Tài liệu Luận văn nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi trên các miền có chung khớp nối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LỆ THANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CÓ CHUNG KHỚP NỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LỆ THANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CÓ CHUNG KHỚP NỐI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học và luận văn này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện đề tài. Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, luôn động viên khích lệ để tôi hoàn thành luận văn này. Do điều kiện về thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 7 năm 2018 Người thực hiện Nguyễn Thị Lệ Thanh 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2018 Người thực hiện Nguyễn Thị Lệ Thanh 2 Mục lục 0.1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một . . . . 6 1.2. Nghiệm thông lượng hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Nghiệm nhớt của các PT Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1. Nghiệm ràng buộc trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Sơ lược chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4. Một số quan sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.5. Một số mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Một số ký hiệu và thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Thiết lập bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3. Bổ đề chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4. Bài toán khớp nối một chiều phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5. Nghiệm hạn chế thông lượng là nghiệm suy rộng Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 30 3 Lời nói đầu 0.1. Lý do chọn đề tài Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng là một loại nghiệm yếu thích hợp với nhiều bài toán đối với các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một và cấp hai, thậm chí là đối với cả phương trình vi tích phân phi tuyến [1]-[4]. Gần đây, có một số kết quả về việc đặc trưng nghiệm nhớt qua khái niệm nghiệm hạn chế thông lượng [6]-[7]. Hơn nữa, khái niệm nghiệm nhớt còn được sử dụng để nghiên cứu hệ các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối [8]-[9]. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối” để thực hiện luận văn của mình. Đây là một nội dung nghiên cứu hoàn toàn mới. 0.2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về một số tính chất định tính của nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối như sự tồn tại, tính duy nhất hay tính ổn định. 0.3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các tính chất của nghiệm nhớt của phương trình Hamilton. Các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối. 4 0.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiện cứu: Nghiệm nhớt của các phương trình HamiltonJacobi trên các miền có chung khớp nối. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu một số tính chất định tính của phương trình trong trường hợp các Hamiltonian không lồi. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc triển khai nội dung của Chương 2, trong đó chủ yếu tập trung vào một số khái niệm nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi và của các bài toán tương ứng. Nói chung với mỗi mức phi tuyến của phương trình và của điều kiện biên, chúng ta sẽ cần các khái niệm nghiệm thích hợp tương ứng để có thể chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất. 1.1. Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một trong không gian hữu hạn chiều. Giả sử Ω ⊂ Rd là một tập mở, F : Ω × R × Rd → R là một hàm liên tục của (x, r, p). Nhắc lại rằng: C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω; C k (Ω), k = 1, 2, .. là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạo hàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω. Với một hàm u ∈ C 1 (Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω. Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω. (HJ) Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có: F (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0 tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ. 6 (1.1) Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có: F (x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ 0 (1.2) tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ. Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa là nghiệm dưới nhớt của phương trình đó. Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử. Ví dụ 1.1. Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình: − |u0 (x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1). Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phương của u − ϕ thì ϕ0 (x) = u0 (x) = ±1. Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệm trên nhớt, nghiệm dưới nhớt được thỏa mãn. Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0 (0)| ≤ 1 nên điều kiện nghiệm trên nhớt vẫn đúng. Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C 1 ([0, 1]). Thật vậy, nếu 0 là cực đại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có: ϕ0 (0) = lim+ x→0 ϕ(x) − ϕ(0) u(x) ≥ lim+ =1 x→0 x−0 x và u(x) ϕ(x) − ϕ(0) ≤ lim+ − = −1. x→0 x→0 x−0 x Từ các điều trên suy ra 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ. ϕ0 (0) = lim− Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương trình: |u0 (x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1). Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểu địa phương của |x| − (−x2 ). Đối với các phương trình tiến hóa có dạng: ut (t, y) + H(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × D thì ta chỉ việc đặt: x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ Rd+1 , F (x, r, p) = qd+1 + H(x, r, q1 , ...., qd ) 7 với q = (q1 , ..., qd , qd+1 ) ∈ Rd+1 . Trong trường hợp này, hàm H thường được gọi là hàm Hamilton hay Hamiltonian. Chú ý 1.1. 1) Trong định nghĩa nghiệm dưới nhớt ta luôn có thể giả sử rằng x0 là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu không ta có thể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x0 |2 ). Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào giá trị của Dϕ tại x0 , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng u(x0 ) = ϕ(x0 ). Đối với định nghĩa nghiệm trên nhớt ta cũng có nhận xét tương tự. Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệm dưới nhớt (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u. 2) Ta cũng chú ý rằng không gian C 1 (Ω) các hàm thử trong Định nghĩa 1.1 có thể được thay thế bằng C ∞ (Ω). 