Lêi nãi ®Çu
Trong ch¬ng tr×nh m«n häc ë tiÓu häc, m«n to¸n chiÕm sè giê lín nhÊt.
ViÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y vµ häc m«n to¸n lµ mét yªu cÇu bøc xóc hiÖn nay.
§Ó ®¸p øng ®îc yªu cÇu trªn, theo t«i c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o nªn lµm râ
c¬ së khoa häc cña c¸c kiÕn thøc m«n to¸n ë bËc tiÓu häc dùa vµo nh÷ng kiÕn
thøc to¸n häc cao cÊp vµ khoa häc gi¸o dôc tiÕp thu ®îc ë trêng s ph¹m. §Æc
biÖt lµ nh÷ng kinh nghiÖm rót ra tõ qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, tõ ®ã h×nh thµnh cho
m×nh mét c¸ch hÖ thèng, khoa häc ®Ó truyÒn ®¹t kiÕn thøc m«n to¸n phï hîp
víi hoµn c¶nh vµ kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh. Qua ®ã nh»m ph¸t triÓn t duy
l«gÝc, t duy s¸ng t¹o, båi dìng ph¸t triÓn nh÷ng thao t¸c trÝ tuÖ cÇn thiÕt ®Ó
nhËn thøc thÕ giíi hiÖn thùc.
V× vËy muèn thøc hiÖn tèt nhiÖm vô nµy th× ®éi ngò gi¸o viªn, ngêi cã
vai trß chñ ®¹o trùc tiÕp tæ chøc vµ ®iÒu khiÓn qu¸ tr×nh d¹y häc. Chóng ta ph¶i
n¾m ®îc mét c¸ch s©u s¾c, s¸ng t¹o c¶ vÒ lý luËn lÉn kü n¨ng kü x¶o bé m«n.
XuÊt ph¸t tõ ®ã c¸c th©ú gi¸o, c« gi¸o h×nh thµnh cho häc sinh ph¬ng ph¸p
gi¶i nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp, ph¸t hiÖn vµ dù ®o¸n nh÷ng sai lÇn cña häc
sinh khi gi¶i to¸n. C¸ch kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm ®ã. Lµ mét gi¸o viªn ®· qua
thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m ë trêng tiÓu häc, t«i nhËn thÊy m«n to¸n lµ m«n
häc rÊt cÇn thiÕt, ®ãng vai trß chñ ®¹o. NÕu häc sinh häc tèt m«n to¸n th× c¸c
em sÏ cã kh¶ n¨ng häc tèt c¸c m«n häc kh¸c. Ngoµi ra, v× häc sinh tiÓu häc
ngay tõ líp 1 ®· cã nhu cÇu häc to¸n vµ thÝch tù häc to¸n. NÕu gi¸o viªn biÕt
kÝch thÝch ãc tß mß, trÝ s¸ng t¹o cña trß, biÕt g©y høng thó vµ “hÊp dÉn” ®îc trÎ
khi häc to¸n th× hiÖu qu¶ cña giê häc sÏ cao, líp häc cã kh«ng khÝ hµo høng,
trÎ tiÕp thu tèt bµi d¹y mµ kh«ng buån ch¸n.
Tõ thùc tr¹ng ®ã t«i lu«n t×m tßi vµ tr¨n trë suy nghÜ ®Ó t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p míi, s¸ng t¹o h¬n vµ ¸p dông vµo d¹y häc cã hiÖu qu¶. Mét trong
nh÷ng vÊn ®Ò mµ t«i ®· nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y thµnh c«ng qua viÖc hÖ thèng
d¹ng to¸n “tÝnh nhanh ” ë ch¬ng tr×nh tiÓu häc nãi chung vµ líp 4 - 5 nãi
riªng. VËy t«i m¹nh d¹n ®a ra nh÷ng d¹ng to¸n “tÝnh nhanh” vµ nh÷ng nhËn
®Þnh cña m×nh ®Ó mong sù gãp ý cña ®ång nghiÖp.
1
RÊt ch©n thµnh c¶m ¬n !
A- Më ®Çu
2
I- Lý do chän ®Ò tµi.
NhiÖm vô c¬ b¶n hµng ®Çu cña viÖc d¹y vµ häc to¸n ë tiÓu häc lµ lµm
cho häc sinh n¾m ®îc mét c¸ch hÖ thèng kiÕn thøc vµ kü n¨ng to¸n häc c¬
b¶n, hiÖn ®¹i. Trªn c¬ së ®ã ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ, x©y dùng nh÷ng quan
®iÓm t tëng, t×nh c¶m ®óng ®¾n vµ cã th¸i ®é ®óng víi c¸c sù vËt hiÖn tîng
thùc tiÔn. V× nhiÖm vô d¹y häc to¸n lµ mét nhiÖm vô phøc hîp nªn mçi qu¸
tr×nh d¹y, häc to¸n còng lµ mét hÖ thèng rÊt phøc t¹p trong ®ã c¸c yÕu tè cã
t¸c dông qua l¹i víi nhau. Trªn c¬ së ®ã t×m ra con ®êng, c¸c tæ chøc h×nh
thøc, c¸c ph¬ng thøc vµ c¸ch lµm viÖc thÝch hîp, qui ®Þnh c¸c ph¬ng tiÖn cÇn
thiÕt ®Ó qu¸ tr×nh d¹y häc ®¹t môc ®Ých víi hiÖu qu¶ cao.
MÆt kh¸c, ®èi tîng cña to¸n häc thuÇn tuý lµ nh÷ng h×nh d¹ng kh«ng
gian vµ nh÷ng quan hÖ sè lîng cña thÕ giíi hiÖn thùc. Nh÷ng ®èi tîng Êy nhÊt
thiÕt mang tÝnh trõu tîng, kh¸i qu¸t. Lµ khoa häc nghiªn cøu nh÷ng mÆt x¸c
®Þnh cña thÕ giíi hiÖn thùc, to¸n häc cã nguån gèc thùc tiÔn.
