Tài liệu Luận văn hệ phương trình navier stokes có trễ

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 NGUY™N THÀ THANH LOAN H› PH×ÌNG TRœNH NAVIER-STOKES C TR™ LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H  Nëi, 2018 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 NGUY™N THÀ THANH LOAN H› PH×ÌNG TRœNH NAVIER-STOKES C TR™ LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè : 8 46 01 02 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.  o Trång Quy¸t H  Nëi, 2018 Möc löc Líi c£m ìn i Líi cam oan ii Mët sè k½ hi»u th÷íng dòng trong luªn v«n Mð ¦u 1 2 1 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹ 5 1.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m . . . . . . . . . . . 5 9 2 Sü tçn t¤i v  t½nh ên ành cõa nghi»m døng èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹ 20 2.1 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m døng . . . . . . 21 2.2 T½nh ên ành mô cõa nghi»m døng . . . . . . . . . . . . 25 K¸t luªn 29 1 T i li»u tham kh£o 30 Líi c£m ìn Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn TS.  o Trång Quy¸t, ng÷íi ¢ ch¿ b£o tªn t¼nh v  cho tæi nhúng nhªn x²t qu½ b¡u º tæi câ thº ho n th nh b£n luªn v«n n y mët c¡ch tèt nh§t. Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o ð khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc, gióp tæi ho n th nh luªn v«n mët c¡ch thuªn lñi. Tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT æng Anh - H  Nëi, gia ¼nh, c¡c b¤n çng nghi»p, c¡c b¤n håc vi¶n, nhúng ng÷íi ¢ ëng vi¶n v  t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi ho n th nh khâa håc cõa m¼nh. H  Nëi, th¡ng 06 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Thà Thanh Loan i Líi cam oan Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS.  o Trång Quy¸t, luªn v«n th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i Stokes câ tr¹" "H» ph÷ìng tr¼nh Navier- ÷ñc ho n th nh bði ch½nh nhªn thùc cõa b£n th¥n tæi. Trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn. H  Nëi, th¡ng 6 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Thà Thanh Loan ii Mët sè k½ hi»u th÷íng dòng trong luªn v«n ∆ to¡n tû Laplace; ∇ vector gradient; ∇· to¡n tû gradient; H, V c¡c khæng gian h m dòng º nghi¶n cùu h» Navier-Stokes; V0 khæng gian èi ng¨u cõa khæng gian (·, ·), | · | t½ch væ h÷îng v  chu©n trong khæng gian H; ((·, ·)), k · k t½ch væ h÷îng v  chu©n trong khæng gian V; k · k∗ chu©n trong khæng gian C0∞ (Ω) khæng gian c¡c h m kh£ vi væ h¤n câ gi¡ compact trong Lp (Ω) khæng gian c¡c h m bªc C([0, T ]; X) khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [0, T ]; Lp (0, T ; X) khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p → hëi tö m¤nh; * hëi tö y¸u; ,→ ph²p nhóng li¶n