Tài liệu Luận văn phép toán gần kề trong không gian hilbert và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN CÔNG NGUYÊN PHÉP TOÁN GẦN KỀ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN CÔNG NGUYÊN PHÉP TOÁN GẦN KỀ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, 2018 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, thầy đã hướng dẫn tận tình, chu đáo để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình trang bị kiến thức, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu, giúp tác giả hoàn thành luận văn một cách thuận lợi. Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học của mình. Hà Nội, tháng 8 năm 2018 Tác giả Nguyễn Công Nguyên i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phép toán gần kề trong không gian Hilbert và ứng dụng" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm và bởi chính nhận thức của bản thân tác giả. Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 8 năm 2018 Tác giả Nguyễn Công Nguyên ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Một số kí hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tập lồi, hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Một số đạo hàm cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Phép toán gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Điểm gần nhất và nón pháp gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Dưới gradient gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Định lý trù mật và nguyên lý cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Định lý trù mật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Nguyên lý cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Hàm chập toàn phương, hàm khoảng cách và hàm Lipschitz . . . 33 2.4.1. Hàm chập toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2. Hàm khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.3. Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Quy tắc cộng và dưới gradient giới hạn gần kề . . . . . . . . . . . . 47 2.5.1. Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2. Dưới gradient giới hạn gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1. Bài toán tối ưu với ràng buộc là tập đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2. Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3. Bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Một số kí hiệu thường dùng projS (x) phép chiếu của điểm x lên trên tập S; dS (x) khoảng cách từ điểm x tới tập S; NSP (x) nón pháp tuyến gần kề tại x của S; ∂P f (x) dưới gradient gần kề của f tại x; domf miền xác định của hàm f ; epif tập trên đồ thị của hàm f ; F(U ) tập tất cả các hàm f : U → (−∞, ∞] nửa liên tục dưới và không đồng nhất bằng +∞; ∂L f (x) dưới gradient giới hạn gần kề; NS (x) nón pháp tuyến của S tại điểm x; NSL (x) nón pháp tuyến giới hạn của f tại x; f 0 (x; v) đạo hàm theo hướng v của hàm f tại điểm x; fG0 (x) đạo hàm Gâteaux của f tại điểm x; f 0 (x) đạo hàm Fréchet của f tại x; IS (·) hàm chỉ của tập S; ∇f (x) vectơ gradient của f tại x; L(X, Y ) tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y ; 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Giải tích biến phân là một bộ phận của toán học, được hình thành và phát triển nhằm trang bị các công cụ để nghiên cứu các bài toán tối ưu và những vấn đề có liên quan. Một mặt, các bài toán tối ưu thường xuyên xuất hiện trong các khoa học ứng dụng. Mặt khác, giải quyết vấn đề dựa vào tối ưu là một phương pháp hiệu quả trong toán học. Điều này làm cho giải tích biến phân trở thành một lĩnh vực đáng quan tâm xét theo cả góc độ lý thuyết lẫn góc độ ứng dụng. Phép toán gần kề là một bộ phận của Giải tích biến phân có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn. Việc nghiên cứu Phép toán gần kề cùng những ứng dụng của nó là một chủ đề đã và đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm. Vì vậy, sau khi được học và nghiên cứu những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của chúng, dưới sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Phép toán gần kề trong không gian Hilbert và ứng dụng” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu Phép toán gần kề và ứng dụng của nó. Qua đó thấy được tầm quan trọng của những kiến thức đã học và những ứng dụng của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu và nghiên cứu Phép toán gần kề và ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép toán gần kề và ứng dụng của nó. Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích không trơn và Lý thuyết tối ưu. Thu thập tài liệu để nghiên cứu, phân tích tổng hợp để giải quyết vấn đề luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Dựa trên tài liệu [5], luận văn trình bày một cách có hệ thống về phép toán gần kề trong không gian Hilbert và một số ứng dụng của nó trong bài toán tối ưu có ràng buộc. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sẽ được dùng cho các chương sau. Cụ thể, phần đầu chương nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert và giải tích lồi. Phần sau đó, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đạo hàm và các kết quả liên quan. Nội dung trong chương được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu tham khảo [1, 2, 3]. 1.1. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 ([3]). Cho H là không gian vectơ trên trường R. Ta gọi một tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau: h·, ·i : H × H −→ R (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau đây: a) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R; d) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (H, h·, ·i) được gọi là không gian tiền Hilbert. 4 Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướng h·, ·i chính là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lí 1.1 ([3]). Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, khi đó ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. Bất đẳng thức ở Định lí 1.1 được gọi là bất đẳng thức Schwarz, trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.2 ([3]). Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó kxk = hx, xi1/2 , x∈H xác định một chuẩn trên H. Nhờ định lí trên ta thấy rằng, một không gian tiền Hilbert được xem như là một không gian định chuẩn, có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Định nghĩa 1.2 ([3]). Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì H được gọi là không gian Hilbert. Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hibert, với trường R thì ta có không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1. 1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng n X hx, yi = x i yi , i=1 trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . 5 2. Xét không gian ( l2 = x = (xn )n ⊂ K ∞ X ) |xn |2 < +∞ . n=1 Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn v u∞ uX |xn |2 . kxk = t (1.1) n=1 Với x = (xn )n∈N∗ , y = (yn )n∈N∗ ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức 2 ∞  X   xn yn  ≤ kxk2 kyk2 < +∞,    n=1 ta kiểm tra được rằng hx, yi = ∞ X x n yn n=1 xác định một tích vô hướng trong l2 và nó cảm sinh chuẩn trong (1.1). Vậy l2 là một không gian Hilbert. 3. Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian   Z  L2 (E, µ) = f : E → R |f |2 dµ < ∞ E ta đã biết L2 (E, µ) là một không gian Banach với chuẩn Z  21 kf k = |f |2 dµ . E Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thức Hölder, ta có Z  21 Z  12 Z 2 2 |f | dµ |g| dµ < +∞. |f g| dµ ≤ E E E Ta dễ dàng kiểm tra được Z hf, gi = f g dµ, E 6 xác định một tích vô hướng trong L2 (E, µ) và L2 (E, µ) là không gian Hilbert thực. Định nghĩa 1.3 ([3]). Cho H là một không gian Hilbert. Dãy {xn } trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H ta có lim hxn , yi = hx, yi. n→∞ w Khi đó ta viết xn − → x. Định lí 1.3 ([3]). Giả sử H là không gian Hilbert i) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy {yn } hội tụ mạnh đến y ∈ H thì dãy số {hxn , yn i} hội tụ đến hx, yi. ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy {kxn k} hội tụ mạnh đến kxk thì dãy {xn } hội tụ mạnh đến x ∈ H. 1.2. Tập lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.4 ([1]). Cho hai điểm a, b ∈ H. i) Một đường thẳng đi qua hai điểm a, b là tập hợp có dạng {x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} . ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b trong H là tập hợp {x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} . Định nghĩa 1.5 ([1]). Một tập D được gọi là tập affine nếu D chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì x, y ∈ D, tức là ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D. 7 Định nghĩa 1.6 ([1]). Cho a ∈ H là một vectơ khác 0 và α ∈ R. Tập hợp  x : aT x ≥ α được gọi là nửa không gian đóng và tập {x : aT x > α} gọi là nửa không gian mở. Định nghĩa 1.7 ([1]). Một tập D được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ D và mọi λ ∈ [0, 1], ta có λa + (1 − λ)b ∈ D. Định nghĩa 1.8 ([1]). Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm x1 , . . . , xk nếu x= k X λj xj , λj ≥ 0, j = 1, . . . , k, j=1 k X λj = 1. j=1 Mệnh đề 1.1 ([1]). Tập hợp D là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là, tập D là lồi khi và chỉ khi ∗ ∀k ∈ N , ∀λ1 , . . . , λk ≥ 0 : k X λj = 1, ∀x1 , . . . , xk ∈ D =⇒ j=1 k X λj xj ∈ D. j=1 Mệnh đề 1.2 ([1]). Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H, thì các tập sau là lồi A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ H × H|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}. Định nghĩa 1.9 ([2]). Một tập D ⊂ H được gọi là nón nếu ∀x ∈ D, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ D. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi. 8 Định nghĩa 1.10 ([2]). Cho D ⊆ H là một tập lồi và x0 ∈ D. Tập  ND (x0 ) := w ∈ H : hw, x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ D , được gọi là nón pháp tuyến ngoài của D tại x0 và tập −ND (x0 ) được gọi là nón pháp tuyến trong của D tại x0 . Hiển nhiên 0 ∈ ND (x0 ) và dùng định nghĩa ta có ND (x0 ) là một nón lồi đóng. Định nghĩa 1.11 ([2]). Cho D là một tập lồi và f : D → R ∪ {+∞}. Hàm f được gọi là: • lồi trên D nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1; • lồi chặt nếu f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, x 6= y, 0 < λ < 1. Hàm f được gọi là lõm (lõm chặt) nếu hàm −f là lồi (lồi chặt). Hàm f : X → (−∞, +∞] được gọi là hàm có giá trị thực mở rộng. Tập domf := {x ∈ X : f (x) < ∞}. gọi là miền xác định của f. Đồ thị và trên đồ thị trên của f được xác định bởi grf := {(x, f (x)) : x ∈ domf }, epif := {(x, r) ∈ domf × R : r ≥ f (x)}. 9 Các tập này đóng nếu hàm f là nửa liên tục dưới. Nhắc lại rằng f : X → (−∞, +∞] nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf f (x0 ) ≥ f (x). 0 x →x Tương đương với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho y ∈ B(x; δ) nghĩa là f (y) ≥ f (x) − , trong đó ∞ − r là ∞ khi r ∈ R. Hàm f là nửa liên tục trên tại x nếu −f là nửa liên tục dưới tại x. Hơn nữa, một hàm f liên tục tại x ∈ X, x hữu hạn và với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho y ∈ B(x; δ) hay |f (x) − f (y)| ≤ . Với f có giá trị hữu hạn, thì f là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu f là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên, liên tục) tại mọi x thuộc U ⊂ X mở, thì f được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên, liên tục) trên U. Ví dụ 1.2. Hàm a-phin f (x) := aT x + α, trong đó a ∈ H, α ∈ R. Dễ dàng kiểm tra được f là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian. Khi α = 0, thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính. Định lí 1.4 ([2]). Cho f và g là hai hàm lồi trên tập lồi và D tương ứng. Khi đó các hàm số αf + βg với α, β là các hằng số dương và max{f, g} cũng lồi trên D. Một hàm lồi có thể không liên tục tại một điểm trên biên miền xác định của nó, tuy nhiên nó liên tục tại mọi điểm trong của tập đó theo định lí sau Định lí 1.5 ([2]). Một hàm lồi f xác định trên tập lồi D thì f liên tục tại mọi điểm trong của D. 10 Ta ký hiệu F(D), trong đó S ⊆ X là mở, là lớp các hàm f : X → (−∞, ∞] nửa liên tục dưới trên tập D và domf ∩ D 6= ∅. Nếu D = X, ký hiệu F thay cho F(X). Gọi S là tập con của X. Hàm chỉ của S, được cho bởi IS (·) hoặc I(·; S), là hàm được xác định bởi   0 IS (x) :=  +∞ nếu x ∈ S, nếu x ∈ / S. Mệnh đề sau đây cho ta một số tính chất cơ bản khác của hàm lồi. Chú ý rằng X ×R, là không gian trong đó có epif , luôn luôn được xem như là một không gian Hilbert với tích vô hướng h(x, r), (x0 , r0 )i := hx, x0 i + rr0 . Mệnh đề 1.3. Giả sử f : X → (−∞, +∞]. (a) Hàm f là nửa liên tục trên trong X nếu và chỉ nếu epif là đóng trong X × R, hoặc nếu và chỉ nếu mỗi tập {x : f (x) ≤ r}, đóng, r ∈ R. Lưu ý rằng grf không nhất thiết đóng khi f là nửa liên tục dưới. (b) Hàm f là lồi trên X nếu và chỉ nếu epif là tập con lồi của X × R. (c) Khi f là một hàm chỉ, f = IS , f ∈ F(X) nếu S khác rỗng và đóng, thì f lồi nếu S lồi. P (d) Giả sử rằng (ζ, −λ) ∈ X × R thuộc Nepif (x, r) với (x, r) ∈ epif , trong đó f ∈ F. Khi đó λ ≥ 0, r = f (x) nếu λ > 0, và λ = 0 nếu P r > f (x). Trong trường hợp này, ta có (ζ, 0) ∈ Nepif (x, f (x)). (e) Tồn tại f ∈ F(R) liên tục sao cho với mỗi x chúng ta có (1, 0) ∈ P Nepif (x, f (x)). 