Tài liệu Lớp hàm giả affine và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học và các thầy cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2013 Tác giả Vũ Diệu Linh LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm Luận văn và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Trong quá trình nghiên cứu, tác giả đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày tháng Tác giả Vũ Diệu Linh năm 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1 Chương 1. Các tính chất của ánh xạ giả affine .......................................... 3 1.1 Hàm lồi suy rộng ...................................................................................... 3 1.2 Ánh xạ giả affine ...................................................................................... 9 1.2.1 Hàm giả lồi ....................................................................................... 9 1.2.2 Hàm giả tuyến tính ......................................................................... 10 1.2.3 Hàm tựa tuyến tính ......................................................................... 10 1.2.4 Ánh xạ đơn điệu ............................................................................. 11 1.2.5 Ánh xạ giả đơn điệu........................................................................ 12 1.2.6 Ánh xạ giả affine ............................................................................ 13 1.2.6.1 Các tính chất đặc trưng của ánh xạ giả affine........................... 13 1.2.6.2 Đưa về trường hợp liên tục ...................................................... 23 1.2.6.3 Các tính chất của ánh xạ giả affine xác định trên toàn không gian .............................................................................................................. 27 1.2.6.4 Trường hợp n  2 .................................................................... 30 1.2.6.5 Tính chất thẳng của ánh xạ giả affine....................................... 32 1.2.6.6 Trường hợp T có ít nhất một nghiệm ...................................... 37 1.2.6.7 Trường hợp n  3 .................................................................... 42 1.2.6.8 Trường hợp T không có nghiệm.............................................. 47 Chương 2. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine....................... 55 2.1 Bất đẳng thức biến phân ......................................................................... 55 2.2 Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine............... 56 KẾT LUẬN................................................................................................. 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 63 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Các hàm giả lồi đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các hàm lồi suy rộng và ứng dụng của chúng, xem, thí dụ, [1]. Hàm f giả lồi mà  f cũng là giả lồi được gọi là hàm giả tuyến tính. Đây là một lớp hàm thú vị, nó có ứng dụng trong qui hoạch giả tuyến tính, mà đại diện quan trọng là lớp bài toán qui hoạch phân thức tuyến tính, là mô hình của rất nhiều bài toán thực tế (xem, thí dụ, [4]). Hàm giả lồi