Tài liệu Luận văn không gian mêtric nikodym và tính chất

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Đinh Văn Phúc KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT Bộ môn: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: PGS.TS. Lê Văn Hạp Huế, Khóa học 2009 - 2013 LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành không chỉ là kết quả của sự cố gắng, nỗ lực của bản thân mà trước hết là nhờ sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS. Lê Văn Hạp, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy. Em xin thành cảm ơn quý thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ em trong suốt những năm qua. Em xin gửi đến gia đình, những người thân yêu và những người bạn của em lời biết ơn chân thành sâu lắng, những người luôn sát cánh bên em, động viên và tạo mọi điều kiện cho em được học tập cũng như trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này. Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Văn Phúc Mục lục Lời mở đầu 3 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Tập thương và quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Tích phân coi như một hàm tập . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Không gian Lp , 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT 15 2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 2 LỜI MỞ ĐẦU Không gian mêtric và lý thuyết độ đo tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực, chúng cùng với giải tích hàm làm nền tảng cho kiến thức toán học của sinh viên. Trong chương trình học ở đại học, học phần không gian mêtric-không gian Tôpô được học ở học kì hai của năm thứ hai, học phần lí thuyết độ đo và tích phân được học ở học kì một năm thứ ba. Đây là những học phần không thể thiếu đối với sinh viên ngành toán ở bậc đại học, các học phần này giúp chúng em làm quen và nắm được khái niệm, tính chất của không gian mêtric, không gian độ đo và lí thuyết tích phân...Đặc biệt là không gian mêtric có những tính chất thú vị, gần gũi với hình học. Khóa luận này đi sâu nghiên cứu về một trường hợp đặc biệt của không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym. Không gian mêtric Nikodym được xây dựng dựa trên một không gian độ đo hữu hạn và nó có một số tính chất khá thú vị, có mối liên hệ chặt chẽ với không gian độ đo. Nội dung của khóa luận đề cập đến khái niệm không gian mêtric Nikodym, các tính chất của không gian này đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa nó với không gian Lp , 1 ≤ p < ∞. Nội dung nghiên cứu của em là dựa trên cuốn sách [7], trong đó các khái niệm, kết quả được nghiên cứu và trình bày lại một cách rõ ràng và đầy đủ hơn. Tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng 3 4 với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính chất. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013 Tác giả Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập thương và quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một quan hệ hai ngôi trong A. Khi đó: i. R được gọi là phản xạ nếu ∀x∈A, xRx. ii. R được gọi là đối xứng nếu ∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx. iii. R được gọi là bắc cầu nếu ∀x, y, z∈A, xRy và yRz ⇒ xRz . Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi R trong A được gọi là quan hệ tương đương nếu R thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Quan hệ tương đương được ký hiệu là ∼. Định nghĩa 1.1.3. Cho ∼ là một quan hệ tương đương trong X và x ∈X. Khi đó: i. Tập hợp x̄={ y∈X | y∼x} được gọi là lớp tương đương của x theo quan 5 6 hệ ∼. ii. Tập hợp X/∼ = { x̄ | x∈X} được gọi là tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ∼. 1.2 Không gian mêtric Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một tập bất kỳ khác trống. Ta gọi hàm số d: X×X → R là một mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu hàm số này thỏa mãn ba tiên đề sau đây: 1. d(x, y ) > 0, ∀x, y∈X ; d(x, y ) = 0 khi và chỉ khi x = y , 2. d(x, y ) = d(y, x) ( tính đối xứng ), 3. d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), ∀x, y, z∈X ( bất đẳng thức tam giác ). Khi đó tập X cùng với mêtric d đã cho được gọi là một không gian mêtric và kí hiệu là (X , d). Định nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X được gọi là tách được nếu có một tập con hữu hạn hay đếm được A ⊂ X trù mật khắp nơi. Mệnh đề 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con của một không gian mêtric tách được là tách được. Định nghĩa 1.2.4. Tập A ⊂ X được gọi là compact nếu với mọi dãy (xn )n ⊂ A đều tồn tại một dãy con (xnk )k ⊂ (xn )n hội tụ về một điểm x0 ∈ A. Nếu X là tập compact thì ta nói X là không gian compact. Định nghĩa 1.2.5. Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ. 1. Dãy (xn )n trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu lim d(xm , xn ) = 0. Nói cách khác (xn )n là dãy cơ bản khi và m,n→0 7 chỉ khi: (∀ε > 0)(∃n0 )(∀m, n ≥ n0 ) : d(xm , xn ) < ε. 2. Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X . Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một tập con của không gian mêtric X . Ta gọi M là tập không đâu trù mật nếu nó không trù mật trong bất kì hình cầu nào cả. Nói một cách tương đương: ◦ ( M ⊂X là tập không đâu trù mật ) ⇔ ( M = ∅). Định nghĩa 1.2.7. Giả sử A là một tập con của không gian mêtric X . Ta gọi A là tập thuộc phạm trù I trong X nếu tồn tại một dãy các tập không ∞ đâu trù mật A1 , A2 , ... sao cho A= ∪ An . n=1 Tập A⊂X được gọi là thuộc phạm trù II nếu nó không phải là tập thuộc phạm trù I. Định lí 1.2.8. (Định lí Baire-Category)([1]. ĐL 4.3.4, tr 58). Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ. Khi đó X là tập thuộc phạm trù II. Hệ quả 1.2.9. Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và (An )n là ∞ dãy các tập con của X sao cho X = ∪ An . Khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho ◦ n=1 An0 6= ∅. Định lí 1.2.10. ([7]. ĐL 7, tr 213) Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và (fn )n là một dãy các hàm thực liên tục trên X hội tụ điểm trong X tới hàm f nhận giá trị thực thì có một tập con D trù mật trong X sao cho (fn )n là liên tục đồng bậc và f là liên tục tại