Tài liệu Ltvphuong_luanvanthacsi

i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Lời mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Tích vô hướng, không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Hệ trực chuẩn. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Ước lượng chuỗi lượng giác 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 KẾT QUẢ CHÍNH 11 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Dạng tách biến của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Tính không chỉnh của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Một ước lượng của hàm u (x; y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4 Sai số trung bình bình phương 2.2.5 Sai số trung bình tích phân bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 VÍ DỤ MINH HỌA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 34 ii KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Lời cam đoan Tôi tên là Lê Thị Việt Phương, cam đoan rằng: Những nội dung trong luận văn này do tôi tự thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy PGS.TS. Phạm Hoàng Quân. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và được ghi cụ thể trong phần tài liệu tham khảo. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian lận, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Tác giả luận văn Lê Thị Việt Phương iv Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn là PGS.TS. Phạm Hoàng Quân – Khoa Toán Ứng Dụng – Trường Đại Học Sài Gòn Tp. Hồ Chí Minh vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của thầy đối với tôi trong thời gian làm luận văn. Tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy TS. Lê Minh Triết đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt thời gian học cao học, thầy đã động viên, hướng dẫn và góp ý để tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến tất cả quý Thầy, Cô giảng viên Trường Đại Học Sài Gòn đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán Ứng Dụng, Phòng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sài Gòn đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành khóa học và bảo vệ luận văn. Xin gởi lời biết ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất. Lời cuối, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này. 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phương trình Helmholtz có điều chỉnh xuất hiện nhiều trong lĩnh vực vật lý ứng dụng, liên quan đến sự truyền sóng và các hiện tượng dao động. Nó thường được dùng để mô tả sự dao động của một cấu trúc, sóng bức xạ, sự truyền nhiệt trong một bề mặt,... Bài toán đã được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau nhưng có một phương pháp mới, có nhiều khả năng ứng dụng thực tế đó là thống kê. Tuy nhiên, trong thực tế, ta không thể thu được dữ liệu trên toàn bộ miền ta xét, chúng ta chỉ thu được dữ liệu nhiễu tại một vài điểm trong miền đang xét, vì thế bài toán trên là một bài toán không chỉnh. Trong việc sử dụng