Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
Kinh nghiÖm khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 (sgk) h×nh häc 9 tËp 2
A. ®Æt vÊn ®Ò :
Muèn n©ng cao hiÖu qu¶ cña c¸c giê lªn líp, ngêi thÇy gi¸o ph¶i biÕt lùa chän ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó kÝch thÝch tÝnh tÝch cùc, t duy n©ng cao nhËn thøc, thóc ®Èy tÝnh
n¨ng ®éng s¸ng t¹o vµ gi¶i quyÕt tèt c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra.
Nhng trong thùc tÕ hiÖn nay, mçi khi häc xong bµi häc gi¸o viªn chØ ®a ra c¸c bµi
tËp trong (SGK), häc sinh biÕt gi¶i c¸c bµi tËp ®ã. ViÖc chØ dõng l¹i vµ gi¶i c¸c bµi tËp
®¬n lÎ sÏ g©y cho häc sinh sù nhµm ch¸n trong häc to¸n ®Æc biÖt m«n h×nh häc. NÕu ¸p
dông víi c¸ch häc nµy, häc sinh kh«ng nh÷ng kh«ng tiÕn bé mµ sÏ g©y cho häc sinh sù
ch¾n n¶n trong häc to¸n. Kh«ng kÝch thÝch ®îc tÝnh tß mß, t duy, s¸ng t¹o cho häc
sinh, mçi khi gi¸o viªn ®a ra mét bµi to¸n míi th× häc sinh kh«ng biÕt xuÊt ph¸t tõ ®©u,
cÇn vËn dông kiÕn thøc nµo.
Qua nhiÒu n¨m gi·ng d¹y vµ båi dìng to¸n 9 t«i nhËn thÊy viÖc khai th¸c, më réng
vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n tõ mét bµi to¸n trong (SGK) sÏ kÝch thÝch cho häc sinh tÝnh
s¸ng t¹o, ph¸t triÔn t duy, häc sinh cã sù mãc nèi c¸c kiÕn thøc l¹i víi nhau. Víi c¸ch
häc vµ c¸ch d¹y nh thÕ nµy lu«n t¹o cho häc sinh t×nh huèng cã vÊn ®Ò, b¾t buéc häc
sinh lu«n ph¶i t×m tßi, suy nghØ gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra.
Sau ®©y t«i xin nªu ra mét sè c¸ch khai th¸c c¸c bµi to¸n tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n
trong (SGK) to¸n 9 nh sau .
B. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò :
I/ Bµi to¸n c¬ b¶n : Bµi tËp 95 (SGK h×nh häc 9 tËp 2 trang 105)
� �900 ) vµ c¾t ®êng
C¸c ®êng cao h¹ tõ ®Ønh A vµ B cña ABC c¾t nhau t¹i H ( C
trßn ngo¹i tiÕp ABC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng :
a/ CD = CE ;
c/ CD = CH
b/ BHD c©n ;
Bµi gi¶i :Gäi M, N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AD víi
A
BC vµ BE víi AC
� �
� BHM
�
a/ Ta cã : DAC
AHN 900 vµ CBE
900
� �
� BHM
� ( = 900)
� DAC
AHN CBE
� ( ®èi ®Ønh )
Mµ �
AHN BHM
E
N
H
B
M
C
D
� CBE
� � EC
� DC
� ( c¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau )
� DAC
� CD CE ( Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y )
� CE
� ( cmt) � EBC
� CBD
� ( hÖ qu¶ gãc néi tiÕp) � BHD c©n ( V× cã
b/ Ta cã CD
BM võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c )
c/ Ta cã BHD c©n t¹i B � BC lµ ®êng trung trùc cña HD ( v× BC chøa BM)
� CD = CH ( tÝnh chÊt ®êng trung trùc )
1
Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
II/ Khai th¸c c¸c bµi to¸n tõ bµi to¸n c¬ b¶n :
NhËn xÐt 1 : Ta cã CH lµ ®êng cao cña ABC nªn kÎ ®êng cao CH c¾t AB t¹i
Q c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC t¹i F. Tõ c©u a ta cã :
� CE
� � CFD
� CFE
�
� FC lµ ph©n gi¸c
CD CE � CD
A
E
� . T¬ng tù DA lµ tia ph©n gi¸c cña EDF
� ; EB lµ
cña EFD
N
Q
� � H lµ t©m cña ®êng trßn néi tiÕp
tia ph©n gi¸c cña DEF
DEF nªn ta cã thÓ khai th¸c bµi to¸n sau ;
H
C
M
B
D
� �900
Bµi to¸n 1 : C¸c ®êng cao h¹ tõ ®Ønh A, B, C cña ABC c¾t nhau t¹i H ( C
) vµ c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC lÇn lît t¹i D, E, F . Chøng minh r»ng H lµ t©m cña
®êng trßn néi tiÕp DEF .