11 (f) Nếu S = epif , trong đó f ∈ F, với mọi x, thì dS (x, r) là hàm không tăng của r. 1.3. Một số đạo hàm cổ điển Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đạo hàm và tính chất của đạo hàm trong không gian Hilbert X. Định nghĩa 1.12. Cho f là phiếm hàm xác định trên X. Đạo hàm theo hướng v ∈ X của f tại x ∈ domf được định nghĩa là f (x + tv) − f (x) , t→0 t f 0 (x; v) := lim (1.2) trong đó giới hạn tồn tại. Định nghĩa 1.13. Ta nói rằng f khả vi Gâteaux tại x, nếu giới hạn (1.2) tồn tại với mọi v ∈ X, và tồn tại duy nhất phần tử duy nhất fG0 (x) ∈ X thỏa mãn f 0 (x; v) := hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. (1.3) Khi đó, ta gọi fG0 (x) ∈ X là đạo hàm Gâteaux của f tại x. Một phiếm hàm có thể có đạo hàm theo hướng tại x theo mọi hướng nhưng không tồn tại đạo hàm Gâteaux, chẳng hạn f (x) = kxk tại x = 0. Khi đó, đạo hàm theo hướng v bất kì tại 0 là f 0 (0; v) = kvk. Ngoài ra, các hàm nửa liên tục dưới có thể có đạo hàm Gâteaux tại x nhưng chưa chắc liên tục tại điểm này. Định nghĩa 1.14. Giả sử (1.3) đúng tại điểm x, và giới hạn trong (1.2) hội tụ đều theo v trên các tập con bị chặn của X. Khi đó ta nói f khả 12 vi Fréchet tại x, ký hiệu f 0 (x) là đạo hàm Fréchet thay cho fG0 (x). Điều này có nghĩa là, với mọi r > 0 và  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho    f (x + tv) − f (x)  0  < − hf (x), vi   t thỏa mãn với mọi |t| < δ và kvk ≤ r. Từ các định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu f khả vi Fréchet tại x thì f cũng khả vi Gâteaux tại x. Hơn nữa, nếu f khả vi Fréchet tại x thì f cũng liên tục tại điểm này, tuy nhiên điều này có thể không còn đúng cho tính khả vi Gâteaux. Mệnh đề 1.4. Giả sử f, g : X → R có đạo hàm Fréchet tại x ∈ X. Khi đó, f ± g, f g và f /g (g(x) 6= 0) có đạo hàm Fréchet tại x và khi đó: a) (f ± g)0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x); b) (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x);  0  0  f f (x)g(x) − f (x)g 0 (x) c) (x) = . g g 2 (x) Tương tự như đối với đạo hàm cổ điển, ta cũng có tính chất quan trọng về định lý giá trị trung bình đối với đạo hàm Gâteaux. Định lí 1.6. Giả sử f ∈ F(X) là khả vi Gâteaux trên một tập mở chứa đoạn thẳng [x, y] := {tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1}, ở đó x, y ∈ X. Tức là, tồn tại tập U mở chứa [x, y] sao cho f khả vi tại mọi điểm của U. Khi đó tồn tại z := tx + (1 − t)y, 0 < t < 1, sao cho f (y) − f (x) = hfG0 (z), y − xi. 13 Tiếp theo, ta mở rộng các khái niệm đạo hàm cho các ánh xạ giữa hai không gian Hilbert. Giả sử X1 , X2 là không gian Hilbert với chuẩn tương ứng là k · k1 , k · k2 , và ánh xạ F : X1 → X2 . Ký hiệu L(X1 , X2 ) là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X1 đến X2 với chuẩn của toán tử thông thường. Trường hợp X2 = R, thì L(X1 , R) đồng nhất với X1 . Định nghĩa 1.15. Cho x ∈ X1 . Đạo hàm Gâteaux của F tại x là phần tử FG0 (x) ∈ L(X1 , X2 ) thỏa mãn F (x + tv) − F (x) 0 = 0, lim − F (x)(v) G t→0 t 2 với mọi v ∈ X1 . Nếu giới hạn trên là đều theo v trên các tập bị chặn của X1 , thì F khả vi Fréchet và ký hiệu F 0 (x) thay cho FG0 (x). Tương tự như trường hợp vô hướng, đạo hàm của tổng hai ánh xạ từ X1 đến X2 là tổng của các đạo hàm. Chúng ta có quy tắc đạo hàm của hàm hợp sau đây. Định lí 1.7. Giả sử X1 , X2 và X3 là các không gian Hilbert, và F : X1 → X2 , G : X2 → X3 . Giả sử rằng F , G tương ứng khả vi Fréchet tại x ∈ X1 và F (x) ∈ X2 . Khi đó, G ◦ F : X1 → X3 khả vi Fréchet tại x và (G ◦ F )0 (x) = G0 (F (x))F 0 (x), trong đó G0 (F (x))F 0 (x) ∈ L(X1 , X3 ) là hợp thành của F 0 (x) với G0 (F (x)). Giả sử U ⊂ X mở và f : U → R khả vi Fréchet trên U. Nếu f 0 (·) : U → X liên tục trên U , ta nói rằng f là C 1 trên U , và viết f ∈ C 1 (U ). 14