Tài liệu Kiến thức thcs phần 2 liên quan đến chứng minh oxy

Phần 2: Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác BAD cắt CD tại I , cắt BC tại E. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI. Chứng minh rằng: tứ giác BDKC nội tiếp Giải Vì AE là phân giác BAD nên: A1 = A2 Trong ∆ADI và ∆ICE có:  A1 = AEC ( soletrong )   AID = CIE ( doidinh ) Mà A1 = A2 nên: A2 = AEC ⇒ ∆ABE cân tại B Trong ∆ABE và ∆ICE có:  A2 = CIE ( dong vi )   A2 = AEC ( chung minh tren ) Suy ra: CIE = AEC ⇒ ∆CIE cân tại C Suy ra: CI = CE Ta lại có: AID = CIE ( doidinh ) mà A2 = CIE ( dong vi ) ⇒ AID = A2 ⇒ AID = A1 ⇒ ∆ADI cân tại D Suy ra: DI = DA = BC Theo đề bài: K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên: KC = KE = KI (Để ý rằng: kẻ 3 tia phân giác trong tam giác CEI thì K là tâm đường tròn) .Thật vậy ta có: KCE = KEC = KIC 0 0  DIK + CIK = 180 ⇒ DIK = 180 − CIK 0  DIK = 180 − CIK ⇒ 0 0 0  KCE + KCB = 180 ⇒ KCB = 180 − KCE  KCB = 180 − CIK Ta có:  ⇒ DIK = KCB Xét ∆IDK và ∆CKB có:  DI = BC  ⇒ ∆IDK = ∆CKB ⇒ KBC = KDI  KC = KI   DIK = BCK ( cmt ) Suy ra tứ giác BDKC nội tiếp (vì cùng nhìn KC dưới góc bằng nhau) Chú ý1: Với K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI, trên tia đối của tia CE lấy điểm B sao cho, trên tia đối của tia CE lấy điểm B, trên tia đối của tia IC lấy điểm D sao cho: DI = BC .Chứng minh rằng: ∆IDK = ∆CKB .Từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng bằng nhau Giải Theo đề bài: K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên: KC = KE = KI (Để ý rằng: kẻ 3 tia phân giác trong tam giác CEI thì K là tâm đường tròn) .Thật vậy ta có: KCE = KEC = KIC 0 0 0  DIK + CIK = 180 ⇒ DIK = 180 − CIK  DIK = 180 − CIK ⇒ Ta có:  0 0 0  KCE + KCB = 180 ⇒ KCB = 180 − KCE  KCB = 180 − CIK ⇒ DIK = KCB Xét ∆IDK và ∆CKB có:  DI = BC  ⇒ ∆IDK = ∆CKB ⇒ KBC = KDI  KC = KI   DIK = BCK ( cmt ) Bài tập 2: Cho ∆ABC ( AC > AB ) . Phân giác trong AD. E ∈ AC sao cho AB = AE . I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Chứng minh rằng : AI ⊥ DE Giải Gọi H = AI ∩ DE .Khi đó: Xét ∆ABD và AED có:  AB = AE ( gt )   BAD = EAD ⇒ ∆ABD = ∆AED ( c − g − c ) ⇒ AED = ABC  AD chung  Vì I là tâm đường tròn nên: ∆AIC cân tại I ⇒ IA = IC ⇒ IAC = ICA ( IAC và HAE là 1 ) Tacó: ICA + IAC + AIC = 1800 Mà IAC = ICA nên: ICA + ICA + AIC = 1800 ⇔ 2 ICA + AIC = 1800 ⇒ HAE = ICA = 1800 − AIC AIC Mà: ABC = nên: ⇒ ICA = 900 − ABC 2 2 ( ) 0 0 Suy ra: AHE = AED + HAE = ABC + 90 − ABC = 90 Suy ra: AI ⊥ DE Bài tập 3: Cho ∆ABC có AB = AC .Từ A kẻ AM ⊥ BC . Chứng minh rằng: B = C .Từ đó suy ra: AB = AC Giải Xét ∆ABM và ∆ACM có:  AM chung ⇒ ∆ABM = ∆ACM   AB = AC ( gt ) ( c.h − cgv ) ⇒ B = C ( cap goc tuong ung ) Ta có: BAM + B + AMB = 1800 ⇔ BAM = 1800 − B − AMB = 1800 − 900 − B = 900 − B Ta lại có: MAC + C + AMC = 1800 ⇔ MAC = 1800 − C − AMC = 1800 − 900 − C = 900 − C Mà B = C ⇒ BAM = MAC Xét ∆ABM và ∆ACM có:  BAM = MAC ( cmt )  ⇒ ∆ABM = ∆ACM ( g .c.g ) ⇒ AB = AC ( canh tuong ung )  AM chung  0  AMB = AMC = 90 ( gt _ AM ⊥ BC ) Cách 2: Để ý rằng tam giác ABC cân tại A, AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao. Suy ra M là trung điểm BC Xét ∆AMB và ∆AMC có:  AB = AC ( gt )   BM = CM ( gt ) ⇒ ∆AMB = ∆AMC ( c.c.c ) ⇒ B = C  AM chung  Trong ∆AMB và ∆AMC có: Để ý rằng tam giác ABC cân tại A nên AM là tia phân giác. Suy ra: BAM = CAM Xét ∆AMB và ∆AMC có:  AMB = AMC = 900  ⇒ ∆ABM = ∆ACM ( g.c.g ) ⇒ AB = AC  AM chung   BAM = CAM Bài tập 4:Cho ∆ABC ( AB < AC ) .M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ BC , ME ⊥ AC ; AH,AM chia BAC thành 3 phần bằng nhau. Chứng minh rằng: MC = 2 ME Giải Theo giả thiết, ta nhận thấy rằng: ∆ABM cân tại A Khi đó, xét ∆BAH và ∆MAH có:  AHB = MHA = 900  ⇒ ∆BAH = ∆MAH ( g .c.g )  AH chung   ABC = AMB ( do ∆ABM can ) ⇒ BH = HM ⇒ H là trung điểm của BM Khi đó: ∆AME = ∆AHM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ME = MH = BM MC (vì M là trung điểm của BC) = 2 2 Suy ra: ∆MEC ⊥ tai E ⇒ ME = MC ⇒ MC = 2 ME 2 Bài tập 5:Cho ∆ABC ( AB > AC ) .M là trung điểm của BC, phân giác trong Ax, đường thẳng đi qua M vuông góc Ax tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F. a, Chứng minh HE = HF b, ACB = 2 BME + B c, BE = CF Giải a, Xét ∆AHF và ∆AHE có:  FAH = HAE  ⇒ ∆AHF = ∆AHE ( g.c.g )  AH chung  0  AHE = FHA = 90 Suy ra: HE = HF b, Nhận thấy rằng: Việc chứng minh: HE = HF kết hợp vớitia phân giác AH. Suy ra tam giác AFE cân tại A. Từ đó suy ra: AFE = AEF Ta có: CMF = BME ( 2 gocdoidinh )  ACB = CFM + CMF ( gocngoai∆ = tong 2 goctrongkhongkevoino )   ACB = AEF + BME Mà AEF = B + BME ( gocngoai∆ = tong 2 goctrongkhongkevoino ) Suy ra: ACB = B + 2 BME c, Kẻ CK / / AB ( K ∈ EF ) CMK = FMB ( doidinh )   Khi đó, trong ∆EBM và ∆KCM có:  EBM = MCK ( soletrong ) ⇒ ∆EBM = ∆KCM  CM = MC ( gt ) Suy ra: BE = CF ( g .c.g ) Chú ý: Nhìn vào hình vẽ ta có: ABC = BDC + BCD ( gocngoai∆ = tong 2 goctrongkhongkevoino ) AEM = B + BME ( gocngoai∆ = tong 2 goctrongkhongkevoino ) Bài tập 6: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi K,Q là trung điểm của BH,AH. Chứng minh rằng: a, ∆ABK ∼ ∆CAQ b, AK ⊥ CQ Giải Trong ∆ABH và ∆CBA có:  BAC = AHC = 900 ⇒ ∆ABH ∼ ∆CBA ( g.g )   B chung Suy ra tỷ số đồng dạng: AC AH 2 BK BK = = = AB BH 2 AQ AQ Ta lại có: ABK = CAQ (cùng phụ với HAB ) Trong ∆ABK và ∆CAQ có: Ta thấy: ∆ABK ∼ ∆CAQ ( c.g.c ) b, Gọi F = CQ ∩ AK Ta có: ∆ABH ∼ ∆CBA ( g.g ) ⇒ ACB = BAH Do ∆ABK ∼ ∆CAQ nên: BAK = ACQ Nên: KAH = FCK Dễ dàng chứng minh được: ∆AHK ∼ ∆CFK ( g.g ) ⇒ CFK = AHK = 900 ⇒ CQ ⊥ AK Bài tập 7: Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC . Chứng minh rằng: ∆ABC ∼ ∆HAC .Từ đó suy ra tỷ số đồng dạng: AH BC = ⇔ AC 2 = BH .BC HC AC Giải Xét ∆ABC và ∆HAC có:  BAC = AHC = 900 ⇒ ∆ABC ∼ ∆HAC ( g − g )  C chung  Bài tập 8: Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC . Để ý rằng: ABH = HAC Giải Ta có: ABH = HAC  B1 + BAH = BHA = 900 Hiểu là như sau:  0  A1 + BAH = 90 ⇒ B1 = A1 Như vậy: ABH = HAC (vì cùng phụ BAH ) Bài tập 9: Tổng quát góc phụ nhau Ta có: B1 = A1 (cùng phụ A2 ) Cùng phụ tức cùng + với A2 = 900 C1 = D1 (cùng phụ C2 ) Cùng phụ tức cùng + với C2 = 900 Chú ý: đôi khi có nhìn rộng hình ra ví dụ trên tia đối của tia BA lấy ddierm F thì góc A2 với góc HAF có vai trò như nhau gọi chung là một Chú ý:- Nếu 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc thì góc tương ứng còn lại cũng bằng nhau - Trong bài hình oxy, ta vẽ đúng hình, điền ký hiệu lên hình vẽ để nhận biết,ta có thể phân tích xong ý tưởng xong đẩy ngược lời giải lên - Ta có thể lấy thước kẻ dự đoán đoạn bằng nhau, vuông góc. Từ đó, vận dụng hiểu biết, ta có thể nhìn ra lời giải - Phải ký hiệu các góc, tia phân giác thì có 2 góc bằng nhau. Nếu cạnh bằng nhau, phần lớn bài tập xét 2 tam giác rồi suy ra góc,cạnh tương ứng - Khi chứng minh 2 tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng điểm nhấn cần chú ý: cạnh bằng nhau, cạnh chung, góc chung, 2 góc vuông thì bằng nhau, 2 cạnh bằng nhau (theo giả thiết) nếu đồng dạng chỉ ra 2 trường hợp góc-góc nếu chỉ ra đến đó thì góc tương ứng còn lại cũng bằng nhau - Đôi khi có thể chứng minh vuông góc bằng cách sử dụng véc tơ - Đôi khi có thể nhìn rộng hình ra Chú ý: Ví dụ 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có tính chất sau: - AIC = 2 ABC (góc AIC bằng 2 lần góc ABC) - AIC = sđ AC (góc AIC bằng số đo cung AC) - ABC = sđ AC 2 Ví dụ 2: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: BAx = sđ AB 2 Ví dụ 3: Góc có đỉnh trong đường tròn: E1 = sđ AB + sđ CD 2 Ví dụ 4: Hai dây cung AB và CD. Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau AB / /CD ⇒ AC = BD Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100004114337323 Câu nói ưa thích: “học thầy không tày học bạn” “Thà một phút huy hoàng rồi vụt tắt Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm” _ (Xuân Diệu) Hà Nội ngày 6/12/2015