Tài liệu Lời giải một số bài tập toán cao cấp 2

 LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP  TOÁN CAO CẤP 2 Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để  tham khảo. Có một số  bài tập do   một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và   đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 1:  Tính hạng của ma trận:  2 −4 3 1 0      1 −2 1 −4 2  η1↔ η2   A =  → 1)  0 1 −1 3 1    1 −7 4 −4 5     1 −2 1 −4 2 −4 3 1 0 1 −1 3 1 −7 4 −4 2 0 1 5        →     1 −2 1 −4 2    0 0 1 9 −4  η 2↔ η3 → 0 1 −1 3 1     0 −5 3 0 3  1 −2 1 −4 2   0 1 −1 3 1  0 0 1 9 −4  0 −5 3 0 3    η2(5)+η4  →    1 −2 1 −4 2    0 1 −1 3 1  η3( 2)+ η4   → 0 0 1 9 −4     0 0 −2 15 8  1 −2 1 −4 2   0 1 −1 3 1  0 0 1 9 −4  0 0 0 33 0  h1(−2)+η2 η1(−1)+η4 ⇒ ρ( Α) = 4   2)    A=     0 2 −4    −1 −4 5   1↔ η2 3 1 7  η →  0 5 −10    2 3 0      1 η2    2  →      −1 −4 5 0 1 −2 0 −11 22 0 5 −10 0 −5 10  −1 −4 5    0 2 −4  η1(3)+ η3  η1( 2 )+ η4 3 1 7   →   0 5 −10   2 3 0      η2(11)+ η3   ηη22((5−5)+)+η5η4  →         −1 −4 5 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −4 5   0 2 −4  0 −11 22  0 5 −10   0 −5 10      ⇒ ρ( Α) = 2           2 −1 3 −2 4  η1(−2)+η2  2 −1 3 −2 4  1)+η3   2) A =  4 −2 5 1 7  η1(−   →  0 0 −1 5 −1   2 −1 1 8 2   0 0 −2 10 −2     2 −1 3 −2 4  h2(­2)+η3   →  0 0 −1 5 −1  ⇒ ρ( Α) = 2  0 0 0 0 0    3)   A=   1 3 5 −1 2 −1 −5 4 5 1 1 7 7 7 9 −1    →      η1( −2)+η2  ( −5)+η3  η1  η1( −7 )+η4   →     1 3 5 −1 0 −7 −15 6 0 0 1 0 0 0 4 −6  1 η3   6  1 3 5 −1  ( −2 )+η3  η2  0 −7 −15 6  η2( −2)+η4   → 0 −14 −24 12     0 −14 −26 6     η4 −4 +η4  ( )   →     1 3 5 −1 0 −7 −15 6 0 0 1 0 0 0 0 −6 1 3 5 −1 0 −7 −15 6 0 0 6 0 0 0 4 −6         ⇒ ρ( Α) = 4   4)    A=   3 5 1 7 −1 3 2 −3 2 3 −3 −5 0 −5 1 4 5 4 7 1     η3  η1↔  →     1 5 3 7 −3 −5 0 7  η1( −5)+η2  )+η3  η1( −3  −3 2 3 4  η1 ( −7 )+η4 → −1 3 2 5     −5 1 4 1    →     1 −3 −5 0 7  ( −3)+η3  η2  0 4 9 1 −8  η2 ( −4 )+η4 → 0 12 27 3 −31     0 16 36 4 −48     →             5)  1 −3 −5 0 7   0 4 9 1 −8  ⇒ ρ Α = 3 ( ) 0 0 0 0 −7  0 0 0 0 0   1 η3  ↔ η2  2  16  + η4  7  η3 − 2 1 −3 −5 0 7 0 4 9 1 −8 0 0 0 0 −7 0 0 0 0 −16 1 −3 −5 0 7 0 12 27 3 −31 0 8 18 2 −16 0 16 36 4 −48              A=      2 2 1 5 −1    1 0 4 −2 1   2 1 5 −2 1  η1↔ η2  →  −1 −2 2 −6 1    −3 −1 −8 1 −1    1 2 −3 7 −2  1 0 4 −2 1   2 2 1 5 −1  2 1 5 −2 1  −1 −2 2 −6 1   −3 −1 −8 1 −1  1 2 −3 7 −2    η1( −2)+ η2  η1( −2)+ η3 η1+ η4 η → 1(3)+ η5  