cách 3. Ta thấy rằng chữ số hàng nghìn phải khác 0 . Do đó, cách chọn các
chữ số như sau
+ Chữ số hàng nghìn: Có ba cách chọn (vì chữ số hàng nghìn phải khác
0)
+ Chữ số hàng trăm: Có ba cách chọn (vì đã chọn một chữ số vào vị trí
hàng nghìn)
+ Chữ số hàng chục: Có hai cách chọn (vì đã chọn hai chữ số vào vị trí
hàng nghìn và hàng trăm)
+ Chữ số hàng đơn vị: Có một cách chọn (vì đã chọn ba chữ số vào vị
trí hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục)
Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là
3 3 2 1
18 (số)
Nhận xét
Đối với cách 1 và cách 2 , học sinh thường làm theo hai cách này. Đây là hai
cách đơn giản, phù hợp với trình độ của các em. Nhưng các em học sinh
thường liệt kê thiếu kết quả hoặc đối với các bài toán đưa ra dữ liệu với nhiều
chữ số thì làm theo cách 1 và cách 2 như trên sẽ gây khó khăn, dễ nhầm lẫn.
Đối với cách thứ 3 đã sử dụng lý thuyết tổ hợp để giải bài toán trên. Khi áp
dụng cách này, trong khi chọn các chữ số của các số thỏa mãn đề bài, học
sinh sẽ không bị bỏ sót. Việc chọn các chữ số lần lượt theo các hàng một
cách tuần tự giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán. Bên cạnh đó, đối
với các bài toán đưa ra dữ liệu với nhiều chữ số thì làm theo cách này sẽ
không bị nhầm lẫn.
Bài toán 2 [2, Ví dụ 1.2 – trang 9]. Cho năm chữ số 0,1,2, 3, 4 . Từ năm chữ
số đã cho
14
a ) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số?
b ) Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm
bằng 2 ?
Hƣớng dẫn
a ) Vì chữ số hàng nghìn phải khác 0 nên cách chọn các chữ số như sau
+ Chữ số hàng nghìn: Có bốn cách chọn
+ Chữ số hàng trăm: Có năm cách chọn
+ Chữ số hàng chục: Có năm cách chọn
+ Chữ số hàng đơn vị: Có năm cách chọn
Vậy số các số có bốn chữ số từ năm chữ số đã cho là
4 5 5 5
500 (số)
b ) Vì chữ số hàng trăm bằng 2 nên chữ số hàng trăm có một cách chọn.
Cách chọn các chữ số còn lại như sau
+ Chữ số hàng nghìn: Có bốn cách chọn
+ Chữ số hàng chục: Có năm cách chọn
+ Chữ số hàng đơn vị: Có ba cách chọn (vì các số cần tìm là số chẵn,
chọn từ các chữ số 0,2, 4 )
Vậy số các số chẵn có bốn chữ số thỏa mãn đề bài là
4 5 3 1
60 (số)
Nhận xét. Đối với bài toán trên đã ứng dụng lý thuyết tổ hợp, giúp giáo viên
tìm ra hướng giải phù hợp nhất cũng như giúp học sinh tìm ra kết quả chính
xác, đầy đủ.
Bài toán 3 [2, Bài 2 – trang 20]. Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số
khác nhau, biết rằng
a ) Các chữ số của chúng đều là số lẻ?
b ) Các chữ số của chúng đều là số chẵn?
15
- Xem thêm -