NhËn xÐt 2 : Tõ c©u b, c cña bµi to¸n c¬ b¶n ta cã : BD = BH, CD = CH
� BDC BHC (c.c.c).
T¬ng tù : � AFB AHB ; AEC AHC � c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp :
AHB; BHC ; AHC cã b¸n kÝnh b»ng b¸n kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC nªn
ta cã thÓ khai th¸c thªm bµi to¸n sau :
Bµi to¸n 2 : Cho ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O vµ H lµ trùc
t©m cña
ABC . CMR b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c :
AHB; BHC ; AHC cã cïng b¸n kÝnh víi ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC .
NhËn xÐt 3 : Tõ c©u a cña bµi to¸n c¬ b¶n ta cã : CD = CE , nÕu gäi O lµ t©m
cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC th× OC lµ ®êng trung trùc cña ED .
DÔ dµnh chøng minh ®îc tø gi¸c ABMN néi tiÕp ®êng
trßn ®êng kÝnh AB .
� BNM
�
� )
( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM
� BAM
� BED
�
MÆt kh¸c : BAD
( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung
F
A
E
N
Q
H
O
C
� )
BD
M
B
� BED
�
� MN // DE .
� BNM
D
Tõ nhËn xÐt nµy ta cã thÓ khai th¸c thªm bµi to¸n sau
Bµi to¸n 3 : Cho ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O. c¸c ®êng cao
AM, BN, CQ c¾t nhau t¹i H vµ lÇn lît c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC t¹i D, E, F (
M �BC ; N �AC ; Q �AB ). Chøng minh r»ng : OC MN.
2
Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
NhËn xÐt 4 : Ta dÔ dµng chøng minh ®îc tø gi¸c AQHN néi tiÕp ®êng trßn ®êng
� QNH
� ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung QH
� )
kÝnh AH � BAD
T¬ng tù chøng minh ®îc tø gi¸c CNHM néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh HC
� MNH
�
� ).
( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung MH
� BCF
� BCF
�
MÆt kh¸c : BHD
( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n hai
cung b»ng nhau )
� MNH
�
� .
� NH lµ tia ph©n gi¸c cña QNM
� QNH
A
N
Q
F
�
Ta l¹i chøng minh ®îc : QH lµ tia ph©n gi¸c NQM
; NM
H
B
�
lµ tia ph©n gi¸c cña QMN
E
O
C
M
D
� H lµ t©m cña ®êng trßn néi tiÕp QNM .
Do ®ã ta cã thÓ khai th¸c thªm bµi to¸n sau.
Bµi to¸n 4 : Cho ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, c¸c ®êng cao
AM, BN, CQ c¾t nhau t¹i H ( M �BC ; N �AC ; Q �AB ) vµ lÇn lît c¾t ®êng trßn ngo¹i
tiÕp ABC t¹i D, E, F . Chøng minh r»ng :
a/ Tø gi¸c : AQHN; CNHM néi tiÕp
b/ H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp QNM .
NhËn xÐt 5 : DÔ thÊy ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AQHN vµ ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tø gi¸c CMHN c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm H vµ N.
. AH, CH lÇn lît lµ c¸c ®êng kÝnh cña hai ®êng trßn trªn.
A
E
NÕu ta gäi I lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña
N
CH. Khi ®ã IK gäi lµ ®o¹n nèi t©m � IK lµ ®êng trung
I
trùc cña HN. Víi nhËn xÐt nµy ta cã bµi to¸n sau :
F Q
O
H
B
M
K
C
D
Bµi to¸n 5 : Cho ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, c¸c ®êng cao
AM, BN, CQ c¾t nhau t¹i H ( M �BC ; N �AC ; Q �AB ) vµ lÇn lît c¾t ®êng trßn ngo¹i
tiÕp ABC t¹i D, E, F . Gäi I lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña HC. Chøng
minh r»ng : IK NH.