ChÝnh v× vËy chóng ta kh«ng nªn hiÓu ®¬n gi¶n lµ to¸n häc ph¸t triÓn do
nh÷ng yªu cÇu riªng cña b¶n th©n to¸n häc mµ to¸n häc cßn ph¸t triÓn tõ
nh÷ng nhu cÇu thùc tiÔn. Tõ ®ã chóng ta, nh÷ng ngêi gi¸o viªn cÇn ®i s©u vµo
nghiªn cøu nh÷ng d¹ng to¸n t×m nhiÒu c¸ch gi¶i vµ vËn dông linh ho¹t nh÷ng
ph¬ng ph¸t Êy nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng, cñng cè kiÕn thøc rÌn luyÖn trÝ th«ng
minh cã s¸ng t¹o cho häc sinh.
Mµ “tÝnh nhanh” lµ mét d¹ng to¸n chiÕm thêi lîng rÊt lín trong ch¬ng
tr×nh to¸n ë tiÓu häc nhÊt lµ víi líp 4 - 5 th× d¹ng to¸n nµy cµng nhiÒu, cµng
phøc t¹p h¬n. NhiÒu häc sinh khi nh¾c ®Õn d¹ng to¸n “tÝnh nhanh” th× rÊt ng¹i
lµm hay lÉn lén gi÷a “tÝnh nhanh” vµ tÝnh “gi¸ trÞ cña biÓu thøc”. ChÝnh v× vËy
t«i muèn ®i s©u vµo nghiªn cøu d¹ng to¸n tÝnh nhanh víi mong íc sÏ hÖ thèng
®îc c¸c kiÓu bµi thuéc d¹ng to¸n nµy cïng c¸ch gi¶i h÷u hiÖu nhÊt. Víi kh¶
n¨ng t duy cña c¸c em cßn thÊp kÐm, tr×nh ®é kiÕn thøc kh«ng ®ång ®Òu nªn
t«i ®· ph©n ra c¸c d¹ng to¸n t¬ng øng víi c¸ch gi¶i dÔ hiÓu dÔ nhí vµ chÝnh
x¸c nhÊt theo qui tr×nh tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p.
Ngoµi ra khi sö dông tèt hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i to¸n tÝnh
nhanh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y th× sÏ ®em l¹i mét sè thµnh c«ng sau:
- Häc sinh biÕt nhËn biÕt bµi to¸n thuéc d¹ng to¸n nµo.
- BiÕt t×m ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó gi¶i to¸n.
3
- Gi¶i to¸n mét c¸ch nhanh nhÊt, chÝnh x¸c nhÊt.
- RÌn thãi quen quan s¸t t×m ra nh÷ng yÕu tè cña bµi to¸n nhÊt lµ yÕu tè
®Æc biÖt cña d¹ng.
- Häc sinh sÏ rÌn luyÖn ®îc nhiÒu mÆt vÒ t duy, trÝ th«ng minh, ãc s¸ng
t¹o vµ kh¶ n¨ng suy nghÜ linh ho¹t.
- N©ng cao tr×nh ®é kiÕn thøc cho häc sinh kh¸ giái.
II- NhiÖm vô cña ®Ò tµi.
Muèn ®¹t kÕt qu¶ cao trong ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n nãi chung vµ viÖc
gi¶i c¸c bµi to¸n “tÝnh nhanh” nãi riªng th× ®Ò tµi cÇn ®¶m b¶o mét sè nhiÖm
vô chñ yÕu sau:
- Cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó gi¶i d¹ng to¸n “tÝnh nhanh”.
- HÖ thèng c¸c bµi to¸n theo d¹ng, ®i tõ bµi dÔ ®Õn bµi khã, tõ d¹ng ®¬n
gi¶n ®Õn phøc t¹p.
- T×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i cã hiÖu qu¶ nhÊt ®èi víi tõng d¹ng to¸n .
- Sau khi tiÕn hµnh thùc nghiÖm th× kh¶o s¸t ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ .
- Rót ra ®iÓm cÇn lu ý cho mét d¹ng to¸n
*§Ó lµm tèt nhiÖm vô nµy th× ®Ò tµi nµy cÇn ®¶m b¶o mét sè yªu cÇu sau
-Gi¸oviªn ph¶i chän ph¬ng ph¸p phï hîp chÝnh x¸c .
-C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¶i tr×nh bµy cã hÖ thèng râ rµng dÔ hiÓu .
-Häc sinh cã nhu cÇu vµ høng thó v¬i bµi gi¶ng cña gi¸o viªn .
-Häc sinh biÕt vËn dông kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó nhËn biÕt dÊu hiÖu ®Æc
biÖt ,®iÓn h×nh cña mçi d¹ng to¸n ®Ó cã ph¬ng ph¸p gi¶i thÝch hîp
-Häc sinh biÕt nhËn ra nh÷ng mèi quan hÖ to¸n häc chñ yÕu trong bµi.
III/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
C¨n cø vµo môc ®Ých, nhiÖm vô vµ yªu cÇu c¬ b¶n cña ®Ò tµi ®· ®Æt ra
cïng néi dung t«i sÏ tr×nh bµy ë ch¬ng sau mét c¸ch cô thÓ. Nªn ®Ò tµi chó
träng mét sè ph¬ng ph¸p sau:
1/ Ph¬ng ph¸p hÖ thèng.
Sö dông ph¬ng ph¸p nµy nh»m nghiªn cøu c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n “tÝnh
nhanh”nh mét chØnh thÓ n»m trong hÖ thèng chung. §Ó häc sinh x¸c ®Þnh bµi
to¸n mét c¸ch nhanh chãng.
2/ Ph¬ng ph¸p quan s¸t ph©n tÝch so s¸nh.
