Tài liệu Luận văn phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giảng một số dạng toán của nội dung hình học ở tiểu họ

1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m hµ Néi 2 ----------------------- Bïi ThÞ Sao Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc LuËn v¨n th¹c sÜ Gi¸o dôc häc Hµ Néi, 2009 2 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m hµ Néi 2 ----------------------- Bïi ThÞ Sao Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc Chuyªn ngµnh: Gi¸o dôc häc (BËc TiÓu häc) M· sè : 60 46 01 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS.TS NguyÔn Phô Hy Hµ Néi, 2009 3 Lêi c¶m ¬n B»ng sù nç lùc cña b¶n th©n vµ sù gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña PGS.TS NguyÔn Phô Hy t«i ®· hoµn thµnh luËn v¨n: Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy h­íng dÉn vµ toµn thÓ c¸c thÇy c« trong tr­êng §HSP Hµ Néi 2. §ång thêi, t«i xin göi lêi ¶m ¬n tíi c¸c b¹n bÌ ®ång nghiÖp, c¸c em häc sinh cña tr­êng TiÓu häc CÈm Vò – CÈm Giµng – H¶i D­¬ng ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i kh¶o s¸t thùc tÕ. Mét lÇn n÷a t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 10 n¨m 2009 T¸c gi¶ luËn v¨n Bïi ThÞ Sao 4 Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®Ò tµi: “Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc” lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i, kÕt qu¶ luËn v¨n lµ trung thùc, ch­a tõng ®­îc ai c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh khoa häc nµo kh¸c. Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 10 n¨m 2009 T¸c gi¶ luËn v¨n Bïi ThÞ Sao 5 Môc lôc më ®Çu 1. LÝ do chän ®Ò tµi 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 3. Néi dung vµ nhiÖm vô nghiªn cøu 4. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu 5. Gi¶ thuyÕt khoa häc 6. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 7. §ãng gãp cña ®Ò tµi 8. CÊu tróc cña luËn v¨n néi dung Ch­¬ng 1: C¬ së lý luËn 1.1. §Æc ®iÓm nhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc 1.2. Mét sè yÕu tè to¸n häc hiÖn ®¹i 1.3. §Æc ®iÓm m«n to¸n ë tiÓu häc 1.4. Thùc tr¹ng d¹y häc gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc 1.5. Tæng quan vÒ d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh. Ch­¬ng 2: D¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc Trang 5 5 6 6 7 7 7 7 8 9 9 9 10 20 21 21 28 theo h­íng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh 2.1. D¹ng to¸n nhËn d¹ng c¸c h×nh h×nh häc 2.2. D¹ng to¸n vÏ h×nh 2.3. D¹ng to¸n xÕp, c¾t, ghÐp h×nh 2.4. D¹ng to¸n chia mét h×nh h×nh häc theo yªu cÇu nµo ®ã Ch­¬ng 3: Thùc nghiÖm s­ ph¹m 28 44 66 75 81 kÕt luËn 92 Tµi liÖu tham kh¶o 93 6 më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Ngµy nay, trong thêi ®¹i bïng næ th«ng tin vµ sù ph¸t triÓn cña cuéc c¸ch m¹ng khoa häc kü thuËt, nhiÖm vô cña nhµ tr­êng nãi chung, tr­êng tiÓu häc nãi riªng lµ gi¸o dôc con ng­êi ph¸t triÓn toµn diÖn. Môc ®Ých cuèi cïng cña gi¸o dôc tiÓu häc lµ h×nh thµnh c¬ së ban ®Çu vÒ nh©n c¸ch ng­êi c«ng d©n t­¬ng lai. Môc tiªu d¹y