Tài liệu Luận văn nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt 2 chiều

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠRON TẾ BÀO VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2 CHIỀU Học viên: PHẠM THANH HẢI Giáo viên hƣớng dẫn: TS. VŨ ĐỨC THÁI THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận văn là hoàn toàn trung thực, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ và pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc pháp luật. Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo, TS. Vũ Đức Thái, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập tại trƣờng và các cán bộ Phòng Đào tạo đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Tuy đã có những cố gắng nhất định nhƣng do thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn. Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016 Học viên Phạm Thanh Hải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN.............................................................................................. ii LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. iii DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... vi DANH MỤC CÁC HÌNH .............................................................................. vii MỤC LỤC ........................................................................................................ iii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO ...................................................... 3 1.1. Giới thiệu về phƣơng trình đạo hàm riêng ................................................. 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phƣơng trình đạo hàm riêng ........................... 3 1.1.2. Phân loại các phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập ....................................................................................................... 4 1.1.3. Phƣơng pháp sai phân Taylor.................................................................. 4 1.1.4. Bài toán sai phân ..................................................................................... 6 1.2. Phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều .............................................................. 8 1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào ................................................................. 12 1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào.................................................. 12 1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào................................ 13 1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN ............................................................. 14 1.3.4. Một số ứng dụng của công nghệ CNN .................................................. 20 CHƢƠNG 2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU ........ 24 2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phƣơng trình đạo hàm riêng [12]........ 24 2.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào ......................................................................................................... 28 2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu .............................................................................. 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv 2.2.2. Ứng dụng máy tính CNN-UM trong một số bài toán đơn giản ............ 29 2.2.3. Sự ổn định của mạng CNN ................................................................... 39 2.3. Phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều và các ràng buộc............................. 50 2.3.1. Thành lập phƣơng trình truyền nhiệt .................................................... 50 2.3.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên ..................................................... 53 2.4. Giải phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều bằng CNN.................................. 54 2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều ............ 54 2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều ............... 54 2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều ................................................................................................................ 55 2.5. Kết luận .................................................................................................... 57 CHƢƠNG 3. CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU ....................................................................................... 58 3.1. Xây dựng bài toán .................................................................................... 58 3.2. Các kết quả tính toán ................................................................................ 