khả vi f :  n   được đặc trưng bởi tính giả đơn điệu theo nghĩa Karamardian của ánh xạ gradient (đạo hàm f :  n   n ). Do đó hàm giả tuyến tính được đặc trưng bởi tính giả đơn điệu của gradient f mà f cũng là giả đơn điệu. Từ đây, ta có thể nghiên cứu lớp ánh xạ T :  n   n rộng hơn (không nhất thiết phải là ánh xạ đạo hàm) có tính chất: T là giả đơn điệu và T cũng là giả đơn điệu. Lớp ánh xạ này được gọi là lớp ánh xạ giả affine (xem [3]). Bất đẳng thức biến phân là một mô hình toán học chứa đựng trong nó hoặc có liên quan đến rất nhiều bài toán khác của toán học và thực tế (bài toán tối ưu, bài toán bù, bài toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng,…), vì vậy nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam. Một trong những câu hỏi đầu tiên cần trả lời khi nghiên cứu bất đẳng thức biến phân là vấn đề tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thông, tính co rút, tính ổn định của tập nghiệm theo tham số,…). Việc nghiên cứu các tính chất của lớp ánh xạ cụ thể, thí dụ, lớp ánh xạ giả affine, giúp giải quyết các câu hỏi về sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả affine, cũng như 2 làm rõ hơn quan hệ của bất đẳng thức biến phân với các bài toán và vấn đề khác liên quan. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cụ thể của giải tích và tối ưu, đồng thời mong muốn nghiên cứu sâu hơn về tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine, tôi chọn LỚP HÀM GIẢ AFFINE VÀ ỨNG DỤNG làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày các tính chất của ánh xạ giả affine và áp dụng nghiên cứu sự tồn tại và cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ giả affine và sự tồn tại và cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ giả affine và Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến ánh xạ giả affine và bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm, lí thuyết tối ưu và bất đẳng thức biến phân để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận văn đề cập. 6. Đóng góp của luận văn Chúng tôi hi vọng rằng, luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giả affine. 3 Chương 1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ GIẢ AFFINE Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và định lí về hàm lồi suy rộng cần thiết cho nghiên cứu ánh xạ giả affine. 1.1 Hàm lồi suy rộng 1.1.1 Tập lồi Tập K   n được gọi là tập lồi nếu K chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó, tức là với mọi x1 , x2  K thì  x1  1    x2  K với mọi    0,1. 1.1.2 Hàm lồi Hàm f xác định trên một tập lồi K   n được gọi là hàm lồi trên K nếu f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  với mọi x1 , x2  K và mọi   0,1. 1.1.3 Hàm lồi chặt Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên tập lồi K   n nếu với mọi    0,1 thì f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2 . Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt ) nếu  f là lồi (lồi chặt). Hàm tuyến tính f  x  : aT x  c , với a   n là một vectơ và c là một số, thỏa mãn đẳng thức f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  với mọi x1 , x2  K và với mọi    0,1 nên vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm, nhưng nói chung nó không phải là hàm lồi chặt hoặc lõm chặt. Thí dụ, hàm hằng f  x   c là tuyến tính, vừa lồi vừa lõm nhưng không phải là hàm lồi chặt cũng không phải là hàm lõm chặt. 4 1.1.4 Hàm tựa lồi Cho hàm f xác định trên tập lồi K   n . Hàm f được gọi là tựa lồi trên K nếu với mọi x1 , x2  K và với mọi    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2 . (1.1) Định nghĩa trên tương đương với: Với mọi x1 , x2  K và với mọi   0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2 . Hàm f được gọi là tựa lõm nếu  f là tựa lồi, tức là với mỗi cặp x1 , x2  K và với mọi   0,1 ta có f  x1   f  x2   f  x1   f   x1  1    x2 . 1.1.5 Hàm tựa lồi ngặt Hàm f xác định trên một tập lồi K   n được gọi là hàm tựa lồi ngặt trên K nếu với mọi x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2 . Định nghĩa trên tương đương với: với mọi x1 , x2  K , x1  x2 , f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  với mọi    0,1. Hàm f được gọi là tựa lõm ngặt nếu  f là tựa lồi ngặt, tức là với mọi x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2 . Định lí 1.1 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi ngặt và hàm tựa lồi) Cho f là hàm xác định trên tập lồi K   n . Nếu f tựa lồi ngặt trên K thì f tựa lồi trên K . Điều ngược lại nói chung không đúng. 5 Chứng minh Vì f là hàm tựa lồi ngặt nên theo định nghĩa ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  với mọi x1  x2 và    0,1 . Suy ra f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2  với mọi x1  x2 và    0,1. Nếu x1  x2 (   0 hoặc   1 ) thì ta có dấu đẳng thức). Vậy với mọi i x1 , x2  K và với mọi    0,1 ta có f  x1   f  x2   f   x1  1    x2   f  x2  hay f là hàm tựa lồi. Chiều ngược lại không đúng được chỉ ra trong ví dụ sau. Ví dụ 1.1 Xét hàm số 1,  f  x   signx  0, 1,  x  0; x  0; x  0. 1 Hàm f không phải là hàm lồi trên . Thí dụ, chọn   , x1  2, x2  4 thì 2 f ( x1 )  1 và f ( x1 )  1. Bất đẳng thức cho hàm lồi không đúng: 1 1 1 1 1  f (1)  f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )  0. 2 2 2 2 Nhận xét 1.1 Mọi hàm đơn điệu tăng là hàm tựa lồi. Thật vậy, nếu x1  x2 và f là hàm tăng thì từ x1   x1  (1   ) x2  x2 ta suy ra f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ) hay f là tựa lồi. Hàm f đã cho là tựa lồi vì f là hàm tăng (không ngặt). Hàm f không phải là hàm tựa lồi ngặt vì, thí dụ, chọn, 1  x1  x2  2, với mọi    0,1 ta không có dấu bất đẳng thức ngặt: f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x2 )  f ( x2 ). 6 1.1.6 Hàm tựa lồi nửa ngặt Hàm f xác định trên một tập lồi K   n được gọi là hàm tựa lồi nửa ngặt (semistrictly quasiconvex function) trên K nếu với mọi x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  thì với mọi    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2 . (1.2) Hàm f được gọi là tựa lõm nửa ngặt nếu  f là tựa lồi nửa ngặt, tức là với mọi x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  thì với mọi    0,1 ta có f   x1  1    x2   min  f  x1  , f  x2 . Định lí 1.2 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi ngặt và hàm tựa lồi nửa ngặt) Cho f là hàm xác định trên một tập lồi K   n . Nếu f là tựa lồi ngặt trên K thì f là hàm tựa lồi nửa ngặt trên K . Chứng minh Thật vậy, nếu f  x1   f  x2  thì hiển nhiên x1  x2 . Do f là tựa lồi ngặt trên K nên với mọi x1 , x2  K , x1  x2 ,    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2 . Suy ra với mọi x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  thì với mọi    0,1 ta có f   x1  1    x2   max  f  x1  , f  x2 . Chứng tỏ f là hàm tựa lồi nửa ngặt trên K . 