4
Gióp häc sinh nhËn ra c¸c dÊu hiÖu ®Æc biÖt, ®iÎn h×nh trong mét d¹ng
to¸n ®Ó dÔ dµng t×m ra c¸ch gi¶i phï hîp.
3/Ph¬ng ph¸p cô thÓ ho¸, trõu tîng ho¸ .
Häc sinh tõ chç tÝnh nhanh dùa vµo nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phÐp
tÝnh, ®Ó råi cã thÓ gi¶i ®îc bµi to¸n phøc t¹p h¬n.
4/Ph¬ng ph¸p thùc hµnh, luyÖn tËp.
Qua qu¸ tr×nh lµm mét sè bµi to¸n cïng d¹ng th× häc sinh h×nh thµnh kü
n¨ng kü x¶o cho b¶n th©n.
B/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p.
I / C¬ së lý luËn
Cïng víi sù ®æi míi vµ ph¸t triÓn kh«ng ngõng cña ®Êt níc, nghµnh
gi¸o dôc ®ang cã sù thay ®æi vît bËc vÒ c¶ néi dung ch¬ng tr×nh vµ ph¬ng ph¸p
gi¶ng d¹y. C¸ch häc vµ møc ®é häc cã chiÒu s©u,cã hª thèng sÏ lµ nh÷ng ®æi
míi næi bËt cña d¹y häc to¸n ë tiÓu häc. ViÖc thay ®æi c¸ch häc ph¬ng ph¸p
häc tËp chñ ®éng s¸ng t¹o lµ c¬ së rÊt quan träng ®Ó häc s©u hiÓu s©u t¹o ®iÒu
kiÖn ®Ó häc sinh “®µo s©u’’ vµ lµm chñ kiÕn thøc .
Ngoµi ra rÌn t duy s¸ng t¹o to¸n häc cho hoc sinh tiÓu häc lµ viÖc rÊt
cÇn thiÕt trong qu¸ tr×nh d¹y häc. ë løa tuæi nµy t duy cña häc sinh lµ “trùc
quan”vµ “cô thÓ” cho nªn khi d¹y c¸c em gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu vµ cã thÓ
ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh dùa trªn nh÷ng yªu cÇu thÝch hîp cña
tÝnh s¸ng t¹o. H¬n n÷a, khi häc sinh rÌn ®îc ãc s¸ng t¹o kh¶ n¨ng t duy tèt th×
c¸c em cã thÓ ¸p dông mét c¸ch linh ho¹t, cã hiÖu qu¶ vµo ®êi sèng hiÖn thùc
nh»m n©ng cao chÊt lîng cuéc sèng cña m×nh vµ x· héi.
§Ó ®¹t ®îc môc ®Ých nµy ngêi gi¸o viªn ph¶i n¾m ®îc mét c¸ch s©u s¾c,
s¸ng t¹o c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n. Ta cã thÓ ®i tõ c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n
®Õn bµi to¸n phøc t¹p. Mµ d¹ng to¸n “tÝnh nhanh” cã thÓ nãi lµ ®îc d¹y xuyªn
suèt ch¬ng tr×nh to¸n ë tiÓu häc nhÊt lµ víi ch¬ng tr×nh líp 4 vµ líp 5 cã nhiÒu
d¹ng tÝnh nhanh khã mµ häc sinh hay lóng tóng khi gi¶i, dÉn ®Õn khi häc d¹ng
to¸n nµy häc sinh thÊy c¨ng th¼ng.
5
V× vËy t«i chän ®Ò tµi nµy ®Ó ®i s©u vµo nghiªn cøu ®Ó t×m ra c¸ch vËn
dông tèt nhÊt trong gi¶ng d¹y vµ häc tËp gióp häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc,
gi¶i to¸n nhanh, vËn dông linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p. Tõ ®ã g©y høng thó cho
häc sinh khi häc lo¹i to¸n nµy.
II - C¬ së thùc tiÔn.
Qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y ë trêng tiÓu häc vµ d¹y hÇu hÕt c¸c líp trong trêng, cïng víi viÖc båi dìng häc sinh giái líp 4-5. T«i nhËn thÊy r»ng häc sinh
thêng cho c¸c bµi to¸n tÝnh nhanh lµ bµi to¸n khã. NhÊt lµ víi ch¬ng tr×nh líp
4-5 th× d¹ng to¸n tÝnh nhanh l¹i cµng phøc t¹p h¬n. Cã nh÷ng bµi to¸n chØ
dµnh cho häc sinh kh¸, giái. §èi víi d¹ng to¸n nµy, hÇu hÕt c¶m thÊy lóng
tóng, ng¹i lµm vµ lµm cha thùc sù lµ nhanh.
Tõ thùc tr¹ng trªn, t«i muèn hÖ thèng ra c¸c d¹ng to¸n “tÝnh nhanh”®Ó
cã nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i thÝch hîp gióp häc sinh lµm bµi tèt vµ thªm yªu
thÝch lo¹i to¸n nµy còng nh häc m«n to¸n.
III / Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh.