công cụ thống kê, ta phải ước lượng gián tiếp, một phương pháp khá nổi tiếng dựa trên mô hình hồi quy phi tham số là phương pháp ước lượng chuỗi lượng giác, phương pháp này xuất phát từ hệ số Fourier trong công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz. Mặc dù có rất nhiều nghiên cứu cho bài toán không chỉnh Helmholtz có điều chỉnh nhưng không có bất kì kết quả nào của bài toán với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên. Do đó, chúng tôi chọn đề tài "Hồi quy phi tham số trong phương trình Helmholtz có điều chỉnh bằng phương pháp chỉnh hóa phổ Fourier". 2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề Bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh được nghiên cứu tổng quát trong nhiều nghiên cứu lí thuyết trong các thập kỉ qua. Tài liệu về các bài báo giải số cũng rất phong phú. Bài toán với nhiễu ngẫu nhiên liên tục là trọng tâm của các tài liệu thống kê gần đây. Golubev và Khaminskii [7] đã xem xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace với mô hình nhiễu trắng của dữ liệu. Bissantz và Holzman [3; 4] xét bài toán ngược cho phương trình nhiệt một chiều thuần nhất với mô hình độc lập cùng phân phối của dữ liệu sai số. Đặc biệt, các tác giả trong bài báo [1] đã xét bài toán không chỉnh Helmholtz có điều chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên, trong đó thiết lập một ước lượng cho hàm u(x; y), xét trong mô 2 hình nhiễu ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và mô hình phương sai bị chặn. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Dựa trên bài báo [1], nội dung chính của luận văn là nghiên cứu bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên, bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng chuỗi lượng giác, để khôi phục các hệ số Fourier của hàm f một cách ổn định. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu Bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh mà chúng tôi đang xét là: Đặt = (0; ) (0; b) ; ta xét phương trình sóng: @2u @2u + = k2u @x2 @y 2 (1) thỏa điều kiện biên ux (0; y) = ux ( ; y) = uy (x; 0) = 0; 0 u (x; 0) = f (x) ; 0 Đặt xj = 0 (2j 1) , 2n x1 < ::: < xn x x 1 ; :::; n; sai số y b : j = 1; n là các điểm lưới trong ; tập các giá trị ; 0 (2) (3) : Hàm f (x) tại các điểm cố định j là các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn hồi quy j = f (xj ) + j : (4) 4.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên, bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng chuỗi lượng giác. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh và phương pháp ước lượng chuỗi lượng giác. 6. Những đóng góp mới của đề tài Không có. 7. Cấu trúc của luận văn Nội dung của luận văn gồm 3 chương chính Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 3 Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa; không gian Hilbert; không gian xác suất; hồi quy và ước lượng chuỗi lượng giác. Chương 2: Kết quả chính Trong chương này chúng tôi đưa ra một số bổ đề, mệnh đề, định lí hỗ trợ việc chứng minh định lí chính về đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Chương 3: Ví dụ minh họa Một ví dụ số được đưa ra để minh họa cho phương pháp của chúng tôi. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán không chỉnh Định nghĩa 1.1.1 Cho X; Y là hai không gian định chuẩn, K : X ! Y là một ánh xạ (có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính). Cho y 2 Y , xét bài toán tìm x 2 X sao cho Kx = y. Bài toán được gọi là chỉnh nếu thỏa 1: Sự tồn tại nghiệm: Với mỗi y thuộc Y , có ít nhất một x thuộc X sao cho Kx = y: 2: Sự duy nhất nghiệm: Với mỗi y thuộc Y , có nhiều nhất một x thuộc X sao cho Kx = y: 3: Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mọi dãy (xn ) X sao cho Kxn ! Kx (khi n ! 1) thì xn ! x (khi n ! 1) : Định nghĩa 1.1.2 Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên. Trên thực tế, dữ liệu y 2 Y khó có thể biết chính xác được. Tuy nhiên, từ một sai số rất nhỏ ở dữ liệu có thể gây ra sai số rất lớn ở nghiệm của bài toán (trong trường hợp nghiệm tồn tại). Do đó, ta cần xây dựng một sơ đồ chỉnh hóa cho bài toán. Định nghĩa 1.1.3 Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính và bị chặn R : Y ! X; sao cho >0 5 limR Kx = x; 8x 2 X !0 nghĩa là toán tử R K hội tụ điểm về ánh xạ đồng nhất. Định nghĩa 1.1.4 Một sơ đồ chỉnh hóa = ( ) được gọi là chấp nhận được nếu ( )!0 và sup 1.2 1.2.1 R ( )y x : y 2 Y; Kx ! 0; khi y ! 0; 8x 2 X: Không gian Hilbert Tích vô hướng, không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 1: Cho X là một không gian vectơ trên trường số K ( K = R hoặc K = C). X vào K, (x; y) 7 ! hx; yi được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó Một ánh xạ từ X thoả các điều kiện sau: a) hx; xi 0 và hx; xi = 0 nếu và chỉ nếu x = : b) hy; xi = hx; yi 0 hy; xi = hx; yi nếu K = R ; 0 c) x + x ; y = hx; yi + x ; y ; d) h x; yi = hx; yi ; 0 8x; y 2 X: 8x; x ; y 2 X: 8x; y 2 X; 8 2 K: 2: Nếu h ; i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x ! là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. p hx; xi là một chuẩn trên X; gọi 3: Nếu h ; i là tích vô hướng trên X thì cặp (X; h ; i) gọi là một không gian tiền Hilbert (không gian với tích vô hướng). Sự hội tụ, khái niệm tập mở,..., trong (X; h ; i) luôn được gắn với chuẩn sinh bởi h ; i : Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (X; h ; i) là không gian Hilbert. 1.2.2 Các tính chất 1: Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz: 2: kx + yk2 + kx yk2 = 2 kxk2 + kyk2 jhx; yij kxk : kyk : (đẳng thức bình hành). 3: Nếu lim xn = a; lim yn = b thì lim hxn ; yn i = ha; bi : 4: Trong C [a; b] các hàm thực liên tục trên [a; b] thì ánh xạ Z b (x; y) ! hx; yi = x (t) y (t) dt a là một tích vô hướng. Không gian (C [a; b] ; h ; i) không là không gian Hilbert. 6 5: Trong L2 ; với x = f k g ; y = f kg ; hx; yi = ta định nghĩa 1 X k k k=1 thì h ; i là tích vô hướng, (L2 ; h ; i) là không gian Hilbert. 