Tài liệu Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC TÂN KHUNG CHẶT CHUẨN HÓA HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC TÂN KHUNG CHẶT CHUẨN HÓA HỮU HẠN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2013 i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán và các bạn học viên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Quỳnh Nga đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, ban giám hiệu trường THPT Yên Lạc 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga, luận văn thạc sỹ "Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn" được hoàn thành không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã thừa kế những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân iii Mục lục Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1.Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Giá trị riêng và vết của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.Khung trong không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . . . 11 1.3.Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong R2 và R3 . . . . . . . 19 Chương 2.Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.Thiết lập bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. Các lực trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thế năng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tập cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các tập tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 29 29 30 2.2.Lực khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.Điện thế khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.Phân loại khung chặt chuẩn hóa hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iv 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khung là một tập các véc tơ “thừa” trong không gian Hilbert mà dẫn đến biểu diễn tự nhiên cho mỗi véc tơ trong không gian nhưng có thể có vô hạn các biểu diễn khác nhau cho mỗi véc tơ đã cho. Khung đã được sử dụng trong xử lý tín hiệu vì tính hữu hiệu khi có các tiếng ồn lẫn thêm vào, cũng như tính ổn định trong việc khôi phục lại tín hiệu và có độ tự do lớn để thu những đặc trưng của tín hiệu. Gần đây nhiều ứng dụng mới của khung chặt đều đã được đưa ra. Goyal, Kovacevic và Vetterli [8] đã sử dụng tính thừa của khung để làm giảm đi những ảnh hưởng của việc mất đi thông tin trong quá trình truyền các gói dữ liệu. Tính chặt của khung đảm bảo sự hội tụ nhanh của biểu diễn khung. Khung chuẩn hóa giúp kiểm soát các thành phần của khung. Khung hữu hạn giúp tránh các vấn đề xấp xỉ xảy ra khi phải chặt bớt khung vô hạn. Do những ưu điểm nổi bật trên làm cho khung chặt chuẩn hóa hữu hạn nhận được sự quan tâm đặc biệt. Ngay cả khi không có vấn đề trong xử lý tín hiệu; lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trực tiếp dẫn đến bài toán thú vị về sự phân bố đều trên mặt cầu đơn vị Sd−1 trong Rd và bài toán cân bằng đối với các luật thế năng khác nhau. Được thôi thúc bởi tính ứng dụng cao của khung, được sự đồng ý hướng dẫn của TS.Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất và phân loại khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Mô tả khung chặt chuẩn hóa hữu hạn qua điện thế khung. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung trong không gian Hilbert; khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Trình bày một cách tổng quan về lý thuyết khung chặt chuẩn hóa hữu hạn trong không gian Hilbert và các bài toán liên quan đến khung chặt chuẩn hóa hữu hạn. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Tân Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Giá trị riêng và vết của toán tử Do các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận có thể được xem như là các trường hợp đặc biệt của các định nghĩa cho các toán tử tuyến tính tổng quát, chúng ta bắt đầu xem xét lại các định nghĩa của giá trị riêng, véc tơ riêng, không gian riêng của một ma trận. Các kết quả của mục này được tham khảo trong [9]. Định nghĩa 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc không gian Ơclit F (F = R hoặc C). Một đại lượng vô hướng λ ∈ F được gọi là một giá trị riêng của A nếu tồn tại một véc tơ khác không v ∈ Fn sao cho Av = λv . Bất kỳ véc tơ khác không v thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Không gian riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ được định nghĩa: Eλ = {v ∈ Fn : Av = λv} Khi đó Eλ là một không gian con của Fn . Số chiều của Eλ được gọi là số bội hình học của λ. Tập hợp của tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, chúng ta ký hiệu σ (A). Ví dụ: nếu D = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) là một ma trận đường chéo n × n thì phổ σ (D) là tập các phần tử trên đường chéo phân biệt của D. Các giá trị riêng và số bội hình học là bất biến dưới phép đồng dạng của các ma trận. Nhớ lại rằng hai ma trận cấp n × n A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận nghịch đảo S sao cho A = S −1 BS . 3 4 Mệnh đề 1.2. Cho hai ma trận đồng dạng A và B. Khi đó các mệnh đề sau là đúng: (i) σ(A) = σ(B) (ii) dim Eλ (A) = dim Eλ (B) Chứng minh. (i) Giả sử A = S −1 BS . Lấy λ ∈ σ(A). Khi đó tồn tại v 6= 0 sao cho Av = λv . Suy ra S −1 BSv = λv , do đó BSv = λSv . Chú ý Sv 6= 0 do S là ma trận khả nghịch. Bởi vậy λ ∈ σ(B) suy ra σ(A) ⊆ σ(B). Bởi vì tính đối xứng của tính đồng dạng, chúng ta cũng có σ(B) ⊆ σ(A) và do đó (i) được chứng minh. (ii) Theo chứng minh của (i), chúng ta có SEλ (A) = Eλ (B). Bởi vậy dim Eλ (A) = dim Eλ (B). Định thức ma trận được sử dụng trong tính toán các giá trị riêng của một ma trận như được chứng minh bởi kết quả tiếp theo. Mệnh đề 1.3. Cho A là ma trận cấp n × n với các phần tử thuộc F. Khi đó các giá trị riêng của A là các nghiệm trong F của đa thức det(λI − A). Đa thức det(λI − A) được gọi là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh. Một ma trận vuông M là nghịch đảo khi và chỉ khi det(M ) 6= 0. Nếu det(λI − A) = 0 với một số λ ∈ F thì λI − A không khả nghịch. Vì vậy tồn tại một véc tơ khác không v trong Fn sao cho (λI − A)v = 0 và vì vậy Av = λv . Từ đó suy ra λ là một giá trị riêng của A. Rõ ràng chúng ta có thể làm ngược lại lập luận bên trên. Do đó nếu λ là một giá trị riêng của A thì nó là một nghiệm của đa thức det(λI − A). Bổ đề 1.4. Cho µ và λ là hai giá trị riêng phân biệt của một ma trận cấp n × n. Khi đó với bất kỳ hai véc tơ riêng x ∈ Eµ và y ∈ Eλ cặp {x, y} là độc lập tuyến tính. Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử rằng x và y là phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với x = cy với c là đại lượng vô hướng. Khi đó Ax = A(cy) = cAy = cλy = λ(cy) = λx 5 và vì vậy µx = Ax = λx suy ra (µ − λ)x = 0. Do x 6= 0 nên chúng ta có µ − λ = 0 mâu thuẫn với µ và λ là phân biệt. Mệnh đề 1.5. Giả sử rẳng {λ1 , λ2 , ..., λk } là tất cả các giá trị riêng phân biệt của một ma trận A cấp n×n. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là đồng dạng với một ma trận chéo, tức là A là chéo hóa được. (ii) Fn có một cơ sở bao gồm các véc tơ riêng của A. (iii) dim Fn = dim Eλ1 + dim Eλ2 + ... + dim Eλk (iv) Fn = Eλ1 +̇Eλ2 +̇...