häc to¸n kh«ng v­ît ra ngoµi môc tiªu chung ®ã. NhiÖm vô cña m«n to¸n lµ rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p suy nghÜ, suy luËn, ph­¬ng ph¸p häc tËp, ph­¬ng ph¸p gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, ph¸t triÓn trÝ th«ng minh, c¸ch suy nghÜ ®éc lËp, s¸ng t¹o, linh ho¹t, gãp phÇn vµo viÖc h×nh thµnh c¸c phÈm chÊt cña ng­êi lao ®éng. CÊp tiÓu häc lµ bËc häc nÒn t¶ng cho c¸c cÊp häc tiÕp theo. M«n to¸n cã vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng. Nã gióp häc sinh cã nh÷ng tri thøc c¬ së ban ®Çu vÒ c¸c sè tù nhiªn, sè thËp ph©n, c¸c ®¹i l­îng ®o c¬ b¶n, mét sè yÕu tè h×nh häc ®¬n gi¶n vµ mét sè yÕu tè thèng kª m« t¶, h×nh thµnh ë häc sinh kü n¨ng thùc hµnh tÝnh, ®o l­êng, gi¶i bµi to¸n cã nhiÒu øng dông thiÕt thùc trong cuéc sèng, b­íc ®Çu h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn n¨ng lùc trõu t­îng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸, kÝch thÝch trÝ t­ëng t­îng, g©y høng thó häc tËp, ph¸t triÓn hîp lý kh¶ n¨ng suy luËn, phÈm chÊt trÝ tuÖ cña häc sinh ngay tõ nhá, gãp phÇn rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p häc tËp vµ lµm viÖc khoa häc, linh ho¹t, s¸ng t¹o. Sù ra ®êi cña luËt phæ cËp gi¸o dôc tiÓu häc cïng kÕ ho¹ch ph¸t triÓn gi¸o dôc trong nh÷ng n¨m tíi, ®ßi hái tiÓu häc ph¶i t¹o ®­îc nh÷ng “b­íc nh¶y vät” vÒ “chÊt” trong gi¸o dôc toµn diÖn nh»m t¹o ra s¶n phÈm chÊt l­îng cao, ®¸p øng ngµy cµng nhiÒu “®¬n ®Æt hµng” cña toµn x· héi. ë tiÓu häc, c¸c yÕu tè h×nh häc lµ mét bé phËn g¾n bã mËt thiÕt víi c¸c kiÕn thøc sè häc, c¸c yÕu tè ®¹i sè, ®o l­êng, gi¶i to¸n vµ mét sè yÕu tè thèng kª m« t¶ thµnh m«n to¸n thèng nhÊt. ViÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc gióp cho häc sinh kh¾c s©u c¸c kh¸i niÖm, kiÕn thøc ®· häc, 7 ®ång thêi ph¸t huy kh¶ n¨ng t­ duy tÝch cùc, ®éc lËp, ãc s¸ng t¹o còng nh­ kh¶ n¨ng gi¶i to¸n ë häc sinh. Tuy nhiªn, viÖc d¹y vµ häc gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ë tiÓu häc hiÖn nay cßn s¬ sµi, qua loa, do ®ã nhiÒu gi¸o viªn còng nh­ nhiÒu häc sinh ch­a t×m ra c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i chung cho mçi d¹ng to¸n ®ã. V× vËy häc sinh gi¶i nh÷ng d¹ng to¸n nµy mét c¸ch thô ®éng, hay nhÇm lÉn. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¶i ®­a nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc cô thÓ vµo d¹y cho häc sinh gi¶i nh÷ng bµi to¸n ®ã mét c¸ch tÝch cùc, gãp phÇn n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc m«n to¸n ë tiÓu häc. §Ó ®¸p øng yªu cÇu, nhiÖm vô ®ã, t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña luËn v¨n nµy lµ: “Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc". 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi nµy lµ hÖ thèng ho¸ vµ ph©n tÝch néi dung, ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ë cÊp tiÓu häc, nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong viÖc gi¶i to¸n. 3. Néi dung vµ nhiÖm vô nghiªn cøu - Nghiªn cøu c¬ së lý luËn vµ c¬ së thùc tiÔn cña ®Ò tµi “Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc d¹y gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc". - Nghiªn cøu néi dung ch­¬ng tr×nh vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ë cÊp tiÓu häc nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh. - §­a ra mét sè biÖn ph¸p ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc gãp phÇn n©ng cao kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh. 8 4. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu Nghiªn cøu néi dung ch­¬ng tr×nh vÒ viÖc d¹y häc gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ë cÊp tiÓu häc nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong viÖc gi¶i to¸n. Giíi thiÖu mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ë tiÓu häc nh»m ®¹t kÕt qu¶ cao trong viÖc d¹y, häc to¸n. 5. Gi¶ thuyÕt khoa häc NÕu biÕt kÕt hîp gi÷a c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc truyÒn thèng, hiÖn ®¹i vµ t©m lý häc trong d¹y häc sÏ ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc cña häc sinh tiÓu häc th«ng qua viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang méi dung h×nh häc, nhê ®ã häc sinh sÏ n©ng cao kü n¨ng gi¶i to¸n. 6. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 6.1. Nghiªn cøu lý luËn Nghiªn cøu mét sè tµi liÖu vÒ lý luËn d¹y häc vµ gi¸o tr×nh ph­¬ng ph¸p d¹y häc to¸n ë tiÓu häc. Nghiªn cøu s¸ch gi¸o khoa, tµi liÖu h­íng dÉn gi¶ng d¹y m«n to¸n ë tiÓu häc vµ mét sè s¸ch tham kh¶o, s¸ch båi d­ìng gi¸o viªn. 6.2. §iÒu tra quan s¸t TiÕn hµnh t×m hiÓu t×nh h×nh d¹y häc vµ gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, trao ®æi víi gi¸o viªn trùc tiÕp ®øng líp, trao ®æi víi häc sinh vµ quan s¸t dù giê. 6.3. Tæng kÕt kinh nghiÖm Trªn c¬ së ph©n tÝch t×nh h×nh thùc tÕ, thu thËp c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña gi¸o viªn, thu thËp vµ tæng kÕt mét sè tµi liÖu. Tõ ®ã ®Ò xuÊt viÖc d¹y häc gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc. 7. §ãng gãp cña ®Ò tµi HÖ thèng ®­îc néi dung vµ ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc, mçi d¹ng to¸n ®ã cung cÊp cho häc sinh ph­¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ, bµi to¸n cã thÓ gi¶i theo nhiÒu c¸ch, tõ ®ã häc sinh 9 cã thÓ chän c¸ch gi¶i tèt nhÊt, nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong häc tËp. 8. CÊu tróc cña luËn v¨n Ngoµi phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn th× luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy gåm 3 ch­¬ng: Ch­¬ng 1: C¬ së lý luËn. 1.1. §Æc ®iÓm nhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc 1.2. Mét sè yÕu tè to¸n häc hiÖn ®¹i 1.3. §Æc ®iÓm m«n to¸n ë tiÓu häc 1.4. Thùc tr¹ng viÖc d¹y häc gi¶i mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc. 1.5. Tæng quan vÒ d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh 1.5.1. ThÕ nµo lµ tÝnh tÝch cùc? 1.5.2. ThÕ nµo lµ d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh? 1.5.3. Nh÷ng ho¹t ®éng d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh. 1.5.4. Vai trß cña gi¸o viªn vµ häc sinh trong d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc. 