3) Một số tính chất cơ bản của nghiệm nhớt liên tục có thể xem chi tiết trong [1]-[3]. 4) Nếu ta xét điều kiện biên Dirichlet u = ϕ trên ∂Ω, thì một nghiệm dưới (tương ứng, nghiệm trên) nhớt của bài toán Dirichlet đối với phương trình (HJ) được hiểu là một nghiệm dưới (tương ứng, nghiệm trên) nhớt của phương trình ở trong Ω và thỏa mãn u ≤ ϕ (tương ứng, u ≥ ϕ) trên ∂Ω. 5) Trong lý thuyết nghiệm nhớt nói chung, để chứng minh tính duy nhất nghiệm, người ta thường đưa về chứng minh nguyên lý so sánh nghiệm, nói cách khác là chứng minh rằng nghiệm dưới nhớt của một bài toán luôn không vượt quá nghiệm trên nhớt của bài toán đó. Khi đã có tính duy nhất nghiệm thì sự tồn tại nghiệm nhớt chỉ là một hệ quả dễ thấy, nhờ phương pháp Perron. Vì thế mà chúng ta thường chỉ đề cập tới việc chứng minh tính duy nhất nghiệm mà thôi. 6) Từ nay về sau nếu không nói gì thêm, trong Luận văn này chúng ta sẽ chỉ dùng các khái niệm nghiệm theo nghĩa nhớt, nên để ngắn gọn, chúng ta sẽ thường bỏ từ nhớt và chỉ dùng nghiệm dưới, nghiệm trên và nghiệm thay cho nghiệm dưới nhớt, nghiệm trên nhớt và nghiệm nhớt tương ứng. 1.2. Nghiệm thông lượng hạn chế Trong trường hợp điều kiện biên phi tuyến phụ thuộc cả vào gradient, các kết quả vẫn còn khá hạn chế. Thường thì các tác giả sẽ phải đưa ra khái niệm nghiệm thích hợp để đạt được tính duy nhất nghiệm, như 8 nghiệm nới lỏng, nghiệm thông lượng hạn chế,... Để làm rõ thêm ý tưởng, chúng tôi sẽ đề cập tới các khái niệm đó với một bài toán một chiều. Trong [5], tác giả xét bài toán một chiều sau ( ut + H(ux ) = 0, khi t ∈ (0, T ) và x > 0, ut + F (ux ) = 0, khi t ∈ (0, T ) và x = 0, (1.3) và điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), x ≥ 0, (1.4) trong đó T > 0 cho trước và hàm Hamilton H : R → R liên tục, nói chung không lồi. Hàm F : R → R được gọi là hàm thông lượng và luôn được giả thiết liên tục và không tăng. Nhớ lại rằng: Bao nửa liên tục trên u∗ và bao nửa liên tục dưới u∗ của một hàm u bị chặn địa phương trên [0, T ] × [0, +∞) tương ứng xác định bởi u∗ (t, x) = lim sup u(s, y) và u∗ (t, x) = lim inf u(s, y). (s,y)→(t,x) (s,y)→(t,x) Khái niệm này có thể định nghĩa cho hàm nhiều biến. Định nghĩa 1.2. (Nghiệm nới lỏng). Cho u : [0, T ] × [0, +∞) → R. i) Ta nói rằng hàm u là một nghiệm dưới nới lỏng (relaxed subsolution) (tương ứng, nghiệm trên nới lỏng (relaxed super-solution)) của (1.3) trong (0, T ) × [0, +∞) nếu với mọi hàm thử φ ∈ C 1 ((0, T ) × [0, +∞)), u∗ − ϕ đạt cực đại (tương ứng, u∗ − ϕ đạt cực tiểu) tại (t0 , x0 ), ta có: nếu x0 > 0 thì φt (t0 , x0 ) + H(φx (t0 , x0 )) ≤ 0, (tương ứng ≥ 0); nếu x0 = 0 thì hoặc φt (t0 , 0) + H(φx (t0 , 0)) ≤ 0 (tương ứng ≥ 0) hoặc φt (t0 , 0) + F (φx (t0 , 0)) ≤ 0 (tương ứng ≥ 0). ii) Ta nói hàm u là một nghiệm dưới nới lỏng (tương ứng, nghiệm trên nới lỏng) của (1.3)-(1.4) trong [0, T ) × [0, ∞) nếu thỏa mãn thêm u∗ (0, x) ≤ u0 (x) (tương ứng u∗ (0, x) ≥ u0 (x)), ∀x ∈ [0, ∞). iii) Ta nói rằng hàm u là một nghiệm nới lỏng nếu u vừa là một nghiệm dưới nới lỏng vừa là một nghiệm trên nới lỏng. 9 Định nghĩa 1.3. (Nghiệm thông lượng hạn chế). Cho u : [0, T ) × [0, ∞) → R. i) Ta nói rằng u là một nghiệm dưới thông lượng hạn chế (tương ứng, nghiệm trên thông lượng hạn chế ) của bài