1.1.7 Hàm nửa liên tục dưới Cho K   n là tập lồi mở. Hàm f : K   được gọi là nửa liên tục dưới tại x  K   n nếu lim inf f  xn   f  x  x x n với mọi dãy  xn   K hội tụ đến x . 7 Định nghĩa trên tương đương với: với mọi   0 tồn tại   0 sao cho bất đẳng thức f  x   f  x    đúng với mọi x  B  x ,    K . Nếu f là hàm nửa liên tục dưới tại mọi điểm x  K thì ta nói f nửa liên tục dưới trên tập K . 1.1.8 Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi nửa ngặt và hàm tựa lồi 1) Không phải hàm tựa lồi nửa ngặt nào cũng là hàm tựa lồi. 1, x  0; Ví dụ 1.2 Cho hàm f xác định trên 1 , f  x    0, x  0. Hàm f là tựa lồi nửa ngặt trên 1 vì với mọi x1 , x2  K mà f  x1   f  x2  thì f  x1   0, f  x2   1 (do f  x  chỉ nhận hai giá trị 0 và 1), vậy x1  0, x2  0 . Với mọi    0,1 , ta có x   x1  1    x2   x1  0  f  x   0  f  x2 . Tuy nhiên hàm f không là tựa lồi (và cũng không phải là tựa lồi ngặt) vì, thí dụ, với x1  1, x2  1, ta có f  x1   f  x2   0, nhưng 1  1 f  x1  x2   f  0   1  f  x2  . 2  2 2) Hàm tựa lồi có thể không phải là hàm tựa lồi nửa ngặt Ví dụ 1.3 Hàm  x, 0  x  1; f  x   1, 1  x  2 là hàm không giảm nên nó là hàm tựa lồi trên tập K : 0,2  . Nó không phải là hàm tựa lồi nửa ngặt vì f  0   0  f  2   1 nhưng 1  1 f  .0  .2  f 1  1  f  2  (không nhỏ hơn thật sự f  2  ). 2  2 3) Nếu thêm điều kiện f là hàm nửa liên tục dưới trên K thì một hàm tựa 8 lồi nửa ngặt là hàm tựa lồi trên K . Ta có định lí sau. Định lí 1.3 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi nửa ngặt và hàm tựa lồi) Cho f là hàm xác định trên tập lồi K   n và nửa liên tục dưới trên K . Khi đó nếu f tựa lồi nửa ngặt thì f là hàm tựa lồi trên K . Chứng minh Cho x1 , x2  K . Nếu f  x1   f  x2  thì do f là hàm tựa lồi nửa ngặt nên (1.2) thỏa mãn. Chứng tỏ (1.1) được thỏa mãn. Như vậy ta chỉ còn phải kiểm tra (1.1) khi f  x1   f  x2  . Giả sử f  x1   f  x2  và f không phải tựa lồi, tức là điều kiện (1.1) không thỏa mãn. Khi đó tồn tại x0   x1 , x2  sao cho f  x1   f  x2   f  x0  . Chọn 0    f  x0   f  x1  thì f  x0     f  x1 . Do f nửa liên tục dưới trên K nên f nửa liên tục dưới tại x0 , tức là với mọi   0 tồn tại   0 sao cho f  x   f  x0    đúng với mọi x  B  x0 ,  . Chọn x   x1 , x0   B  x0 ,   thì do tính chất tựa lồi nửa ngặt của f trên khoảng x   x1 , x0  ta có f  x   max  f  x0  , f  x1   f  x0  . Vì x0   x , x2  nên do tính chất tựa lồi nửa ngặt của f trên  x, x  2 ta có f  x0   max  f  x  , f  x2   f  x . Mâu thuẫn. Vậy f là hàm tựa lồi trên K. Mối liên hệ giữa các lớp hàm lồi suy rộng và hàm lồi với giả thiết hàm f là nửa liên tục dưới được nêu trong sơ đồ hình dưới đây: 9 Lồi chặt Tựa lồi chặt Lồi Nửa tựa lồi chặt Tựa lồi 1.2 Ánh xạ giả affine Lớp hàm giả lồi đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu tính chất lồi suy rộng và các ứng dụng của chúng (xem, thí dụ, [1]). Hàm f giả lồi mà  f cũng là giả lồi thường được gọi là hàm giả tuyến tính. Đây là lớp hàm thú vị. Một trong những ứng dụng của qui hoạch giả tuyến tính là bài toán qui hoạch phân thức với khá nhiều ứng dụng thực tế (xem [1], [4]). Hàm giả lồi khả vi f :  n   được đặc trưng bởi tính giả đơn điệu của gradient f :  n   n theo nghĩa Karamardian (xem [7]). Do đó các hàm khả vi giả tuyến tính sẽ được đặc trưng bởi tính giả đơn điệu của gradient f mà f gradient của nó cũng là ánh xạ giả đơn điệu. Như vậy, ta có thể xét lớp ánh xạ T :  n   n (không nhất thiết là ánh xạ gradient) với tính chất trên. Lớp ánh xạ này đã được nghiên cứu trong [2] và [3] và được gọi là lớp ánh xạ giả affine. Chương này có mục đích trình bày các kết quả của [2] và [3]. Trước khi định nghĩa ánh xạ giả affine, ta phát biểu một số khái niệm sau. Giả sử K   n là một tập lồi nào đó. 1.2.1 Hàm giả lồi Hàm f :K  khả vi trên tập mở K   n được gọi là giả lồi (pseudoconvex, xem [1]) trên K nếu với mọi x1 , x2  K , từ bất đẳng thức f ( x1 ), x2  x1  0 ta suy ra f ( x2 )  f ( x1 ). 10  f f  Ở đây, gradient f  x  :  ,...,   x  , còn dấu .,. là kí hiệu tích vô xn   x1 hướng trong  n . Nhận xét 1.2 Hàm giả lồi là hàm tựa lồi chặt, do đó nó là tựa lồi. Chứng minh Xem, thí dụ, [10], Theorem 5, p. 143. 1.2.2 Hàm giả tuyến tính Hàm f được gọi là giả tuyến tính nếu cả hai f và  f là giả lồi. Các đặc trưng bậc nhất và bậc hai của hàm giả tuyến tính và bài toán tối ưu với hàm giả tuyến tính đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu, xem, thí dụ, [4], [9]. Theo Nhận xét 1.2, hàm giả lồi là hàm tựa lồi nên hàm giả tuyến tính là trường hợp đặc biệt của hàm tựa tuyến tính. 1.2.3 Hàm tựa tuyến tính Hàm f : K   được gọi là hàm tựa tuyến tính nếu f và  f là các hàm tựa lồi. Một số tác giả gọi lớp hàm này là tựa affine (quasiaffine) hay tựa đơn điệu (quasimonotonic)). Nghiên cứu lớp hàm tựa affine đã được bắt đầu bởi Martos, và tiếp sau đó là Hoàng Tụy [14], Martínez-Legaz [12] và những người khác. Khi K   n , ta có Định lí 1.4 [13] Hàm nửa liên tục dưới f :  n   là tựa tuyến tính khi và chỉ khi nó có dạng f  x   h  u, x  , (1.3) trong đó h là hàm nửa liên tục dưới, đơn điệu tăng và u   n . Theo Định lí trên, tồn tại “rất ít” các hàm tựa tuyến tính xác định trên toàn không gian. Nhưng, cho dù vậy, lớp hàm này vẫn rất có ích. Thật vậy, theo một kết quả quan trọng của Martínez-Legaz [11], hàm nửa liên tục dưới 11 g :  n   bị chặn dưới là tựa lồi khi và chỉ khi nó là supremum của các hàm khả vi tựa tuyến tính. Hệ quả dưới đây suy ra trực tiếp từ Định lí 1.4. Hệ quả 1.1 Hàm khả vi f :  n   là hàm giả tuyến tính khi và chỉ khi nó viết được dưới dạng f  x   h  u, x  , (1.4) trong đó u   n và h là hàm khả vi có đạo hàm luôn dương hoặc đồng nhất bằng 0. Chứng minh Nếu f là giả tuyến tính thì nó là tựa tuyến tính (theo Nhận xét 1.2). Như vậy, nó có dạng (1.3), trong đó h là hàm khả vi (do f khả vi) và đơn điệu tăng, tức là h có đạo hàm không âm. Nếu h bằng 0 tại một điểm nào đó, thì f cũng bằng 0 tại một điểm nào đó. Điều này suy ra f là