Cïng víi c¸c yÕu tè ®¹i sè kh¸c, c¸c kiÕn thøc vÒ tÝnh nhanh ®îc giíi
thiÖu xen kÏ vµ g¾n bã chÆt chÏ víi c¸c kiÕn thøc sè häc kh¸c.ViÖc gi¶i to¸n
tÝnh nhanh ®ßi hái ta ph¶i vËn dông toµn bé c¸c hiÓu biÕt vÒ sè häc, huy ®éng
tèi ®a søc nhí cñ bé n·o ®Ó t×m ra kÕt qu¶ tÝnh to¸n mét c¸ch nhanh nhÊt. Nh
vËy kh¶ n¨ng tÝnh nhanh lµ kh¶ n¨ng lùa chän vµ thùc hiÖn c¸ch tÝnh tèi u
trong nhiÒu c¸ch tÝnh cã thÓ cã cña mét phÐp tÝnh hoÆc d·y tÝnh. Cô thÓ muèn
tÝnh nhanh ®îc ta cÇc biÕt vËn dông linh ho¹t vµ khÐo lÐo tÝnh chÊt cña phÐp
tÝnh, n¾m v÷ng cÊu t¹o thËp ph©n cña sè vµ nhí ®îc (ë møc thuéc lßng) kÕt
qu¶ nhiÒu phÐp tÝnh ®Æc biÖt. Thêng th× muèn tÝnh nhanh ta ph¶i thùc hiÖn
trong ãc nh÷ng phÐp biÕn ®æi kh¸c nhau ®Ó ®a phÐp tÝnh hoÆc d·y tÝnh vÒ mét
d¹ng míi cho phÐp, tr¸nh c¸c tÝnh to¸n cång kÒnh b»ng bót mµ thùc hiÖn dÔ
dµng b»ng ãc.
V× vËy t«i muèn ph©n ra tõng d¹ng cho häc sinh tiÕp cËn t×m ra c¸h gi¶i
thÝch hîp ®Ó dÇn dÇn h×nh thµnh kÜ n¨ng, kü x¶o thãi quen gi¶i bµi to¸n tÝnh
nhanh, mét c¸ch chÝnh x¸c vµ tho¶i m¸i.
6
XuÊt ph¸t tõ ®Æc ®iÓm, yªu cÇu cña lo¹i to¸n tÝnh nhanh th× tríc tiªn t«i
ph¶i cung cÊp cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, chung nhÊt vÒ lo¹i to¸n
chäc sinh n¾m ch¾c.
1/ Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn nhí.
a/ TÝnh giao ho¸n.
- Tæng (tÝch) kh«ng thay ®æi khi ta ®æi chç c¸c sè h¹ng(thõa sè)
a+b=b+a
vµ
axb=bxa
Chó ý:
- Bµi to¸n chØ cã céng trõ hay chØ cã nh©n, chia ta thay ®æi vÞ trÝ tuú ý,
nhí kÌm theo dÊu cña chóng.
- Bµi to¸n cã phÐp céng, trõ lÉn lén víi nh©n, chia. Muèn giao ho¸n ph¶i
ph©n côm ®Ó ®a vÒ bµi to¸n chØ cã c«ng, trõ hay chØ cã nhËn, chia gi÷a c¸c
côm. Khi giao ho¸n ph¶i giao ho¸n c¶ côm.
b/ TÝnh kÕt hîp:
Trong phÐp tÝnh chØ cã céng, trõ hoÆc chØ cã nh©n, chia ta ®Æt dÊu ngoÆc
®Ó nhãm c¸c sè h¹ng, thõa sè mét c¸ch tuú ý nhng chó ý nÕu tríc dÊu ngoÆc lµ
dÊu trõ hoÆc dÊu chia th× ph¶i ®æi dÊu c¸c sè h¹ng, thõa sè trong ngoÆc:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a + b) - c = a + (b - c) = (a - c) - b
a - (b + c) = a - b - c
(a x b) x c = a x (b x c)
( a x b) : c = a x (b : c) = (a : c) x b
a : (b x c) = a : b : c
c/ TÝnh ph©n phèi:
ChØ dïng cho phÐp nh©n hay phÐp chia.
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b - c) = a x b - a x c
(a + b) : c = a : c + b : c
(a - b) : c = a : c - b : c
d/ C¸c tÝnh chÊt kh¸c:
7
* PhÐp tÝnh víi sè kh«ng (0)
- PhÐp nh©n :
axo=oxa=o
- PhÐp chia:
o:a=o
- PhÐp céng; a + o = o + a = a
- PhÐp trõ;
a-o=a
* PhÐp nh©n, chia víi 1.
- PhÐp nh©n:
ax1=1xa=a
- PhÐp chia:
a : 1 = a; a : a = 1
- Mét sè trõ cho mét hiÖu:
a - (b - c) = a - b + c
- Mét sè chia cho mét th¬ng:
a : (b : c) = a : b x c
2- C¸c d¹ng to¸n tÝnh nhanh thêng gÆp.
Sau khi gi¸o viªn ®a ra nh÷ng lý thuyÕt c¬ b¶n cÇn cho viÖc gi¶i lo¹i
to¸n nµy th× tiÕn hµnh ph©n d¹ng. Bªn c¹nh nh÷ng kiÕn thøc chung ®ã th× mçi
d¹ng l¹i cã c¸i riªng cña nã vµ t«i sÏ tr×nh bÇy thªm khi ®i vµo nh÷ng d¹ng cô
thÓ.
D¹ng 1
TÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp:
§©y lµ d¹ng to¸n ®¬n gi¶n, häc sinh chñ yÕu ¸p dông kiÕn thøc c¬ b¶n
®· häc trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa. Nhng cÇn chó ý trêng hîp giao ho¸n
c¶ côm phÐp tÝnh vµ dÊu phÐp tÝnh kh«ng ®îc ®æi.
VÝ dô:
a/ 50 x 38 : 5 : 19
b/ 25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
Híng dÉn gi¶i:
a/ 50 x 38 : 5 : 19 = (50 : 5) x (38 : 19)
= 10 x
2
= 20
8
b/ Ph¶i ph©n côm theo nguyªn t¾c nhãm nh÷ng sè vµ nh÷ng ngoÆc ®¬n
nh©n chia víi nhau:
25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
= (25 x 4) + (25 : 5) - 4 x (30 - 5) - 5
= (25 x 4) - 4 x (30 - 5) + (25 : 5) - 5
= (25 x 4) - 25 x 4 + 5 - 5
=
0
+ 0
= 0
* TiÓu kÕt
Víi d¹ng to¸n nµy gi¸o viªn cÇn híng dÉn cho häc sinh quan s¸t t×m
nh÷ng sè nµo ®Ó giao ho¸n, kÕt hîp víi nhau t¹o ra mét phÐp tÝnh cã thÓ nhÈm
®îc trong ãc mµ kh«ng phait ®Æt tÝnh b»ng bót. Chó ý c¸ch ph©n côm sao cho
chÝnh x¸c.