toán (1.3) trong [0, T )×[0, ∞) nếu với mọi hàm thử φ ∈ C 1 ((0, T )×[0, +∞)), u∗ −ϕ đạt cực đại (tương ứng, u∗ − ϕ đạt cực tiểu) tại (t0 , x0 ) ta có: nếu x0 > 0 thì φt (t0 , x0 ) + H(φx (t0 , x0 )) ≤ 0, (tương ứng ≥ 0); nếu x0 = 0 thì φt (t0 , 0) + F (φx (t0 , 0)) ≤ 0 (tương ứng ≥ 0). ii) Ta nói rằng hàm u là một nghiệm dưới thông lượng hạn chế (tương ứng, nghiệm trên thông lượng hạn chế ) của bài toán (1.3)-(1.4) trong [0, T ) × [0, ∞) nếu u thỏa mãn các điều kiện tương ứng trong i) và thỏa mãn thêm u∗ (0, x) ≤ u0 (x) (tương ứng u∗ (0, x) ≥ u0 (x)), ∀x ∈ [0, +∞). iii) Hàm u là một nghiệm thông lượng hạn chế nếu u vừa là một nghiệm dưới thông lượng hạn chế vừa là một nghiệm trên thông lượng hạn chế. Chú ý 1.2. Từ định nghĩa ta thấy, mỗi nghiệm dưới (tương ứng: nghiệm trên, nghiệm) thông lượng hạn chế là một nghiệm dưới (tương ứng: nghiệm trên, nghiệm) nới lỏng. Dưới một số điều kiện nhất định [5] đã chứng minh được chiều ngược lại. Khi đó, việc xét nghiệm nới lỏng của bài toán trên sẽ được đưa về xét nghiệm thông lượng hạn chế, nói cách khác là xét bài toán tương ứng với điều kiện biên là hàm thông lượng hạn chế. Như vậy các điều kiện biên có cùng hàm thông lượng hạn chế sẽ có cùng tập nghiệm nới lỏng. Vì vậy các kết quả khẳng định chiều ngược lại thường được gọi là các kết quả về phân loại điều kiện biên. Theo cách này, một vấn đề đặt ra là với mỗi bài toán cụ thể, chúng ta cần tìm ra cách xây dựng hàm thông lượng hạn chế thích hợp để điều đó thực hiện được. 10 Chương 2 Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối Chúng ta biết rằng, có một lớp phương trình Hamilton-Jacobi rất quan trọng (còn gọi là phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman) được dẫn ra từ bài toán điều khiển tối ưu. Trong những trường hợp trạng thái của bài toán điều khiển tối ưu bị ràng buộc chạy trên một mặt cong trơn từng mảnh (chẳng hạn, biên của hình trụ) thì chúng ta dẫn tới phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối. Để tiện cho việc trình bày ý tưởng, chúng tôi sẽ trình bày bài toán trong trường hợp một chiều, trước khi trình bày bài toán trong trường hợp nhiều chiều. 2.1. Trường hợp một chiều 2.1.1. Nghiệm ràng buộc trạng thái Chúng ta xét K miền một chiều là K khoảng có chung nhau một đầu mút duy nhất, không có hai khoảng nào cùng nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ điểm chung đó. Đểm chung đó được gọi là khớp nối. Ta kí hiệu các khoảng đó là Ii := (−ai , 0), ai ∈ [−∞, 0), i = 1, . . . , K (ta hình dung mỗi khoảng này nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ 0). Các khoảng này có chung khớp nối là 0. Đặt I := ∪K i=1 Ii . Mỗi phần tử thuộc I¯ được hiểu là một bộ K số x = (x1 , . . . , xK ), xi ∈ I¯i . Như vậy, mỗi hàm u xác định trên I¯ sẽ có dạng u(x) = u(x1 , . . . , xK ). ¯ R) và (x1 , . . . , xK ) ∈ I, ¯ Với hàm u ∈ C(I; ta đặt ui (xi ) = u(0, . . . , xi , . . . , 0). Để đơn giản khi có thể ta không viết ui mà thay vào đó ta viết u(xi ). Tương tự ta cũng kí hiệu uxi , uxi xi là 11 các đạo hàm cấp một và cấp hai của ui theo xi . Cuối cùng để tránh sự dài dòng không cần thiết, chúng ta sẽ không nhắc lại rằng i = 1, . . . , K. Đôi chỗ thuật ngữ các miền có chung khớp nối được nói ngắn gọn là miền khớp nối. Và bài toán trên