+̇Eλk với +̇ ký hiệu là tổng trực tiếp. Hơn nữa nếu A = A∗ thì A luôn đồng dạng với một ma trận chéo. Bây giờ chúng ta định nghĩa các giá trị riêng và véc tơ riêng của một toán tử tuyến tính tổng quát. Định nghĩa 1.6. Cho T là một toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert hữu hạn chiều H vào chính nó. Một đại lượng vô hướng λ ∈ F được gọi là một giá trị riêng của T nếu tồn tại một véc tơ khác không v ∈ H sao cho: T v = λv Véc tơ khác không v được gọi là một véc tơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ. Không gian riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ được định nghĩa Eλ (T ) = {v ∈ H : T v = λv} Hơn nữa, tập hợp của tất cả các giá trị riêng của T được gọi là phổ của T. Chúng ta ký hiệu phổ của toán tử như chúng ta đã làm với ma trận là σ(T ). Bổ đề 1.7. Nếu T là một toán tử tuyến tính trên một không gian Hilbert n chiều thì T có nhiều nhất n giá trị riêng phân biệt. Mệnh đề 1.8. Cho T là một toán tử trên một không gian Hilbert hữu hạn chiều H. (i) Nếu T là unita (tức là T T ∗ = T ∗ T = I ) thì mỗi giá trị riêng λ có mô đun bằng 1; tức là |λ| = 1. 6 (ii) Nếu T tự liên hợp (tức là T = T ∗ ) thì σ(T ) ⊂ R. (iii) Nếu T là dương (tức là hT v, vi ≥ 0, ∀v ∈ H ) thì σ(T ) ⊂ R+ . Chứng minh. (i) Lấy v là một véc tơ riêng trong Eλ . Khi đó T v = λv , vậy hT v, T vi = hλv, λvi = |λ|2 kvk2 Do T là unita, chúng ta có T ∗ T = I . Bởi vậy hT v, T vi = hT ∗ T v, vi = hv, vi = kvk2 Bởi vậy kvk2 = |λ|2 kvk2 , từ đó suy ra |λ| = 1 do kvk = 6 0. (ii) Lấy λ ∈ σ(T ) và v là một véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ. Khi đó ta có hT v, vi = hλv, vi = λkvk2 . Do T là tự liên hợp nên chúng ta có hT v, vi là thực và bởi vậy λ là thực do kvk2 6= 0. Vì vậy (ii) được chứng minh. Trong trường hợp T là dương, chúng ta có hT v, vi ≥ 0 và do đó λ ≥ 0. Điều này chứng minh (iii). Mệnh đề 1.9. Cho T là một toán tử trên một không gian Hilbert hữu hạn chiều H. Khi đó λ là một giá trị riêng của T khi và chỉ khi số phức liên hợp λ̄ là một giá trị riêng của T ∗ . Mói cách khác σ(T ∗ ) = σ(T ). Nếu T là toán tử chuẩn tắc tức là T T ∗ = T ∗ T thì x là một véc tơ riêng của T với giá trị riêng λ khi và chỉ khi x là một véc tơ riêng của T ∗ với giá trị riêng λ̄. Chứng minh. Giả sử rằng v là một véc tơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ. Khi đó với bất kỳ x ∈ H chúng ta có  0 = h0, xi = h(T − λI) v, xi = hv, (T − λI)∗ xi = v, (T ∗ − λ̄I)x
Vì thế v là trực giao với miền giá trị của T ∗ − λ̄I và bởi vậy T ∗ − λ̄I không toàn ánh cho nên không là đơn ánh. Điều này chỉ ra rằng tồn tại
một véc tơ khác không u ∈ H sao cho T ∗ − λ̄I u = 0. Bởi vậy, λ̄ là 7 một giá trị riêng của T ∗ . Chiều ngược lại suy ra từ tính toán bên trên và (T ∗ )∗ = T . Cho T là chuẩn tắc, vì vậy T ∗ T = T T ∗ . Từ các tính chất của toán tử liên hợp, với λ bất kỳ, chúng ta có (T − λI)∗ = T ∗ − λ̄I . Khi đó chúng ta có thể chứng minh rằng T − λI cũng là một toán tử chuẩn tắc

(T − λI) T ∗ − λ̄I = T T ∗ − λ̄T − λT ∗ + |λ|2 I = T ∗ T − λ̄T − λT ∗ + |λ|2 I
= T ∗ − λ̄I (T − λI) Do k(T − λI) xk2 = h(T − λI) x, (T − λI) xi = h(T − λI)∗ (T − λI) x, xi = h(T − λI) (T − λI)∗ x, xi = h(T − λI)∗ x, (T − λI)∗ xi

 = T ∗ − λ̄I x, T ∗ − λ̄I x