+ Sau khi híng dÉn häc sinh gi¸o viªn ®a thªm mét sè bµi to¸n tiªu biÓu
cho häc sinh thùc hµnh thuéc d¹ng to¸n nµy.
D¹ng 2:
TÝnh ph©n phèi (®Æt thõa sè chung)
TÝnh chÊt nµy chØ cã trong phÐp nh©n, chia kh«ng cã víi phÐp céng, trõ.
Ph¬ng ph¸p gi¶i d¹ng to¸n nµy nh sau:
* Lo¹i 1:
- Quan s¸t trong c¸c tÝch, c¸c th¬ng xem cã thõa sè nµo chung hoÆc dùa
vµo dÊu hiÖu bµi to¸n t×m thõa sè chung.
- §a thõa sè chung ra ngoµi cßn l¹i c¸c sè vµ phÐp tÝnh ®i kÌm ®a vµo
trong ngoÆc.
- Thùc hiÖn phÐp tÝch trong ngoÆc tríc råi lµm phÐp tÝnh víi thõa sè
chung ®Ó råi t×m ra kÕt qu¶.
VÝ dô:
27 x 38 + 62 x 27 - 27 x 90
= 27 x (38 + 62 - 90)
= 27 x 10
= 270
9
* Lo¹i 2:
LÊy lÇn lît tõng sè h¹ng trong tæng hoÆc hiÖu nh©n hay chia víi thõa sè
chung. Sau ®ã céng hoÆc trõ c¸c kÕt qu¶ ®ã víi nhau t×m ra kÕt qu¶ cña phÐp
tÝnh.
VÝ dô:
(99 + 66) : 33 = 99 : 33 + 66 : 33
=3+2
=5
* TiÕp theo ®ã gi¸o viªn ®a mét sè bµi to¸n ph¬ng ph¸p ë d¹ng nµy nhng ë
møc n©ng cao h¬n cho häc sinh luyÖn tËp.
+ Mét sè chó ý:
- PhÐp tÝnh cã tÝnh khuyÕt thõa sè 1 th× khi ®a thõa sè chung ra ngoµi
ph¶i chó ý thõa sè 1 cßn l¹i trong ngoÆc.
- Quan s¸t kü ®Ó kh«ng nhÇm lÉn gi÷a c¸c tÝnh chÊt.
D¹ng 3:
DÊu hiÖu chia hÕt
* Tríc hÕt cho häc sinh nh¾c l¹i néi dung c¬ b¶n cña dÊu hiÖu chia hÕt ®èi víi
nh÷ng sè thêng gÆp nh: DÊu hiÖu chia hÕt cho 2, 5, 3, 9, 4, 8.
* Ph¬ng ph¸t gi¶i lo¹i to¸n nµy.
- Quan s¸t xem tÝch cña tö vµ tÝch cña mÉu cã cÆp sè nµo cïng chi hÕt
cho mét sè th× ta rót gän.
- Rót gän mét lÇn cha hÕt ta rót gän cho lÇn 2.
- Sau khi rót gän xong th× tÝnh tÝch nh÷ng thõa sè cßn l¹i cña tö vµ mÉu
®Ó t×m ra kÕt qu¶:
VÝ dô:
1x2x3x4
5x6x7x8
=
1x1x1x1
5x2x7x1
=
1
70
* Gi¸o viªn ®a thªm bµi tËp d¹ng nµy cho häc sinh lµm ®Ó rÌn luyÖn kü
n¨ng kü x¶o cña häc sinh.
10
D¹ng 4:
Thªm (bít) ®¬n vÞ hay gi¶m (gÊp) sè lÇm.
Gi¸o viªn cÇn cung cÊp cho häc sinh mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n sau:
- Trong mét tæng nÕu ta thªm vµo sè h¹ng nµy bao nhiªu ®¬n vÞ vµ bít ë
sè h¹ng kia bÊy nhiªu ®¬n vÞ th× tæng kh«ng thay ®æi:
a + b = (a - m) + (b + m)
- Khi cïng thªm hoÆc cïng bít mét sè ®¬n vÞ nh nhau ë c¶ sè trõ vµ sè
bÞ trõ th× hiÖu sè kh«ng thay ®æi:
a - b = (a - m) - (b - m)
- Trong phÐp chia nÕu ta cïng t¨ng hoÆc cïng gi¶m sè bÞ chia vµ sè chia
cïng mét sè lÇn th× th¬ng kh«ng thay ®æi:
a : b = (a : m) : (b : m)
VÝ dô:
1, 25 x 16,84
= (1,25 x 4) x (16,84 : 4)
= 5 x 4,21
= 21,05
D¹ng 5:
CÆp sè ®Æc biÖt:
* Gi¸o viªn nªu cho häc sinh mét sè cÆp sè ®Æc biÖt yªu cÇu häc sinh häc gÇn
nh häc thuéc lßng.
- VËn dông nh©n nhÈm víi 10, 100, 1000..., 0,1; 0,01. . . §Ó t×m cÆp sè
®Æc biÖt kh¸c.
- Cung cÊp cho häc sinh mét sè tÝnh chÊt nh©n nhÈm sau ®Ó häc sinh t×m
ra cÆp sè ®Æc biÖt:
a x 0,5 = a : 2
a x 2,5 = a x 10 : 4
a : 0,25 = a x 4
* §èi víi d¹ng to¸n nµy cã thÓ ph©n ra hai lo¹i vµ cã ph¬ng ph¸p gi¶i nh sau:
+ Lo¹i 1:
CÆp sè ®Æc biÕt cã kÕt qu¶ lµ 1, 10 , 100 . . .