các miền có chung khớp nối thường được gọi tắt là bài toán trên miền khớp nối. Trong mục này, chúng ta sẽ đề cập tới các bài toán dừng trên miền khớp nối, tức là trên mỗi miền Ii xét một phương trình Hamilton-Jacobi dừng dạng ui (xi ) + Hi (uxi , xi ) = 0, xi ∈ Ii , trong đó các Hamiltonian Hi ∈ C(R × I; R), và với mỗi i, Hi bức, tức là Hi (pi , xi ) → ∞ khi |pi | → ∞ đều trên I¯i . (2.1) Trước hết chúng ta đề cập tới khái niệm nghiệm ràng buộc trạng thái của phương trình Hamilton-Jacobi dừng trên các miền khớp nối. ¯ R) là nghiệm dưới ràng buộc trạng thái Định nghĩa 2.1. (i) u ∈ C(I; của bài toán trên miền khớp nối nếu ui + Hi (uxi , xi ) ≤ 0 trong Ii với mỗi i. (2.2) ¯ R) là nghiệm trên ràng buộc trạng thái của bài toán trên (ii) u ∈ C(I; miền khớp nối nếu ui + Hi (uxi , xi ) ≥ 0 trong Ii với mỗi i (2.3) u(0) + max Hi (uxi , 0) ≥ 0. (2.4) và 1≤i≤K ¯ R) là nghiệm ràng buộc trạng thái nếu nó vừa là nghiệm (iii) u ∈ C(I; dưới ràng buộc trạng thái vừa là nghiệm trên ràng buộc trạng thái. Chú ý 2.1. 1) Theo định nghĩa trên, chúng ta không có ràng buộc nào đối với nghiệm dưới ràng buộc trạng thái tại khớp nối, chỉ nghiệm trên ràng buộc trạng thái mới có. 2) Bất đẳng thức của nghiệm trên tại khớp nối cũng được hiểu theo ¯ u − φ có cực tiểu (địa nghĩa nhớt, tức là nếu với φ ∈ C 1 (I) ∩ C 0,1 (I), phương ngặt) tại x = 0 thì u(0) + max Hi (φxi (0), 0) ≥ 0. 1≤i≤K 3) Định nghĩa nghiệm ràng buộc trạng thái nói lên rằng u là nghiệm nếu nó là nghiệm nhớt trong I và là nghiệm trên ràng buộc trong I¯i với ít nhất một i nào đó. 12 4) Để ngắn gọn chúng ta không đề cập cụ thể về điều kiện biên tại các điểm cuối ai , nó có thể là bất kỳ điều kiện biên nào (Dirichlet, Neumann hoặc ràng buộc trạng thái) miễn là ta có sự so sánh nghiệm trong mỗi Ii . 5) Ngoài ra, không quá khó khăn để nghiên cứu trên nhiều hơn một khớp nối. Vì như chúng ta sẽ thấy trong chứng minh sau đây, ảnh hưởng của mỗi khớp nối mang tính địa phương. Cuối cùng, ta ký hiệu usc,i ∈ C(I¯i ) là nghiệm ràng buộc trạng thái duy nhất của phương trình w + Hi (wxi , xi ) = 0 trên I¯i . 2.1.2. Kết quả chính Dưới đây là các kết quả về tính đặt chỉnh của bài toán trên miền khớp nối mà chưa chứng minh. Định lí 2.1. Giả sử ta có (2.1) và ¯ tương ứng là nghiệm dưới và nghiệm trên của bài (i) Nếu v, u ∈ C(I) ¯ toán trên miền khớp nối thì v ≤ u trên I. (ii) Tồn tại duy nhất nghiệm ràng buộc trạng thái û của bài toán trên miền khớp nối. (iii) û(0) = min usc,i (0), ở đây usc,i là nghiệm ràng buộc trạng thái của 1≤i≤K w + Hi (wxi , xi ) = 0 trên I¯i . Ta đã biết rằng trong lý thuyết nghiệm nhớt nguyên lý so sánh nghiệm sẽ kéo theo định lý tồn tại nhờ phương pháp Perron nên ở đây ta không thảo luận gì thêm nữa. Kết quả thứ hai là về tính ổn định của xấp xỉ nhớt cho bài toán trên miền khớp nối. Chúng ta bắt đầu với việc thiết lập tính đặt chỉnh của phương trình cấp hai eliptic đều trên khớp nối thỏa mãn điều kiện biên Neumann phi tuyến (kiểu Kirchoff). Giả sử các hàm liên tục Fi := F (Xi , pi , ui , xi ) và G := G(p1 , . . . , pK , u) thỏa mãn (đều theo tất cả các biến còn lại)  Fi giảm chặt theo Xi , không tăng theo ui và bức theo pi (2.5) Gi tăng chặt theo các pi , không tăng theo u, và xét bài toán  Fi (uxi xi , uxi , ui , xi ) = 0 trong Ii với mỗi i G(ux1 , . . . , uxK , u) = 0 trên {0}. 