hàm hằng (xem [9]). Suy ra h đồng nhất bằng 0. Nói cách khác, nếu h khác 0 tại một điểm thì h luôn dương. Điều ngược lại là hiển nhiên. Lớp hàm giả tuyến tính có ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu (thí dụ, lớp bài toán tối ưu phân thức là mô hình của nhiều bài toán thực tế, chính là một lớp bài toán tối ưu giả tuyến tính). Như trên đã nói, hàm giả tuyến tính khả vi được đặc trưng bởi gradient của nó là giả affine. Điều này dẫn tới việc nghiên cứu lớp hàm giả affine. 1.2.4 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ T : K   n được gọi là đơn điệu (monotone) trên K   n , nếu T ( y )  T ( x), y  x  0 với mọi x, y  K . 12 1.2.5 Ánh xạ giả đơn điệu Ánh xạ T : K   n được gọi là giả đơn điệu (pseudomonotone, viết tắt là PM, xem [2], [3]) trên K   n , nếu với mọi x, y  K , từ bất đẳng thức T ( x), y  x  0 ta suy ra T ( y ), y  x  0. (1.5) Nhận xét 1.3 Định nghĩa trên tương đương với: Với mọi x, y  K , từ bất đẳng thức T ( x ), y  x  0 ta suy ra T ( y ), y  x  0. Chứng minh Giả sử có (1.5). Khi ấy từ (1.6) T ( x), y  x  0 ta suy ra T ( y ), y  x  0. Giả sử T ( y ), y  x  0. Khi ấy T ( y ), x  y   T ( y), y  x  0, tức là T ( y ), x  y  0 (thực chất xảy ra dấu bằng). Lại từ (1.5) ta suy ra T ( x), x  y  0 hay T ( x), y  x   T ( x), x  y  0. Vô lí vì giả thiết T ( x), y  x  0. Vậy từ T ( x), y  x  0 ta phải suy ra T ( y ), y  x  0 hay (1.6) là đúng. Ngược lại, giả sử (1.6) đúng. Khi ấy, nếu T ( x), y  x  0 thì theo (1.6) ta suy ra T ( y ), y  x  0, tức là (1.5) đúng. Nếu T ( x), y  x  0 mà ta có T ( y ), y  x  0 thì T ( y ), x  y   T ( y ), y  x  0. Lại theo (1.6) ta phải có T ( x), y  x  0. Vô lí. Chứng tỏ (1.5) và (1.6) là tương đương. Nhận xét 1.4 [7] Nếu f : K   là hàm khả vi và ánh xạ T được xác định bởi  f f  T  x  : f  x    ,...,   x  , thì ánh xạ T là giả đơn điệu khi và xn   x1 chỉ khi hàm f là giả lồi. 13 1.2.6 Ánh xạ giả affine Ánh xạ T : K   n , được gọi là ánh xạ giả affine (ánh xạ PPM) trên K   n nếu T và T đều là giả đơn điệu trên K . 1.2.6.1 Các tính chất đặc trưng của ánh xạ giả affine Nhận xét 1.5 Ánh xạ T là giả afine khi và chỉ khi với mọi x, y   n , các khẳng định tương đương sau là đúng: T  x , y  x  0  T  y , y  x  0 (1.7) hoặc T  x  , y  x  0  T  y  , y  x  0. (1.8) Thật vậy, theo định nghĩa, T là giả đơn điệu khi và chỉ khi từ bất đẳng thức T ( x), y  x  0 suy ra T ( y ), y  x  0. Mặt khác, T là giả đơn điệu khi và chỉ khi, từ bất đẳng thức T ( y), x  y  0 ta suy ra T ( x), x  y  0 hay từ T ( y ), y  x  0 ta suy ra T ( x), y  x  0. Vậy T là giả affine khi và chỉ khi từ bất đẳng thức T ( x), y  x  0 suy ra T ( y ), y  x  0 và từ bất đẳng thức T ( y ), y  x  0 ta suy ra T ( x), y  x  0. Vậy T là giả affine khi và chỉ khi (1.7) là đúng. Theo Nhận xét 1.1, (1.7) đúng khi và chỉ khi (1.8) đúng. Chứng tỏ T là giả affine khi và chỉ khi (1.8) là đúng. Hơn nữa, ta có Định lí 1.5 [2] Cho K   n là tập lồi. Nếu T là ánh xạ giả affine thì với mọi x, y  K ta có khẳng định tương đương sau là đúng: T  x  , y  x  0  T  y  , y  x  0. (1.9) 14 Đảo lại, nếu T : K   n là ánh xạ liên tục trong K và (1.9) là đúng thì T là ánh xạ giả affine. Chứng minh Cho T là