- Quan s¸t t×m ra nh÷ng sè cïng phÐp tÝnh ®Ó cã thÓ t¹o thµnh cÆp ®Æc
biÖt th× nhãm l¹i víi nhau.
11
- T×m kÕt qu¶ cña cÆp ®Æc biÖt tríc råi míi tÝnh kÕt qu¶ cña biÓu thøc.
VÝ dô: 2 x 3 x 4 x 8 x 50 x 25 x 125
= (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) x 3
= 100 x 100 x 1000 x 3
= 30 000 000
+ Lo¹i 2:
Ch÷ sè ®îc lÆp l¹i.
VÝ dô:
ababab;
abcabcabc
§èi víi lo¹i nµy ta tiÕn hµnh nh sau:
- T×m ra ch÷ sè hoÆc cÆp ch÷ sè (tö vµ mÉu) ®îc lËp l¹i.
- LÊy sè ®ã chia cho cÆp ch÷ sè hoÆc ch÷ sè lÆp l¹i ®Ó t×m th¬ng.
- Ph©n tÝch sè thµnh tÝch cña ch÷ sè hay cÆp ch÷ sè lÆp l¹i vµ th¬ng võa
t×m ®îc.
- VËn dông tÝnh chÊt phÐp tÝnh t×m kÕt qu¶ biÓu thøc:
VÝ dô: 252525 x 4
= 25 x 10101 x 4
= 25 x 4 x 10101
= 100 x 10101
= 1010100
- Sau khi gi¶i mét sè bµi tËp gi¸o viªn rót ra cho häc sinh mÑo ph©n tÝch
sè thµnh tÝch cho lo¹i to¸n nµy nh sau:
. Quan s¸t t×m cÆp ch÷ sè hay ch÷ sè ®îc lÆp l¹i
. §Õm xem cã bao nhiªu ch÷ sè ho¹c cÆp ch÷ sè lÆp l¹i th× cã thÓ ph©n
tÝch sè ®ã thµnh tÝch cña ch÷ sè hoÆc cÆp ch÷ sè lÆp l¹i víi bÊy nhiªu cÆp 01;
001 ; 0001. . .
D¹ng 6:
Qui luËt dÉy sè ®Æc biÖt
+ Tríc hÕt gi¸o viªn híng dÉn c¸ch t×m qui luËt
+ Gi¸o viªn nªu mét sè qui luËt thêng gÆp nh :
- Sè h¹ng bÊt kú b»ng sè h¹ng liÒn tríc nã nh©n víi a
- Sè h¹ng bÊt kú b»ng sè h¹ng liÒn tríc nã céng víi a
- Sè h¹ng bÊt kú b»ng sè thø tù cña nã nh©n víi sè thø tù ®ã
- Sè h¹ng bÊt kú kÓ tõ sè h¹ng thø 3 b»ng tæng hai sè h¹ng tríc nã
12
+ Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh ph¬ng ph¸p tÝnh tæng.
Sè lín nhÊt - sè nhá nhÊt
Sè sè h¹ng =
+
Kho¶ng c¸ch a
1
Sè sè h¹ng
2
Sau ®ã gi¸o viªn ®a ra mét sè vÞ dô ®Ó häc sinh thùc hµnh c¸ch gi¶i.
Tæng
= (Sè lín nhÊt + Sè nhá nhÊt)
x
D¹ng 7:
Thµnh phÇn hay kÕt qu¶ cña biÓu thøc b»ng 0. Víi d¹ng nµy gi¸o viªn
cßn híng dÉn häc sinh nh sau:
- Quan s¸t biÓu thøc t×m ra nh÷ng phÐp tÝnh, nhãm phÐp tÝnh cã ®iÓm
®Æc biÖt (b»ng 0)
- Thùc hiÖn phÐp tÝnh, nhãm phÐp tÝnh ®ã tríc råi t×m kÕt qu¶ cña biÓu
thøc.
VÝ dô: 754 x 75 - 25 - 2262 + 4568
= 754 x 75 - 25 x 3 x 754 +4568
= 754 x 75 - 75 x 754 + 4568
=
0
+ 4568
=
0
Sau khi gi¸o viªn híng dÉn gi¶i mét sè bµi to¸n tiªu biÓu th× gi¸o viªn
cho häc sinh gi¶i thªm mét sè bµi tËp thuéc d¹ng ®Ó häc sinh luyÖn tËp.
D¹ng 8:
Thµnh phÇn hay kÕt qu¶ cña biÓu thøc b»ng 1.
- Tríc hÕt híng dÉn häc sinh quan s¸t t×n ra hoÆc lµm xuÊt hiÖn nh÷ng
sè hay phÐp tÝnh gièng nhau:
- ¸p dông tÝnh chÊt a : a = 1 ®Ó t×m ra kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh hay biÓu
thøc.
VÝ dô 1:
(357 x 45 + 74 x 357 ) : 119
= 357 x (45 + 74) : 119
= 357 x 119 : 119
= 257 x 1
13
= 357
VÝ dô 2:
1995
1996
x
x
199319931993
199519951995
1995 x 1996 x 10001 x 1993 x 100010001
1996 x 1993 x1 0001 x 1995 x 100010001
=
=
19961996
19931993
1
D¹ng 9:
CÊu t¹o sè.
§Ó gi¶i ®îc d¹ng to¸n tÝnh nhanh nµy gi¸o viªn cÇn cung cÊp cho häc
sinh 1 sè kiÕn thøc vÒ cÊu t¹o sè nh sau:
abc = a x 100 + b x 10 + c
= ab x 10 + c
= a 00 + b0 + c = ab0 + c
VÝ dô 1:
1057 - 57 = 1000 + 57 - 57
= 1000 + 0
= 1000
VÝ dô 2:
1125 x 44 = (1000 + 100 + 25) x (40 + 4)
= (1000 + 100 + 25) x 40 + (1000 + 100 + 25) x 4
= 1000 x 40 + 100 x 40 + 25 x 40 + 1000 x 4 + 100 x 4 + 25 x 4
= 40.000 + 4000 + 1000 + 4000 + 400 + 100
= 49500
* Lu ý: Tuú tõng bµi to¸n mµ ph©n tÝch sè theo c¸ch nµo cho phï hîp vµ
thuËn tiÖn.
D¹ng 10:
HiÖu / tÝch.
14
Gi¸o viªn cho häc sinh biÕt HiÖu / tÝch lµ d¹ng ph©n sè cã tö sè lµ hiÖu 2
sè vµ mÉu sè lµ tÝch 2 sè.
D¹ng nµy ta cã thÓ híng dÉn häc sinh gi¶i theo 2 lo¹i nh sau:
* Lo¹i 1: Ph©m sè cã d¹ng HiÖu/tÝch .
- Híng dÉn häc sinh ph¸t hiÖn t×m ra c¸c ph©n sè cã d¹ng hiÖu/tÝch.
- Ph©n tÝch c¸c sè cã d¹ng HiÖu/tÝch thµnh hiÖu 2 ph©n sè cã tö sè lµ 1
vµ mÉu sè lÇn lît lµ 2 thõa sè cña tÝch.
- ¸p dông tÝch chÊt phÐp tÝnh ®Ó t×m ®îc kÕt qu¶ cuèi cïng lµ ph©n sè
®Çu trõ ph©n sè cuèi cña biÓu thøc.
VÝ dô: TÝnh nhanh.
1
1
x
1
1
+
2
2
Ta thÊy:
1
3
x
1
3
+
1
4
x
1
1
1
2
X
x
1
3
=
1
5
1
6
=
X
1
6
VËy biÓu thøc ®· cho cã thÓ viÕt lµ:
1
1
1
1
1
=
+
+
1
2
2
3
3
= 1
+ 0
+
0
3
6
1
1
5
-
1
4
+ 0
+
15
1
5
+
-
1
3
1
5
+
1
5
x
1
6
1
5
-
1
6
1
2
1
2
2
3
-
=
x
=
=
T¬ng tù:
1
2
. . . . .
.. .....
1
4
+
1
2
=
-
1
6
+
1
4
0
-
1
6
= 1
1
6
-
6
6
=
1
6
-
=
5
6
Lo¹i 2: Tæng c¸c ph©n sè cã d¹ng hiÖu/tÝch
VÝ dô:
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
2
4
8
16
32
64
128
Ta cã:
1
1
1
1
1
= 1 ;
+
= 1 2
2
2
4
4
1
1
1
+
+
=
2
4
8
1
2
1
4
+
+
1
8
+
3
1
7
+
=
= 1
4
8
8
1
16
7
8
=
+
1
16
1
8
-
= 1
-
1
16
T¬ng tù:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
= 1
-
1
128
=
127
128
* Sau khi gi¸o viªn híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i trªn th× khuyÕn khÝch
häc sinh t×m c¸ch gi¶i nhanh kh¸c vµ cho häc sinh lµm mét sè bµi luyÖn tËp.
D¹ng 11:
D¹ng tæng hîp:
* Sau khi häc sinh n¾m ch¾c c¸c d¹ng to¸n cô thÓ th× gi¸o viªn ®a ra
d¹ng to¸n tæng hîp tøc lµ kÕt hîp vµi d¹ng to¸n trong mét bµi to¸n ®Ó häc sinh
thùc hµnh.
Víi d¹ng to¸n nµy häc sinh ph¶i quan s¸t biÓu thøc t×m ra phÐp tÝnh hay
nhãm phÐp tÝnh nµy thuéc d¹ng nµo th× ¸p dông ph¬ng ph¸p gi¶i cho thÝch hîp
.
16
VÝ dô:
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101 - 50 - 51)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
=
=
=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101- 101)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x (102 - 101 - 1)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x 0
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
= 0
* Sau khi häc sinh ®îc häc tÊt c¶ c¸c d¹ng to¸n th× gi¸o viªn cho c¸c em
luyÖn tËp ®Ó rÌn thµnh kü n¨ng, kü x¶o, biÕt vËn dông linh ho¹t c¸c bµi to¸n
víi c¸ch gi¶i thÝch hîp.
VÝ dô : Nh nh÷ng bµi to¸n tÝnh nhanh gi¸o viªn cã thÓ lÊy ë c¸c lo¹i
s¸ch sau:
- To¸n n©ng cao líp 4 - 5.
- To¸n båi dìng líp 4 -5.
- To¸n ph¸t triÓn líp 4 -5.
IV- KÕt qu¶ thu ®îc.
Sau khi d¹y thùc nghiÖm c¸c d¹ng to¸n tÝnh nhanh. T«i cñng cè l¹i
nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt. Mçi d¹ng ®Ò cã c¸ch gi¶i t¬ng øng, häc sinh ph¶i
biÕt vËn dông mét c¸ch linh ho¹t sao cho bµi to¸n cã c¸ch gi¶i hay nhÊt, chÝnh
x¸c nhÊt.
§Ó kiÓm tra chÊt lîng, kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh vµ ®¸nh gi¸ sù
thµnh c«ng cña ®Ò tµi t«i tiÕn hµnh kh¶o s¸t häc sinh b»ng mét sè d¹ng to¸n
tiªu biÓu sau.
17
§Ò bµi :
* Líp 4: TÝnh nhanh.
1- 7313 - 234 - 66
2- (0 x 1 x 2 x 3 x . . . x 100) : ( 2 + 4 + 6 + . . . + 98)
3126 x 14 x 12 x 148 x 333 x 15
2 x 21 x 9 x 37 x 8 x 18 x 6
* Líp 5: TÝnh nhanh.