mỗi điểm trong D. 8 1.3 Không gian độ đo Định nghĩa 1.3.1. Một đại số là một lớp các tập con của X chứa X , ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp ( phép hợp và phép giao một số hữu hạn tập, phép trừ và phép trừ đối xứng hai tập). Định lí 1.3.2. Một lớp C là một đại số khi và chỉ khi C không rỗng và thỏa mãn hai điều kiện: a. A∈C , B∈C ⇒ A∪B ∈ C , b. A∈C , Ac = X\A∈ C . Định nghĩa 1.3.3. Một σ -đại số là một lớp tập các tập con của X chứa X , ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập.Dĩ nhiên một σ -đại số cũng là một đại số. Định lí 1.3.4. Một lớp F là một σ -đại số khi và chỉ khi F không rỗng và thõa mãn các điều kiện: ∞ a. An ∈ F (n = 1, 2, 3, ...) ⇒ ∪ An ∈ F, n=1 b. A ∈ F ⇒Ac = X\A ∈ F . Định nghĩa 1.3.5. (Hàm tập hợp). Cho X là một tập tùy ý, M là một lớp tập con của X . Một hàm µ xác định trên M gọi là một hàm tập. Hàm đó là cộng tính nếu: A, B∈ M, A∩B =∅, A∪B∈ M ⇒ µ(A∪B )=µ(A)+µ(B ). Bằng qui nạp chúng ta chứng minh được rằng nếu µ là cộng tính thì nó cũng hữu hạn cộng tính tức là với Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ...n, Ai ∩Aj = ∅, P ∪ni=1 Ai ∈ M thì µ(∪ni=1 Ai )= ni=1 µAi . Hàm tập µ gọi là σ -cộng tính nếu Ai ∈ M, i = 1, 2, 3, ..., Ai ∩Aj = ∅, 9 ∞ ∞ ∞ P i=1 i=1 i=1 i6=j và ∪ Ai ∈ M thì µ( ∪ Ai )= µAi . Định nghĩa 1.3.6. Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó được xác định trên một đại số C và thỏa mãn 3 điều kiện sau: (i) µ(A)>0 với mọi A∈ C, (ii) µ(∅) = 0, (iii) µ là σ -cộng tính. Một độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µ(X )<+∞, σ -hữu hạn nếu: ∞ X = ∪ Xi , Xi ∈ C , µ(Xi )<+∞. i=1 ∗ Một số tính chất Định lí 1.3.7. ( [1]. ĐL 1, tr 11). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì: i. A ∈C , B∈C , B ⊂A⇒ µ(B) ≤ µ(A). ii. A, B∈C , B ⊂A, µ(B ) <+∞⇒ µ(A\B )= µ(A)−µ(B ). ∞ ∞ P i=1 i=1 iii. Ai ∈C (i=1,2,3...) A∈C , A⊂ ∪ Ai ⇒ µ(A) ≤ µ(Ai ). ∞ ∞ P i=1 i=1 iv. Ai ∈C (i=1,2,3...), Ai ∩Aj = ∅, i 6= j A∈C , A⊃ ∪ Ai ⇒ µ(A) ≥ µAi . Hệ quả 1.3.8. Nếu độ đo µ là σ -hữu hạn thì mọi tập A ∈ C đều có thể phân tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn. Định lí 1.3.9. ( [1], ĐL 2, tr 12). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì: ∞ ∞ i=1 i=1 i. µ(Ai ) = 0 (i=1,2,3...), ∪ Ai ∈ C ⇒ µ( ∪ Ai ) = 0. ii. A ∈ C , µ(B )=0 ⇒ µ(A∪B ) = µ(A\B )= µ(A). Định lí 1.3.10. ( [3]. ĐL 3, tr 13). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì: 10 i. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊂A2 ⊂... ∞ ∞ i=1 i=1 ∪ Ai ∈ C ⇒ µ( ∪ Ai ) = lim µ(Ai ). i→∞ ii. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊃A2 ⊃... , µ(A1 ) <+∞ ∞ ∞ i=1 i=1 ∩ Ai ∈ C ⇒ µ( ∩ Ai ) = lim µ(Ai ). i→∞ Định lí 1.3.11. ( [3]. ĐL 4, tr 14). Cho µ là một hàm tập không âm, cộng tính trên đại số C và sao cho µ(∅) = 0. Nó sẽ là một độ đo nếu có một trong hai điều kiện sau: i. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊂A2 ⊂... ∞ ∞ i=1 i=1 ∪ Ai ∈ C ⇒ µ( ∪ Ai ) = lim µ(Ai ). i→∞ ii. Ai ∈ C (i=1,2,3...), A1 ⊃A2 ⊃... , µ(A1 ) <+∞ ∞ ∩ Ai = ∅ ⇒ lim µ(Ai ) = 0. i=1 1.4 i→∞ Hàm đo được Định nghĩa 1.4.1. Cho một không gian X , một σ -đại số F những tập con của X và một tập A∈ F . Một hàm số f :A→R gọi là đo được trên tập A đối với σ -đại số F nếu với mỗi a ∈ R thì { x∈A : f (x) 0, tồn tại một δ > 0 sao cho với bất kì tập E ∈ M, nếu µ(E) < δ thì ν(E) < ε 15 ( 2.2.0). 