töc; ,→,→ ph²p nhóng compact; 1 V; V 0; p kh£ t½ch Lebesgue trong tr¶n [0, T ]; Ω; Ω; Mð ¦u 1. Lþ do chån · t i C¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh trong cì håc ch§t läng xu§t hi»n khi mæ t£ chuyºn ëng cõa c¡c ch§t läng v  kh½ nh÷ n÷îc, khæng kh½, d¦u mä, . . . d÷îi nhúng i·u ki»n t÷ìng èi têng qu¡t, v  chóng xu§t hi»n khi nghi¶n cùu nhi·u hi»n t÷ñng quan trång trong khoa håc h ng khæng, kh½ t÷ñng håc, cæng nghi»p d¦u mä, vªt l½ plasma, . . . . Mët trong nhúng lîp h» ph÷ìng tr¼nh quan trång trong cì håc ch§t läng l  h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ d¤ng:     ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t    ð â u = u(x, t), p = p(x, t) t¼m, ν = const > 0 div u = 0, t÷ìng ùng l  h m v²ctì vªn tèc v  h m ¡p su§t c¦n l  h» sè nhît v  f l  ngo¤i lüc. M°c dò ÷ñc ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1822, cho ¸n nay ¢ câ h ng v¤n b i b¡o v  s¡ch vi¸t v· h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes, tuy nhi¶n nhúng hiºu bi¸t cõa ta v· nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh n y cán kh¡ khi¶m tèn. Do nhu c¦u cõa Khoa håc v  Cæng ngh» m  vi»c nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes nâi ri¶ng v  c¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh trong cì håc ch§t läng nâi chung ng y c ng trð n¶n thíi sü v  c§p thi¸t. Nhúng v§n · cì b£n °t ra khi nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng 2 tr¼nh trong cì håc ch§t läng l : • Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v  t½nh ch½nh qui cõa nghi»m: Nghi»m ð ¥y câ thº l  nghi»m y¸u ho°c nghi»m m¤nh. T½nh ch½nh qui ð ¥y câ thº l  t½nh ch½nh qui theo bi¸n thíi gian, ho°c t½nh ch½nh qui theo bi¸n khæng gian. • D¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m: Nghi¶n cùu d¡ng i»u cõa nghi»m khi thíi gian t ra væ còng. Khi ngo¤i lüc f lîn, ta nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nh ch§t cõa tªp hót, â l  mët tªp compact, b§t bi¸n, hót cõa c¡c tªp bà ch°n v  chùa üng nhi·u thæng tin v· d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m; cán khi ngo¤i lüc f nhä v  khæng phö thuëc thíi gian, ta nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m døng, tùc l  nghi»m cõa b i to¡n døng t÷ìng ùng, v  chùng minh nghi»m cõa h» ang x²t d¦n ¸n nghi»m døng n y khi thíi gian t ra væ còng. °c bi»t, khi tr¤ng th¡i cõa h» phö thuëc v o c£ qu¡ khù cõa nghi»m th¼ ngo¤i lüc s³ xu§t hi»n th¶m sè h¤ng chùa tr¹ (xem [1, 2, 3]). Khi â, sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v  d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m công l  c¡c v§n · thíi sü c¦n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu. V¼ vªy, chóng tæi chån · t i Navier-Stokes câ tr¹ H» ph÷ìng tr¼nh l m · t i nghi¶n cùu cõa luªn v«n. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Nghi¶n cùu c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, duy nh§t v  t½nh ên ành cõa nghi»m døng cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes khi ngo¤i lüc câ tr¹. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu • Nghi¶n cùu sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t cõa nghi»m; • Chùng minh t½nh ên ành cõa nghi»m døng èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh Navier- 3 Stokes câ tr¹. 4. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu • èi t÷ñng nghi¶n cùu: H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹. • Ph¤m vi nghi¶n cùu: Sü tçn t¤i, duy nh§t v  t½nh ên ành. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p cõa l½ thuy¸t h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u, l½ thuy¸t h» Navier-Stokes. 6. âng gâp cõa luªn v«n Düa theo t i li»u [5], luªn v«n tr¼nh b y mët c¡ch câ h» thèng c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m y¸u khi N = 2, 3, t½nh duy nh§t nghi»m y¸u khi tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m døng y¸u khi nghi»m døng y¸u khi N =2 N = 2, 3 N = 2, v  t½nh ên ành cõa cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹. 4 sü Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹ 1.1 °t b i to¡n Cho Ω ⊂ RN (N = 2, 3) l  mët tªp mð vîi bi¶n Γ, mi·n Ω khæng nh§t thi¸t bà ch°n nh÷ng thäa m¢n b§t ¯ng thùc Poincar², tùc l  tçn t¤i Z 1 |φ| dx ≤ λ1 Ω 2 Z |∇φ| dx λ1 > 0 ∀φ ∈ H01 (Ω). sao cho (1.1) Ω X²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ d¤ng  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u   ∂t       div u     u               = f (t) − ∇p + g(t, ut ) =0 trong =0 tr¶n u(0, x) = u0 (x), u(t, x) = φ(t, x), trong (0, T ) × Ω, (0, T ) × Γ, x ∈ Ω, 5 (0, T ) × Ω, t ∈ (−h, 0), x ∈ Ω, (1.2) trong â T >0 cho tr÷îc, h m ¡p su§t c¦n t¼m, u0 ν>0 l  h» sè nhît, u f l  vªn tèc ban ¦u, l  v²c tì vªn tèc c¦n t¼m, l  ngo¤i lüc, g p l  l  sè h¤ng chùa tr¹. º nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ta sû döng c¡c khæng gian h m sau V = {u ∈ (C0∞ (Ω))N : div u = 0}. K½ hi»u H l  bao âng cõa V trong (L2 (Ω))N vîi chu©n | · |, v  t½ch væ h÷îng (·, ·) x¡c ành bði (u, v) = N Z X Ω j=1 K½ hi»u ((·, ·)) V l  bao âng cõa ∀u, v ∈ (L2 (Ω))N . uj (x)vj (x)dx, V trong (H01 (Ω))N vîi chu©n k · k, v  t½ch væ h÷îng x¡c ành bði ((u, v)) = N Z X ∂uj ∂vj Ω i,j=1 Ta câ k½ hi»u V ⊂ H ≡ H 0 ⊂ V 0, k · k∗ K½ hi»u l  chu©n trong a(u, v) = ((u, v)), ∂xi ∂xi ∀u, v ∈ (H01 (Ω))N . trong â c¡c ph²p nhóng l  trò mªt v  li¶n töc. ta V0 v  h·, ·i l  èi ng¨u giúa v  mët 3-tuy¸n t½nh b(u, v, w) = N Z X i,j=1 Khi â, ta th§y n¸u dx u, v, w ∈ V , ui Ω ∂vj wj dx, ∂xi b tr¶n V0 v  V. V ×V ×V x¡c ành bði ∀u, v, w ∈ V. th¼ b(u, v, w) = −b(u, w, v). (1.3) Do â b(u, v, v) = 0, Ta câ c¡c ¡nh gi¡ vîi vîi sè h¤ng b(·, ·, ·) 6 ∀u, v ∈ V. (1.4) nh÷ sau (ch¯ng h¤n xem [7, p.292]). Bê · 1.1 ([7]) . N¸u N = 2, th¼ |b(u, v, w)| ≤ c|u|1/2 kuk1/2 kvk|w|1/2 kwk1/2 , ∀u, v, w ∈ V. (1.5) trong â c l  h¬ng sè n o â. Trong tr÷íng hñp Bê · 1.2 ([4]) N = 3, ta câ (ch¯ng h¤n xem [4, p.97]). . N¸u N = 3, th¼ |b(u, v, w)| ≤   c1 |u|1/4 kuk3/4 kvk|w|1/4 kwk3/4 , ∀u, v, w ∈ V,   c2 |u|1/4 kuk3/4 |v|1/4 kvk3/4 kwk, ∀u, v, w ∈ V, (1.6) trong â c1, c2 l  c¡c h¬ng sè n o â. Ti¸p theo, º thuªn ti»n cho c¡c tr¼nh b y v· sau, chóng tæi nh­c l¤i mët sè khæng gian h m phö thuëc thíi gian ÷ñc sû döng trong luªn v«n. ành ngh¾a 1.1. C ([0, T ] ; X) Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi chu©n u : [0, T ] → X bao gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc k·k. Khæng gian k·k. Khæng gian vîi kukC([0,T ];X) := max ku(t)k < ∞. 0≤t≤T ành ngh¾a 1.2. Lp (0, T ; X) i) Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi chu©n bao gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc kukLp (0,T ;X) := RT
p1 ku (t)kp dt <∞ u : [0, T ] → X vîi 1≤p<∞ vîi v  0 ii) kukL∞ (0,T ;X) := esssup ku (t)k < ∞. ành ngh¾a 1.3. u ∈ Lp (0, T ; X) 0≤t≤T a) Khæng gian Sobolev sao cho ¤o h m y¸u kukW1,p (0,T ;X) := u0 tçn t¤i v  thuëc gçm t§t c£ c¡c h m Lp (0, T ; X). Hìn núa  T
1 R  p  (ku(t)kp + ku0 (t)k )dt p ,  1≤p<∞    esssup (ku(t)k + ku0 (t)k) , p = ∞. 0 0≤t≤T b) Ta vi¸t W 1,p (0, T ; X) H 1 (0, T ; X) = W 1,2 (0, T ; X) . 7 ành ngh¾a 1.4. Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi chu©n Lploc (0, T ; X) bao gçm c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → X K ⊂ (0, T ) k.k. Khæng gian sao cho vîi måi tªp compact th¼ Z  p1 ku (t)kp dt <∞ vîi 1 ≤ p < ∞. K B¥y gií, cho X tr÷îc v  vîi méi l  mët khæng gian Banach. Vîi méi h m t ∈ (0, T ), ta k½ hi»u ut u : (−h, T ) → X cho (−h, 0) cho l  h m ÷ñc x¡c ành tr¶n bði ut (s) = u(t + s), s ∈ (−h, 0). Cho X v  Y l  hai khæng gian Banach kh£ li, v  h m g : [0, T ] × C 0 ([−h, 0]; X) → Y thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t sau: (i) Vîi måi ξ ∈ C 0 ([−h, 0]; X), (ii) Vîi méi t ∈ [0, T ], (iii) Tçn t¤i h¬ng sè th¼ ¡nh x¤ t ∈ [0, T ] → g(t, ξ) ∈ Y l  o ÷ñc, g(t, 0) = 0, Lg > 0 sao cho ∀t ∈ [0, T ], ∀ξ, η ∈ C 0 ([−h, 0]; X) kg(t, ξ) − g(t, η)kY ≤ Lg kξ − ηkC 0 ([−h,0];X) , (iv) Tçn t¤i Cg > 0 Z sao cho ∀t ∈ [0, T ], ∀u, v ∈ C 0 ([−h, T ]; X) t kg(s, us ) − g(s, vs )k2Y Z ds ≤ Cg −h 0 Chó þ r¬ng tø c¡c i·u ki»n th¼ h m gu : t ∈ [0, T ] → Y v  thuëc L∞ (0, T ; Y ). t ku(s) − v(s)k2X ds. (i) − (iii), ta th§y r¬ng vîi méi u ∈ C 0 ([−h, T ]; X), x¡c ành bði gu (t) = g(t, ut ) ∀t ∈ [0, T ], V¼ vªy, tø i·u ki»n (iv), ¡nh x¤ G : u ∈ C 0 ([−h, T ]) → gu ∈ L2 (0, T ; Y ) 8 l  h m o ÷ñc câ mð rëng duy nh§t th nh ¡nh x¤ º ìn gi£n, ta s³ k½ hi»u e g(t, ut ) = G(u)(t) ∀t ∈ [0, T ], ∀u, v ∈ L2 (−h, T ; X), Z Ge li¶n töc ·u tø L2 (−h, T ; X) v o L2 (0, T ; Y ). vîi méi u ∈ L2 (−h, T ; X) v  do â ta câ t kg(s, us ) − g(s, vs )k2Y ds ≤ Cg −h 0 Vîi c¡c k½ hi»u ð tr¶n, gi£ sû r¬ng t Z ku(s) − v(s)k2X dx. u0 ∈ H, φ ∈ L2 (−h, 0; V ), f ∈ L2 (0, T ; V 0 ), v  c¡c to¡n tû chùa tr¹ sau ¥y g1 : [0, T ] × C 0 ([−h, 0]; V ) → (L2 (Ω))N thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (i) − (iv) vîi Y = (L2 (Ω))N , X = V, L g1 = L1 , Cg1 = C1 , v  g2 : [0, T ] × C 0 ([−h, 0]; V ) → V 0 thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (i) − (iv) X = V, vîi Y = V 0, L g2 = L2 , v  Cg2 = C2 . 1.2 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m Trong ph¦n n y, ta s³ chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u khi N = 3, v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m y¸u n¸u N = 2 ho°c N = 2. Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ành ngh¾a nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh NavierStokes nh÷ sau ành ngh¾a 1.5. L∞ (0, T ; H) Mët nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.2) l  mët h m thäa m¢n ¯ng thùc sau u ∈ L2 (−h, T ; V )∩ ∀v ∈ V, d (u(t), v) + νa(u(t), v) + b(u(t), u(t), v) dt = hf (t), vi + (g1 (t, ut ), v) + hg2 (t, ut ), vi, 9 (1.7) v  thäa m¢n u(0) = u0 , u(t) = φ(t), t ∈ (−h, 0), hiºu theo ngh¾a cõa trong â ph÷ìng tr¼nh (1.7) ÷ñc D0 (0, T ). º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m, ta c¦n sû döng k¸t qu£ sau. ành l½ 1.1 . Cho u0 ∈ Rm, φ ∈ L2(−h, 0; Rm), k ∈ L2(0, T ; Rm), g : [0, T ] × ([1]) thäa m¢n gi£ thi¸t (i) − (iv) vîi X = Y = Rm, v  f : [0, T ] × Rm → Rm l  h m li¶n töc sao cho f (t, 0) = 0 v  vîi måi n > 0 tçn t¤i Ln > 0 sao cho C 0 ([−h, 0]; Rm ) → Rm |f (t, u) − f (t, v)|Rm ≤ Ln |u − v|Rm , ∀|u|Rm , |v|Rm ≤ n, ∀t ∈ [0, T ]. Khi â: a) Vîi méi t∗ ∈ (0, T ] tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n   T¼m u ∈ L2(−h, t∗; Rm) ∩ C 0([0, t∗]; Rm)sao cho       u(t) = φ(t), t ∈ (−h, 0), Zt Zt Zt      u(t) = u0 + f (s, u(s))ds + g(s, u(s))ds + k(s)ds   0 b) 0 (1.8) ∀t ∈ [0, t∗ ]. 0 Tçn t¤i t∗ ∈ (0, T ] sao cho tçn t¤i mët (v  ch¿ mët) nghi»m cõa b i to¡n (1.8); Gi£ sû tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho n¸u t∗ ∈ (0, T ] câ mët nghi»m u cõa (1.8) th¼ maxt∈[0,t ] |u(t)|R ≤ C. Khi â, d÷îi gi£ thi¸t bê sung n y, tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (1.8) vîi t∗ = T . c) ∗ ành l½ 1.2. m Cho Θ l  mët tªp mð bà ch°n trong Rd, v  X ⊂ E l  c¡c khæng gian Banach vîi ph²p nhóng compact. X²t 1 ≤ r < q ≤ ∞. Gi£ sû F ⊂ Lr (Θ; E) thäa m¢n: ([6, H» qu£ 2.34]) i) ∀w ⊂⊂ Θ, supf ∈F ||τh f − f ||Lr (w;E) → 0 khi h → 0, ð ¥y τhf thäa m¢n (τhf )(x) = f (x + h); 10 l  bà ch°n trong Lq (Θ; E) ∩ L1(Θ; X). Khi â F l  ti·n compact trong Lr (Θ; E). ii) F K½ hi»u Ω, v  V (O) V(O) l  bao âng trong ành l½ 1.3 V t÷ìng tü khæng gian vîi ([5]) V(O) trong nh÷ng vîi tªp (H 1 (Ω))N . O mð thay cho mi·n Khi â, ta câ k¸t qu£ sau. . Cho u0 ∈ H, φ ∈ (L2(−h, 0; V ), f ∈ L2(0, T ; V 0), v  gi£ thi¸t r¬ng g1 : [0, T ] × C 0([−h, 0]; V ) → (L2(Ω))N v  g2 : [0, T ] × C 0([−h, 0]; V ) → V 0 thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (i) − (iv) trong khæng gian t÷ìng ùng. Khi â: a) N¸u N = 2 v  ν 2 > C2, tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (1.2); N¸u N ∈ {2, 3} v  ν 2 > C2, tçn t¤i nghi»m cõa (1.2), n¸u th¶m gi£ thi¸t (v) nh÷ sau: (v) N¸u v m hëi tö y¸u tîi v trong L2 (−h, T ; V ), hëi tö y¸u∗ trong L∞ (0, T ; H), v  hëi tö m¤nh trong L2(−h, T ; (L2(O))N ) måi tªp mð bà ch°n O ⊂ Ω câ bi¶n trìn, khi â gi(·, v.m) hëi tö y¸u ¸n gi(·, v.) trong L2(0, T ; V (O)0) vîi i = 1, 2. b) Chùng minh. a) T½nh duy nh§t vîi N = 2: N¸u ν 2 > C2 , gi£ sû u, v l  hai nghi»m cõa (1.2) v  °t w = u − v. Khi â tø ¯ng thùc n«ng l÷ñng, v  t½nh bà ch°n cõa d¤ng ba tuy¸n t½nh tø Bê · 1.1, ta câ måi t ∈ (0, T ). 2 t Z |ω(t)| + 2ν t Z 2 kω(s)k ds = −2 b(ω(s), u(s), ω(s))ds 0 0 Z t (g1 (s, us ) − g1 (s, vs ), ω(s))ds +2 0 Z t hg2 (s, us ) − g2 (s, vs ), ω(s)ids +2 ≤2 1 2 0 t Z |ω(s)| kω(s)k ku(s)k ds 0 11 t Z |g1 (s, us ) − g1 (s, vs )| |ω(s)| ds +2 0 t Z kg2 (s, us ) − g2 (s, vs )k∗ kω(s)k ds. +2 0 Tø gi£ thuy¸t ta câ vîi måi (iv), v  l÷u þ r¬ng w(s) = 0 vîi s ∈ (−h, 0), 2ε = ν − v  √ C2 > 0, t ∈ (0, T ) t Z 2 1 kw(s)k ds = 2ε 2 |w(t)| + 2ν 0 t Z 2 Z 2 t kw(s)k2 ds |w(s)| ku(s)k ds + ε 0 0 Z t Z C1 |w(s)|2 ds + ε ε 0 Z t √ + 2 C2 kw(s)k2 ds, t + kw(s)k2 ds 0 0 Do vªy, t Z 2 1 kw(s)k ds ≤ 2ε 2 |w(t)| + 2ε 0 t Z C1 |w(s)| ku(s)k ds + ε 2 2 0 t Z |w(s)|2 ds. 0 p döng b§t ¯ng thùc Gronwall ta câ d dt ð â   2 t Z |w(t)| exp −C C = max(2−1 , C1 )/ε.  2 (ku(s)k + 1)ds ≤ 0. 0 Tø â suy ra w(t) ≡ 0, hay u = v. T½nh duy nh§t ÷ñc chùng minh. b) Sü tçn t¤i: Vîi N ∈ {2, 3}, ν 2 > C2 X²t mët cì sð trüc chu©n v  i·u ki»n óng. B = {w1 , w2 , .....wn , ...} ⊂ V tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû cõa bao tuy¸n t½nh[w1, ...., wm ], v  (v) B PVHm : H → Vm PVHm u = m X l  trò mªt trong PVVm : V → Vm (u, wj )wj . l  ph²p chi¸u x¡c ành bði PVVm u = m X ((v, w̃j )w̃j ) j=1 12 V. H sao cho c¡c K½ hi»u l  ph²p chi¸u x¡c ành bði j=1 Ta công k½ hi»u cõa Vm = {w̃1 , ...., w̃1 } (trong â d¢y cì sð thuëc V. câ ÷ñc b¬ng c¡ch trüc chu©n Gram-Schmidt tø mët Cuèi còng, k½ hi»u m P um (t) = γmj (t)wj , trong â j=1 um ∈ L2 (−h, T ; Vm ) ∩ C 0 ([0, T ]; Vm ) v  thäa m¢n d m (u (t), wj ) + νa(um (t), wj ) + b(um (t), um (t), wj ) = hf (t), wj i dt m + (g1 (t, um t ), wj ) + hg2 (t, ut ), wj i trong um (0) = PVHm u0 , um (t) = PVVm φ(t), D0 (0, T ), 1 ≤ j ≤ m, t ∈ (−h, 0). ¥y h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng vîi ©n l  h m (γm1 (t), . . . , γmm (t)). (1.9) γ m (t), γ m (t) = trong â Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m cõa h» (1.9) câ ÷ñc nhí ành l½ 1.1 ph¡t biºu ð tr¶n. Chó þ r¬ng b i to¡n (1.9) câ mët nghi»m ÷ñc x¡c ành trong o¤n 0 < t∗ ≤ T . vîi Thªt vªy, º thu ÷ñc i·u n y, ta c¦n c¡c ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m d÷îi ¥y. Ta câ thº °t vîi måi [0, t∗ ] t∗ = T γmj v  nh¥n (1.9) vîi v  l§y têng theo j, ta câ t ∈ [0, t∗ ], m t Z 2  2 kum (s)k ds ≤ u0  + 2 Z t 2 |u (t)| + 2ν 0 t Z hf (s), um (s)ids 0 m (g1 (s, um s ), u (s))ds +2 Z0 t +2 m hg2 (s, um s ), u (s)ids, 0 v  lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh t½nh duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp hai chi·u, ta th§y tçn t¤i hai h¬ng sè (phö thuëc v o khæng phö thuëc v o m v  t∗ ), K1 v  K2 sup |u (t)| ≤ K1 , t∈[0,t∗ ] V¼ vªy, ta câ thº l§y L∞ (0, T ; H), t∗ kum (s)k2 ds ≤ K2 . {um } v  câ ÷ñc d¢y bà ch°n trong do â tçn t¤i mët d¢y con, v¨n k½ hi»u l  m ∗ u *u (1.10) 0 t∗ = T , um * u nh÷ng thäa m¢n: Z 2 m φ, ν, f, g1 , g2 , h, T trong L2 (0, T ; V ) khi {um }, L2 (0, T ; V ) ∩ sao cho m → ∞, (1.11) trong ∞ L (0, T ; H) 13 khi m → ∞. um = PVVm φ Hìn núa, chó þ r¬ng (−h, 0) trong v  trong tr÷íng hñp °c bi»t, nhí (iv) hëi tö ¸n φ trong g1 (·, um ) + g2 (·, um ) ta câ, L2 (−h, 0; V ), bà ch°n trong L2 (0, T ; V 0 ). V¼ mi·n Ω câ thº khæng bà ch°n, n¶n º qua giîi h¤n c¡c sè h¤ng phi tuy¸n, ta thüc hi»n nh÷ sau, nhí Bê · 1.3, vîi méi tªp mð bà ch°n con (phö thuëc O) ψ H 1 (0, T ) L2 (0, T ; (L2 (O))N ). trong l  mët h m kh£ vi li¶n töc tr¶n wj tr¼nh (1.9) v  ph¦n tû cè ành trong vîi N = 2, v  trong cõa B. − vîi N = 3), (thüc t¸ ta câ ((um (t), wj ψ(t)))dt (u (t), ψ (t)wj )dt + ν 0 [0, T ] vîi ψ(T ) = 0. X²t ph÷ìng T Z 0 m (1.12) (um (·), wj )ψ(·) ∈ W 1,1 (0, T ) V¼ W 1,4/3 (0, T ) T Z tçn t¤i d¢y thäa m¢n: um |O → u|O B¥y gií, cho O⊂Ω 0 Z T b(um (t), um (t), wj ψ(t))dt = (um (0), wj )ψ(0) + 0 Z T T Z (g1 (t, um t ), wj ψ(t))dt hf (t), wj ψ(t)idt + + 0 Z + 0 T hg2 (t, um t ), wj ψ(t)idt. 0 L§y d¢y con ÷íng ch²o, v¨n kþ hi»u l  tªp mð câ bà ch°n Oj ⊂ Ω um sao cho thäa m¢n (1.12) vîi d¢y c¡c chùa t§t c£ gi¡ cõa h» h m cì sð h¤n, nhí t½nh ch§t hëi tö y¸u trong (1.11) v  i·u ki»n Z − T (u(t), ψ (t)w)dt + ν 0 chuyºn qua giîi ta câ T Z 0 (v), wj , (u(t), wψ(t))dt 0 T Z + b(u(t), u(t), wψ(t))dt 0 = (u0 , w)ψ(0) + Z (1.13) T hf (t), wψ(t)idt 0 Z + T Z hg2 (t, ut ), wψ(t)idt. (g1 (t, ut ), wψ(t))dt + 0 0 14 T