59 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 71 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt CNN Cellular Neural Network Công nghệ mạng nơron tế bào PDE Partial Difference Equation Phƣơng trình đạo hàm riêng Ma trận cổng logic lập trình FPGA Field Programmable Logic Array VLSI Very Large Scale Intergrated VHDL Very High Description Language Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dù Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN đƣợc Chip tích hợp mật độ cao http://www.lrc.tnu.edu.vn vi DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Giá trị ban đầu của nhiệt độ trong tấm phẳng thực nghiệm ........... 60 Bảng 3.2: Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 61 Bảng 3.3. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 62 Bảng 3.4. Kết quả tính toán sau 10 giây. ........................................................ 63 Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .............................................................. 63 Bảng 3.5. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 64 Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây .............................................................. 64 Bảng 3.6. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 65 Bảng 3.7. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 66 Bảng 3.8. Kết quả tính toán sau 10 giây ......................................................... 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vii DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn..................................................................... 13 Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN ................................................. 14 Hình 1.3 Một số kiến trúc CNN không chuẩn ............................................... 14 Hình 1.4 Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp ....................................................... 15 Hình 1.5: CNN không gian bất biến với 3 láng giềng ................................... 18 Hình 1.6 Mô tả cấu trúc tƣơng tác của CNN tổng quát ................................. 19 Hình 1.7: CNN hồi tiếp bằng 0: C(0,B,z) ...................................................... 19 Hình 1.8: Mạch điện của CNN có hồi tiếp bằng 0 C(0,B,z) ........................... 19 Hình 1.9: CNN đầu vào bằng 0, C(A,0,z) ...................................................... 20 Hình 1.10: Mạch điện CNN đầu vào bằng 0:C(A,0,z)................................... 20 Hình 2.1: Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hƣởng đến lớp v ...................... 25 Hình 2.2: Lƣới sai phân 2 chiều ...................................................................... 26 Hình 2.3: Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE ........................................ 28 Hình 2.4: Kiến trúc tế bào mở rộng thêm vào 3 khối (LLM, GW, GCL) ..... 30 Hình 2.5: Tế bào mở rộng có thêm hai khối cell khác nhau .......................... 31 Hình 2.6 Thủ tục SUBSET nhƣ một hàm ....................................................... 32 Hình 2.7: Lƣu đồ xử lý của bài toán dò biên .................................................. 33 Hình 2.8: Quá trình nạp TEM1 (a,b) .............................................................. 35 Hình 2.9: Nạp kết quả vào LLM3 ................................................................. 36 Hình 2.10: Ảnh kết quả xử lý bỏ đi các điểm ảnh cô lập............................... 38 Hình 2.11: Giá trị ban đầu của phƣơng trình ................................................. 39 Hình 2.12: Ảnh kết quả nghiệm của phƣơng trình ....................................... 39 Hình 2.13. Đặc trƣng của mạch phi tuyến tính trong mạch ô tƣơng đƣơng .. 45 Hình 2 .14: Mạch tƣơng đƣơng vững chắc của một ô trong một nơron tế bào ......................................................................................................................... 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn viii Hình 2.15: Các tuyến động và các điểm cân bằng của mạch tƣơng đƣơng với các giá trị khác nhau của g(t). ......................................................................... 50 Hình 2.16: Sao chép khuôn mẫu của một khối tƣơng tác toán tử. .................. 50 Hình 2.16: Sơ đồ khối CNN 2D cho giải phƣơng trình truyền nhiệt.............. 56 Hình 2.17: Khối xử lý số học của mạng CNN giải phƣơng trình truyền nhiệt .56 Hình 3.1. Tấm phẳng làm thực nghiệm .......................................................... 58 Hình 3.2: Giá trị nhiệt độ ban đầu ................................................................... 61 Hình 3.3: Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................... 