1.5.5. D¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i to¸n Ch­¬ng 2: D¹y häc mét sè d¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc ë tiÓu häc theo h­íng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh 2.1. D¹ng to¸n nhËn d¹ng c¸c h×nh h×nh häc 2.2. D¹ng to¸n vÏ h×nh 2.3. D¹ng to¸n xÕp, c¾t, ghÐp h×nh 2.4. D¹ng to¸n chia mét h×nh h×nh häc theo yªu cÇu nµo ®ã. Ch­¬ng 3: Thùc nghiÖm s­ ph¹m 10 néi dung Ch­¬ng 1: C¬ së lý luËn 1.1. §Æc ®iÓm nhËn thøc cña häc sinh TiÓu häc §Æc ®iÓm nhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc ë c¸c líp ®Çu cÊp häc lµ n¨ng lùc ph©n tÝch, tæng hîp ch­a ph¸t triÓn, tri gi¸c th­êng dùa vµo h×nh d¹ng bªn ngoµi, g¾n víi hµnh ®éng trªn vËt thËt, nhËn thøc chñ yÕu dùa vµo c¸i quan s¸t ®­îc, ch­a biÕt ph©n tÝch ®Ó nhËn ra thuéc tÝnh ®Æc tr­ng nªn khã ph©n biÖt c¸c h×nh khi thay ®æi vÞ trÝ cña chóng trong kh«ng gian hay thay ®æi kÝch th­íc. §Õn c¸c líp cuèi cÊp häc, trÝ t­ëng t­îng cña häc sinh ®· ph¸t triÓn song vÉn cßn lµ mét d·y ph¸n ®o¸n, nhiÒu khi cßn c¶m tÝnh. Kh¶ n¨ng ph©n tÝch cña häc sinh tiÓu häc cßn kÐm, c¸c em th­êng tri gi¸c trªn tæng thÓ. Tri gi¸c kh«ng gian chÞu nhiÒu t¸c ®éng cña tr­êng tri gi¸c g©y ra c¸c biÕn d¹ng, c¸c ¶o gi¸c. So víi häc sinh ë ®Çu cÊp tiÓu häc, c¸c em häc sinh ë líp cuèi tiÓu häc cã c¸c ho¹t ®éng tri gi¸c ®· ph¸t triÓn vµ ®­îc h­íng dÉn bëi c¸c ho¹t ®éng nhËn thøc kh¸c nªn chÝnh x¸c dÇn. Chó ý cña häc sinh tiÓu häc chñ yÕu lµ chó ý chñ ®Þnh nªn c¸c em hay chó ý ®Õn c¸i míi l¹, hÊp dÉn, c¸i ®Ëp vµo tr­íc m¾t h¬n lµ c¸i cÇn quan s¸t. §èi víi häc sinh tiÓu häc th× trÝ nhí trùc quan, h×nh t­îng ph¸t triÓn m¹nh h¬n trÝ nhí c©u ch÷ trõu t­îng, trÝ t­ëng t­îng phô thuéc vµo h×nh mÉu cã thùc, t­ duy cô thÓ lµ chñ yÕu, cßn t­ duy trõu t­îng dÇn dÇn h×nh thµnh. Do ®ã, viÖc nhËn thøc c¸c kh¸i niÖm to¸n häc nãi chung vµ c¸c kh¸i niÖm h×nh häc nãi riªng ®èi víi c¸c em cßn ph¶i dùa vµo m« h×nh vËt thËt. Häc sinh chØ cã thÓ cã biÓu t­îng chÝnh x¸c vÒ c¸c h×nh h×nh häc th«ng qua ho¹t ®éng thùc tiÔn (c¸c thao t¸c cô thÓ) trªn m« h×nh vµ h×nh häc. Trªn c¬ së ®ã trÝ t­ëng t­îng cña häc sinh ®­îc ph¸t triÓn. Tuy nhiªn, ®Æc ®iÓm t©m lý cña häc sinh tiÓu häc ®ã lµ ham häc hái, thÝch t×m tßi, kh¸m ph¸ c¸i míi l¹ nh­ng ch­a kiªn tr×, kh¶ n¨ng thùc hiÖn 11 hµnh ®éng chÝnh x¸c cßn ë møc thÊp.MÆt kh¸c, ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n mang néi dung h×nh häc ë tiÓu häc yªu cÇu häc sinh kh«ng nh÷ng ph¶i n¾m nh÷ng biÓu t­îng chÝnh x¸c vÒ h×nh h×nh häc mµ cßn ph¶i v©n dông hÕt søc linh ho¹t, s¸ng t¹o nh÷ng kiÕn thøc ®· ®­îc cung cÊp vÒ h×nh häc. Víi c¸c ®Æc ®iÓm nhËn thøc, t©m lý cña häc sinh tiÓu häc nh­ ®· nªu, ta ph¶i lùa chän ®Ó sö dông ph­¬ng ph¸p d¹y häc nµo trong qu¸ tr×nh gi¶i mét sè d¹ng to¸n mang néi dung h×nh häc ®Ó ®¹t ®­îc hiÖu qu¶ cao, lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh tiÓu häc, gióp häc sinh hiÓu ®­îc b¶n chÊt cña bµi to¸n, biÕt gi¶i c¸c bµi to¸n mét c¸ch logic ®ång thêi ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy s¸ng t¹o cña häc sinh tiÓu häc. 1.2. Mét sè