η1( −1)+ η6     1 0 4 −2 1    0 2 −7 9 −3   0 1 −3 2 −1  η 2↔ η3 →   0 −2 6 −8 2   0 −1 4 −5 2    0 2 −7 9 −3     η2( −2)+ η3 η2( 2)+ η4 η → 2+ η5  η2(−2)+ η6      1 0 0 0 0 0 0 4 −2 1 1 −3 2 −1 0 −1 3 −1 0 0 −4 0 0 1 −3 1 0 −1 3 −1       η3+ η5   →  η3( −1)+ η6        1 0 4 −2 1   0 1 −3 2 −1  0 2 −7 9 −3  0 −2 6 −8 2   0 −1 4 −5 2  0 2 −7 9 −3  1 0 0 0 0 0 0 4 −2 1   1 −3 2 −1  0 −1 3 −1  ⇒ ρ Α = 4 ( ) 0 0 −4 0   0 0 0 0  0 0 0 0  6)    A=     1 −1 2 3 4    2 1 −1 2 0  η1(−2)+ η2  1+ η3 −1 2 1 1 3  ηη → 1(−1)+ η4 η1(−3)+ η5   1 5 −8 −5 −12   3 −7 8 9 13      2↔ η3 η →      1 −1 2 3 4   0 3 −5 −4 −8  0 1 1 3 7  0 6 −10 −8 −16   0 −4 2 0 1   1 −1 2 3 4    0 1 1 3 7  η2(−3)+ η3  2(−6)+ η4 0 3 −5 −4 −8  η → η2( 4)+ η5   0 6 −10 −8 −16   0 −4 2 0 1     h3( −1)+ η4  3+ η5 η →       1 −1 2 3 4    0 1 1 3 7   5( −4)+ η3 0 0 −8 −13 −29  η →  0 0 0 0 0    0 0 −2 −1 0   3 1 −1 2 3 4   0 1 1 3 7  0 0 −8 −13 −29  0 0 −16 −26 −58   0 0 6 12 29  1 −1 2 3 4   0 1 1 3 7  0 0 0 −9 −29  0 0 0 0 0   0 0 −2 −1 0     η4↔ η3 h5↔  →      1 −1 2 3 4   0 1 1 3 7  0 0 −2 −1 0  ⇒ ρ( Α) = 4 0 0 0 −9 −29   0 0 0 0 0  7)   A=    −3 2 −7 8    −1 0 5 −8  η1↔ η2  → 4 −2 2 0    1 0 3 7    2(−1)+ η3 η →     −1 0 0 0  −1 0 5 −8   η1(−3)+ η2  −3 2 −7 8  η1(4)+ η3   → η1+ η4 4 −2 2 0    1 0 3 7   0 5 −8    2 −22 32  η 3↔ η4 → 0 0 0    0 8 −1  −1 0 0 0 −1 0 5 −8   0 2 −22 32  0 −2 22 −32  0 0 8 −1  0 5 −8   2 −22 32  ⇒ ρ( Α) = 3 0 8 −1  0 0 0  8)    A=    1  −1 3 3 −4   η1( 4)+ η2  4 −7 −2 1  η 1( −3)+ η3 → η1( −2)+ η4 −3 5 1 0     −2 3 0 1    2+ η3  ηη → 2+ η4     −1 0 0 0 3 1 0 0 η2    5 −1 3 3 −4   η3 1   0 5 10 −15    4 →  1 η 4 0 −4 −8 12   3    0 −3 −6 9  −1 3 3 −4   0 1 2 −3  0 −1 −2 3  0 −1 −2 3  3 −4   2 −3  ⇒ ρ( Α) = 2 0 0  0 0  9)   A=   1 7 17 3 3 1 1 4   2(−1)+ η3  η → η2(−1) η4     10)  −1 6   η1(−7)+ η2  −3 10  η1(−17 )+ η3   → η1(−3)+ η4 −7 22    −2 10   1 3 −1 6   1   0 −20 4 −32  η2 4    →  1 0 −50 10 −80  η3 10    0 −5 1 −8  1 3 −1 6   0 −5 1 −8  ⇒ ρ( Α) = 2 0 0 0 0  0 0 0 0  4 1 3 −1 6   0 −5 1 −8  0 −5 1 −8  0 −5 1 −8    A=   0 1 10 3 2 0 4 −1 16 4 52 9 8 −1 6 −7     1↔ η2  η →      2 0 4 −1    η2( −4 )+ η3 0 1 10 3  ⇒ ρ( Α) = 3   → η2+ η4  0 0 −20 5   0 0 0 0    Bài 2:  Biện luận theo tham số  λ  hạng của các ma trận:  3 1 1 4   3 1 1   λ 4 10 1  η2 2 2 4 ↔ η4 → 1) A =   1 7 17 3   1 7 17  2 2 4 1   λ 4 10     η2 h1↔  →   1 4 3 1   ↔ η3 η2 →   1 2 4 2 0 1 5 −5 0 −7 −15 −5 0 2 6 λ−2    →     Vậy :  ­ Nếu  ­ Nếu   1 η3  + η4  5   2)  A =      3 λ 1 2 2 4 2 1 1 3 7 17 1 4 10 λ 1 0 0 0    η1 −8 + η3  ( )  η → 1( −4 )+ η4     2 0 4 −1 0 1 10 3 16 4 52 9 8 −1 6 −7  η1( −4)+η2  ( −3)+η3  η1  η1( −1)+η4   →     4 1 3 1     χ4  χ1↔  →     1 2 4 2 0 −7 −15 −5 0 1 5 −5 0 2 6 λ−2   ( 7 )+η3  η2  ( −2 )+η4  η2 →     1 0 0 0 2 0 4 −1   0 1 10 3  0 4 20 17  0 −1 −10 −3  4 1 3 1 1 1 3 2 4 2 7 17 1 4 10 λ      2 4 2 1 5 −5 0 20 −40 0 −4 λ + 8      2 4 2   1 5 −5  0 20 −40  0 0 λ   = 0 thì r(A) = 3    0 thì r(A) = 4  1 1 4    4 10 1  η2 ↔ η4  → 7 17 3     2 4 3  3 2 1 λ 1 1 4 2 4 3 7 17 3 4 10 1            5     χ4  χ1↔  →     4 3 3 1 1 1 3 2 4 2 7 17 1 4 10 λ                         χ2 c1↔  →   1 2 7 4 4 1 3 3 4 2 3 17 1 1 10 λ  η1( −2)+η2  ( −7 )+η3  η1  η1( −4)+η4   →      1 4 1 3  0 −5 2 −4  →  0 0 0 0  0 0 0 λ   Vậy:  ­     Nếu   = 0 thì r(A) = 2 ­ Nếu     0 thì r(A) = 3 η2( −5)+η3 η2( −3)+η4   3)  A =       4 1 3 3    0 6 10 2  Χ2 ↔ Χ4  → 1 4 7 2     6 λ −8 2     →   h1( −4 )+η3 η1( −6 )+η4                 η4  η3↔  →     4 0 1 6  1 2 7  4     0 1 5 3  η3↔ η4   → → 0   0 0 0   0 0 0 λ + 6     Vậy: ­ Khi  λ + 6 = 0 ⇔ λ = −6  thì r(A) = 2 ­ Khi  λ + 6 ≠ 0 ⇔ λ ≠ −6  thì r(A) = 3 −3 0 1 3  9 14 1    6 10 2  Χ2 ↔ Χ4  → 4 7 2    λ 1 2    →                  h1(3)+η3 η1( −3)+η4 −3 0 1 3 1 2 7 4 0 2 10 6 0 7 35 21 0 −4 −20 λ − 12     η3  η1↔  →        1  η2 2     →     η2(5)+ η3 η2(10 )+ η4    4)  A =      1 4 1 3   0 −5 2 −4  0 0 0 λ  0 0 0 0  3 3 1 2 10 6 2 7 4 2 −8 λ 1 2 7 4 0 2 10 6 0 −5 −25 −15 0 −10 −50 λ − 24 1 0 4 6 1 2 7 4 0 −1 −5 −3 0 0 0 λ +6 0 0 0 0    1 η2   2     →          2 7 4 2 10 6 3 3 1 2 −8 λ 1 2 7 4 0 1 5 3 0 −5 −25 −15 0 −10 −50 λ − 24  1 14 9    2 10 6  η1↔ η3   → 2 7 4    2 1 λ  6      1 4 1 3 0 −5 2 −4 0 −25 10 −20 0 −15 6 λ − 12           1 0 −3 3 2 7 4   2 10 6  1 14 9  2 1 λ  1 2 7 4 0 1 5 3 0 7 35 21 0 −4 −20 λ − 12        →               h2( −7 )+η3 η2( 4 )+η4 Vậy :  ­ ­ 1 0 0 0 2 1 0 0  7 4    5 3  η3↔ η4  → 0 0     0 λ  Nếu   = 0 thì r(A) = 2 Nếu     0 thì r(A) = 3 7 1 0 0 0 2 1 0 0 7 4   5 3  0 λ  0 0  BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Bài 1:  Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:  3 4  1)  A =    5 7    Ta có:  1  5   η1    3 4 1 0  η1 − 3 + η2  3 4 1 0  η2(33)  1 → (A I)=   →  0 1 − 5 1     5 7 0 1     0 3 3   4 1 0  3 3  1 −5 3   4 η2 −  + η1  3  1 0 7 −4   7 −4  −1 →   ⇒ Α =   0 1 −5 3   −5 3     1 −2  2)  A =    4 −9    Ta có: −1    −9 2   9 −2  1  δ −β  1 A =  1 −2  = = =   αδ − βχ  − χ α  1.