1.2.3 Hệ trực chuẩn. Chuỗi Fourier Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian Hilbert (X; h ; i) 1: Hệ fe1; e2;::: g X gọi là một hệ trực chuẩn nếu 8 < 0 nếu i 6= j hei ; ej i = : 1 nếu i = j Như vậy, fen g là hệ trực chuẩn nếu ken k = 1, 8n 2 N và ei ?ej (i 6= j) : 2: Hệ trực chuẩn fen g gọi là đầy đủ, nếu nó có tính chất sau: x?en ; 8n = 1; 2; ::: ) x = : 3: Nếu fen g là hệ trực chuẩn thì chuỗi tử x theo hệ chuẩn fen g : P1 n=1 hx; en i :en gọi là chuỗi Fourier của phần Định lí 1.2.3.1 Cho fen g là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert (X; h ; i) và f dãy số. Ta xét chuỗi 1 X n en ng là một (1.1) n=1 Ta có 1: Chuỗi (1:1) hội tụ khi và chỉ khi P1 n=1 j 2 nj < 1: 2: Giả sử chuỗi (1:1) hội tụ và có tổng x thì kxk2 = P1 n=1 j 2 nj ; hx; en i = n; 8n 2 N : Định lí 1.2.3.2 Chuỗi Fourier của mọi phần tử x 2 X theo hệ trực chuẩn fen g là hội tụ và ta có P1 n=1 jhx; en ij2 kxk2 (bất đẳng thức Bessel). Định lí 1.2.3.3 Cho fen g là hệ trực chuẩn. Các mệnh đề sau là tương đương: 1: Hệ fen g đầy đủ. P1 2: x= 3: kxk2 hx; en i en ; 8x 2 X: P1 = n=1 jhx; en ij2 ; 8x 2 X n=1 (đẳng thức Parseval). 7 1.3 Không gian xác suất Định nghĩa 1.3.1 Cho Flà họ các tập con của không gian mẫu : Fđược gọi là một đại số nếu và chỉ nếu nó thỏa các tính chất sau (i) Tập rỗng ; 2 F: (ii) Nếu A 2 F; thì phần bù Ac 2 F: (iii) Nếu Ai 2 F; i = 1; 2; :::; thì hợp [1 n=1 Ai F: Cặp ( ; F) được gọi là một không gian đo được và phần tử của F được gọi là các tập đo được (biến cố). Định nghĩa 1.3.2 Cho C là họ các khoảng mở hữu hạn trên R: Khi đó là đại số Borel. Các phần tử của và đặt C = C \B :B 2 k được gọi là các tập Borel. Cho C : Khi đó (C; C) = (C) được gọi Rk là một tập Borel là không gian đo được và C được gọi là đại số Borel trên C. Định nghĩa 1.3.3 Biến ngẫu nhiên là một ánh xạ đo được X : ! R: Định nghĩa 1.3.4 Hàm phân phối tích lũy là một hàm FX : R ! [0; 1] được định nghĩa bằng FX (x) = P (X x) : Định nghĩa 1.3.5 Biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu tồn tại một hàm fX sao cho fX (x) R1 với mọi x, 1 fX (x) dx = 1 và với mỗi a b; P (a < X < b) = Z 0 b fX (x) dx: a Hàm fX được gọi là hàm mật độ xác xuất. Ta có Z x FX (x) = fX (t) dt 1 0 và fX (X) = FX (x) tại mọi điểm x mà tại đó FX là khả vi. Định nghĩa 1.3.6 tham số (Phân phối chuẩn) Biến ngẫu nhiên liên tục X, có phân phối chuẩn với và ; kí hiệu là X N( ; f (x) = trong đó 2 R và 2 p1 2 > 0: Tham số ); nếu nó có hàm mật độ exp n (x 2 )2 2 o ; là trung bình và x2R là độ lệch chuẩn của phân phối. Ta nói rằng X có phân phối chuẩn tiêu chuẩn hay phân phối Gaussian nếu = 0 và = 1: 8 Định nghĩa 1.3.7 Kì vọng (trung bình) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa là Z Z E (X) = xdF (x) = xf (x) dx Ta dùng kí hiệu sau đây để chỉ kì vọng của X Z E (X) = EX = xdF (x) = = X: Tính chất của kì vọng: 1: Nếu X1 ; :::; Xn là các biến ngẫu nhiên và a1 ; :::; an là các hằng số, thì ! X X E ai Xi = ai E (Xi ) : i I 2: Nếu X1 ; :::; Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, thì E Định nghĩa 1.3.8 Cho X là một biến ngẫu nhiên với trung bình hiệu bằng 2 hoặc 2 X i=1 Xi = n Q i=1 E (Xi ) : . Phương sai của X kí hoặc Var(X) 2 được định nghĩa bằng Z 2 = E (X ) = (x )2 dF (x) giả thiết kì vọng tồn tại. Độ lệch chuẩn là Sd(X) = hoặc n Q X: p V ar (X) và cũng được kí hiệu là Gỉả sử phương sai là định nghĩa tốt, nó có một số tính chất sau 1: Var(X) = E (X 2 ) 2 : 2: Nếu a và b là hai hằng số thì Var(aX + b) = a2 V ar(X) : 3: Nếu X1 ; :::; Xn là độc lập và a1 ; :::; an là các hằng số, thì ! n n X X V ar ai Xi = a2i V ar (Xi ) : i=1 i=1 Định nghĩa 1.3.9 (Trung bình mẫu, phương sai mẫu) Nếu X1 ; :::; Xn là các biến ngẫu nhiên thì ta định nghĩa trung bình mẫu là 1X Xn = Xi n i=1 n và phương sai mẫu là Sn2 = 1 n 1 n X i=1 Xi Xn 2 : 9 1.4 Hồi quy Giả sử rằng ta có n cặp độc lập của các biến ngẫu nhiên (x1 ; j trong đó = f (xj ) + 1 ) ; :::; (xn ; n) sao cho j là biến ngẫu nhiên độc lập, có trung bình bằng 0, cùng phương sai j 2 ; f (xj ) là các giá trị của hàm f tại các điểm lưới x1 ; x2 ; :::; xn : Hàm f là hàm chưa biết. Hàm f ở trên được gọi là hàm hồi quy hoặc đường cong hồi quy. Việc tìm ra dạng f từ các cặp dữ liệu (xj ; j) và dự đoán các giá trị khác ngoài bộ dữ liệu được gọi là hồi quy. Trong bài toán (1) - (3), chúng ta sẽ xây dựng mô hình hồi quy phi tham số để giải quyết vấn đề và ước lượng f bằng phương pháp ước lượng chuỗi lượng giác. 1.5 Ước lượng chuỗi lượng giác Ở đây ta tiếp tục xét mô hình hồi quy phi tham số j trong đó j = f (xj ) + j ; j = 1; :::; n là biến ngẫu nhiên độc lập, E ( j ) = 0; giá trị xj 2 [0; ] là xác định và f : [0; ] ! R: Ta chủ yếu tập trung vào một trường hợp đặc biệt, xj = (2j rằng f 2 L2 [0; ] : Đặt p là hệ số Fourier của f tương ứng với cơ sở trực chuẩn Z f (x) p (x) dx: p = 1 p p=0 1) =2n: Giả sử trên L2 [0; ] ; 0 Giả sử rằng f có thể được biểu diễn dưới dạng f (x) = 1 X p p (x) p=0 trong đó P1 p=0 p p (x) là chuỗi hội tụ với mọi x 2 [0; ] : Ước lượng trực giao của f dựa trên một ý tưởng đơn giản: xấp xỉ hàm f bằng hàm chiếu PN 1 của nó p=0 p p trên khoảng tuyến tính của N hàm đầu tiên của hệ 0 ; :::; N 1 và thay p bằng các ước lượng của nó. Quan sát thấy nếu xj rải rác trên [0; ] theo một cách đủ đều, ví dụ như trong trường hợp xj = (2j 1) =2n; thì các hệ số p được xấp xỉ tốt bằng tổng Pn j=1 f (xj ) p (xj ) : Trong các tổng này, thay thế các đại lượng chưa biết f (xj ) bằng giá trị n quan sát j ta nhận được ước lượng của bp = p sau n n X j=1 j p (xj ) : 10 Định nghĩa 1.5.1 Cho N 1 là một số nguyên. Đại lượng thống kê fbnN (x) = N X1 p=0 bp p (x) được gọi là một ước lượng trực giao (hay một ước lượng dãy trực chuẩn) của hàm hồi quy f tại điểm x: 11 Chương 2 KẾT QUẢ CHÍNH 2.1 Phát biểu bài toán Với hàm f : [0; ] ! R; ta xét hệ 8 @2u @2u 2 > > (x; y) 2 = (0; ) 2 + @y 2 = k u; > @x > > > < u (0; y) = u ( ; y) = 0; 0 y b x x > > uy (x; 0) = 0; 0 x > > > > : u (x; 0) = f (x) ; 0 x : (0; b) Trong đó hàm u = u (x; y) là biên độ sóng truyền tại (x; y) ; k là hằng số, 0 xn x1 < ::: < là các điểm cố định, nguồn f = f (x) chưa biết. Ta chỉ biết tập các giá trị dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên j (2j 1) 2n n và thỏa mãn hồi quy j với xj = 1 ; :::; = f (xj ) + j ; j = 1; n j = 1; n là các điểm lưới trong , các biến ngẫu nhiên j; j độc lập lẫn nhau. 2.2 Bài toán Cauchy với phương trình Helmholtz có điều chỉnh 2.2.1 Dạng tách biến của nghiệm Trong luận văn này, chúng tôi kí hiệu hh; gi = Z 0 h(x)g(x)dx 12 và sZ khk = Họ với p 0 = p1 và p (x) q = 2 jh(x)j2 dx: 0 cos(px), p = 1; 2; :::; là một họ cơ sở trực chuẩn cho không gian L2 [0; ]. Chúng tôi cũng kí hiệu cp (y) = u( ; y); ; p = 0; 1; :::: p Với sự kí hiệu, chúng tôi có thể viết hệ số khai triển Fourier của u( ; y) là u(x; y) = 1 X cp (y) p (x): p=0 Với ; > 0, ta định nghĩa lớp hàm ellipsoid C C ; = ( g 2 L2 [0; ] : jhg; 2 0 ij ; + trong không gian của hệ số g; X p2 2 g; 2 p p 1 ) và lớp hàm giải tích ( A ; p 2 2 X p2 + k 2 cosh b cosh (bk) 2 p + p g 2 L2 [0; ] : jhg; 0 ij2 cosh2 (yk) p 1 cosh2 y p2 + k 2 (y) = p g; là (2.1) 2 p 2 ) : (2.2) Mệnh đề 2.2.1.1 Cho hàm u thỏa phương trình (1) và (2) và hàm f thuộc L2 [0; ]: Giả sử rằng u( ; y) 2 L2 [0; ]; với mọi y 2 [0; b]: Khi đó p p cp (z)cosh y p2 +k2 y p2 +k2 p ; jc (0)j 2 ku( ; y)k e ; p = 0; 1; ::: cp (y) = p 2 2 cosh z trong đó 0 y z p +k b. Ngoài ra, nếu u( ; b) 2 C Chứng minh. Nhân hai vế phương trình (1) với uxx ( ; y); p + uyy ( ; y); p 0 uxx (x; y) p (x)dx + Z 0 thì u( ; y) 2 A p (x) ; (y): 2 C 2 [0; ] ta được = k 2 u( ; y); Lấy tích phân hai vế phương trình từ 0 đến Z ; ; p = 0; 1; :::: p ta được uyy (x; y) p (x)dx = k 2 Z 0 u(x; y) p (x)dx: (2.3) 13 Tích phân từng phần số hạng đầu, ta có 0 Z 0 00 u(x; y) p (x)dx u( ; y) p ( ) + u(0; y) p (0) + 0 Z Z 2 u(x; y) p (x)dx = 0: uyy (x; y) p (x)dx k + 0 0 Ta được 00 p2 cp (y) + cp (y) = k 2 cp (y) Hay 00 (p2 + k 2 )cp (y) = 0; p = 0; 1; :::: cp (y) (2.4) Phương trình đặc trưng của (2.4) là K2 (p2 + k 2 ) = 0 , K = p p2 + k 2 : Nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) là y cp (y) = C1 e p p2 +k2 + C2 e p2 +k2 C2 y p p2 +k2 ; p = 0; 1; ::: Từ đây ta được 0 cp (y) = C1 p p2 + k 2 ey p p p2 + k 2 e y p p2 +k2 ; p = 0; 1; :::: Sử dụng các điều kiện (2), (3) ta có cp (0) = u(x; 0); p = Z u(x; 0) p (x)dx = f; p = C1 + C2 ; 0 0 cp (0) = Z uy (x; 0) p (x)dx = uy (x; 0); p = 0 = C1 0 Suy ra C1 = C2 = f; 2 p = p p2 + k 2 C2 p p2 + k 2 : cp (0) : 2 Nghiệm của phương trình (2.4) là p p 2 2 2 2 cp (0) ypp2 +k2 cp (0) ypp2 +k2 ey p +k + e y p +k cp (y) = e + e = cp (0) 2 2 2 p = cosh y p2 + k 2 cp (0); p = 0; 1; :::: cp (y) trong (2.3) được suy ra (2.5) 14 p p2 + k 2 cp (0)cosh y cp (y) = p cosh z p2 + k 2 p cp (z)cosh y p2 + k 2 = : p cosh z p2 + k 2 cosh z p p2 + k 2 Nhờ bất đẳng thức Schwartz, ta có jcp (y)j = u( ; y); ku( ; y)k p = ku( ; y)k ; p = 0; 1; :::: p Kết hợp bất đẳng thức trên với