3
Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
NhËn xÐt 6 : Tõ bµi to¸n c¬ b¶n , nÕu ta gäi P lµ
A
trung ®iÓm cña BC, T lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua P khi
N
®ã ta cã tø gi¸c BHCT lµ h×nh b×nh hµnh � CT // BN �
Q
CT AC ( v× BN AC ) � �
ACT 900 .
T¬ng tù �
ABT 900 � tø gi¸c ABTC néi tiÕp ®êng
trßn O � T thuéc ®êng trßn t©m O. Víi nhËn xÐt nµy ta
cã thÓ khai th¸c thªm bµi to¸n sau .
H
O
P
B
C
M
T
Bµi to¸n 6 : Cho ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, c¸c ®êng cao
AM, BN, CQ c¾t nhau t¹i H ( M �BC ; N �AC ; Q �AB ). Gäi P lµ trung ®iÓm cña
BC , T lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua P. Chøng minh r»ng tø gi¸c ABTC néi tiÕp ®êng
trßn
NhËn xÐt 7 : NÕu gäi R lµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn néi tiÕp ABC ta ¸p dông
c«ng thøc : a.ha b.hb c.hc (a b c ).r ta cã :
�
AB BC AC .R
CQ
�
AB
�
AB BC AC .R
�
�BN
AC
�
�
AB BC AC .R
�AM
BC
�
�1 1 1 �
Ta dÔ dµng chøng minh ®îc bÊt ®¼ng thøc : a b c � ��9
�a b c �
�1 1 1 �
�a b � �a c � �c b �
ThËt vËy : a b c � � 3 � � � � � �
�a b c �
�b a � �c a � �b c �
�1 1 1 �
¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si ta cã : a b c � ��3 2 2 2
�a b c �
�1 1 1 �
� a b c � ��9 DÊu b»ng xÈy ra � a = b = c
�a b c �
1
1 �
�1
Tõ ®ã ta cã : AM BN CQ AB BC AC �
.R �9 R
�
�AB BC AC �
� AM BN CQ �9 R DÊu "=" xÈy ra � AB = BC = AC � ABC ®Òu. Tõ nhËn
xÐt trªn ta cã thÓ khai th¸c bµi to¸n sau :
Bµi to¸n 7 : Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp ABC , c¸c ®êng cao AM, BN,
CQ cña ABC c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng : NÕu AM BN CQ 9 R th×
ABC ®Òu.
4
Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
Mét sè bµi tËp ra thªm :
Bµi tËp 1 : Cho n÷a ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. Gäi Ax, By lµ c¸c tia vu«ng
gãc víi AB ( Ax, By vµ n÷a n÷a ®êng trßn cïng n»m vÒ mét n÷a mÆt ph¼ng bê AB).
Qua ®iÓm M thuéc n÷a ®êng trßn O ( M �A; M �B ) kÎ tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn, tiÕp
tyÕn nµy c¾t tia Ax, By theo thø tù ë C vµ D. Chøng minh r»ng :
� 900
a/ COD
b/ CD = AC + BD
c/ TÝch AC. BD kh«ng ®æi khi M di chuyÔn trªn n÷a ®êng trßn O.
d/ T×m vÞ trÝ cña M ®Ó tæng diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ACM vµ BMD nhá nhÊt .
e/ Tø gi¸c ACMO néi tiÕp.
f/ KÎ AM c¾t OC t¹i P; BM c¾t OD t¹i Q. Chøng minh PQ = OA
g/ T×m vÞ trÝ cña M ®Ó tæng ®iÖn tÝch cña hai tam gi¸c ACM vµ BMD nhá nhÊt.
h/ KÎ MH AB , MH c¾t BC t¹i H. Chøng minh : MK = KH.
k/ Cho AB = 2R, gäi r lµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn néi tiÕp OCD . Chøng minh r»ng :
1 r 1
p p
3 R 2
C. KÕt qu¶
Trªn ®©y lµ mét vµi suy nghØ cña t«i vÒ híng khai th¸c c¸c bµi to¸n tõ mét bµi to¸n
c¬ b¶n. Nhng khi vµo tropng thùc tÕ ta cã thÓ chän c¸c c¸ch khai th¸c lµm sao cho
nh÷ng em kh¸ giái kh«ng nhµm ch¸n, nh÷ng em yÕu kh«ng bÞ bâ r¬i. Do ®ã khi gîi ý
c©u hái còng ph¶i ®a ra nh÷ng c©u hái dÔ cho nh÷ng em yÕu, nh÷ng c©u hái ®ßi hái sù
t duy cao cho c¸c em kh¸, giái. Sau ®©y lµ kÕt qu¶ ®iÒu tra tõ hai líp 9 mµ t«i trùc tiÕp
gi¶ng d¹y.
Tõ ®Çu n¨m :
Líp
BiÕt vÏ h×nh
BiÕt chøng minh
BiÕt khai th¸c thªm bµi to¸n
9A
5
�17 %
30
1
�3 %
30
0
9C
5
�16 %
31
2
�6,5 %
31
0
Gi÷a kú I :
Líp
BiÕt vÏ h×nh
BiÕt chøng minh
BiÕt khai th¸c thªm bµi to¸n
9A
15
�50 %
30
5
�17 %
30
1
�3 %
30
5
Khai th¸c bµi tËp 95 trang 105 SGK h×nh häc 9 tËp 2
9C
17
�55 %
31
7
�23 %
31
2
�6,5 %
31
Häc kú I :
Líp
BiÕt vÏ h×nh
BiÕt chøng minh
BiÕt khai th¸c thªm bµi to¸n
9A
30
�100 %
30
15
�50 %
30
5
�17 %
30
9C
31
�100 %
31
17
�55 %
31
7
�23 %
31
Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t ®îc t«i thÊy nÕu híng ph©n tÝch, t×m tßi khai th¸c bµi to¸n ®îc thùc hiÖn mét c¸ch thêng xuyªn kh«ng nh÷ng ®èi víi líp 9 mµ ta cã thÓ ¸p dông
®èi víi c¶ líp 7, líp 8 th× chÊt lîng ®¹i trµ ®îc n©ng lªn mét c¸ch râ rÖt, võa ph¸t triÓn
®îc chÊt lîng mòi nhän
D. kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
Trªn mçi bµi to¸n nÕu ngêi häc chÞu khã t×m tßi suy nghÜ ta cã thÓ t×m ®îc nhiÒu
c¸ch gi¶i, ®Ò xuÊt ®îc nhiÒu bµi to¸n thó vÞ vµ thiÕt lËp ®îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bµi
to¸n.
Ph¸t triÓn tõ bµi to¸n c¬ b¶n gióp häc sinh t¨ng n¨ng lc gi¶i to¸n g©y høng thó vµ
tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c trong häc tËp.
Qua viÖc thùc hiÖn ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y “ Ph¸t triÓn bµi to¸n tõ bµi tËp ë s¸ch
gi¸o khoa to¸n 9”. C¸c em học sinh ®· cã sù tiÕn bé râ rÖt, c¸c em ®· nắm ®îc kiÕn
thøc c¬ b¶n tõ nh÷ng bµi to¸n quen thuéc vµ hiÓu s©u h¬n bµi gi¶ng liªn hÖ x©u chuçi
®îc gi÷a c¸c bµi to¸n víi nhau.
Trªn ®©y lµ h×nh thøc rÌn luyÖn kü n¨ng, vËn dông, kh¾c s©u kiÕn thøc vµ ®Æc biÖt
lµ kü n¨ng ph¸t triÓn tõ c¸c “bµi to¸n c¬ b¶n” mµ t«i ®· ¸p dông trong c¸c tiÕt luyÖn
tËp, «n tËp víi ®èi tîng häc sinh trung binh kh¸ ®· cho kÕt qu¶ tèt.
Do tr×nh ®é ngêi viÕt cßn h¹n chÕ, ch¾c r»ng bµi viÕt cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt .
KÝnh mong Héi ®ång khoa häc vµ c¸c b¹n bÌ ®ång nghiÖp gãp ý bæ sung gióp ®ì t«i
hoµn thiÖn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy nh»m mang l¹i kÕt qu¶ cao h¬n trong gi¶ng d¹y.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
6
- Xem thêm -