yÕu tè to¸n häc hiÖn ®¹i 1.2.1. Líp tËp hîp 1.4.1. Líp tËp hîp 1..4.1.1. §Þnh nghÜa - Cho X lµ mét tËp hîp, ta gäi lµ líp tËp hîp mµ phÇn tö cña nã lµ tËp hîp con cña tËp X. Khi ®ã tËp X cßn ®­îc gäi lµ kh«ng gian. Líp tËp hîp ®­îc kÝ hiÖu b»ng ch÷ in hoa. 1.4.1.2. §¹i sè tËp hîp * §Þnh nghÜa: Mét líp tËp hîp C   ®­îc gäi lµ 1 ®¹i sè tËp hîp hay ®¬n gi¶n lµ mét ®¹i sè, nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i, NÕu A  C  X\ A  C ; n i, Mäi hä h÷u h¹n bÊt kú  (A j ) nj1  C   A j  C . j 1 * TÝnh chÊt: n 1) Víi mäi hä h÷u h¹n (A j ) nj1  C  Aj C. j 1 n ThËt vËy!  j 1 n n n j 1 j 1 j 1 A j  X   A j =X\(X\  A j )=X\(  (X\A j )) 12 A j  C (theo gi¶ thiÕt)  X\A j  C ( j =1,2,3,,…,n) (theo ®Þnh nghÜa). n n n j 1 j 1 j 1   (X\A j )  C  X\(  (X\A j )) C   A j  C . 2) NÕu A, B  C  A\B C , B\A  C ThËt vËy: A\B=A  (X\B) mµ A  C , X\B  C (theo ®Þnh nghÜa)  A  (X\B)  C  A\B  C . 3)   C . ThËt vËy, ta thÊy A C  A\A  C    C . 4) X C . ThËt vËy,   C (tÝnh chÊt 3) X\   C  X  C §Þnh lý: Gi¶ sö líp M   gåm nh÷ng tËp con nµo ®Êy cña tËp X (nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét ®¹i sè). Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt mét ®¹i sè C (M) C (M)  M vµ  C ,  M  C (M)  C ,. §¹i sè C (M) ®­îc gäi lµ ®¹i sè sinh bëi M. VÝ dô: Gi¶ sö C gåm tËp X vµ tËp  , C ={X,  }. DÔ dµng kiÓm tra C lµ mét ®¹i sè. 1.4.1.3.  ®¹i sè * §Þnh nghÜa: Líp tËp hîp F   (gåm c¸c tËp con cña tËp X) gäi lµ 1  ®¹i sè nÕu F tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i, A  F  X\ A  F ;  ii, Víi d·y ®Õm ®­îc  (A n ) n1  F   A n  F . n 1 NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy mét  - ®¹i sè còng lµ mét ®¹i sè. Do ®ã  - ®¹i sè F cã c¸c tÝnh chÊt cña mét ®¹i sè. Ngoµi ra mét  ®¹i sè cã tÝnh chÊt sau: 13  TÝnh chÊt 5:  (A j ) j 1  F   A n  F . n 1 VÝ dô: §Æt F = 2x (hä tÊt c¶ c¸c tËp con cña tËp X), dÔ dµng kiÓm tra 2x lµ mét  - ®¹i sè. 1.2.2. §¹i l­îng- phÐp ®o ®¹i l­îng 1.2.2.1.§¹i l­îng Kh¸i niÖm: §Ó hiÓu râ ®­îc phÐp ®o ®¹i l­îng, tr­íc tiªn ta ph¶i hiÓu ®­îc ®¹i l­îng lµ g×? Ta gäi lµ ®¹i l­îng mét tËp hîp X cïng víi mét quan hÖ t­¬ng ®­¬ng trªn X. KÝ hiÖu (X, ). Nh­ vËy, khi cã mét ®¹i l­îng (X, ) quan hÖ trªn X x¸c ®Þnh sù chia líp trªn tËp hîp X. TËp th­¬ng X/ gäi lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña ®¹i l­îng (X, Víi x  X, gi¸ trÞ cña x theo ®¹i l­îng (X, ): ) kÝ hiÖu lµ x vµ x  X/ . Víi x,y  X, ta nãi x cã cïng gi¸ trÞ theo ®¹i l­îng (X, ) víi y khi vµ chØ khi x y. VÝ dô: Gäi A lµ tËp hîp c¸c ®o¹n th¼ng. Víi x,y  A , x y nÕu x cã ®é dµi b»ng ®é dµi cña y. Quan hÖ lµ quan hÖ t­¬ng ®­¬ng. VËy (A , ) lµ mét ®¹i l­îng. a. §¹i l­îng v« h­íng Ta gäi lµ ®¹i l­îng v« h­íng mét ®¹i l­îng (X, ) cïng víi mét quan hÖ thø tù toµn phÇn  trong X/ . KÝ hiÖu (X, ,  ). VÝ dô: §¹i l­îng (A , ) xÐt trong vÝ dô trªn. Víi x , y  A / , x  y nÕu x kh«ng dµi h¬n y. Quan hÖ  kh«ng phô thuéc vµo viÖc lùa chän c¸c phÇn tö ®¹i diÖn cña hai líp x , y . Quan hÖ  lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn trong A / . VËy (A , ,  ) lµ mét ®¹i l­îng v« h­íng. 14 