16 Chứng minh. + Giả sử ν tuyệt đối liên tục đối với µ và tồn tại ε0 > 0, dãy (En ) ⊂ M sao cho với mỗi n, µ(En ) < 1 2n và ν(En ) ≥ ε0 . Với mỗi n, ∞ ta đặt An = ∪ Ek , thì (An )n là một dãy giảm các tập trong M. Từ tính k=n đơn điệu của ν và tính cộng tính đếm được của µ ta có: ∞ ν(An ) = ν( ∪ Ek ) ≥ ν(En ) ≥ ε0 k=n ∞ ∞ P k=n k=n và µ(An ) = µ( ∪ Ek ) ≤ ∞ µ(Ek ) ≤ 1 2n−1 với mọi n. Đặt A∞ = ∩ An . Do tính đơn điệu của độ đo µ, ta có: n=1 ∞ µ(A∞ ) = µ( ∩ An ) ≤ µ(An ) ≤ n=1 1 , 2n−1 ∀n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ(A∞ ) = 0. Mặt khác ta có ν(A1 ) ≤ ν(X) < ∞ và (An )n là dãy giảm nên ∞ ν(A∞ ) = ν( ∩ An ) = limn→∞ ν(An ). Do ν(An ) ≥ ε0 với mọi n nên n=1 ν(A∞ ) = limn→∞ µ(An ) ≥ ε0 . Điều này mâu thuẫn với ν là tuyệt đối liên tục đối với µ vậy ta có điều phải chứng minh. + Giả sử (2.2.0) đúng. Cho E ∈ M mà µ(E) = 0. Ta cần chứng minh ν(E) = 0. ∀ n ∈ N, lấy εn = 1 n thì theo giả thiết sẽ tồn tại δn > 0, sao cho (2.2.0) nghiệm đúng. Vì µ(E) = 0 < δn nên ν(E) < n1 , với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được ν(E) = 0. Vậy ν là tuyệt đối liên tục đối với µ. Định nghĩa 2.1.3. (Độ đo Dấu). Cho một không gian đo được (X, M). Một hàm tập ν trên M được gọi là một độ đo dấu trên M nếu nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây: 1. ν(E) ∈ (−∞; +∞] với mọi E ∈ M hoặc ν(E) ∈ [−∞; +∞) với mọi E ∈ M, 2. ν(∅) = 0, 3. Với mọi dãy (En ) đôi một rời nhau trong M; 17 P n∈N ν(En ) tồn tại trong R và P n∈N ν(En ) = ν(∪n∈N En ). Nếu ν là một độ đo dấu trong M, thì không gian (X, M, ν) được gọi là không gian độ đo dấu. Một độ đo dấu µ gọi là hữu hạn nếu µ(X) ∈ R, σ -hữu hạn nếu: ∞ X = ∪ Xi , Xi ∈ M, µ(Xi ) ∈ R. i=1 Chú ý: Nếu (En ) là một dãy trong M trong không gian độ đo dấu P (X, M, ν), thì n∈N ν(En ) có thể không tồn tại trong R, cho nên không P phải khi nào (En ) đôi một rời nhau thì tổng n∈N ν(En ) trong điều kiện (3) của định nghĩa trên cũng tồn tại. Bây giờ cho E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M. Khi Pn đó do điều kiện (1) trong định nghĩa trên nên i=1 ν(Ei ) luôn luôn tồn tại trong R . Nếu E1 , E2 , ...En , Ei ∈ M, Ei ∩ Ej = ∅, i = 1, n, j = 1, n thì dãy (E1 , E2 , ...En , ∅, ∅...) là đôi một rời nhau và từ ν(∅) = 0 nên điều kiện (3) trong định nghĩa trên được thỏa mãn. Định nghĩa 2.1.4. Cho không gian độ đo (X, M, µ) và f là hàm đo được R R trên tập D ∈ M. Nếu f + dµ − f − dµ tồn tại trong R, thì ta nói rằng D D f là nửa khả tích trên D đối với µ hay µ-nửa khả tích trên D và xác định R f dµ = D R D f + dµ − R f − dµ. D Mệnh đề 2.1.5. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo, cho f : X → R là một hàm nửa khả tích trên X , chúng ta xác định một hàm tập ν trên M bởi: ν(E) = R f dµ với mọi E ∈ M, thì ν là một độ đo dấu trên M. E R Chứng minh. Vì f là nửa khả tích nên trong hai tích phân f + dµ X R và f − dµ có một tích phân là hữu hạn, không mất tính tổng quát giả sử R X+ f dµ là hữu hạn. Khi đó với mọi E ∈ M ta có X 18 0≤ R f + dµ ≤ E R f + dµ < +∞. Do vậy X ν(E) = R f + dµ − E R f − dµ ∈ [−∞, +∞), tức là điều kiện (1) trong định E nghĩa được thỏa mãn. R Ta có ν(∅) = f dµ = 0 nên điều kiện (2) thỏa mãn. ∅ Ta xét (En ) là dãy các tập đôi một rời nhau trong M, ∞ f dµ = E f dµ = ∞ ∪ En ν(En ) tồn n=1 tại trong R, đặt E = ∪ En , khi đó ta có: n=1 ∞ R R R P ν(E) = ∞ P f dµ = n=1 En ∞ P ν(En ) vậy điều kiện (3) n=1 n=1 được thỏa mãn. Do đó ν là một độ đo dấu. Định nghĩa 2.1.6. (Đạo hàm Radon-Nikodym). Cho (X, M, µ ) là một không gian độ đo, ν là một độ đo dấu trong không gian đo được (X, M). Nếu tồn tại một hàm f đo được trên X đối với R M sao cho ν(E) = f dµ với mỗi E ∈ M thì f được gọi là đạo hàm E Radon-Nikodym của ν đối với µ và ký hiệu là dν . dµ Chú ý rằng nếu một đạo hàm Radon-Nikodym f của ν đối với µ tồn R tại thì f dµ = ν(X) ∈ R. Vậy f không nhất thiết khả tích trên X đối X với µ. Mệnh đề 2.1.7. (i) Cho f là một đạo hàm Radon-Nikodym của một độ đo dấu ν đối với một độ đo µ trên một không gian đo được (X, M). Nếu g là một hàm đo được trên X sao cho f = g hầu khắp nơi trên X đối với µ, thì g cũng là một đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ. (ii) Cho µ là độ đo σ -hữu hạn và ν là một độ đo dấu trên một không gian đo được (X, M). Nếu hai hàm đo được f và g là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ thì f = g hầu khắp nơi trên X đối với µ. 19 Chứng minh. (i) Chú ý rằng nếu g là một hàm đo được trên X sao cho f = g hầu khắp nơi trên X thì với mỗi E ∈ M chúng ta có R R gdµ = f dµ = ν(E). Vậy theo định nghĩa g là đạo hàm RadonE E Nikodym của ν đối với µ. (ii) Để chứng minh (ii) ta đi chứng minh mệnh đề sau đây trước: Mệnh đề 2.1.8. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo σ -hữu hạn, f R R và g là hai hàm đo được µ-nửa khả tích trên X sao cho f dµ = gdµ E E với mỗi E ∈ M, thì f = g hầu khắp nơi trên X . Chứng minh. Do µ là σ -hữu hạn nên có một dãy (An )n trong M sao ∞ cho An ∩ Am = ∅, ∪ An = X và µ(An ) < ∞, ∀n ∈ N. Ta sẽ chứng minh n=1 f = g hầu khắp nơi trên mỗi An , ∀n ∈ N (1). Giả sử (1) không được thỏa mãn khi đó có ít nhất một trong hai tập E = {x ∈ An : f (x) < g(x)} và F = {x ∈ An : f (x) > g(x)} sẽ có một tập có độ đo dương. Giả sử µ(E) > 0, khi đó ta biểu diễn E = E 0 ∪ E 00 trong đó E 0 = {x ∈ An : −∞ < f (x) < g(x)} và E 00 = {x ∈ An : f (x) = −∞, g(x) > −∞}. Vì E 0 ∩ E 00 = ∅, nên sẽ có ít nhất một trong hai tập E 0 , E 00 có độ đo dương. 0 + Xét trường hợp µ(E 0 ) > 0, bây giờ ta có E 0 = ∪m∈N ∪k∈N ∪l∈N Em,k,l ở 0 đây Em,k,l = {x ∈ An : −m ≤ f (x), f (x) + k1 ≤ g(x) ≤ l}. P P P 0 Vì 0 < µ(E 0 ) ≤ m∈N k∈N l∈N µ(Em,k,l ) do đó sẽ tồn tại m0 , k0 , l0 sao 0 0 cho µ(Em ) > 0, đặt E ∗ = Em thì ta có: 0 ,k0 ,l0 0 ,k0 ,l0 R (g − f )dµ ≥ k10 µ(E ∗ ) > 0. E∗ R Vì f và g là µ-nửa khả tích trên E ∗ , chúng ta có (g − f )dµ E∗ R R R R R 1 = gdµ − f dµ. Suy ra gdµ ≥ f dµ + k0 µ(E ∗ ) > f dµ. Mâu E∗ E∗ thuẫn với giả thiết. E∗ E∗ E∗