ánh xạ giả affine và giả sử rằng T  x  , y  x  0. Theo tính giả đơn điệu của T và T suy ra T  y  , y  x  0 và T  y  , y  x  0. Vậy T  y  , y  x  0. Hoàn toàn tương tự, từ T  y  , y  x  0 ta suy ra T  y  , x  y   T  y  , y  x  0. Theo tính chất giả affine của ánh xạ T ta suy ra T  x  , y  x  0 và T  x  , y  x  0. Vậy T  x  , y  x  0 hay khẳng định tương đương (1.9) là đúng. Ngược lại, giả sử ánh xạ T liên tục và (1.9) đúng nhưng T không phải là ánh xạ giả đơn điệu. Khi đó tồn tại hai điểm x, y  K sao cho T  x  , y  x  0 và T  y  , y  x  0. Đặt   t  : T  x  t  y  x   , y  x với 0  t  1. Khi ấy   0   T ( x), y  x  0,  1  T ( y ), y  x  0. Do ánh xạ T liên tục trên K nên hàm   t  liên tục trên đoạn 0,1. Suy ra tồn tại 0  t *  1 sao cho   t *   0, tức là T  x  t *  y  x   , y  x  0. x*  x Đặt x  x  t  y  x  , ta được T  x  ,  0 hay T  x*  , x *  x  0. t * * * 15 Từ đây, do (1.9) đúng nên từ hay T  x x , *  x t*  0, T  x*  , x *  x  0 ta suy ra T  x  , x*  x  0 tức là T  x  , y  x  0. Mâu thuẫn với T  x  , y  x  0. Vậy T phải là giả đơn điệu. Tương tự, T cũng là giả đơn điệu hay T là giả affine. Định lí được chứng minh. Chúng ta thường sử dụng tính chất đặc trưng cho giả affine dưới dạng (1.9). Từ Định lí 1.5 ta có ngay Hệ quả 1.2 Cho K   n và T : K   n là ánh xạ giả affine liên tục trong K . Nếu T  x *   0 thì T  y  , y  x*  0, y  K . Đặc biệt, nếu T  0   0 thì T  x  , x  0, x  K . Ánh xạ giả affine được nghiên cứu trong [2] nhằm áp dụng vào nghiên cứu tính chất tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Vì hàm khả vi f là giả lồi khi và chỉ khi f là giả đơn điệu nên hàm khả vi f là giả tuyến tính khi và chỉ khi f là giả affine. Từ Hệ quả 1.1, ta có thể đặt câu hỏi: Nếu ánh xạ giả affine T xác định trên toàn không gian thì nó phải có dạng tổng quát như thế nào?- Trong trường hợp đặc biệt, khi T  f với một hàm giả tuyến tính khả vi f nào đó, thì câu trả lời là đơn giản: Vì f có dạng (1.4), nên suy ra T ( x)  f ( x)  h( u, x )u , nghĩa là T ( x ) là tích của một số dương nhân với một vectơ hằng. Một trường hợp đặc biệt khác của ánh xạ giả affine xác định trên toàn không gian là khi T và T là đơn điệu. Khi ấy câu trả lời được cho bởi Mệnh đề sau. 16 Mệnh đề 1.1 Cho T :  n   n sao cho cả hai ánh xạ T và T là đơn điệu. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch A và một véc tơ u   n sao cho T  x   Ax  u, x   n . Chứng minh Đặt u  T  0  và định nghĩa ánh xạ T  :  n   n xác định bởi T   x   T  x   u. Thế thì T  và T  cũng là các ánh xạ đơn điệu, tức là với mọi x, y   n ta có T   y   T   x  , y  x  0 và T   y    T   x   , y  x  0. Suy ra, T   y   T   x  , y  x  0 với mọi x, y   n . (1.10) Mặt khác, do u  T  0  n ê n T   0   0. (1.11) Từ (1.10), (1.11) suy ra T   x  , x  0, x   n . Khai triển (1.11) ta được T   x  , y   T   y  , x , x, y   n . (1.12) Vậy với mọi t  , x, y   n , sử dụng (1.12) một lần nữa ta thu được T   tx  , y   tx, T   y   t x,T   y   t T   x  , y Do đó T   tx   tT   x  , y  0, y   n . Từ đó suy ra T   tx   tT   x  , x   n . Cũng vậy, với x, y , z   n , từ hệ thức (1.12) dẫn đến T   x  y  , z   x  y , T   z    x, T   z   y ,T   z   T x, z  T y , z . Do đó