b. §¹i l­îng cộng ®­îc Ta gäi lµ mét ®¹i l­îng céng ®­îc (X, céng giao ho¸n. KÝ hiÖu (X, ) sao cho X/ lµ mét vÞ nhãm ,+). VÝ dô: Quan hÖ b»ng nhau (toµn ®¼ng)  gi÷a hai ®o¹n th¼ng lµ mét ®¹i l­îng trong tËp hîp E c¸c ®o¹n th¼ng. Víi x , y  E/  , x¸c ®Þnh a+b nh­ sau: Trªn ®­êng th¼ng  lÊy AB a , BC  b sao cho hai vÐct¬   AB, BC lµ hai vÐct¬ cïng ph­¬ng, cïng chiÒu. Khi ®ã AC a + b . ViÖc x¸c ®Þnh a+b kh«ng phô thuéc vµo lÊy ®­êng th¼ng  . (E,  ,+) lµ mét nhãm céng giao ho¸n. Do ®ã (E,  ,+) lµ mét ®¹i l­îng céng ®­îc. c. §¹i l­îng v« h­íng cộng ®­îc Ta gäi lµ ®¹i l­îng v« h­íng céng ®­îc mét ®¹i l­îng (X, ) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i/ Cã quan hÖ  trong X/ sao cho (X, ,  ) lµ mét ®¹i l­îng v« h­íng; ii/ Cã phÐp céng trong X/ sao cho (X, ,+) lµ mét ®¹i l­îng céng ®­îc; iii/ (X, ,+,  ) lµ mét vÞ nhãm céng s¾p thø tù Acsimet mµ mäi phÇn tö kh¸c kh«ng ®Òu d­¬ng. KÝ hiÖu: (X, ,+,  ) lµ ®¹i l­îng v« h­íng ®Õm ®­îc. VÝ dô: XÐt tËp E víi quan hÖ t­¬ng ®­¬ng  vµ phÐp céng cïng quan hÖ  : Víi a , b  E/  , trªn tia 0  lÊy OA a , OB  b , nÕu vµ chØ nÕu ®iÓm B trïng víi ®iÓm A hoÆc ®iÓm B kh«ng thuéc ®o¹n OA. Quan hÖ  kh«ng phô thuéc vµo viÖc lùa chän tia 0  . Ta cã: (E,  ,  ) lµ mét ®¹i l­îng v« h­íng. (E,  ,+) lµ mét ®¹i l­îng céng ®­îc. 15 (E,  ,+,  ) lµ mét nhãm céng s¾p thø tù Acsimet mµ mäi phÇn tö kh¸c kh«ng ®Òu d­¬ng. (E,  ,+,  ) lµ mét ®¹i l­îng v« h­íng céng ®­îc. 1.2.2.2. PhÐp ®o ®¹i l­îng *§Þnh nghÜa: Cho G lµ mét ®¹i l­îng v« h­íng céng ®­îc. R+ lµ vÞ nhãm céng s¾p thø tù Acsimet mµ phÇn tö kh¸c kh«ng ®Òu d­¬ng. Ta gäi lµ phÐp ®o ®¹i l­îng G mäi ®¬n cÊu ®¬n ®iÖu m: G  R+ ®i tõ vÞ nhãm céng s¾p thø tù G ®Õn vÞ nhãm céng s¾p thø tù c¸c sè thùc kh«ng ©m víi mét phÇn tö e  G sao cho m(e) =1. * TÝnh chÊt: Víi mét gi¸ trÞ a  G, sè t­¬ng øng m(a) trong phÐp ®o m ®­îc gäi lµ sè ®o a. PhÇn tö e  G ®Ó cho m(e) =1 ®­îc gäi lµ ®¬n vÞ cña phÐp ®o. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy, phÐp ®o ®¹i l­îng ch¼ng qua lµ mét ¸nh x¹ ®i tõ G ®Õn R+ tháa m·n tÝnh chÊt sau: i,  e  G m(e)=1 ii,  a,b G NÕu a  b th× m(a)  m(b) iii,  a,b G M (a+b) = m(a) + m(b) iiii,  a,b G NÕu a  b th× m(a)  m(b) CÇn l­u ý r»ng: C¸c phÐp to¸n trªn tËp G víi phÐp to¸n trªn tËp R+ lµ kh¸c nhau. 1.2.3.§é ®o- phÐp ®o 1.2.3.1. Hµm tËp hîp §Þnh nghÜa: Hä M   gåm nh÷ng tËp con cña tËp X nµo ®Êy. Ta gäi lµ hµm tËp hîp víi mäi ¸nh x¹  , ¸nh x¹ M vµo tËp sè thùc R. VÝ dô: C¸c ®¹i l­îng ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch ®Òu lµ hµm tËp hîp. 16 1.2.3.2. §é ®o trªn mét ®¹i sè tËp hîp * §Þnh nghÜa: Cho c lµ mét ®¹i sè trªn X. m : c  trªn ®­îc gäi lµ mét ®é ®o c nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) c lµ mét ®¹i sè b) (  A  c ), m(A)  0, m(  ) = 0 c) (  A n ) n1    c, A n  Ak = Aj = c th× m(  Aj) =  (n  k)   m(Aj) ( TÝnh chÊt céng tÝnh) j 1 j 1 NÕu m (X)<  th× m ®­îc gäi lµ ®é ®o h÷u h¹n  NÕu m (X)=  , X=  Xn , Xn  c , m(Xn ) <  th× m ®­îc gäi lµ ®é ®o  n 1 h÷u h¹n. *TÝnh chÊt: TÝnh chÊt 1: (  A, B  c ,B  A)  m(B)  m(A) TÝnh chÊt 2: (  A, B  c ,B  A, m(B) <  )  