13 (2.6) Định lí 2.2. Giả sử (2.5) thỏa mãn. Khi đó (2.6) có nghiệm duy nhất ¯ û ∈ C 2 (I) ∩ C 1,1 (I). Ý nghĩa của điều kiện Neumann tại khớp nối là hàm G đo lượng các khuếch tán đi theo mỗi hướng cũng như ở lại điểm 0. Với mỗi  > 0, xét bài toán  −u + ui + Hi (uxi , xi ) = 0 trong Ii , PK xi xi i=1 uxi = 0 trên {0}. (2.7) Theo Định lý 2.2, bài toán trên có nghiệm duy nhất û ∈ C 2 (I) ∩ ¯ và hơn nữa nghiệm bị chặn trên C 0,1 (I) ¯ với cận độc lập với . C 1,1 (I) Tính bị chặn đều theo  dễ dàng được xác định từ giả thiết về tính bức của các Hamiltonian. Chú ý rằng việc chọn cụ thể của điều kiện Neumann không có ảnh hưởng gì về sau, các kết quả dưới đây vẫn còn đúng cho các điều kiện biên khác, thậm chí là điều kiện biên phi tuyến tại khớp nối. Chúng ta quan tâm tới dáng điệu khi  → 0 của u , nói cách khác là mối quan hệ của nó với nghiệm ràng buộc trạng thái của bài toán cấp một trên miền khớp nối. Định lí 2.3. Giả sử (2.1) thỏa mãn. Khi đó u := lim u tồn tại và →0 − hơn u = û hoặc u(0) < û(0), uxi (0 ) tồn tại với mọi i và PK nữa hoặc − i=1 uxi (0 ) = 0. Một hệ quả của Định lý 2.3 đó là, bài toán trên miền khớp nối có duy nhất một nghiệm ràng buộc trạng thái và nghiệm có thể thu được bởi giới hạn của nghiệm của các bài toán kiểu (2.7) với các kiểu suy biến khác của số hạng cấp hai và điều kiện Neumann khác. Với một số giả thiết bổ sung ta có thể chứng minh rằng û = lim u . →0 Thật vậy, giả sử rằng với mỗi i Hi không có phần phẳng và có hữu hạn cực tiểu tại p0i,1 , ≤ . . . ≤ p0i,Ki ; (2.8) chú ý rằng giả thiết Hi không có phần phẳng có thể bỏ qua được nhờ sử dụng tính trù mật, trong khi đó với những kỹ thuật phức tạp ta có thể không cần thiết phải giả thiết rằng Hi có hữu hạn các điểm cực tiểu. P 0 Định lí 2.4. Giả sử (2.1), (2.8) thỏa mãn và K i=1 pi,Ki ≤ 0. Khi đó ta có û = lim u . →0 14 Một trường hợp cụ thể mà (2.8) thỏa mãn đó là khi Hi tựa lồi và bức. Khi đó vớiP mỗi i tồn tại một điểm cực P tiểu đơn tại p0i và điều kiện K 0 0 trên trở thành K i=1 pi ≤ 0. Mặt khác, nếu i=1 pi > 0, ta có những ví dụ mà ở đó û > lim u . →0 2.1.3. Sơ lược chứng minh Chứng minh của Định lý 2.2 là đơn giản, nên chúng ta bỏ qua và chỉ chứng minh Định lý 2.1. Chứng minh. Từ (2.1) chúng ta có v là liên tục Lipschitz. Qua những lưu ý ở mục trước về điều kiện biên tại các ai , ở đây nếu ta giả sử v(0) − u(0) = maxI¯(u − v) > 0 và thu được mâu thuẫn. Ta tiếp tục với lập luận Soner[10] cho các bài toán ràng buộc trạng thái. Với mỗi i,  > 0 và với δ = O() gọi (x̄i , ȳi ) ∈ I¯i × I¯i là điểm cực đại của hàm 1 (xi ; yi ) → v(xi ) − u(yi ) − (x̄i − ȳi + δ)2 . 2 Từ đó suy ra x̄i , ȳi → 0 khi  → 0 và do đó ta có với mọi i, xi < 0 kể cả khi ȳi = 0. Nếu tồn tại j để ȳj < 0 thì do tính duy nhất của nghiệm ràng buộc trạng thái trong I¯j , ta suy ra mâu thuẫn với điều kiện u(0) − v(0) > 0. Từ đó suy ra ta phải có ȳi = 0 với mọi i = 1, . . . , K, tức là hàm 1 X y → v(y) + (x̄i − ȳi + δ)2 2 i đạt cực tiểu tại 0. Vì v là nghiệm trên nên từ (2.4) thu được v(0) + max Hi ( x̄i+δ , 0) ≥ 0 1≤i≤K x¯ +δ Hj ( j , 0) do đó tồn tại j để v(0) + ≥ 0. x¯j +δ Mặt khác vì x̄j < 0 nên uj (x¯j ) + Hj (  , x¯j ) ≤ 0. Kết hợp các bất đẳng thức trên rồi cho  → 0 ta thu được u(0) = uj (0) ≤ vj (0) = v(0), điều này mâu thuẫn với giả thiết. Sự tồn tại của nghiệm duy nhất û được suy ra từ nguyên lý so sánh và phương pháp Perron. Với yêu cầu thứ ba, ta để ý rằng: do û là nghiệm dưới nhớt trong mỗi Ii nên theo nguyên lý so sánh đối với nghiệm ràng buộc trạng thái, với mỗi i, û ≤ usc,i trên I¯i và do đó û(0) ≤ min usc,i (0). 