phương trình (2.5), ta được jcp (0)j ey Nếu u( ; b) 2 C p ; 2ku( ;y)k p p2 +k2 +e y p2 +k2 thì jhu( ; b); (2.3), ta có 2ku( ;y)k p 2 2 ey p +k P 2 0 ij + p 1 X jc0 (b)j2 + 2 c0 (y)cosh (bk) , cosh(yk) 2 cosh (bk) , jhu( ; y); cosh2 (yk) Do đó, u( ; y) 2 A ; + p 1 X p2 p 1 2 0 ij + X p 2 p 1 = 2 ku( ; y)k e p2 u( ; b); p2 jcp (b)j2 y 2 p p2 +k2 2 p p p2 + k 2 p y p2 + k 2 cosh2 (y): . Từ đẳng thức đầu trong 2 p cp (y)cosh b p2 + k 2 p cosh y p2 + k 2 cosh2 b ; p = 0; 1; :::: 2 u( ; y); 2 2 p 2 : Chú ý 2.2.1.1 Trong phần giới thiệu luận văn, ta giả sử uy (x; 0) = 0, nhưng không có bất cứ xấp xỉ của cp (0) và của u(x; 0). Do đó, ta đi xây dựng ước lượng cho những đại lượng đó. 2.2.2 Tính không chỉnh của bài toán Nếu hàm f duy nhất u 0 trong phương trình (3), theo mệnh đề (2:2:1:1) hệ (1) - (3) có một nghiệm 0. Cho i:i:d nj N (0; n 1 ); j = 1; n: Ta xét tính không chỉnh của bài toán. Ta sẽ xây dựng hàm un = un (x; y); fn = fn (x) sao cho un thỏa phương trình (1), (2) với un (x; 0) = fn (x); fn (xj ) = nj và nj Ta cần MISE (fn ) := E kfn khi n ! 1: =0+ nj f k2 ! 0 và MISE (un ( ; y)) := E kun ( ; y) u( ; y)k2 ! 1 15 Dùng ý tưởng hồi quy lượng giác (xem mục (3:4) trong [6] hoặc bổ đề (2:5) trong [1]), ta đặt fn (x) = n 1 X anp p (x) p=0 trong đó an0 = p n Pn nj ; j=1 anp = Áp dụng mệnh đề (2:2:1:1) ta có n X 1 un (x; y) = cosh(yk) n j=1 + nj n 1 X n Pn nj p (xj ); j=1 cosh y p=1 p p2 + k 2 p = 0; 1; :::; n n n X 1: ! nj p (xj ) j=1 p (x): (2.6) Chúng ta nhắc lại một kết quả quan trọng của hồi quy lượng giác. 1 và q 2 N, ta có 8 n < X 1 = (x ) (x ) = j p j q : n Bổ đề 2.2.2.1 Cho p = 0; n spq ( 1)l 0; q j=1 Nếu q = 1; n pq p = 2ln p 6= 2ln 1, ta được spq = trong đó ; q 1 (2.7) pq là ký hiệu Kronecker. Chứng minh. Với xj = 2j 1 , 2n j = 1; n, với sin (x) 6= 0; xem [6], ta có n X cos ((2j 1) x) = j=1 1. Nếu p = q = 0, thì 1 sin (2nx) : 2 sin (x) 1X1 1 = = : n j=1 n s00 2. Nếu p > 0 và q > 0, ta có spq n 2 X = cos(pxj )cos(qxj ) n j=1 n 1 X cos((q = n j=1 n 1 X = cos (2j n j=1 n 1 X p) xj ) + cos((q + p) xj ) n j=1 1) (q p) 2n n 1 X + cos (2j n j=1 1) (q + p) 2n : 16 với x = (q p) 2n và x = (q+p) 2n spq ta có 2 3 1 4 sin ((q p) ) sin ((q + p) ) 5 + : = 2n sin (q 2np) sin (q+p) 2n Ta xét các trường hợp sau. a) Trường hợp: q p = 2ln, với l lẻ. Ta có n 2 X cos(pxj )cos ((p + 2ln) xj ) n j=1 spq = n 2 X 2j 1 cos(pxj )cos pxj + 2ln n j=1 2n = n 2 X cos(pxj )cos (pxj + l(2j n j=1 = n 2 X 1 + cos(2pxj ) n j=1 2 = 1 = Vì l lẻ nên l(2j 1 sin (2p ) = n sin pn 1 1) ) : 1) là lẻ, do đó cos (pxj + l(2j 1) ) = cos(pxj ): b) Trường hợp: q + p = 2ln, với l lẻ. Ta có spq n 2 X = cos(pxj )cos ((2ln n j=1 p) xj ) n 2 X = cos(pxj )cos ( pxj + l (2j n j=1 = Vì l lẻ nên l(2j n 2 X cos2 (pxj ) = n j=1 : 1) là lẻ, do đó cos ( pxj + l(2j Trường hợp: q 1 1) ) 1) ) = cos(pxj ): p = 2ln, với l chẵn. Ta có n 2 X cos(pxj )cos ((2ln + p) xj ) spq = n j=1 n 2 X = cos(pxj )cos (pxj + l(2j n j=1 n 2 X 1 = cos2 (pxj ) = : n j=1 1) ) (2.8)