m(A \ B) = m(A)- m(B) TÝnh chÊt 3: (  A n ) n1  C, , A  c ,A n   c (n= 1,2,…), sao cho A   An n 1  th× m(A)   m( A n ). n 1  TÝnh chÊt 4: (  A n ) n1  C , A  C , A n  A k =  , (n  k),  An  A n 1  th×  m( A n )  m(A) . n 1 TÝnh chÊt 5: NÕu d·y (  A n ) n1  c mµ m(An)= 0  A n 1  n  c th×  m (A ) = 0 n n 1 17 c, trong ®ã m(B) = 0 TÝnh chÊt 6: NÕu cã hai tËp A, B  th× m(A) = m(A  B) = m(A\ B) TÝnh chÊt 7: Gi¶ sö cã mét d·y c¸c tËp (  A n ) n1  c,  A1  A2  ...  An  …  An   c th× m (  A n 1 TÝnh chÊt 8: NÕu(  A n ) n1  n n 1 c ,A 1 ) = lim m(An) n  A2  ...  An  …, m(A1)<   th× m(  An) = lim m(An) n n 1 Hai tÝnh chÊt 7 vµ 8 ®­îc gäi lµ hai tÝnh chÊt liªn tôc cña ®é ®o. 1.2.3.3. Th¸c triÓn ®é ®o * §é ®o ngoµi: Cho X lµ mét tËp nµo ®ã kh¸c tËp rçng, kÝ hiÖu 2x lµ líp tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña X, M* lµ hµm tËp hîp ¸nh x¹ 2x vµo tËp sè thùc R, M* ®­îc gäi lµ ®é ®o ngoµi trªn X, M* nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i, (  A  X) M* (A)  0; ii, M* (  )=0;   n 1 n 1 iii, (  A  X), (  A n ) n1  2x , A   A n th× M* (A)   M* ( A n ). Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta suy ra tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu sau: * *  A,B  C , A  B ta ®Òu cã M (A)  M (B). §Þnh lý: Cho M* lµ ®é ®o ngoµi trªn X, ký hiÖu L gåm tÊt c¶ c¸c tËp con A cña tËp X, tháa m·n hÖ thøc: (  E  2x )M* (E)= M* (E  A)+M* (E\A) (b). Khi ®ã L lµ mét  - ®¹i sè vµ ®é ®o ngoµi M* khi chØ xÐt trªn L , kÝ hiÖu M* L lµ mét ®é ®o trªn L (hay ®é ®o trªn X). 18 §Æt M = M* L th× M ®­îc gäi lµ ®é ®o c¶m sinh bëi ®é ®o ngoµi M* . Cßn tËp hîp A tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) gäi lµ tËp M* - ®o ®­îc. §Þnh lý th¸c triÓn ®é ®o: Cho m lµ ®é ®o trªn ®¹i sè C trong ®ã C lµ mét líp kh¸c rçng c¸c tËp con cña tËp X. Víi mçi tËp con A cña tËp X ta ®Æt:        i 1 i 1   i 1 i 1  M* (A) = inf  m( i );  i  C ,   i  A = inf  m(i );  i  C ,   i  A -C¸ch viÕt thø hai víi quy ­íc nÕu chØ cã h÷u h¹n c¸c i mµ hîp cña chóng chøa A th× ta bæ sung c¸c tËp rçng ®Ó ®­îc mét d·y c¸c tËp i . Khi ®ã M* lµ mét ®é ®o ngoµi trªn X. KÝ hiÖu L lµ líp tÊt c¶ c¸c tËp A  X tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn th× ®é ngoµi M* L lµ mét ®é ®o, cßn L lµ mét  - ®¹i sè. H¬n n÷a chøng minh ®­îc L  C vµ (A  C ), M (A)=m(A), nªn ®é ®o M =M* L më réng thùc sù ®é ®o m tõ ®¹i sè C  - ®¹i sè L vµ gäi lµ ®é ®o th¸c triÓn cña ®é ®o m. H¬n n÷a cã thÓ chøng minh ®­îc L chøa  - ®¹i sè sinh bëi C :L  F (C)  C . * §Þnh nghÜa ®é ®o ®ñ: §é ®o M trªn tËp X ®­îc gäi lµ ®é ®o ®ñ, nÕu ®èi víi tËp bÊt kú A L cã M (A)=0 ®Òu cã (  B  A), B  L , M (A)=0. §é ®o th¸c triÓn cã c¸c tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 9: §é ®o M c¶m sinh bëi ®é ®o ngoµi M* bao giê còng lµ ®é ®o ®ñ. TÝnh chÊt 10: Khi m lµ ®é ®o h÷u h¹n (hay  h÷u h¹n) th× ®é ®o th¸c triÓn M còng lµ ®é ®o h÷u h¹n (hay  h÷u h¹n). TÝnh chÊt 11: Víi mäi tËp h÷u h¹n phÇn tö hay ®Õm ®­îc ®Òu cã ®é ®o. §é ®o th¸c triÓn M cßn gäi lµ ®é ®o Lebesgue. A  L gäi lµ tËp ®o ®­îc Lebesgue hay ®o ®­îc (L). 