1≤i≤K Để chỉ ra đẳng thức, chúng ta cần chỉ ra rằng, tồn tại j sao cho usc,j (0) ≤ û(0). Điều này có được bằng cách lặp lại sự so sánh ở trên. 15 Để nghiên cứu dáng điệu giới hạn của u chúng ta xem xét kỹ các tính chất của nghiệm bài toán Dirichlet trong mỗi khoảng Ii . Để đơn giản trong ký hiệu, ta bỏ qua chỉ số i và với mỗi c ∈ R ta xét bài toán biên uc + H(uc,x , x) = 0 trong I := (−a; 0) và u(0) = c, (2.9) và ký hiệu usc là nghiệm của bài toán ràng buộc trạng thái tương ứng trong I. Vấn đề chỉ nảy sinh với dáng điệu gần 0 nên chúng tôi không nhắc lại điều kiện biên tại a, vì thế bài toán (2.9) xác định tốt. Như đã đề cập từ trước chúng tôi sử dụng điều kiện (2.8) để tránh những thao tác mang tính kỹ thuật. Mệnh đề 2.1. Giả sử H thỏa mãn (2.1) và (2.8). Khi đó với mọi ¯ Hơn nữa uc,x (0− ) tồn c < usc (0), (2.9) có nghiệm duy nhất uc ∈ C 0,1 (I). tại và uc (0− ) + H(uc,x (0− ), 0) = 0. Ngoài ra uc (0− ), uc,x (0− ) không giảm theo c và uc,x (0− ) nằm trong phần giảm của H. Chứng minh. Sự tồn tại nghiệm của (2.9) được suy ra ngay bằng phương pháp Perron vì với mọi λ > 0, usc − λ là nghiệm dưới, trong khi đó H là bức nên dễ dàng suy ra (2.9) có nghiệm trên. Tính liên tục Lipschitz của nghiệm cũng suy ra ngay từ tính bức của H. Sự tồn tại của uc,x (0− ) và phương trình được thỏa mãn tại 0 được suy ra theo Jensen và Souganidis [8], trong đó nghiên cứu chi tiết về tính khả vi của nghiệm nhớt trong không gian một chiều. Yêu cầu về tính đơn điệu của uc (0− ) được suy ra từ nguyên lý so sánh. Tính đơn điệu của uc,x (0− ) là một hệ quả của tính chất: với mọi c 6= c0 hàm uc − uc0 đạt cực đại tại x = 0. Do uc (0− ) và uc,x (0− ) không giảm và uc (0− ) + H(uc,x (0− ), 0) = 0 nên ta có khẳng định cuối cùng của mệnh đề. Bổ đề sau đây được dùng trong chứng minh trên có trong [8]. Bổ đề 2.1. Giả sử u ∈ C 0,1 (I¯i ) là nghiệm của u + H(ux , x) ≤ 0 (tương và p := ứng u + H(ux , x) ≥ 0) trong I và đặt p̄ := lim sup u(x)−u(0) x x→0− lim inf − x→0 u(x)−u(0) . x Khi đó u(0)+H(p̄, 0) ≤ 0 (tương ứng u(0)+H(p, 0) ≥ 0.) Tiếp theo ta có bổ đề sau đặc trưng cho sự hội tụ đều của họ nghiệm liên tục Lipschitz của (2.7) u khi  → 0. Bổ đề 2.2. Giả sử (2.1) thỏa mãn. Mọi giới hạn u của dãy con của họ nghiệm u đều là nghiệm nhớt dưới của bài toán ( u + Hi (uxi , xi ) ≤ 0 trên Ii với mỗi i P (2.10) min[ K i=1 uxi , u(0) + min Hi (uxi , 0)] ≤ 0 tại x = 0, 1≤i≤K 16 và là nghiệm nhớt trên của bài toán ( u + Hi (uxi , xi ) ≥ 0 trên Ii với mỗi i P max[ K i=1 uxi , u(0) + max Hi (uxi , 0)] ≥ 0 tại x = 0. (2.11) 1≤i≤K Cần chú ý thêm rằng bất các đẳng thức tại x = 0 phải được hiểu theo nghĩa nhớt. ¯ u − φ đạt cực đại tại 0 thì Ví dụ nếu có φ ∈ C 0,1 (I), d X min[ φxi (0− ), u(0) + min Hi (φxi (0), 0)] ≤ 0. 