1 MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
“Hiền tài là nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thì thế nước mạnh mà
hưng thịnh, nguyên khí yếu thì thế nước yếu mà thấp hèn….”. Câu nói bất hủ
của Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung đã cho thấy từ đời xa xưa các thế hệ ông
cha đã rất coi trọng nhân tài và coi những nhân tài là tương lai của đất nước.
Hiện nay, đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, với mục
tiêu đến năm 2020 Việt Nam cơ bản trở thành nước công nghiệp, hội nhập quốc
tế thì vai trò của nhân tài càng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng. Việc phát hiện,
bồi dưỡng nhân tài cho tương lai của đất nước luôn được ngành Giáo dục quan
tâm và thực hiện thông qua các kỳ thi, trong đó có kỳ thi chọn học sinh giỏi. Vì
vậy song song với nâng cao chất lượng đại trà, thì công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong mỗi nhà trường.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn
Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát
triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu
thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học
tốt các môn học khác. Vì vậy môn Toán là một trong những môn luôn được
ngành Giáo dục chọn để tổ chức thi học sinh giỏi các cấp.
Đối với các dạng Toán thi học sinh giỏi cấp THCS thì “giải phương trình
nghiệm nguyên” là một mảng kiến thức lớn, có nội dung phong phú, đa dạng và
hấp dẫn. Khi tiếp xúc với loại toán này học sinh vẫn còn tỏ ra lúng túng, khó
khăn trong việc định hướng tìm cách giải, cách trình bày, bởi vì phương trình
nghiệm nguyên thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán với những
điều kiện đã cho của nó đòi hỏi phải có phương pháp giải thích hợp. Vì vậy, để
giải các bài toán về phương trình nghiệm nguyên thì yêu cầu người giải phải có
kiến thức cơ bản chắc chắn và tư duy linh hoạt, mềm dẻo.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8 và được nhà trường
phân công bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, tôi luôn trăn trở suy nghĩ tìm tòi,
nghiên cứu các chuyên đề nâng cao. Trong đó chuyên đề “Phương trình nghiệm
nguyên” đã được tôi áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đạt kết quả ở các
kỳ thi của những năm trước.
1
Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh
nghiệm để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài "Kinh nghiệm dạy
chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8"
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn giúp các em học sinh giỏi
lớp 8 nắm vững các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, công thức
nghiệm. Các em biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các
dạng bài tập. Từ đó giúp các em giải quyết được các bài thi trong các kì thi học
sinh giỏi, ngoài ra còn khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của
mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc
và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài toán giải phương trình
nghiệm nguyên từ dạng đơn giản đến các bài khó. Tuy nhiên, trong khuôn khổ
của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các phương pháp
giả phương trình nghiệm nguyên trong chương trình đại số 8. Từ đó giúp các em
đội tuyển học sinh giỏi toán 8 có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu về đổi mới
phương pháp dạy học, các loại sách tham khảo, sách chuẩn kiến thức kỹ năng.
- Phương pháp thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên có cùng
chuyên môn.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm
hiểu các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào lớp 10 THPT của
nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên để có được hệ
thống bài tập. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh tôi luôn tự
rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn
nữa công tác giáo dục, và coi đây là một trong những yếu tố đầu tiên, yếu tố
quan trọng góp phần phát triển kinh tế - xã hội. Mục tiêu của giáo dục là: “Nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”.
Bồi dưỡng nhân tài cho đất nước là một trong những nhiệm vụ của
nghành giáo dục, xem trọng “hiền tài là nguyên khí của quốc gia” công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi ở các trường THCS đã và đang được tổ chức thực hiện
trong nhiều năm qua.
“ Phương trình nghiệm nguyên” còn được gọi là phương trình Diophantus
(mang tên nhà toán học cổ đại Hy Lạp vào thế kỉ thức II) là một dạng phương
trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là số nguyên mà ta phải đi tìm
nghiệm nguyên của nó. Nhiều nhà toán học đã mong muốn tìm ra công thức giải
tổng quát, song cũng chỉ nêu được cách giải một số dạng. Cách giải phương
trình nghiệm nguyên rất đa dạng, hấp dẫn và đòi hỏi học sinh khả năng phân
tích, đối chiếu, dự đoán và phương pháp tư duy logic để lựa chon nghiệm thích
hợp. Do vậy các bài toán về phương trình nghiệm nguyên thường thấy trong các
đề thi chọn học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trên toàn quốc.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chất
lượng học sinh đại trà, thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng là một nhiệm
vụ quan trọng của mỗi nhà trường, trong đó kết quả của các kì thi học sinh giỏi
đóng một phần hết sức quan trọng. Muốn nâng cao chất lượng và chiều sâu cho
học sinh giỏi thì giáo viên phải phân loại được các chuyên đề và dạng toán cho
từng chuyên đề đó.
Khi dạy chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên. Để đánh giá được
khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt
tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của
trường như sau:
Bài 1: ( 4đ )
a) Tìm x, y nguyên biết x – y + 2xy = 6
3
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = 3
Bài 2: (2đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
1 + x + x 2 + x3 = 2y
Bài 3: (3đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1
1
1
+
+
= 1 (x,y 0)
y2
xy
x2
Bài 4: (3đ) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình
y2 – 2x2 = 3
Kết quả thu được như sau:
Tổng
số
10
Dưới điểm 5
SL
%
5
50
Điểm 5 - 7
SL
%
4
40
Điểm 7 - 8
SL
%
1
10
Điểm 9 - 10
SL
%
0
0
Từ kết quả trên, tôi nhận thấy rằng đa số các em chưa định hướng được
cách giải phương trình nghiệm nguyên, lời giải thường dài dòng, không chính
xác, đôi khi còn ngộ nhận.
2.3 Các giải pháp:
Từ những thực trạng nêu trên, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến
thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh
dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên. Từ đó các em có được định hướng cách
giải, cách lập luận, cũng như cách trình bày tốt nhất. Năm học 2017 – 2018 tôi
đã áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả. Năm học này tôi tiếp tục lựa
chọn các giải pháp sau để bồi dưỡng chuyên đề nghiệm nguyên cho các em.
Một là: Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán.
Hai là: Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kĩ năng.
Ba là: Tổ chức cho học sinh được trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá.
1) Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán:
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải bài tập, tôi đã phân
loại từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến
thức có liên quan từng loại bài. Đối với chuyên đề giải phương trình nghiệm
nguyên tôi phân ra các dạng toán sau:
- Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên
4
- Dạng 2 : Phương pháp phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số.
- Dạng 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ
- Dạng 4: Phương pháp đánh giá
- Dạng 5: Phương pháp khử ẩn
DẠNG 1: Phương pháp tách phần nguyên:
Khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên thì việc đầu
tiên là giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất
là giải phương trình với hai ẩn x, y đều bậc nhất. Với tôi khi giảng dạy, bao giờ
cũng bắt đầu từ những bài tập đơn giản và tăng dần độ khó. Ta bắt đầu từ một ví
dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 12x – 7y =45
Hướng dẫn giải:
Vì 12x3 và 453 nên 7y3 suy ra y 3, vì (7, 3) =1.
Giả sử y=3k, với k Z, ta có 12x – 7.3k =45 4x – 7k =15
x
Để x Z thì
7k 15 8k 16 k 1
k 1
2k 4
4
4
4
k 1
Z , hay k+1= 4n, với n Z
4
Suy ra k = 4n -1. Từ đó, ta có :
x = 2(4n-1) +4 –n = 2+7n và y = 3(4n-1) = -3+12n.
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên (x, y) xác định bởi công thức
x 2 7n
( n Z )
y 3 12n
Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được
dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này. Các em có được nhận
xét sau.
* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (1) là ax+by=c (*) ( trong đó a, b,
c Z ). Ta có các bước giải sau:
Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)
Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y
Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên.
5
Tiếp đến, vẫn là phương pháp tách phần nguyên ta sẽ xét các phương
trình nghiệm nguyên hai ẩn số, nhưng chỉ có một ẩn bậc nhất, ẩn còn lại là bậc
hai trở lên. Ta tiếp tục với ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
y(x-1) = x2 + 2.
(2)
( Đề thi vào 10 chuyên, ĐH KHTN – ĐHQG HN, năm 2000)
Hướng dẫn giải:
Nhận thấy x= 1 không thỏa mãn phương trình.
x2 2
Với x 1, phương trình (2) y
x 1
y
( x 2 1) 3
3
x 1
x 1
x 1
Để y Z thì x 1 Ư(3). Ta có bảng sau
x-1
-3
-1
1
3
x
-2
0
2
4
y
-2
2
6
6
Cũng tương tự như ví dụ 1, tôi cho các em thấy rằng việc rút ẩn này thông
qua ẩn kia là rất quan trong, sau khi được hướng dẫn tôi thấy các em đã tìm
được cho mình nhận xét sau:
* Nhận xét: Đối với phương trình có một ẩn bậc nhất (ẩn y), ẩn còn lại từ bậc
hai trở lên (ẩn x), ta có thể giải bằng cách rút ẩn y theo ẩn x sau đó thực hiện
a
phép chia đa thức và đưa về dạng y f ( x) g ( x) (trong đó f(x) và g(x) là những
đa thức với hệ số nguyên, a là số nguyên) . Ta tìm x sao cho g(x) là ước của a.
DẠNG 2: Phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số:
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn
toán 8 trong cả nước. Vì vậy khi dạy đến dạng này tôi giúp các em thấy rằng
việc phân tích một vế của phương trình thành nhân tử là vô cùng quan trọng. Tôi
cũng bắt đầu dạng toán với ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên
3xy - 5x - 2y = 3
(3)
Hướng dẫn giải:
6
Ta có (3) x(3 y 5) 2 y 3
3 x(3 y 5) 2.3 y 9
3 x(3 y 5) 2(3 y 5) 9 10
(3x 2)(3 y 5) 19
Suy ra 3x – 2 ; 3y – 5 là ước của 19.
Ta có bảng sau :
3x-2
3y-5
x
y
-19
-1
-1
-19
17
3
4
3
1
3
14
3
1
19
19
1
1
7
8
2
Vậy phương trình (3) có hai nghiệm nguyên là (1;8) và (7; 2).
Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được
dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này. Các em có được nhận
xét sau.
* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (3) là axy+by+cy = d (*) ( trong
đó a, b, c Z ) (**)
Cách giải phương trình (**)
x(ay+b) +cy =d ax(ay+ b) + cay = da
ax(ay+b) + c (ay+ b) = da+cb
(ax+c)(ay+b) = ad+ cb.
Suy ra ax+ c; ay+b là ước của ad+bc
Tiếp đến tôi cho học sinh thực hiện ví dụ sau:
Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên
x2 - 10xy – 11y2 = 13
(4)
Hướng dẫn giải:
Ta có (4) x 2 y 2 10 xy 10 y 2 13
( x y )( x y ) 10 y ( x y ) 13
( x y )( x y 10 y ) 13
( x y )( x 11y ) 13
Suy ra x + y, x – 11y là ước của 13.
7
Ta có bảng sau:
x+y
- 13
-1
x - 11y
-1
-13
X
- 12
-2
Y
-1
1
Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm nguyên là:
1
13
2
-1
13
1
12
1
(-12; -1) ; (-2;1) ; (2;-1) và (12; 1)
Thông qua ví dụ 4 tôi cho các em rút ra được rằng dạng tổng quát của phương
trình (4) là ax2 + (a + b)xy + by2 = c (*) (trong đó a, b, c Z )
Phương trình (*) có thể giải bằng cách:
ax2 + (a+b)xy + by2 = c
ax( x y) by ( x y ) c
Suy ra x + y; ax + by là ước của c……
Tôi lưu ý với các em rằng trong quá trình giải phương trình nghiệm nguyên
ta thường phải sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành
nhân tử để đưa phương trình về dạng f1 .f2….= k trong đó f1; f2…..là những đa
thức với hệ số nguyên, k là số nguyên. Sau đó ta sử dụng tính chất chia hết, ước
số để tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã định hướng, giúp đỡ các em có
được kĩ năng để biến đổi linh hoạt. Và để học sinh hiểu sau hơn tôi tiếp tục với
ví dụ sau:
Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên
3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0
(5)
(Đề thi HSG lớp 8 huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải:
Ta có :
3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0
4 x 2 ( x 2 y 2 2 xy 2 x 2 y 1) 41
(2 x) 2 ( x y 1) 2 41
(2 x x y 1)(2 x x y 1) 41
( y x 1)(3 x y 1) 41
Đă ̣t: a = x – y -1 và b = 3x+y+1. Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng
41. Nhâ ̣n thấy 41 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
8
a
b
- 41
-1
-1
- 41
1
41
41
1
x = (a – b)/4
- 10
10
- 10
10
y = (a + 3b - 4)/4
- 12
- 32
30
10
Vâ ̣y các că ̣p số nguyên (x; y) cần tìm là : (-10; -12) ; (10; -32) ; ( -10; 30) ;
(10;10)
Sau đó, tôi tăng mức độ khó của dạng toán bằng hai ví dụ :
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên
y2 = x2 + x + 1
(6)
(Đề thi chọn GVG , huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải:
Ta có :
y2 = x 2 + x + 1
4 y 2 4 x 2 4 x 4
(2 y ) 2 (2 x 1) 2 3
(2 y 2 x 1)(2 y 2 x 1) 3
Suy ra ( 2y – 2x -1) và ( 2y+ 2x +1) là các ước của 3, có tích bằng 3. Nhâ ̣n thấy
3 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
2y – 2x -1
2y + 2x +1
3
1
1
3
-1
-3
-3
-1
x
-1
0
-1
0
y
1
1
-1
-1
Vâ ̣y các că ̣p số nguyên (x; y) cần tìm là : (-1; 1) ; (0; 1) ; ( -1; -1) ; (0; - 1)
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
y 2 5 y 62 ( y 2) x 2 ( y 2 6 y 8) x.
(Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải
y 2 5 y 62 ( y 2) x 2 ( y 2 6 y 8) x.
y 2 y 3 56 ( y 2) x 2 y 2 y 4 x
y 2 x 2 y 4 x y 3 56
9
y 2 x 2 xy 4 x y 3 56
y 2 x 2 x xy y 3x 3 56
x 1 y 2 x y 3 56.
Nhận thấy x - 1 + y - 2 = x + y – 3 . Do đó cần phân tích 56 thành thành tích của
3 số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại. Như vậy ta có các trường hợp
sau:
) 56 1.7.8 x; y 2;9 .
) 56 7.1.8 x; y 8;3 .
) 56 8 .1. 7 x; y 7;3 .
) 56 1. 8 . 7 x; y 2; 6 .
) 56 8 .7. 1 x; y 7;9 .
) 56 7. 8 . 1 x; y 8; 6 .
Vâ ̣y các că ̣p số nguyên (x; y) cần tìm là : (2; 9) ; (8; 3) ; ( -7; 3) ; (2; - -6); (-7;9);
(8;-6)
Đối với ví dụ 6, tôi cho học sinh nhận ra được, để phân tích vế trái thành
tích của những đa thức có hệ số nguyên, ta phải nhân cả hai vế với một hệ số
thích hợp. Còn ở ví dụ 7, vế trái của phương trình không chỉ biến đổi thành tích
của hai thừa số như các ví dụ trên mà thành ba thừa số, đồng thời phải quan sát
và thấy được sự đặc biệt của các thừa số đó.
DẠNG 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Như đã nói ở trên, giải phương trình nghiệm nguyên là một chuyên đề rất
phong phú, đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và tổng hợp.
Đối với nhiều bài toán ta phải quan sát đến những yếu tố đặc biệt của các ẩn.
Một trong những yếu tố đặc biệt đó là yếu tố chẵn, lẻ. Để học sinh hiểu rõ hơn
về dạng này, tôi đưa ra và phân tích hai ví dụ sau:
Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 – 2y2 = 5.
Hướng dẫn giải
Ta có : x2 – 2y2 = 5 x 2 2 y 2 5
Suy ra x là số lẻ (do 2y2 là số chẵn, 5 là số lẻ )
10
Giả sử x = 2k + 1, k Z thì (2k 1) 2 2 y 2 5 4k 2 4k 2 y 2 4
2k 2 2k y 2 2 suy ra y2 là số chẵn, nên y là số chẵn
Giả sử y=2n, n Z thì 2k 2 2k 4n 2 2 k 2 k 2n 2 1 k (k 1) 2n 2 1
Vì vế trái là số chẵn với mọi số nguyên k, còn vế trái lại là số lẻ với mọi số
nguyên n, nên không có số k, n nào thỏa mãn.
Vậy phương trình (7) không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình
xy+1 = z
Hướng dẫn giải
Vì x, y 0 nên z 22 1 5 do đó z là số nguyên tố lẻ
x y z 1 là số chẵn suy ra x là số chẵn, nên x = 2 (vì x là số nguyên tố).
Khi đó z 2 y 1
Nếu y là số lẻ thì z 2 y 1 3 hay z3 suy là z là hợp số (loại)
Nếu y là số chẵn thì y = 2 và do đó z 22 1 5 (thỏa mãn)
Vậy phương trình (8) có một nghiệm nguyên tố duy nhât là (2 ; 2 ; 5)
DẠNG 4: Phương pháp đánh giá
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1
1
9
1
+
+
+
=1
xy
yz xz
xyz
Hướng dẫn giải
Giả sử 1 x y z x2 xy xz yz xyz
Suy ra 1
1
1
1
9
1
1
1
9
2 2 2 2
xy yz xz xyz x
x
x
x
12
1 2 x 2 12 x 1;2;3
x
Nếu x = 1
1 1 1 9
1
y yz z yz
z + 1 + y + 9 = yz
yz – z – y + 1 = 11
(y- 1) (z - 1) = 11
y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12
11
Nếu x = 2
1
1
1
9
1
2 y yz 2 z 2 yz
(2y - 1) (2z - 1) = 23 y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1
Nếu x = 3 (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm
Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị
Qua ví dụ này tôi nhấn mạnh cho học sinh rằng nếu ta gặp phương trình mà
trong đó các ẩn bình đẳng với nhau. Khi đó ta giả sử rằng các ẩn xảy ra theo một
trật tự tăng dần hoặc giảm dần rồi mới tiến hành cách giải.
DẠNG 5: Phương pháp khử ẩn
Ở một số phương trình, ta sử dụng tính chất lũy thừa cùng bậc của các số
nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp để đưa phương trình nghiệm
nguyên cần giải về dạng phương trình khác ít ẩn hơn và quen thuộc hơn. Từ đó,
dễ dàng tìm được nghiệm nguyên của phương trình đã cho. Khi đó tôi đưa cho
học sinh lưu ý sau:
n
+ Nếu x n y n x a thì y n ( x i ) n ( với i = 1, 2, 3,.....,a-1)
+ Nếu x( x 1) y ( y 1) x a ( x a 1) thì y ( y 1) ( x i )( x i 1)
(với i = 1, 2,...,a-1)
Và để giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp này, tôi đưa ra ví dụ sau:
Ví dụ 11: Giải phương trình nghiệm nguyên 1 x x 2 x 3 y 3
Hướng dẫn giải
2
1 3
Ta nhận thấy 1 x x x 0 với mọi x nên
2 4
2
x3 1 x x 2 x3 y 3
(1)
Ta lại có :
2
11 19
( x 2)3 (1 x x 2 x 3 ) = 5 x 2 11x 7 5 x
0 nên
10 29
x 2
3
1 x x 2 x3 y 3
(2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra
3
x 3 y 3 ( x 2)3 do đó y 3 x 1 tức là:
12
1 x x 2 x3 x 1
3
x x 1 0 suy ra x = 0 hoặc x = -1
Với x = 0 thì y = -1; với x = -1 thì y = 0
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x,y) là: (-1; 0) ; (0; 1).
Tiếp đến tôi cho học sinh thực hiện thêm ví dụ sau:
Ví dụ 12: Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x 2 x 2 2 x3 x 4 y 2
Hướng dẫn giải
Ta có: y 2 x 4 2 x3 2 x2 x 3
Suy ra y 2 x4 2 x3 x 2 x 2 x 3
y 2 ( x 2 x)2 x 2 x 3
Ta chứng minh cho a 2 y 2 (a 2)2 . Với a x 2 x
Thật vậy:
1
11
y 2 a 2 x 2 x 3 ( x )2 0 (1)
2
4
a 2
2
1
2
y 2 ( x 2 x 2)2 (1 x 2 x 2 2 x3 x 4 ) 3 x 2 3 x 1 3( x ) 2
1
0 (2)
4
Kết hợp (1) và (2) suy ra
2
( x 2 x) 2 y 2 ( x 2 x 2) 2 do đó y 2 x 2 x 1 tức là:
x 4 2 x3 2 x 2 x 3 ( x 2 x 1) 2
x 2 x 2 0 suy ra x = 1 hoặc x = -2
Với x = 1 thì y = 3 hoặc y = -3; với x = -2 thì thì y = 3 hoặc y = -3
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x,y) là: (1; 3); (1; -3); (-2 ;3); (-2 ;-3).
2) Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kĩ năng
Sau khi học sinh đã biết các phương pháp giải cho từng dạng toán, tôi
tiếp tục xây dựng một hệ thống bài tập, trước hết là tôi phân các bài tập theo
từng dạng như đã thực hiện ở trên nhằm mục đích rèn kỹ năng giải toán cho các
em.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN 1
Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên:
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
13
a) 5x + 7y = 112
b) 6x – 15 y = 25
c) 2x + 5y = 7
d) x2 – (y+2)x + 3 - y = 0
e) x 3 + 3x = x2 y + 2y +5
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa, năm học 2015-2016)
f) x 2 xy 2012 x 2013 y 2014 0
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Cẩm Thủy, Thanh Hóa, năm học 2013-2014)
g) 3 x 2 3 xy 17 7 x 2 y
( Đề thi HSG lớp 8 thành phố Bắc Giang năm học 2017-2018)
Dạng 2: Phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số:
Bài 1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a) xy – 4 = 2x +3y
b) 5xy +x+2y = 7
c) 2xy 4x y 9 0
( Đề thi HSG lớp 8 thành phố Quảng Ngãi năm học 2012-2013)
d) x x 1 x 7 x 8 y 2
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc năm học 2011-2012)
Bài 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
4( x+ y) = 3xy - 8
Bài 3: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
2
2
a) x 4 xy 5 y 16 0 .
( Đề thi HSG lớp 8 huyện Nho Quan, Ninh Bình, năm học 2014-2015)
b) x 4 y 4 y 2 x 2
( Đề thi HSG lớp 8 trường Trần Mai Ninh, Thanh Hóa năm học 2014-2015)
c) x 2 xy y 2 x 2 y 2
( Đề thi HSG lớp 8 Tam Dương, Vĩnh Phúc năm học ( 2008-2009)
Dạng 3: phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình
y2 – 2x2 = 1
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105
14
Dạng 4: Phương pháp đánh giá
Bài 1 : Tìm x, y, z nguyên của phương trình
xz
xy
yz
+
+ y =3
z
x
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm tự nhiên
1
1
1
+
+ 2 = 1 (x, y 0)
2
y
xy
x
Dạng 5: Phương pháp khử ẩn.
Bài 1: : T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh
y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Bài 2: Tìm các số tự nhiên sao cho x4 + x3 +1 = y2
Bài 3: Tìm phương trình nghiệm nguyên x4 + x2+2 = y2 - y
Để giúp các em có được kỹ năng thành thạo trong việc giải phương trình
nghiệm nguyên, tôi tiếp tục đưa ra các bài tập dưới dạng trộn lẫn các dạng với
nhau. Với mục đích để các em tự phân dạng, tự tìm cho mình phương pháp giải
phù hợp cho từng bài toán, với hình thức giao bài tập về nhà để các em có thêm
những thông tin, những phương pháp giải hay hơn, hấp dẫn.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN 2
Bài 1. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a) 5x – 7y = 3
b)
6x + 15y + 10 z = 3
c) x – y + 2xy = 6
d)
2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0
e) (x –1) (y+1) = (x+ y)2
f)
xy
z
g) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
h)
y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
i) x2 + y2 – x – y = 8
k)
x2 – 4xy + 5y2 = 169
l) x2 + 4x – y2 = 1
n) xy – 2x – 3y+1 = 0
+
yz
x
+
xz
y
=3
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
a) x 2 y 2 z 2 xy 3 y 2 z 4 0
( Đề thi HSG lớp 8 Sơn Dương, Tuyên Quang năm học (2015-2016)
b) x 3 2 x 2 3x 2 y 3
( Đề thi HSG lớp 8 Việt Yên, Bắc Giang năm học (2012-2013)
c) x 2 3 y 2 4 x 19
( Đề thi HSG lớp 8 Ý Yên, Nam Định năm học (2017-2018)
15
2 22
d) 2y x
xy 1 x 2y xy
( Đề thi HSG lớp 9 Tp Thanh Hóa, Thanh Hóa năm học (2016-2017)
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 + 4n + 2013 là số chính phương.
( Đề thi HSG lớp 8 TP Bắc Giang năm học (2012-2013)
3) Tổ chức cho học sinh được trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá.
Sau khi đã có được những kĩ năng cần thiết cho việc giải phương trình
nghiệm nguyên, tôi dành một thời gian nhất định một đến hai buổi học cho học
sinh thảo luận những kiến thức đã được học. Tập hợp những ý kiến thắc mắc,
băn khoăn, vướng mắc để giải đáp bổ sung củng cố lại giúp các em có một
lượng kiến thức vững vàng hơn. Sau đó, tôi yêu cầu mỗi học sinh trong đội
tuyển tự ra cho mình những đề kiểm tra bám sát với những nội dung vừa học
(các em có thể sử dụng các kênh thông tin, thay số, biến đổi...). Các em phải
vừa là những thí sinh, vừa là giám khảo để vừa làm, vừa chấm chữa bài cho
nhau và khai thác các bài toán để phát triển tư duy cũng như phương pháp học
thích hợp nhất.
2.4 . Kết quả đạt được sau thực nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra 10 học
sinh trong đội tuyển môn toán để kiểm nghiệm quá trình nhận thức của học sinh
ở mảng kiến thức này bằng một đề tổng hợp trong thời gian làm bài là 30 phút
như sau:
Bài 1: (6 đ)
a) Tìm x, y nguyên biết 2x – 5y + 2xy = 6
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + xy – 2012x – 2013y -2014 = 0
c) Giải phương trình nghiệm nguyên
xy
z
+
yz
x
+
xz
y
=3
Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a) x2 - 4xy +5y2 – 16 = 0
b) 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
Kết quả thu được như sau
Tổng
số
10
Dưới điểm 5
SL
%
1
10
Điểm 5 - 7
SL
%
2
20
Điểm 7 - 8
SL
%
3
30
Điểm 9 - 10
SL
%
4
40
16
Qua chấm bài tôi nhận thấy được rằng, từ một đơn vị kiến thức không có
trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập
thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi, củng cố được phương pháp giải mỗi
dạng bài tập. Các em thấy được những điều vô cùng thú vị ẩn sau những bài
toán mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung tạo được
hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học sinh.
Từ đó thắp sáng niềm say mê học tập của học sinh.
Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi
nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này
các em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh
nắng vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề,
phải kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức.
Khi củng cố một nội dung kiến thức nào thì tôi luôn tuân thủ theo nguyên tắc từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập tôi đưa ra cho học sinh
luôn bám sát vào các đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh. Kiến thức tôi
truyền thụ đến học sinh luôn có hệ thống, mỗi dạng bài phải chốt được phương
pháp giải.
Để giúp học sinh có được những kĩ năng tư duy sáng tạo, nhạy bén trong
học tập và thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư
phạm, tuy nhiên không có phương pháp nào là vạn năng để đạt được một kết quả
tốt trong các kì thi mà đó là sự tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau.
Với cách làm như trên không những áp dụng cho chuyên đề giải phương
trình nghiệm nguyên mà còn áp dụng cho các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
khác. Với sự kiên trì, bền bỉ áp dụng những kinh nghiệm và tìm ra các biện pháp
tối ưu nhất, phù hợp nhất trong quá trình dạy học giúp học sinh đạt kết quả cao
nhất trong học tập là việc làm thường xuyên của mỗi giáo viên.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được qua quá trình giảng
dạy từ các năm học và muốn chia sẻ với đồng nghiệp. Tuy nhiên, do thời gian có
17
hạn tôi không thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; những hiểu biết và kinh
nghiệm trên chắc chắn không tránh những sai sót, rất mong được sự góp ý chân
thành của các đồng nghiệp để bản thân tôi được học hỏi, tiếp tục trau dồi và
hoàn thiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của mình.
3.2. Kiến nghị.
Hàng năm, phòng Giáo dục Đào tạo, Sở giáo dục và Đào tạo tổ chức các
lớp chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng
dạy một cách hiệu quả và thiết thực để các giáo viên có dịp cùng nhau trao đổi,
học hỏi kinh nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.
Tạo lập các nhóm bộ môn thông qua trường học kết nối, trên Facebook để
giáo viên và học sinh cùng có thể tham gia trong các diễn đàn toán học của
huyện. Từ đó các em có thể được học ở nhiều kênh khác nhau.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 13 tháng 03 năm
2019
Cam kết không copy
18
- Xem thêm -
.DOC 
18 
143 
57 