1.2.4. C¬ së cña phÐp ®Õm 1.2.4.1. Hai nguyªn lÝ ®Õm c¬ b¶n a) Quy t¾c céng 19 Sè l­îng c¸ch chän mét phÇn tö tõ hai tËp hîp kh«ng giao nhau b»ng tæng cña c¸c b¶ng sè b»ng hai tËp hîp ®ã. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ: A  B =  th× Card(A  B) = CardA + CardB Mét c¸ch tæng qu¸t: Sè l­îng c¸ch chän mét phÇn tö tõ m ( m  N*, m  2) rêi nhau vµ h÷u h¹n lµ tæng c¸c lùc l­îng cña m tËp hîp. A1, A2,…, Am, c¸c tËp hîp nµy ®«i mét kh«ng giao nhau: Aj  Ak =  ( j  k) n th× Card (  Ak)= CardA1 + CardA2 +…+ Cardn k 1 Ng­êi ta cã thÓ ph¸t biÓu quy t¾c d­íi d¹ng kh¸c nh­ sau: Gi¶ sö cã mét nhiÖm vô nµo ®ã ®­îc t¸ch ra thµnh m viÖc( m N: m  2: A1, A2,…,Am). Mçi viÖc Ak cã thÓ lµm b»ng nk c¸ch vµ kh«ng cã viÖc nµo cã thÓ lµm ®ång thêi th× sÏ cã n1 + n2 + …nm c¸ch thùc hiÖn nhiÖm vô ®· cho. Quy t¾c nµy ®· ngÇm giíi thiÖu cho häc sinh tõ líp 1, nã ®­îc thÓ hiÖn ë c¸ch ®Õm thªm. b) Quy t¾c nh©n Sè l­îng c¸ch chän mét cÆp phÇn tö cã thø tù tr­íc- sau tõ hai tËp hîp b»ng sè l­îng, c¸ch chän thµnh phÇn ®Çu tiªn nh©n víi sè l­îng c¸ch chän cña thµnh phÇn thø hai. NghÜa lµ: Cã hai tËp hîp h÷u h¹n A, B th× Card(A x B) = Card A x Card B (quy t¾c nh©n). Tæng qu¸t: Sè l­îng c¸ch chän mét bé m phÇn tö cã thø tù tõ m tËp hîp: A1, A2, …, Am h÷u h¹n( m  N; m  2) th× Card( A1  A2  …  Am) = CardA1  CardA2  …  CardAm. Quy t¾c nh©n cã thÓ diÔn ®¹t mét c¸ch kh¸c nh­ sau: Gi¶ sö mét nhiÖm vô nµo ®ã ®­îc thi hµnh b»ng c¸ch thùc hiÖn m viÖc A1, A2, …, Am (m  2). NÕu viÖc Ak cã thÓ thùc hiÖn b»ng nk c¸ch sau khi c¸c viÖc A1, A2, …, Ak-1 ®· ®­îc thùc hiÖn (k  2) th× cã: n1  n2  …  nm c¸ch thùc hiÖn nhiÖm vô ®· cho. 20 Tuy nhiªn, nhiÒu bµi to¸n ®Õm phøc t¹p kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®­îc nÕu chØ sö dông quy t¾c céng hoÆc quy t¾c nh©n. Trong nhiÒu tr­êng hîp ta cã thÓ gi¶i quyÕt bµi to¸n ®ã b»ng c¸ch sö dông c¶ hai quy t¾c céng vµ nh©n. 1.2.4.2. Ho¸n vÞ - ChØnh hîp - Tæ hîp *Ho¸n vÞ: Ho¸n vÞ cña mét tËp hîp c¸c ®èi t­îng kh¸c nhau lµ mét c¸ch s¾p xÕp cã thø tù c¸c ®èi t­îng ®ã. Sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®­îc kÝ hiÖu lµ: Pn (Pn = n!), ( n  N*), 0! = 1. - VÝ dô: 6 ng­êi ®øng thµnh 1 hµng ngang ®Ó chôp ¶nh. Hái cã thÓ bè trÝ ®­îc bao nhiªu kiÓu? ¸p dông c«ng thøc ta cã: P 6 = 6! = 6  5  4  3  2  1 = 720 (kiÓu). * ChØnh hîp: Mét tËp hîp cã n phÇn tö ( n  N*) mét c¸ch s¾p xÕp cã thø tù k phÇn tö ( 0 < k  n ) cña tËp hîp n phÇn tö ®ã gäi lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö. KÝ hiÖu sè c¸c chØnh hîp: A n k = n(n – 1)… (n- k+1) = n! (n  k )! - VÝ dô: Cã bao nhiªu c¸ch chän 5 cÇu thñ kh¸c nhau trong 11 cÇu thñ cña ®éi ®Ó ®¸ lu©n l­u 11m cã thø tù? ¸p dông c«ng thøc ta cã: A 115 = 11! 11! 11  10  9  8  7  6!    11  10  9  8  7=55440 (c¸ch). (n  k )! 6! 6! *Tæ hîp: Mét tËp hîp cã n phÇn tö ( n  N*). Mét tæ hîp chËp k ( 0  k  n ) cña tËp hîp ®· cho lµ c¸ch chän kh«ng cã thø tù k phÇn tö cña tËp hîp ®ã. C kn = n(n  1...(n  k  1) n! = k!(n  k )! k! - VÝ dô: Cã bao nhiªu c¸ch tuyÓn 5 trong sè 10 cÇu thñ cña 1 ®éi quÇn vît ®Ó ®i thi ®Êu? ¸p dông c«ng thøc ta cã: