Tài liệu Kiến thức trọng tâm môn toán ôn thi vào 10 theo chuyên đề

ÔN THI VÀO 10 THEO CHUYÊN ĐỀ - MÔN TOÁN KIẾN THỨC Hocmai.vn TRỌNG TÂM MÔN TOÁN 9 ÔN THI VÀO 10 THEO CHỦ ĐỀ CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 1) Nhắc lại kiến thức - Dạng này có thể là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chỉ chứa các con số. Ví dụ. Rút gọn biểu thức 3 2 2  3 2 2 . - Hay là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chứa các tham số như a,b,c,x, y,z,... Ví dụ. Rút gọn biểu thức x 2 y  xy 2 . xy - Để giải những bài toán trên chúng ra cần nắm rõ các công thức biến đổi đặc biệt trong căn thức (liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, khử mẫu trục căn thức, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, quy đồng, tìm mẫu số chung,…) và 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ. Ngoài ra còn rất nhiều hằng đẳng thức mở rộng mà thường được áp dụng vào bài tập như  a  b    a  b   4ab 2 2  a  b    a  b   4ab 2  a  b  c   a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac 3  a  b  c   a 3  b3  c3  3  a  b  b  c  c  a  3 a 3  b3   a  b   3ab  a  b  3 a 3  b3   a  b   3ab  a  b  a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  a 2b n 3  ab n  2  b n 1   n  a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  a 2b n 3  ab n  2  b n 1   n  2 2 * *  ,n  2k  1 2) Một số dạng toán cơ bản * Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ chứa các con số - Vận dụng các phép biến đổi cơ bản, các hằng đẳng thức đã được học để giải quyết vấn đề. Chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ bài toán cơ bản đưa về hằng đẳng thức sau Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 11  2 10 . Phân tích. Những dạng khi có dấu căn như thế này thì ta sẽ cố gắng đưa các con số trong căn thành bình phương của một tổng thức là sẽ có dạng  a  b  hay a 2  b 2  2ab. Tới đây đồng nhất hệ số cần 2 Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 1 - tìm a,b sao cho a 2  b 2  11,ab   10 . Bằng cách nhẩm: dễ thấy có một bộ số thỏa mãn a  10 ;b  1, từ đó ta sẽ có 11  2 10    10  1 2  10  1 . Tới đây ta cần để ý kiến thức quen thuộc nhưng vô cùng quan trọng sau đây  A, A  0 A   A, A  0 Khi đó dễ thấy 10  1  1  10  1  10  1. Ví dụ 2. (Dạng toán sử dụng kỹ thuật trục căn thức ở mẫu để khử căn) Rút gọn B    2 2 2 5  39 7  10 Phân tích. Đầu tiên, quan sát trong căn thức ta thấy có chưa phân số có mẫu là căn thức, vì vậy ta nghĩ ngay tới việc sẽ thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân một lượng liên hợp để mẫu xuất hiện hiệu hai bình phương  a  b  a  b   a 2  b2 . Phần còn lại chúng ta sẽ thực hiện phép nhân với các số trong ngoặc và mong rằng sẽ rút gọn được với phần vừa liên hợp. Coi 7 là a và 10 là b. Vậy nên ta sẽ tiến hành nhân cả tử và mẫu với 7  10. Lời giải. B   2 2 2 5  B  4  10  B  4 39 7  10  39 7  10  7  10  7  39  7  10  10   10  39 B  4  10  7  10  11  2 10  10  1. *Dạng 2: Tìm điều kiện xác định khi rút gọn các biểu thức chứa tham số Dạng này có một số kiến thức khi tìm điều kiện xác định: Muốn căn bậc hai số học a (trong đề bài nếu không nói gì thêm thì tự hiểu là căn bậc hai số học) tồn tại thì a  0. Muốn phân số tồn tại thì mẫu số phải khác 0,… Xem các ví dụ sau đây Ví dụ. Tìm điều kiện xác định của P  1 1  x2  4 . Phân tích. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 2 - Để ý có xuất hiện căn thức nên đầu tiên ta sẽ cho căn thức  0, tiếp theo đó thấy có mẫu số nên ta sẽ tìm điều kiện cho mẫu số khác 0. Lời giải. ĐKXĐ  x  2    x  2 2  x  4  0  x 2  4  x  2   2  2  x  5 .  2  x  4  1  x  4  1  x  5  x   5   Lưu ý. Tìm điều kiện xác định là một bước vô cùng quan trọng trong giải các bài tập liên quan tới rút gọn biểu thức có chứa tham số, nhiều vấn đề khác như giải phương trình, hệ phương trình,… và là một bước khá dễ để có điểm trong các kì thi, vậy nên chúng ta phải hết sức kĩ lưỡng và cẩn trọng trong phần này. *Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa tham số và một số vấn đề liên quan (ĐKXĐ; tính giá trị biểu thức tại x  ...; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên; giải phương trình…) Hướng làm. Bước 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Bước 2. Rút gọn biểu thức. Bước 3. Thực hiện các yêu cầu của đề bài (Một số vấn đề liên quan ở trên) Bước 4. Kết luận (Những giá trị của tham số đó có thỏa mãn ĐKXĐ không ?) Xét các ví dụ sau đây Ví dụ 1. Cho biểu thức P  8 x  x  31 x  5 3 x 1   . x  8 x  15 x 3 5 x a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P  1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Hướng dẫn giải a) Đầu tiên như đã nói ở trên, những dạng này bước đầu tiên là phải tìm điều kiện xác định của biểu thức. x  0   x 3  0 5  x  0   x  8 x  15    x 3   x 5  0 Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 3 - Dễ dàng giải điều kiện trên ta sẽ được điều kiện xác định là x  0 ,x  9 ,x  25. Việc tiếp theo là rút gọn biểu thức (chúng ta sẽ thực hiện quy đồng biểu thức và rút gọn chủ yếu là đặt dấu phù hợp để có được mẫu số chung phù hợp). Từ đó ta sẽ rút gọn được biểu thức thành P x 1 . x 5 b) Sai lầm thường gặp P x 1 1 x 5  x 1  x  5  5  1. Điều này vô lý, do đó không tồn tại x thỏa mãn điều kiện. Nhận xét. Theo đề bài cần tìm x sao cho P  x 1  1. Tới đây nhiều bạn sẽ nhanh tay nhân x 5 x  5 vào 2 vế và rút gọn chuyển vế. Nhưng liệu thực sự đã đúng chưa? Câu trả lời hoàn toàn chưa đúng, vì x  5 chưa chắc dương. Nếu x  5 thì khi nhân hai vế, chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều. Do đó chúng ta phải chuyển 1 qua và quy đồng lên. Sửa lại cho đúng P   x 1 1 x 5 x 1 1  0 x 5 6 0 x 5  x  5  0  x  25. Tới đây nhiều bạn không mắc sai lầm trên nhưng lại mắc sai lầm là kết luận ngay x  25 sẽ thỏa mãn điều kiện. Cần phải kết hợp với ĐKXĐ mới có kết luận được các giá trị x thỏa mãn. Do đó 0  x  25 . điều kiện của x thỏa mãn đề bài là  x  9 c) Phân tích. Đầu tiên, những dạng toán này mình sẽ đưa về dạng phân số trong đó tử số sẽ là một 1 ,... Sau đó muốn biểu thức số nguyên và mẫu số là một biểu thức có tham số. Ví dụ: 2x 1 nguyên thì mẫu phải là ước của tử số, từ đó có thể tìm ra x thích hợp. Lời giải. Từ ý tưởng trên ta sẽ tạch ra thành: P  1  phải nguyên. Từ đó 6 . Muốn P nguyên thì rõ ràng x 5 6 x 5 x  5 Ư(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}. Tới đây bạn sẽ tìm ra x nào thỏa không. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 4 - Nhận xét chung. Qua bài toán này chúng ta nhận thấy việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng, nhắc chúng ta lại một chút kiến thức về bất phương trình (nhận 2 vế với số âm thì bất đẳng thức đổi chiều) và cách tìm x nguyên để biểu thức nguyên. Chúng ta sẽ chuyển qua ví dụ tiếp theo  a b a  b   a  b  2 ab  Ví dụ 2. Cho biểu thức B     1  ab a  ab  : 1  1  ab  .   a) Rút gọn và tìm giá trị của B khi a  2 . 2 3 b) Tìm max của P. Hướng dẫn giải. a) Như ví dụ trên, đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định, bước đầu sẽ là a,b  0 ,ab  1, còn điều a  b  2ab  0 để đó nói sau (vì nếu phá ra sẽ rất phức tạp). Đến một bước nào kiện để phần 1  1  ab 1  ab . Lúc này ta sẽ mở ngoặc ghi “ĐK đó, ta sẽ tính được biểu thức này, chẳng hạn B  .....  a  1 b  1 bổ sung:…”. + Tiếp theo đó là phần rút gọn, phần này thì các bạn sẽ vận dụng các kiến thức ở trên để rút gọn 2 và kết quả thu được sẽ là B  . Nếu để a thế này, thay vào B thì khá cồng kềnh, vì vậy 2 3 mình sẽ rút gọn a bằng cách liên hợp lên a    2 2 3 2   4  2 3. 2 3 2 3 2 3    Tới đây xuất hiện 4  2 3, đây là một kết quả khá là quen thuộc và ta có thể đưa về dạng bình phương a   3 1 2  3  1. Từ đây thay vào, dễ dàng tính được giá trị của biểu thức. b) Phân tích. Để ý thấy nếu lấy tử số chia cho mẫu số thì sẽ xuất hiện dạng a 1  thì áp dụng 2 a bất đẳng thức Cauchy thì hoàn toàn tìm được max của P. Vậy chúng ra nghĩ ngay tới sẽ chia cả tử và mẫu cho chia cả tử và mẫu cho a hoặc là đánh giá 1 . Ta sẽ chọn 1 cách là B a. Ví dụ 3. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP.Hà Nội năm học 2016 - 2017) Cho A  7 và B  x 8 x 2 x  24  . x9 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 5 - b) Rút gọn B. c) Cho P  A.B . Tìm x để P nguyên. Hướng dẫn giải: a) Tìm ĐKXĐ sau đó thay x  25 vào để tính. b) Quy đồng phân tích nhân tử rút gọn ta sẽ được B  c) Dễ dàng tính được P  x 8 . x 3 7 . x 3 Sai lầm thường gặp: Để P nguyên thì x  3 phải là Ư(7)={1;7} (do Thay vào tìm được x thỏa mãn là x  16. Kết quả x  16 thỏa mãn, nhưng liệu đã đủ nghiệm. Vì có thể là số hữu tỷ. x  3  0 nên loại giá trị âm). x  3 không nhất thiết phải là số nguyên, Phân tích: Vậy làm sao tìm x để P nguyên? Có thể nghĩa tới ý tưởng là giới hạn P trong một khoảng nào đó, xong, do P nguyên nên ta sẽ có một vài trường hợp. Ứng với mỗi trường hợp ta sẽ tìm được x. Do vậy ta cần tìm min, max của P. Lời giải đúng. Đầu tiên dễ nhận ngay ra rằng P  7  0. Ta đã có min giờ ta sẽ tìm max. Ta có x 3 x 0  x 3 3 7 7  . x 3 3  Do đó 0  P  7  P  1; P  2  P  3 . Tới đây ta sẽ thay P  1; P  2 vào tìm x, xem có thỏa ĐKXĐ không. Nếu không thỏa chúng ta sẽ loại. Kết quả thu được x  16 ,x  1 thỏa mãn điều kiện. 4 1 làm cho P nguyên. Điều mình muốn 4 nhấn mạnh ở đây chính là dạng toán tìm x để P nguyên khác với tìm x nguyên để P nguyên. Nếu không cẩn thận chúng ta sẽ mất điểm ở những bài rút gọn tưởng chừng cơ bản như vậy. Nhận xét chung. Ở đây ta nhận thêm một nghiệm x  Đó chính là 3 VD mà mình muốn đề cập tới một số dạng khi rút gọn biểu thức. Và trong quá trình luyện đề chúng ta sẽ có thể gặp thêm nhiều dạng hơn, và dần sẽ quen với dạng này. 3) Bài tập tự luyện Bài 1. (Đề thi học sinh giỏi huyện Đắc R’Lấp 2016 - 2017) Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 6 -  1 x  x Cho P    : .   x x  1  x  x  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x   7 3  10  2 21 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Bài 2. (Sưu tầm) Cho A  x2  x x2  x  . x  x 1 x  x 1 Rút gọn B  1  A  x  1 với 0  x  1. Bài 3. (Đề thi Chu Văn An + Ams 2003 - 2004) x2  x 2 x  x 2  x  1   . Cho P  x  x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c) Tìm x để biểu thức Q  2 x nhận giá trị nguyên. P CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1) Nhắc lại kiến thức * Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2  bx  c  0 1 trong đó x là ẩn; a,b,c là các số cho trước gọi là hệ số và a  0. * Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Ta ký hiệu   b2  4ac, gọi là biệt thức của phương trình. + Nếu   0, ta nói phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  b   b   ; x2  . 2a 2a + Nếu   0, ta nói phương trình có nghiệm kép x1  x2   b . 2a + Nếu   0, ta nói phương trình vô nghiệm. * Hệ thức Vi-ét. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình 1 , khi đó Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 7 - b   x1  x2   a .  c x x   1 2 a * Để tìm hai số u và v khi biết tổng và tích của chúng, chẳng hạn u  v  S và uv  P, ta giải phương trình x 2  Sx  P  0. Khi đó u và v là hai nghiệm của phương trình trên. *Các TH đặc biệt của phương trình bậc 2. + Nếu a  b  c  0 thì phương trình 1 có hai nghiệm x1  1; x2  c . a c +Nếu a  b  c  0 thì phương trình 1 có hai nghiệm x1  1; x2   . a 2) Một số dạng toán cơ bản *Dạng 1. Giải phương trình với giá trị tham số m nào đó. Hướng làm. Bước 1. Thay m vào phương trình đã cho. Bước 2. Giải phương trình vừa thu được bằng công thức nghiệm hoặc bằng các Th đặc biệt. *Dạng 2. Tìm m để phương trình có một nghiệm x có giá trị nào đó (và tìm nghiệm còn lại) Hướng làm. Bước 1. Thay nghiệm x để cho vào phương trình. Bước 2. Giải phương trình vừa thu được, tìm được m. Bước 3 (nếu có). Làm tương tự dạng 1 để tìm ra nghiệm còn lại. *Dạng 3. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm, dương) - Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, ta tính  của phương trình, chứng minh   0. Đối với phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì ta sẽ chứng minh   0. Vậy chứng minh bằng cách nào? Ta sẽ vận dụng các hằng đẳng thức bậc 2 để biến đổi  thành một bình phương cộng với một số nào đó và áp dụng tính chất bình phương của một số luôn không âm. - Để chứng minh hai nghiệm của phương trình có hai nghiệm khác dấu/ cùng dấu âm, dương/,…, ta chỉ cần có kiến thức vững về mối liên hệ về dấu của hai số với tổng và tích của chúng (ví dụ, hai số khác dâu thì tích của chúng â,; hai số cùng dấu thì tích của chúng dương, nếu chúng cùng âm thì tổng của chúng sẽ âm, còn nếu cùng dương thì tổng của chúng luôn dương,…). Cụ thể như sau + Khác dấu. Ta sẽ chứng minh Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 8 - P  x1 x2  c  0. a + Cùng dấu dương. Ta sẽ chứng minh b   S  x1  x2   a  0 .  P  x x  c  0 1 2  a + Cùng dấu âm. Ta sẽ chứng minh b   S  x1  x2   a  0 .  P  x x  c  0 1 2  a *Dạng 4. Tìm m để phương trình có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/ cùng dấu âm, dương) Tương tự với Dạng 3, chỉ khác ở chỗ ta phải tìm m thỏa mãn   0; S  0; P  0;... chứ không phải chứng minh nó luôn đúng. *Dạng 5. Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số Ở dạng này, các bạn cần có kỹ năng rút m ra từ hệ thức Vi – ét. Cụ thể: - Từ biểu thức liên hệ S  x1  x2   - Từ biểu thức liên hệ P  x1 x2  b (ẩn m ), ta sẽ biểu diễn được m theo S. a c (ẩn m ), ta sẽ biểu diễn được m theo P . a Từ 2 điều trên, ta sẽ có được biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số m. *Dạng 6. Tìm m để một biểu thức nào đó bằng một giá trị nào đó đạt GTNN, GTLN… Đối với dạng này, các bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức và các phép biến đổi để biểu diễn biểu thức đề cho bằng  x1  x2  và x1 x2 , sau đó dùng định lý Vi – ét để thay vào và biểu diễn biểu thức theo m. Việc còn lại là cho biểu thức bằng một giá trị nào đó. Hoặc tìm GTLN/GTNN của biểu thức. Học sinh có thể gặp hai dạng bài này + Biểu thức đối xứng giữa hai biến. Trường hợp này dễ dàng đưa biểu thức về  x1  x2  và  x1 x2  rồi dùng định lý Vi –ét như trên. + Biểu thức không đối xứng giữa hai biến. Trong trường hợp này, các bạn có ba phương pháp Một là dùng phương pháp hạ bậc (thay x1 ,x2 vào phương trình ban đầu, tính x12 theo x1 , tính x 22 theo x2 rồi hạ bậc từ từ…) để đưa biểu thức về hẳn bậc 1, sau đó kết hợp với định lý Vi – ét để biến đổi, làm theo yêu cầu đề bài. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 9 - Hai là đưa biểu thức về dạng đối xứng (thế hệ thức trong định lý Vi – ét vào trong biểu thức đề cho, đưa về cùng bậc rồi thao tác bình thường…). Ba là đưa biểu thức về một biến x1 hoặc x2 (bằng hệ thức Vi – ét, giải ra x1 hoặc x2 , thay vào phương trình ban đầu tìm m ). *Dạng 7. Lập phương trình bậc 2 nhận y1 (tính theo x1 ) và y 2 (tính theo x2 ) là nghiệm. Hướng làm. Ta chỉ cần tính y1  y2 và y1 y2 theo tham số m, chẳng hạn y1  y2  S và y1 y2  P thì theo định lý Vi-ét, y1 và y 2 là hai nghiệm của phương trình y 2  Sy  P  0. 3) Làm quen với các dạng thông qua một số bài tập trong đề thi Bài 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Cho phương trình x 2  2 1  m  x  3  m  0 . a) Giải phương trình với m  0. b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016) Cho phương trình x 2  2 x  m  3  0 (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  3 và tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức x12  x22  x1 x2  4  0. Bài 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Đà nẵng 2015 - 2016) Cho phương trình x2  2  m  1 x  2m  0 (với m là tham số). a) Giải phương trình khi m  1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho x12  x1  x2  5  2m. Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Khánh Hòa 2013 - 2014) Cho phương trình bậc hai x 2  5 x  3  0 có hai nghiệm x1 ,x2 . Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm  x12  1 và  x22  1 . Bài 5. Cho phương trình x 2   k  3 x  2k  1  0 có các nghiệm x1 ,x2 . Tìm một hệ thức giữa x1 ,x2 độc lập với k. CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I) Nhắc lại kiến thức 1) Hàm số y  ax. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 10 - - Hàm số y  ax  a  0  xác định với mọi số thực x. - Đồ thị hàm số y  ax là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. - Trên tập hợp số thực, hàm số y  ax đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0. 2) Hàm số y  ax  b. *Định nghĩa - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y  ax  b, trong đó a,b là các số thực xác định và a  0. *Tính chất a) Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc . b) Hàm số đồng biến nếu a  0, nghịch biến nếu a  0. c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. b - Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng  . a d) Hệ số góc: Hệ số a chính là hệ số góc của đường thẳng y  ax  b  a  0  . e) Cho hàm số y  ax  b  a  0  có đồ thị là đường thẳng d , hàm số y'  a' x  b'  a'  0  có đồ thị là đường thẳng d' . Khi đó +) d / / d'  a  a' và b  b' . +) d trùng d'  a  a' và b  b' . +) d cắt d'  a  a' . +) d  d'  a.a'  1. 3) Hàm số y  ax 2  a  0  . - Hàm số xác định với mọi giá trị x  . * Tính chất biến thiên: - Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến khi x  0, đồng biến khi x  0. - Nếu a  0 thì hàm số đồng biến khi x  0, nghịch biến khi x  0. * Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm - Đỉnh O  0; 0  . - Trục đối xứng là trục tung Oy. - Nếu a  0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, nhận gốc tọa độ làm điểm thấp nhất. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 11 - - Nếu a  0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nhận gốc tọa độ làm điểm cao nhất. * Quan hệ giữa parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n  m  0  : - Hoành độ giao điểm của parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n  m  0  là nghiệm của phương trình ax 2  mx  n tức là ax 2  mx  n  0 1 . - Đường thẳng sẽ cắt parabol tại hai điểm phân biệt nếu phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Hay là   0. - Đường thẳng không giao nhau với parabol nếu phương trình 1 vô nghiệm hay   0. - Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu 1 có nghiệm kép hay   0. - Đường thẳng sẽ tiếp xúc với parabol nếu 1 có nghiệm kép hay   0. II) Một số dạng toán cơ bản * Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số - Kiến thức trong sách giáo khoa. * Dạng 2: Cho một hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;b  . Tính giá trị của f  k  với giá trị của k cho trước. Cách giải: Ta chỉ việc thay k  x vào sau đó tìm giá trị của f  k  . Ví dụ. Cho hàm số f  x   3x  1,g  x   2 x 2  1. Tính giá trị của f 1 ,g  2  . * Dạng 3: Xác định tính biến thiên của hàm số Vận dụng phần lý thuyết ở trên, ta sẽ làm được dạng bài tập này Lưu ý: Khi có tham số tham gia  a  thì điều kiện phải là a  0. Ví dụ. Xác định m để các hàm số sau đồng biến, nghịch biến: a) y   2m  3 x  5. b) y   m2  3m  2  x  9. c) y   2  m  x 2 . * Dạng 4: Xác định các hệ số của hàm số khi đi qua một điểm A  x0 , y0  , song song với một đường thẳng - Đối với hàm số bậc hai y  ax 2 . Ta chỉ việc thay x  x0 ; y  y0 (với x0 , y0 là những số cho trước) thì khi đó a  y0 . x02 - Đối với hàm số bậc nhất thì có rất nhiều dạng ví dụ có thể cho trước hệ số góc và đi qua một điểm có tọa độ với tung độ, hoành độ là những số cho trước thì từ y  ax  b ta dễ dàng tìm được b. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 12 - - Để hiểu rõ hơn các dạng thì chúng ra sẽ đi vào các ví dụ sau Ví dụ. a) Hãy xác định hệ số a của hàm số y  ax 2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 1; 2  . b) Xác định hàm số y  ax  b biết rằng hàm số có hệ số góc là 2 và đi qua điểm M  3; 5 . c) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A,B có tọa độ là A  2; 0  ; B  0;1 . d) Xác định hàm số y  ax  b để đồ thị của nó song song với đường thẳng y  3 x  1 và đi qua điểm M  4; 5 . e) Cho hai đường thẳng y   m 2  3  x  2m  3 y   7m  9  x  m  d1   d2  Tìm giá trị của m để d1 / / d 2 . Dạng 5. Chứng minh rằng một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số. Muốn làm dạng này ra sẽ biểu diễn phương trình của hàm số đã cho về một phương trình mà với mọi m chỉ nhận cặp  x0 ; y0  làm nghiệm. Ví dụ. Cho đường thẳng y  mx  m  1 1 ( m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Dạng 6. Quan hệ giữa parabol y  ax 2  a  0  và đường thẳng y  mx  n. Như lý thuyết đã nêu ở trên. Dạng 7. Cũng liên quan tới quan hệ parabol và đường thẳng những nâng cao hơn một chút với ứng dụng của định lý Vi – ét trong các bài toán tìm tham số để giải phương trình, diện tích tam giác,… - Đầu tiên ta sẽ nhắc lại kiến thức về định lý Vi – ét để áp dụng cho dạng toán này: + Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm x1 ,x2 (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng S của chúng sẽ là  c b , tích P của chúng bằng . a a + Hay có thể phát biểu lại thành ax 2  bx  c  0  a  0     0 b c  x1  x2   ,x1 .x2  a a Hướng giải. Áp dụng định lý Vi-ét ta sẽ biểu diễn các hoành độ hay tung độ về tham số bằng các hằng đẳng thức quen thuộc hoặc là các kỹ thuật hạ bậc đã được nêu ở chuyên đề sử dụng định lý Vi – ét: Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 13 - x12  x22   x1  x2   2 x1 .x2 2 2 x13  x23   x1  x2   x12  x1 .x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1 x2  .   III) Bài tập tự luyện Bài 1. Bài tập tự luyện a) Xác định hệ số a để đường thẳng y  ax  6 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Cho đường thẳng  d1  : y  mx  1;  d 2  : y   3m  4  x  3. Tìm giá trị m để hai đường thẳng trên song song với nhau; cắt nhau; vuông góc với nhau. c) Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m. Bài 2. Quan hệ giữa đường thẳng và parabol Câu 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Hồ Chí Minh 2015 - 2016) a) Vẽ đồ thị của hàm số y  ax 2 và đường thẳng  D  : y  x  2 trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ các giao điểm của  P  và  D  ở câu trên bằng phép tính. Câu 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, tỉnh) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  2  m  1 x  5  2m ( m là tham số). a) Vẽ parabol  P  . b) Biết đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng  d  và parabol  P  là x1 ,x2 . Tìm m để x12  x22  6. Câu 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh An Giang 2015 -2016) Cho hàm số y  x 2 có đồ thị là parabol  P  . a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm nằm trên parabol  P  có hoành độ x  2 và có hệ số góc k. Với giá trị k nào thì  d  tiếp xúc với  P  . Câu 4. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình 2015 - 2016) 1 2 x và hai điểm A,B thuộc  P  có hoành độ lần lượt là 1, 2. Đường thẳng 2  d  có phương trình là y  mx  n. Cho parabol  P  : y  a) Tìm tọa độ hai điểm A,B. Tìm m,n biết  d  đi qua 2 điểm A và B. b) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB (điểm O là gốc tọa độ). Câu 5. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Phú Thọ 2015 - 2016) Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 14 - Cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  có phương trình y  2  m  1 x  3x  2. a) Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  với m  3. b) Chứng minh  P  và  d  luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m. c) Gọi x1 ,x2 là hoành độ giao điểm A,B. Tìm m để x12  x22  20. CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ I) Kiến thức cần nhớ * Phương pháp giải Bước 1. Lập phương trình hoặc hệ phương trình Chọn ẩn số, đặt điều kiện của ẩn số. Biểu diễn các đại lượng đề bài theo ẩn số. Lập phương trình hoặc hệ phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng của đề bài. Bước 2. Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Vận dụng các phương pháp đã được học để giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3. Kết luận Kiểm tra xem tập nghiệm có thỏa mãn điều kiện hay không? Nếu thỏa mãn thì nhận, không thì loại giái trị tiến tới kết luận. * Một số lưu ý về đặt điều kiện, đặt ẩn: - Thông thường đề hỏi vấn đề gì liên quan tới đại lượng đó thì ta sẽ đặt ẩn điều kiện đó.Ví dụ hỏi số gà thì sẽ đặt số gà là x (con). - Điều kiện của ẩn tùy theo trường hợp + x mà biểu diễn số có một chữ số thì điều kiện là 0  x  9. + x mà biểu diễn số sản phẩm, tuổi, số lượng, vận tốc thì điều kiện thường là x  0. + Ngoài ra còn một số điều kiện khác mà chúng ra sẽ đề cập tới trong tuần sau. II) Một số dạng bài tập cơ bản Một số dạng cơ bản thường gặp 1) Toán về quan hệ giữa các con số. 2) Toán phần trăm. 3) Toán chuyển động. 4) Toán về sự thay đổi các thừa số tích. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 15 - 5) Toán có nội dung hình học. 6) Toán có nội dung lý hóa. 7) Toán về làm chung, làm riêng. 8) Toán thực tế: Tính tiền điện nước, ngân hàng,… 9) Toán cổ. 10) Toán với nghiệm nguyên dương. Dạng 1. Toán về quan hệ giữa các con số Ví dụ. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó là 1. Hướng dẫn. Phân tích. Đề yêu cầu tìm số tự nhiên có hai chữ số và cho dữ kiện liên quan giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị nên ta sẽ đặt ẩn cho chữ số hàng đơn vị hoặc hàng chục từ đó có thể biểu diễn thành phần còn lại theo ẩn. Lời giải. Gọi chữ số hàng đơn vị là x ( 0  x  9, x là số nguyên dương), khi đó chữ số hàng đơn vị sẽ là x  1. Khi đó số đó sẽ có dạng  x  2 x. Theo bài ra ta có:  x  2  x  x 2   x  1  1  10  x  2   x  x 2  x 2  2 x  1  1 2  2 x 2  7 x  15  0. Tới đây có thể đưa về phương trình tích hoặc dùng nghiệm của phương trình bậc hai để giải ra nghiệm. 3 x1   ; x2  5. 2 So với điều kiện thì giá trị  3 sẽ bị loại. Giá trị 5 thỏa nên nhận. 2 Vậy số đó là 75. Dạng 2. Toán phần trăm. Ví dụ. Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây 2 năm là 75000 dụng cụ/năm, hiện na y là 90750 dụng cụ/năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm ? Hướng dẫn. Từ câu hỏi đề bài ta sẽ gọi mức tăng của xí nghiệm năm sau so với năm trước là x (%) ( x  0 ). Theo đề bài ta sẽ có phương trình Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 16 - 75000  75000 x  75000 x  x   75000   90750  100 100  100   x 2  200 x  2100  0. Phương trình này ta sẽ tìm được nghiệm nguyên dương là x  10. Kết luận: Mỗi năm xí nghiệp tăng năng suất 10 %. Dạng 3. Toán chuyển động Ví dụ. Một cano đi xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược 1 giờ và vận tốc xuôi dòng lơn hơn vận tốc ngược dòng là 6km / h. Tính vận tốc của cano lúc ngược dòng. Hướng dẫn. Gọi vận tốc của cano lúc ngược dòng là x  km / h  x  0  . Khi đó vận tốc cano lúc xuôi dòng là x  6  km / h  . s dễ dàng tính được thời gian đi xuôi dòng và thời gian ngược kết hợp v với giả thuyết đề bài ta có phương trình sau Từ công thức s  v.t  t  45 18  1 x6 x  x1  12,x2  9. Tới đây ta có 2 kết quả thỏa mãn đề bài. Dạng 4. Bài toán về sự thay đổi các thừa số tích. Ví dụ. Một phòng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người kê thêm 3 dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm 2 chỗ ngồi. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp? Hướng dẫn. Gọi số dãy ghế lúc đầu của phòng hợp là x (dãy)  x  . Chú ý. Số chỗ ngồi mỗi dãy = số chỗ ngồi/số dãy (*). Theo đề bài mỗi dãy xếp theo 2 chỗ nếu phải thêm 3 dãy ghế để xếp 616 chỗ ngồi. Do đó ta có phương trình 616 500  2 x3 x Giải phương trình ta sẽ thu được x1  25; x2  30. Lưu ý rằng *  và số chỗ ngồi mỗi dãy phải là số tự nhiên nên giá trị x1  30 sẽ loại do 500  . 30 Từ đó ta sẽ nhận giá trị x  25. Kết luận: Số dãy ghế lúc đầu là 25 dãy. Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 17 - Dạng 5. Toán có nội dung hình học Ví dụ. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4m và diện tích tam giác bằng 48cm 2 . Hướng dẫn. Gọi một cạnh góc vuông là x  m   x  0  . Biểu diễn cạnh góc vuông còn lại áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông sẽ tìm ra x. Dạng 6. Toán có nội dung Lý Hóa Ví dụ. Vào thế kỷ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi – ra – cut giao cho Ac –si – met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 niu – tơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 niu – tơn. Biết rằng 1 1 khi cần trong nước vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chưa bao 10 20 nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc? Lời giải. Gọi trọng lượng của vàng và bạc trong mũ thứ tự là x  N  và y  N  ( x, y  0 ). Do chiếc mũ có trọng lượng là 5N nên ta có x  y  5 1 . 1 1 trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Và nhúng vào 10 20 trong nước thì trọng lượng giảm 0,3  N  . Do đó Mặt khác khi cần trong nước, vàng giảm x y   0 ,3  2  . 20 10 Giải hệ phương trình bao gồm 1 , 2  ta sẽ thu được x  4, y  1. Do đó mũ sẽ chứa 400(g) vàng, 100 (g) bạc. *Lưu ý: Tùy bài toán mà ta sẽ biết cách lập phương trình hay hệ phương trình để giải. Tuy nhiên đó là đối với trường hợp đề không nói gì. Đối với những bài toán đề bài yêu cầu phải giải bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập phương trình để giải, không được lập hệ phương trình và ngược lại. Dạng 7. Dạng toán làm chung làm riêng Ví dụ. Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong 6 ngày. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu? Hướng dẫn giải Gọi thời gian để đội I hoàn thành công việc là x ngày ( x  0 ). Gọi thời gian để đội II hoàn thành công việc là y ngày ( y  0 ). Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 18 - Tính được số phần công việc làm trong mỗi ngày của mỗi đội và lưu ý rằng khi hoàn thành công việc tức là số phần công việc sẽ bằng một. Từ đó lập hệ phương trình để giải. Đáp số: x  15, y  10. Dạng 8. Toán thực tế: Tính tiền điện nước, ngân hàng, giá sản phẩm Ví dụ. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 An Giang 2015 -2016) Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng. Chi phí để sản xuất một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là 3 triệu đồng. a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn. b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn mới có thể thu hồi được vốn ban đầu. Lời giải. a) Dễ thấy tổng chi phí vốn cố định và vốn sản xuất ra x chiếc xe lăn (đơn vị tính triệu đồng) sẽ là y  500  2,5 x. Hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn là y  3 x. b) Để số tiền bán ra được và số vốn đầu tư ban đầu tư ban đầu bằng nhau, ta có 500  2,5x  3x  0,5x  500  x  1000. Kết luận: Vậy công ty A phải bán 1000 chiếc xe lăn mới thu hồi được vốn ban đầu. Dạng 9. Toán cổ Ví dụ. (Bài toán cổ trong Tuyển tập toán bằng thơ của Hi Lạp) Lừa và ngựa thồ hàng ra chợ Ngựa thở than mình chở quá nhiều Lừa rằng: “Anh chớ lắm điều !” Tôi đây mới bị chất nhiều làm sao ! Anh đưa tôi một bao mang bớt Thi tôi thồ nhiều gấp đôi anh Chính tôi phải trút cho anh “Một bao gánh đỡ mới thành bằng nhau”. Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao? Hướng dẫn giải: Gọi số bao lừa, ngựa chỏ từ đó lập ra hệ phương trình. Dạng 10. Các bài toán với nghiệm nguyên dương Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 19 - Ví dụ. Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia. Lời giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số đó là xyz  x, y,z  ;1  x  9,0  y  9,0  z  9  . Bài toán này khác với các dạng trước không thể đưa thẳng để giải được mà phải biện luận ẩn. Theo đề bài ra ta có: xyz  11 x  y  z   100 x  10 y  z  11x  11 y  11z  89 x  10 z  y  89 x  yz Mà yz là số có 2 chữ số. Nên x chỉ có thể là 1. Do đó yz  89. Do đó số cần tìm là 198 . III) Bài tập tự luyện Bài 1. Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm 3 chiếc xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở xe như nhau. Bài 2. Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật. Vào lúc 6 giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá 12km/h. Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu là 60km. Tính vận tốc của mỗi tàu. Bài 3. Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thức hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu? Bài 4. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Bài 5. Để lát nền lớp học, người ta dùng 1200 viên gạch hình chữ nhật. Mỗi viên gạch có chu vi 80 cm. Nếu giảm chiều dài 5 cm và tăng chiều rộng 5 cm thì có viên gạch hình vuông. Diện tích viên gạch hình vuông lớn hơn diện tích viên gạch hình chữ nhật là 25cm2 . Tính số tiền cần dùng để lát hết toàn bộ nền lớp học. Biết rằng 1m2 là 80000 đồng. Bài 6. Bạn An gửi tiết kiệm kỳ hạn 1 năm với số tiền ban đầu là 5 triệu đồng. Sau 2 năm, bạn An nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là 5618000 đồng. Biết rằng trong thời gian đó, lãi suất không thay đổi và bạn An không rút lão trong kỳ hạn trước đó. Hỏi lãi suất kỳ hạn 1 năm của ngân hàng là bao nhiêu? Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 20 -