1- 1996 + 3992 + 5988 + 7984.
2- 1011 + 1112 + 1213 + 1314 + . . . + 9899 + 9910
3- (45 x 46 + 47 x 48) x (51 x 52 - 48 x 49) x (45 + 128 - 90 x 64)
* KÕt qu¶ thu ®îc qua bµi lµm cña häc sinh líp 4 nh sau:
- SÜ sè :
30
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm giái:
06 ®¹t 18 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸:
09 ®¹t 27 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm trung b×nh:
12 ®¹t 46 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm yÕu :
03 ®¹t 9%.
* KÕt qu¶ thu ®îc qua bµi lµm cña häc sinh líp 5 nh sau:
- SÜ sè :
37
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm giái:
12 ®¹t 32 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸:
13 ®¹t 35 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm trung b×nh:
08 ®¹t 22 %
- Sè häc sinh ®¹t ®iÓm yÕu :
04 ®¹t 11%.
Qua viÖc kh¶o s¸t víi kÕt qu¶ trªn cho thÊy hiÖu qu¶ cña c«ng viÖc m×nh
®· lµm. T«i thÊy vui vµ phÊn khëi v× häc sinh ®· cã nh÷ng chuyÓn biÕn râ rÖt.
PhÇn lín c¸c em n¾m bµi rÊt ch¾c. Cã lîng kiÕn thøc ®¸ng kÓ. §iÒu quan träng
h¬n lµ c¸c em tá ra yªu thÝch lo¹i to¸n tÝnh nhanh, ham muèn t×m hiÓu nh÷ng
c¸ch gi¶i hay, ®éc ®¸o.
ChÝnh v× vËy t«i mét lÇn n÷a kh¶ng ®Þnh tÇm quan träng cña viÖc hÖ
thèng c¸c d¹ng to¸n “tÝnh nhanh” cïng víi ph¬ng ph¸p gi¶i. Bªn c¹nh ®ã vÉn
18
cßn mét sè Ýt häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n lo¹i nµy cha thËt chÝnh x¸c ®ã lµ v× kh¶
n¨ng nhËn thøc cña häc sinh nµy rÊt chËm vµ t duy kÐm.
C- KÕt luËn:
D¹y häc lµ tr¸ch nhiÖm, nghÜa vô cña mäi ngêi gi¸o viªn¸ong d¹y häc
trë thµnh niÒm vui, niÒm ®am mª cña mäi ngêi thÇy cã t©m huyÕt víi nghÒ. V×
vËy chóng ta ph¶i lu©n t×m tßi ph¸t hiÖn nh÷ng ph¬ng ph¸p míi tÝch cùc cã
tÝnh ®iÓm h×nh ®Ó gi¶ng d¹y nh»m trang bÞ cho mäi ®èi tîng häc sinh nhiÒu
ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i to¸n vµ vËn dông vµo gi¶i bµi tËp cã hiÖu qu¶ th× ngêi thÇy
sÏ thµnh c«ng trong sù nghiÖp cña m×nh.
§Ó häc sinh líp 4 vµ líp 5 nãi riªng vµ häc sinh tiÓu häc nãi chung yªu
thÝch vµ gi¶i ®óng d¹ng to¸n “tÝnh nhanh” chóng ta cÇn tæng hîp ®îc c¸c d¹ng
to¸n ®Ó gi¶ng d¹y cã hÖ thèng, chÝnh x¸c cao. §ång thêi häc sinh ph¶i n¾m
ch¾c kiÕn thøc vÒ tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝch céng, trõ, nh©n, chia vµ kiÕn thøc
vÒ cÊu t¹o sè, dÊu hiÖu chia hÕt. §Ó tõ ®ã biÕt ph©n tÝch tæng hîp rót ra c¸ch
gi¶i nhanh nhÊt, hiÖu qu¶ nhÊt. Khi c¸c em yªu thÝch lo¹i to¸n “tÝnh nhanh”
nµy th× c¸c em sÏ chñ ®éng s¸ng t¹o, tiÕp nhÆt nhiÒu chi thøc cña thÇy b»ng
c¸ch ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p ®· häc vµo gi¶i c¸c bµi tËp. Sau mçi bµi gi¶i ph¶i
biÕt biÕn kiÕn thøc cña thÇy thµnh kiÕn thøc cña m×nh råi reng luyÖn thµnh kü
n¨ng, kü s¶o.
Trªn ®©y lµ mét s¸ng kiÕn nhá cña c¸ nh©n t«i vÒ d¹ng to¸n “tÝnh
nhanh” trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 4 vµ to¸n líp 5. MÆc dï rÊt cè g¾ng ®Çu t
nghiªn cøu xong kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. VËy t«i rÊt mong sù tham gia gãp
ý cña c¸c cÊp l·nh ®¹o, c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi nµy ®îc hoµn thiÖn h¬n.
D- KiÕn nghÞ.
- §èi víi gi¸o viªn ph¶i thêng xuyªn båi dìng nghiÖp vô vÒ ch¬ng tr×nh
vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc, ®Æc biÖt vÒ c¸c d¹ng to¸n.
19
- Quan t©m nhiÒu h¬n n÷a tíi häc sinh cã n¨ng khiªó.
- Thêng xuyªn n©ng cao kiÕn thøc c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa.
- §èi víi häc sinh cÇn ph¶i cã ®Çy ®ñ ®å dïng häc tËp, ph¶i tù gi¸c chó
ý nghe gi¶ng, ®am mª häc to¸n vµ ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o, t×m tßi.
Hå Tïng MËu, Ngµy 10 th¸ng 3 n¨m 2005
Ngêi viÕt s¸ng kiÕn
Ph¹m ThÞ Giang
NhËn xÐt cña héi ®ång khoa häc nhµ trêng
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
20
- Xem thêm -