62 Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .............................................................. 63 Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây .............................................................. 64 Hình 3.6 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 65 Hình 3.7: Giá trị của nhiệt độ sau 5 giây ........................................................ 66 Hình 3.8 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giấy ............................................................ 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Trong nhiều bài toán khoa học các đại lƣợng biến thiên phức tạp theo nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ngoại cảnh. Để giải quyết các bài toán trên thƣờng đƣa đến việc giải phƣơng trình vi phân, thậm chí là phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng. Phƣơng trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau nhƣ: phƣơng pháp giải tích, phƣơng pháp sai phân với các công thức sai phân đã tiến hành cài đặt trên máy vi tính. Các máy tính thông thƣờng hiện nay có thể giải đƣợc nhƣng với tốc độ hạn chế, một số trƣờng hợp không đáp ứng đƣợc với ứng dụng trong thời gian thực. Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào CNN vào giải phƣơng trình đạo hàm riêng với tốc độ cao là cần thiết và có nhiều triển vọng trong tƣơng lai đáp ứng cho các bài toán trong thời gian thực. Do đó, em đã chọn “Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều” nhằm mục tiêu tìm hiểu công nghệ mạng nơ ron tế bào và tìm hiểu phƣơng pháp, kỹ thuật thuật thực hiện giải phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều bằng công nghệ này. Để thực hiện mục tiêu này, đề tài này tập trung nghiên cứu các nội dung sau: Chương 1: Vấn đề giải phương trình truyền nhiệt bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào: Nghiên cứu công nghệ mạng nơron tế bào, các phƣơng trình đạo hàm riêng, phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều và các ứng dụng thực tiễn. Chương 2: Giải phương trình truyền nhiệt hai chiều: Đề xuất phƣơng pháp giải và xây dựng mô hình bài toán phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều đƣợc giải bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào. Chương 3: Mô phỏng thực nghiệm: Mô phỏng tính toán kết quả trên Matlab, đánh giá so sánh kết quả. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 Luận văn nghiên cứu với mục tiêu tìm hiểu một công nghệ mới ứng dụng trong việc giải phƣơng trình đạo hàm riêng trong lĩnh vực tính toán khoa học. Đó là một nhu cầu rất quan trọng trong thời đại phát triển khoa học công nghệ ngày nay, khi mà hầu hết các hiện tƣợng lý hoá sinh trong tự nhiên đƣợc biểu diễn bởi các phƣơng trình phi tuyến phức tạp mà phƣơng trình đạo hàm riêng chiếm số lƣợng lớn. Việc giải phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều là một ứng dụng trong lĩnh vực vật lý hiện . Trong nội dung của luận văn chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong quý thầy cô và các bạn đọc quan tâm, đóng góp ý kiến, để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO 1.1. Giới thiệu về phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa: Phƣơng trình đạo hàm riêng là phƣơng trình có chứa đạo hàm riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [7,8]. Ví dụ: u u u   0 x y z (1.1)  2u  2u  2u   u x 2 y 2 z 2 (1.2) trong đó (1.1) và (1.2) là các phƣơng trình đạo hàm riêng của hàm chƣa biết là u(x,y,z); Cấp của phƣơng trình: Là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của (1.1) là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2. Phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích của chúng với nhau. Dạng tổng quát của phƣơng trình tuyến tích cấp hai đối với hàm hai biến x,y là: A( x, y )  2u  2u  2u u u  2 B ( x , y )  C ( x , y )  D( x, y )  E ( x, y ) F ( x, y)u  G( x, y) 2 2 x xy y x y (1.3) Nếu G(x,y)  0 thì phƣơng trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là không thuần nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4 Nghiệm của phƣơng trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó vào phƣơng trình ta đƣợc một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là nghiệm của (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phƣơng trình (1.2). 