(−9) − (−2).4  −4 1   4 −1   4 −9    −1  3)  A =      Ta có:   (A I) =   3 −4 5 2 −3 1 3 −5 −1     3 −4 5 1 0 0 2 −3 1 0 1 0 3 −5 −1 0 0 1   1 −1 4 1 −1 0   η2(−1) + η1   →  2 −3 1 0 1 0      3 −5 −1 0 0 1   1 −1 4  1 −1 4 1 −1 0  1 −1 0    η2(−2) + η3    →  0 −1 −7 −2 3 0   →  0 −1 −7 −2 3 0   0 −2 −13 −3 3 1   0 0 1 1 −3 1  η1( −2)+η2 η1( −3)+η3  1 −1 4 1 −1 0   1 −1 0 −3 11 −4    η3(−7)+η2    →  0 1 7 2 −3 0  η3  →  0 1 0 −5 18 −7  ( −4)+η1  0 0 1 1 −3 1   0 0 1 1 −3 1  η2(−1)  1 0 0 −8 29 −11    η2+η1  →  0 1 0 −5 18 −7   0 0 1 1 −3 1    8 8 Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A =  ­1   29 11 5 18 7 1  2 4)  A =  3   1   Ta có:  2  (A I)=  3  1 3 1 7 3   9 4  5 3   1 5 3 0 0 1 7 3 1 0 0   η3↔η1  9 4 0 1 0   → 3 9 4 0 1 0 5 3 0 0 1   2 7 3 1 0 0      1 5 3 0 0 1   1 5 3 0 0 1    η3↔η2    →  0 −6 −5 0 1 −3   →  0 −3 −3 1 0 −2   0 −3 −3 1 0 −2   0 −6 −5 0 1 −3    η1( −3)+η2 η1( −2 )+η3   1 5 3 0 0 1  η2 − 1   1 5 3 0 0  3 1   h2(­2)+η3  →  0 −3 −3 1 0 −2  →  0 1 1 − 0 3   0 0 1 −2 1 1   0 0 1 −2 1    1   → 0   0    7  −  3           5 ⇒ Α−1 =  3   −2   h3( −1)+η2 η3( −3)+η1 5 0 6 −3 −2 5 1 1 0 −1 − 3 3 0 1 −2 1 1 1 3 1 −1 − 3 1 1 2 −  7 1 0 0 −   3   5 5)+η1   η2(−  → 0 1 0 3     0 0 1 −2         1 2 2  5)  A =  2 1 −2     2 −2 1    Ta có: 9 1 2 3 1      1 3 1 −1 − 3 1 1 2 −        1 2 2 1 0 0� � � � A = �2 1 −2 0 1 0 � �2 −2 1 0 0 1 � � � h 2( −2 ) + h 3 1 2 2 � � 0 −3 −6 � � 0 0 9 � 5 � 1 2 0 � 9 � h 3( −2 ) + h 2 2 h 3( −2 ) + h1 � 0 1 0 � 9 � 2 � 0 0 1 � 9 � 2 � �1 2 �9 9 9 � � � 2 1 2� −1 � �A = − �9 9 9� � � 2 2 1 � � − � � 9 9 � �9 1 2 2 1 0 0� � � � 0 −3 −6 −2 1 0 � � � 0 −6 −3 −2 0 1 � � � � �1� h 2� − � � 1 2 2 1 0 �3� 1 0 0� � � 1� h 3� � 2 1 �9 � � −2 1 0 � 0 1 2 − � � 3 3 2 −2 1 � � � 2 2 � 0 0 1 − 9 9 � 4 2� 1 2 � − � 1 0 0 � 9 9 9 9 � � 1 2 2 1 h 2 −2 + h1 � − � ( ) 0 1 0 � � 9 9 9 9 � � 2 1 � 2 2 � − 0 0 1 − � � 9 9 � 9 9 � h1( −2 ) + h 2 h1( −2 ) + h 3 Bài 2 Giải các phương trình ma trận sau 1 2� � 3 5� � 1)  � �X = � � 3 4� � 5 9� � 1 2� � 3 5� � ;B =� � Đặt  A = � � 3 4� � 5 9� � Ta có:  AX = B � X = A−1 B   −1 �−2 1 2� � �4 −2 � � 1 �d −b � 1 A =� � = � �= � �= 3 3 4 � ad − bc � −c a � 1.4 − 2.3 � −3 1 � � � �2 �−2 1 � 3 5 � �−1 −1� � � X = �3 −1 � � �= � � � � 5 9 � �2 3 � � �2 2 � 3 −2 � �−1 2 � � 2)  X � �= � � 5 −4 � � −5 6 � � −1 10 1 � −1 � � 2 � � 0� � 0� � 1� � 9� 2 � 9 � � 2� − 9� � 1 � � 9 