2 = T ∗ − λ̄I x chúng ta có thể kết luận với bất kỳ x ∈ H chúng ta có k(T − λI) xk = ∗ (T − λ̄)x . Do đó x là một véc tơ riêng của T với giá trị riêng λ khi 2 và chỉ khi kT x − λxk = 0, điều này tương đương với T ∗ x − λ̄x = 0, nghĩa là x là véc tơ riêng của T ∗ với giá trị riêng λ̄. Mệnh đề 1.9 chỉ ra rằng nếu T là chuẩn tắc thì nó có không gian riêng giống T ∗ . Mệnh đề 1.10. Cho T là một toán tử chuẩn tắc trên một không gian Hilbert H. Nếu x và y là các véc tơ riêng của T tương ứng với các giá trị riêng khác nhau λ và µ thì x và y trực giao. Chứng minh. Theo định nghĩa của giá trị riêng và véc tơ riêng chúng ta biết rằng T x = λx và T y = µy . Chúng ta có hT x, yi = hλx, yi = λ hx, yi Theo mệnh đề 1.9 chúng ta cũng có hT x, yi = hx, T ∗ yi = hx, µ̄yi = µ hx, yi 8 Chúng ta đã sử dụng mệnh đề 1.9 và giả thiết rằng T là chuẩn tắc để thay thế T ∗ y bằng µ̄y . Bởi vậy λ hx, yi = µ hx, yi và do λ 6= µ nên ta có hx, yi = 0. Lấy đa thức p(t) = a0 + a1 t + ... + ak tk và T là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H. Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa toán tử p(T ) = a0 I + a1 T + ... + ak T k . Khi đó p(T ) là một toán tử tuyến tính trên H. Định lý 1.11. Cho T là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert hữu hạn chiều H. Khi đó  (i) Nếu T là khả nghịch thì σ(T −1 ) = λ−1 : λ ∈ σ(T ) .  (ii) σ(T k ) = λk : λ ∈ σ(T ) với k nguyên dương bất kỳ. (iii) Cho toán tử p (T ) được định nghĩa như trên, σ(p(T )) = {p(λ) : λ ∈ σ(T )} với đa thức p(t) bất kỳ. Chứng minh. (i) Với λ 6= 0 bất kỳ, chúng ta có T −1 − λ−1 I = λ−1 T −1 (λI − T ) Nếu λ ∈ σ(T ) thì λ 6= 0 do T −1 tồn tại. Lấy v ∈ H sao cho T v = λv và v 6= 0. Khi đó chúng ta có được (T −1 − λ−1 I)v = λ−1 T −1 (λI − T )v = 0 và vì vậy λ−1 ∈ σ(T −1 ). Mặt khác, giả sử rằng T −1 u = αu với một số 0 6= u ∈ H và một đại lượng vô hướng α. Khi đó α 6= 0 do T −1 là khả nghịch. Chúng ta cần chỉ ra rằng α−1 ∈ σ(T ). Điều này suy ra từ (T − α−1 I)u = α−1 T (αI − T −1 )u = 0. Rõ ràng (ii) là một trường hợp đặc biệt của (iii), vì vậy nếu chúng ta có chứng minh (iii) thì chúng ta sẽ có chứng minh (ii). (iii) Lấy p(t) là một đa thức bậc k . Đầu tiên giả sử rằng λ ∈ σ(T ). Khi đó tồn tại 0 6= v ∈ H sao cho (T − λI)v = 0. Do λ là một nghiệm của đa thức p(t) − p(λ), chúng ta có thể viết p(t) − p(λ) = q(t)(t − λ) với q là đa thức bậc k − 1. Từ đó dẫn đến phương trình toán tử (p(T ) − p(λ)I)v = q(T )(T − λI)v = 0 9 do đó suy ra rằng p(λ) ∈ σ(p(T )). Thứ hai, cho α ∈ σ(p(T )). Khi đó tồn tại một véc tơ khác không v ∈ H sao cho (p(T ) − αI)v = 0. Chúng ta cần chỉ ra rằng α ∈ {p(λ) : λ ∈ σ(T )} . Viết đa thức p(t) − α dưới dạng tích của các thừa số của nó p(t) − α = k Y (t − λi ) i=1 chúng ta giả sử rằng p(t) có hệ số đầu bằng 1. Bởi vậy, p(λi ) − α = 0, ∀i = 1, 2, ...k . Cho véc tơ riêng v của p(T ) tương ứng với α, lấy j là số nguyên Q nhỏ nhất thỏa mãn j−1 i=1 (T − λ1 I)v 6= 0 nhưng (T − λj I) j−1 Y (T − λi I)v = i=1 j Y (T − λi I)v = 0 i=1 . Q Chú ý rằng j tồn tại vì v 6= 0 và ki=1 (T − λi I)v = 0. Khi đó chúng ta có λj ∈ σ(T ) và do đó α = p(λj ) ∈ {p(λ) : λ ∈ σ(T )}. Bây giờ chúng ta chuyển sang khái niệm vết của toán tử tuyến tính. Khái niệm này được tổng quát hóa từ khái niệm vết của ma trận vuông. Bổ đề 1.12. Cho T là một toán tử tuyến tính trên H có số chiều n. Nếu {ei }ni=1 và {fi }ni=1 là hai cơ sở trực chuẩn bất kỳ của H thì n X i=1 . hT ei , ei i = n X i=1 hT fi , fi i 10 Chứng minh. Theo tính chất của một cơ sở trực chuẩn, chúng ta có * n + n n n X X X X hei , fk i fk hT ei , ei i = hT ei , fj i fj , i=1 = = = = = = i=1 j=1 n n XX k=1 hT ei , fj i hfj , ei i i=1 j=1 n X n X i=1 j=1 n X n X hei , T ∗ fj i hfj , ei i hfj , ei i hei , T ∗ fj i i=1 j=1 * n n X X j=1 n X j=1 n X + hfj , ei i ei , T ∗ fj i=1 hfj , T ∗ fj i hT fj , fj i j=1 vì vậy số Pn i=1 hT ei , ei i độc lập với việc chọn cơ sở trực chuẩn của H. Định nghĩa 1.13. Cho T là một toán tử tuyến tính trên một không gian P Hilbert H có số chiều n. Khi đó vết của T là tổng ni=1 hT ei , ei i với {ei }ni=1 là cơ sở trực chuẩn bất kỳ của H. Chúng ta ký hiệu là tr(T ). Mệnh đề 1.14. Cho S , T là các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H và α, β ∈ F. (i) tr(αS + βT ) = αtr(S) + βtr(T ) (ii) tr(ST ) = tr(T S) (iii) Nếu S và T là đồng dạng thì tr(S) = tr(T ) Mệnh đề 1.15. Cho M là một không gian con của H và P là phép chiếu trực giao từ H lên M. Khi đó tr(P ) = dim(M). 11 Chứng minh. Lấy {u1 , u2 , ..., uk } là một cơ sở trực chuẩn của M và mở rộng nó thành một cơ sở trực chuẩn {u1 , u2 , ..., uk , ..., un } của H. Khi đó P ej = ej nếu j ≤ k và P ej = 0 nếu j > k . Bởi vậy tr(P ) = n X j=1 1.2. hP uj , uj i = k X huj , uj i = k = dim(M). j=1 Khung trong không gian Hilbert tổng quát Lý thuyết khung được bắt đầu nghiên cứu bởi Duffin và Schaeffer [7] vào năm 1952 khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là chuỗi  thiết lập từ eiλn x n∈Z trong đó λn ∈ R hoặc λn ∈ C, ∀n ∈ Z. Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau bài báo nổi tiếng của Daubechies, Grossmann và Meyer [6] thì khung mới được quan tâm rộng rãi. Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quan trong nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ xung và đây là lý do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véc tơ được trang bị với một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử trong khung là không cần thiết. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho các phần sau. Các kết quả của mục này được tham khảo trong các tài liệu [1], [5]. Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian là hữu hạn chiều. Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một tích 12 vô hướng h., .i. Nhớ lại rằng một dãy {ej }m j=1 trong V là một cơ sở của V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) V = span {ej }m j=1 (ii) {ej }m j=1 là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu vô hướng {cj }m j=1 m P cj ej = 0 với các hệ số j=1 thì cj = 0, (j = 1, ..., m) Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn duy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là tồn tại các hệ số vô hướng duy nhất {cj }m j=1 sao cho m X f= cj ej (1.1) j=1 Nếu {ej }m j=1 là một cơ sở trực giao, nghĩa là một cơ sở với ( 0 nếu i 6= j hei , ej i = δij = 1 nếu i = j thì hệ số {cj }m j=1 rất dễ tìm đó chính là tích vô hướng của f trong (1.1) với một ej tùy ý * m + m X X hf, ej i = ci ei , ej = ci hei , ej i = cj j=1 vì vậy f= i=1 m X hf, ej i ej (1.2) j=1 Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung {fj }m j=1 cũng cho ta một biểu diễn như (1.1) Định nghĩa 1.16. Một họ đếm được của các véc tơ {fj }j∈J trong V là một khung của V nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho X 2 (1.3) Akf k ≤ |hf, fi i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ V j∈J 13 Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới, và cận khung trên tối ưu là infimun trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự. Khung là chuẩn hóa nếu kfJ k = 1, (với mọi j ∈ J). Trong một không gian véc tơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên (mặc dù có thể) khi xét các họ {fj }j∈J có vô hạn các phần tử. Trong phần này chúng ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {fj }m j=1 , m ∈ N. Với hạn chế này, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz chỉ ra rằng m m X X 2 |hf, fj i| ≤ kfj k2 kf k2 j=1 j=1 với mọi f ∈ V , nghĩa là, điều kiện khung trên tự động được thỏa mãn. m P Tuy nhiên, ta có thể tìm được một cận khung trên tốt hơn kfj k2 . j=1 Để cho điều kiện dưới trong (1.3) thỏa mãn, cần thiết rằng span {fj }m j=1 = V . Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khung cho bao tuyến tính của nó. m Mệnh đề 1.17. Cho {fj }m j=1 là một dãy trong V. Khi đó {fj }j=1 là một khung cho span {fj }m j=1 Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B = m P kfj k2 . Bây giờ lấy j=1 W := span {fj }m j=1 và xét ánh xạ liên tục φ : W → R, φ (f ) := m X |hf, fj i|2 . j=1 Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với kgk = 1 sao cho A := m X j=1 |hg, fj i|2 = inf  m X  j=1   2 |hf, fi i| : f ∈ W, kf k = 1 .  14 Rõ ràng A > 0. Bây giờ lấy f ∈ W, f 6= 0, ta có 2 m m  X X  f  2 2 2   |hf, fj i| = , f  kf k j  kf k ≥ Akf k . j=1 j=1 Mệnh đề được chứng minh. Hệ quả 1.18. Một họ các phần tử {fj }m j=1 trong V là một khung của V m khi và chỉ khi span {fj }j=1 = V. Hệ quả 1.18 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj }m j=1 là một khung của V và k {gj }kj=1 là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj }m j=1 ∪ {gj }j=1 cũng là một khung trong V . Bây giờ chúng ta chuyển sang xét trường hợp không gian Hilbert H có thể vô hạn chiều. Cho một không gian Hilbert H, dãy {xn } trong H là một dãy Bessel nếu tồn tại B > 0 sao cho X |hy, xn i|2 ≤ B.kyk2 , ∀y ∈ H. n Một dãy Bessel được gọi là chuẩn hóa nếu kxn k = 1; ∀n. Một dãy {xn } trong H là một khung trong H nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho X A.kyk2 ≤ |hy, xn i|2 ≤ B.kyk2 ; ∀y ∈ H. n Một khung {xn } được gọi là một A-chặt nếu tồn tại hằng số A > 0 để X 2 |hy, xn i|2 = A. kyk , ∀y ∈ H n Với dãy Bessel bất kỳ {xn }n∈I , I là tập chỉ số đếm được thích hợp, ánh xạ Bessel liên kết L là: L : H → `2 (I) y → { hy, xn i } P (Chú ý rằng do |hy, xn i|2 ≤ Bkyk2 , ∀y ∈ H nên {hy, xn i} ∈ l2 (I)). n∈I √ Rõ ràng toán tử L là một toán tử tuyến tính bị chặn với kLk ≤ B . Do 15 P |hy, xn i|2 ≥ Akyk2 nên kL (y)k2 ≥ Akyk2 . Từ đó L là một đơn ánh vì n∈I nếu Ly = 0 thì kLyk = 0 suy ra ngay kyk = 0 hay y = 0. Gọi L∗ là toán tử liên hợp tương ứng L∗ : `2 (I) → H P Ta sẽ chứng minh rằng L∗ ({an }) = an .xn n∈I Thật vậy, ký hiệu ei = (0, ..., 0, 1, 0, ...0) trong đó 1 ở vị trí thứ i còn 0 ở tất cả các vị trí còn lại. {ei }i∈I làm thành cơ sở trực chuẩn của l2 (I), được gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l2 (I). Theo định nghĩa, với mỗi i ta có DX E ∗ hx, L ei i = hLx, ei i = hx, xn i en , ei = hx, xi i , ∀x ∈ H. Từ đó L∗ ei = xi , ∀i. Do L∗ là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn L nên L∗ cũng là tuyến tính bị chặn với kL∗ k = kLk. Ta có ! L∗ X i ai ei = X ai L∗ ei = X ai x i i Toán tử khung là ánh xạ S : H → H được định nghĩa bởi S = L∗ L do đó X Sy = L∗ Ly = L∗ (hy, xn i) = hy, xn i xn . n Toán tử Gram là ánh xạ G: `2 (I) → `2 (I) được định nghĩa bởi G = LL∗ . Ví dụ 1.19. Giả sử {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. (i) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ k=1 2 lần ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} mà {fk }∞ k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} mà {fk }∞ k=1 là một khung với cận A = 1, B = 2.