1≤i≤K i=1 Mệnh đề 2.2 dưới đây cho ta dáng điệu của u thỏa mãn (2.10) và (2.11). Khi đó Định lý 2.3 là một hệ quả trực tiếp. Mệnh đề 2.2. Giả sử (2.1) và (2.8) thỏa mãn. (i) Pd Nếu u −là nghiệm liên tục của (2.10) và (2.11) và u(0) < û(0) thì i=1 uxi (0 ) = 0. ¯ sao (ii) Bài toán (2.10) và (2.11) có nhiều nhất một nghiệm u ∈ C 0,1 (I) cho u(0) < û(0). Chứng minh. (i) Từ Mệnh đề 2.1 ta có với mỗi i, uxi (0− ) tồn tại và thuộc vào phần giảm của Hi và u(0) + Hi (uxi (0− ), 0) = 0. Suy ra tồn tại λ > 0 sao cho u(0)+Hi (uxi (0− )+λ, 0) < 0 và u(0)+Hi (uxi (0− )−λ, 0) > 0. ¯ sao cho φ± (0− ) = ux (0− ) ± λ. Từ đó suy ra 0 tương Chọn φ± ∈ C 0,1 (I) xi i ứng là điểm cực đại và cực tiểu địa phương của u − φ− và u − φ+ . Khi đó từ (2.10),(2.11) và cách chọn φ± ta thu được bất đẳng thức  P − − − −  min[ K i=1 φxi (0 ), u(0) + min Hi (φxi (0 ), 0)] = 1≤i≤K P − −  min[ K i=1 uxi (0 ) − λK, u(0) + min Hi (uxi (0 ) − λ, 0)] ≤ 0 1≤i≤K và  P − − − −  max[ K i=1 φxi (0 ), u(0) + max Hi (φxi (0 ), 0)] = 1≤i≤K PK −  max[ i=1 uxi (0 ) − λK, u(0) + max Hi (uxi (0− ) − λ, 0)] ≥ 0 1≤i≤K PK P − Do cách chọn λ nên i=1 uxi (0− ) − λ ≤ 0 ≤ K i=1 uxi (0 ) + λK và do đó cho λ → 0 ta thu được điều phải chứng minh. (ii) Nếu u, v tương ứng là nghiệm những hàm liên tục của (2.10) và (2.11) thì với điều kiện Kirchoff Pd được thiết lập ở trên ta suy ra rằng, với δ > 0 nhỏ , u(x) − v(x) − i=1 xi không thể đạt cực đại tại x = 0. Kết quả thu được từ những lý luận cơ bản trong lý thuyết nghiệm nhớt. Định lý 2.4 là hệ quả hiển nhiên của Mệnh đề 2.2. 17 2.1.4. Một số quan sát Trong mục này, chúng tôi trình bày một cách khác để xấp xỉ nghiệm ¯ Để đơn trạng thái ràng buộc trên khớp nối dựa trên việc "làm đầy" I. giản trong ký hiệu ta giả thiết K = 2. Với  > 0, đặt I là lân cận mở của I¯ trong R2 với kích thước , nghĩa là I¯ ⊂ I và diamI ≤ . Xét Hamiltonian bức H : R2 × R2 → R và bài toán ràng buộc trạng thái   u + H(Du , x) ≤ 0 trong I , (2.12) u + H(Du , x) ≥ 0 trong I¯ , trong đó Dv := (vx1 , vx2 ) và x := (x1 , x2 ). Do H là bức nên H là liên tục Lipschitz do đó u → u theo một dãy con nào đó. Đặt H1 (p1 , x1 ) := min H(p1 , p2 , x1 , 0) và H2 (p2 , x2 ) := min H(p1 , p2 , 0, x2 ), ta p2 ∈R p1 ∈R có định lý sau về giới hạn của nghiệm xấp xỉ của (2.12). Định lí 2.5. Mọi giới hạn của họ nghiệm u của (2.12) đều là nghiệm của u + H1 (ux1 , x1 ) = 0 trong I1 và u + H2 (ux2 , x2 ) trong I2 và nếu với mỗi φ ∈ C 1 (R2 ), u − φ đạt cực tiểu địa phương tại 0 thì u + H(φx1 (0), φx2 (0), 0) ≥ 0. Chứng minh. Việc chứng minh điều thứ hai của định lý là hiển nhiên. Ở đây ta chỉ chứng minmh chi tiết phần đầu của định lý. Do tính tương tự nên ta lấy i = 1. Với φ ∈ C 1 (I1 ), giả sử x¯1 ∈ I1 là cực tiểu địa phương của u(x1 , 0)−φ(x1 ). Khi đó suy ra với mọi p2 ∈ R, u (x1 , x2 ) − φ(x1 ) − p2 x2 có cực tiểu tại (x̄1 , x̄2 ) và nếu  → 0 thì x̄1 → x1 và x̄2 → 0. Theo (2.12), ta có u(x̄1 , 0) + H(φ(x¯1 ), p2 , x¯1 , 0) ≥ 0. Lại có p2 là tùy ý nên u(x̄1 , 0) + H1 (φ(x̄1 ), x̄1 ) ≥ 0. Các tính chất của nghiệm dưới được suy ra từ u + H1 (ux1 , x1 ) ≤ u + H( ux1 , ux1 , x1 , 0). Một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.5 là mệnh đề sau đây Mệnh đề 2.3. Nếu H(p1 , p2 , x1 , x2 ) = max(H1 (p1 , x1 ), H2 (p2 , x2 ) thì giới hạn lim u tồn tại và là nghiệm ràng buộc trạng thái của bài toán →0 trên khớp nối. Tuy nhiên nhìn chung giả thiết H(p1 , p2 , x1 , x2 ) = max(H1 (p1 , x1 ), H2 (p2 , x2 ) là không xảy ra. Thật vậy, 18