1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Dạng tổng quát của phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong đó hàm u( x, y) chƣa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y) là A( x, y )  2u  2u  2u u u  2 B ( x , y )  C ( x , y )  D( x, y )  E ( x, y )  F ( x, y )u  G ( x, y ) 2 2 xy x y x y (1.4) Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng mọi phƣơng trình có dạng (1.4) nhờ những phép biến đổi thích hợp có thể đƣa về một trong ba dạng sau: a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích hợp có thể đƣa phƣơng trình (1.4) trong miền ấy về dạng  2u  2u u u   D1  E1  F1u  G1 ( , ) 2 2     (1.5) Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.5) gọi là phƣơng trình loại eliptic. b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền ấy có thể đƣa về dạng  2u  2u u u   D2  E2  F2 u  G2 ( , ) 2 2     (1.6) Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.6) gọi là phƣơng trình loại hypebolic. c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền ấy có thể đƣa về dạng  2u u u  D3  E3  F3 u  G3 ( , ) 2    (1.7) Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.7) gọi là phƣơng trình loại parabolic. 1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5 Trong các phần trƣớc ta đã xét các phƣơng pháp tìm nghiệm tƣờng minh của bài toán dƣới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm đối với một số ít trƣờng hợp [5,7]. Còn đại đa số trƣờng hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tƣờng minh của bài toán không có, hoặc có nhƣng rất phức tạp. Trong những trƣờng hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phƣơng pháp giải gần đúng. Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi bài giảng đƣa ra phƣơng pháp sai phân để giải quyết vấn đề đó. Để tiện trình bày phƣơng pháp ta xét một bài toán cụ thể sau. Đặt bài toán: Cho các số a, b với a < b. QT  a  x  b ; 0  t  T  ; QT  a  x  b ; 0  t  T  . Tìm hàm số u(x, t) thoả mãn u  2 u Lu    f ( x, t ) t x 2 ( x, t )  QT (1.8) u( x,0)  g ( x) a xb (1.9) 0t T (1.10) u (a, t )  g a (t ) u (b, t )  g b (t ) Lưới sai phân. Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt h ba N xi  a  ih  T M t j  j. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN i  0,1,2,....,N j  0,1,2,....,M http://www.lrc.tnu.edu.vn 6 Ta chia miền QT thành ô bởi những đƣờng thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm x i , t j  đƣợc gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phƣơng pháp là tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  . Trong đó: h gọi là bƣớc đi không gian.  gọi là bƣớc đi thời gian. Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lƣới sai phân trên QT . Xấp xỉ các đạo hàm: Áp dụng công thức Taylor ta có u ( xi , t j 1 )  u( xi , t j 1 ) 2  u ( xi , t j )  o( ) t u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j ) h2 (1.11)  2u  2 ( x i , t j )  o( h 2 ) x (1.12) Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phƣơng án khác nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân. 1.1.4. Bài toán sai phân Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vi  u( xi , t j ) . j * Xuất phát từ u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )   u ( xi , t j )  o( ) t u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j ) h2  2u  2 ( x i , t j )  o( h 2 ) x suy ra u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )    u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j ) h2 u  2u ( xi , t j )  2 ( xi , t j )  o(  h 2 ) . t x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn  7 Để tính vij ta đƣa về bài toán sai phân sau: vij 1  vij  vij1  2vij  vij1   f ( xi , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13) h2 vi0  g ( xi ) i  1..N  1 (1.14) v0j  ga (t j ) vNj  gb (t j ) đặt    h2 (    h2 j  1..M (1.15) 1 ) thì (1.13) đƣợc viết thành: 2 vij 1  (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j ) (1.16) Từ (1.16) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính đƣợc v ij 1 với các điều kiện đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở (1.14). * Nếu ta xuất phát từ u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )   u ( xi , t j 1 )  o( ) t u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 ) h2 thì ta có u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )    2u  2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 ) x u ( xi 1 , t j 1 )  2u( xi , t j 1 )  u ( xi1 , t j 1 ) h2 u  2u  ( xi , t j 1 )  2 ( xi , t j 1 )  o(  h 2 ) t x Từ đó ta có bài toán sai phân sau: vij 1  vij  vij11  2vij 1  vij11   f ( xi , t j 1 ) h2 i  1..N  1, j  0..M  1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 8 vi0  g ( xi ) i  1..N  1 v0j  g a (t j ) vNj  g b (t j ) Đặt    j  1..M ta đƣa hệ về dạng sau: h2  vij11  (1  2 )vij 1   vij11  vij   f ( xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1 v0j 1  0.v1j 1 0.vNj 11  ga (t j 1 )  vNj 1  gb (t j 1 ) Từ hệ trên ta thấy nếu biết vi0  g ( xi ) vij j  0..M 1 j  0..M 1 thì ta tính đƣợc vij11 , vij 1 , vij11 với . Việc giải hệ này đƣợc thực hiện bằng phƣơng pháp truy đuổi ba đƣờng chéo. 1.2. Phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều Phương trình nhiệt: Là một phƣơng trình đạo hàm riêng miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trên một miền cho trƣớc qua thời gian [7,8]. Mô tả bài toán: Giả sử ta có một hàm số u miêu tả nhiệt độ tại bất kì vị trí (x, y) nào đó. Hàm số này sẽ thay đổi theo thời gian khi nhiệt truyền đi ra khắp không gian. Phƣơng trình nhiệt đƣợc sử dụng để xác định sự thay đổi của hàm số u theo thời gian. Một trong những tính chất của phƣơng trình nhiệt là định luật maximum nói rằng giá trị lớn nhất của u hoặc là ở thời gian trƣớc đó hoặc là ở cạnh biên của miền đang xét. Điều này đại khái nói rằng nhiệt độ hoặc nhiệt độ đến từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 9 một nguồn nào đó hoặc là từ thời gian trƣớc đó chứ không đƣợc tạo ra từ không có gì cả. Đây là một tính chất của phƣơng trình vi phân parabolic và không khó chứng minh. Một tính chất khác nữa là ngay cả nếu nhƣ u không liên tục tại thời gian khởi đầu t = t0, thì nhiệt độ sẽ ngay lập tức trơn ngay tức khắc sau đó cho các giá trị t > t0. Chẳng hạn, nếu một thanh kim loại có nhiệt độ 0 và một thanh khác có nhiệt độ 100 và đƣợc gắn với nhau đầu này với đầu kia, thì ngay lập tức nhiệt độ tại điểm nối là 50 và đồ thị của nhiệt độ chạy trơn từ 0 đến 100. Về mặt vật lý điều này là không thể đƣợc, vì nhƣ vậy là thông tin đƣợc truyền đi với vận tốc vô hạn, sẽ phá vỡ luật nhân quả. Đây là một tính chất của phƣơng trình nhiệt hơn là bản thân của sự truyền nhiệt. Tuy nhiên, cho nhiều mục đích thực tế, sự khác nhau là có thể bỏ qua. Phƣơng trình nhiệt đƣợc sử dụng trong xác suất và để diễn tả bƣớc ngẫu nhiên (random walks). Nó cũng đƣợc áp dụng trong toán tài chính vì lý do này. Bài toán vật lý và phương trình: Biểu diễn đồ họa cho nghiệm của một phƣơng trình nhiệt 1D. Trong trƣờng hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hƣớng và đồng nhất trong không gian 2-chiều, phƣơng trình này là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 (1.17) với:  u=u ( t, x, y) là một hàm số theo thời gian và không gian; là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian;  đạo hàm bậc 2 (lƣu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo  hƣớng x, y, theo thứ tự.  k là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt. Phƣơng trình nhiệt là hệ quả của định luật Fourier cho dẫn nhiệt. Nếu môi trƣờng truyền đi không phải là toàn bộ không gian, để giải phƣơng trình nhiệt chúng ta cần phải xác định các điều kiện biên cho hàm số u. Để xác định tính duy nhất của các nghiệm trong toàn bộ không gian chúng ta cần phải giả thiết một chặn trên với dạng hàm mũ, điều này là hợp với các quan sát từ thí nghiệm. Nghiệm của phƣơng trình nhiệt đƣợc đặc trƣng bởi sự tiêu tán dần của nhiệt độ ban đầu do một dòng nhiệt truyền từ vùng ấm hơn sang vùng lạnh hơn của một vật thể. Một cách tổng quát, nhiều trạng thái khác nhau và nhiều điều kiện ban đầu khác nhau sẽ đi đến cùng một trạng thái cân bằng. Do đó, để lần ngƣợc từ nghiệm và kết luận điều gì đó về thời gian sớm hơn hay các điều kiện ban đầu từ điều kiện nhiệt hiện thời là hết sức không chính xác ngoài trừ trong một khoảng thời gian rất ngắn. Phƣơng trình nhiệt là một ví dụ phổ biến của phƣơng trình vi phân parabolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 11 Sử dụng toán tử Laplace, phƣơng trình nhiệt có thể tổng quát thành với toán tử Laplace đƣợc lấy theo biến không gian. Phƣơng trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng nhƣ nhiều quá trình tiêu tán khác, nhƣ là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài toán trong cơ học lƣợng tử cũng đƣợc miêu tả bằng một phƣơng trình tƣơng tự nhƣ là phƣơng trình nhiệt. Nó cũng có thể đƣợc sử dụng để mô phỏng các hiện tƣợng xảy ra trong tài chính, nhƣ là Black-Scholes hay là các quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Phƣơng trình này, và các phƣơng trình phi tuyến tƣơng tự khác, đƣợc sử dụng trong phân tích ảnh. Phƣơng trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm thuyết tƣơng đối hẹp, bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu: * Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào: Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định đƣợc nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phƣơng trình (1.17) ta còn cần phải biết phân bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên s của vật. Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách * Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t ) * Tại mọi điểm của biên s cho biết dòng nhiệt u biên : n Trong đó q  k u n vậy ta có điều kiện (1.19)   2 ( P, t ) S  2 ( P, t )   q ( P, t ) k là một hàm cho trƣớc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN (1.18). http://www.lrc.tnu.edu.vn