BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC T
Y BC
É VIT YN
KHÂA LUN TÈT NGHIP
KHÆNG GIAN SOBOLEV PHÖ THUËC THÍI GIAN
Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch
Ng÷íi h÷îng d¨n: TS. Vô Trång L÷ïng
Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013
Líi c£m ìn
Thíi gian træi qua thªt nhanh, chîp mt m em ¢ ho n th nh bèn n«m
¤i håc. Nhî ng y n o, ¦u khâa håc bè mµ cán ÷a ¸n tr÷íng g°p tr÷íng
lîp mîi, th¦y cæ mîi, b¤n b± mîi vîi bao bï ngï v lo lng. Vªy m cuèi còng
em công tr£i qua bèn n«m håc. Bèn n«m håc tªp vîi bi¸t bao khâ kh«n, v§t
v£, câ nhúng v§p ng¢ em t÷ðng nh÷ m¼nh khæng thº v÷ñt qua. Nh÷ng mong
muèn ÷ñc l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ thóc ©y em ph§n §u nhi·u
trong håc tªp. Cuèi còng vîi k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong c¡c n«m ¦u, em
¢ ÷ñc õ i·u ki»n l m khâa luªn d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y Vô Trång
L÷ïng. ÷ñc l m khâa luªn l mët ni·m vui, ni·m vinh dü lîn èi vîi em.
Nh÷ng b¶n c¤nh â công câ khæng ½t néi lo v khæng ½t khâ kh«n, n o l khan
hi¸m t i li»u, thíi gian h¤n hµp, ki¸n thùc th¼ mîi v t÷ìng èi khâ,...Nh÷ng
vîi ki¸n thùc m em ¢ ÷ñc th¦y cæ bë mæn trang bà trong c¡c n«m qua
còng vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa th¦y Vô Trång L÷ïng, công nh÷ sü
ëng vi¶n, gióp ï cõa gia ¼nh v b¤n b± cuèi còng khâa luªn công ÷ñc
ho n th nh.
Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n th¦y h÷îng d¨n, c¡c th¦y cæ
kh¡c trong bë mæn, còng gia ¼nh v b¤n b±.
Sìn la, th¡ng 5 n«m 2013
Sinh vi¶n
é Vi¸t Y¶n
2
Möc löc
Mð ¦u
0.1 Lþ do chån khâa luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . .
0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. . . . . . . . . . . . .
0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v nhúng âng gâp cõa khâa luªn.
0.3.1 Möc ½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2 Nhi»m vö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn . . . . . . . . .
1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.1 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Khæng gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 D¤ng Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 T½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khæng gian C k (Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω) . . . . . . .
1.3.4 ¤o h m suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Khæng gian Sobolev Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈ Z+.)
◦
1.3.6 Khæng gian Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞) . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
8
8
9
9
11
12
12
13
19
21
25
30
1.3.7 X§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.8 ành l½ th¡c triºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.9 Khæng gian h m H −1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian
2.1
2.2
2.3
2.4
Khæng gian Lp(0, T ; X) . . . . . . . . . . .
Khæng gian C([0, T ]; X) . . . . . . . . . .
¤o h m y¸u trong khæng gian L1(0, T ; X)
Khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X) . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
48
48
49
K¸t luªn
57
T i li»u tham kh£o
58
4
Mð ¦u
0.1 Lþ do chån khâa luªn
Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ra íi v o kho£ng th¸ k¿ thù 17, do nhu c¦u
cì håc v cõa nhi·u ngh nh khoa håc kh¡c. Nâ ng y c ng câ vai trá quan
trång v ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong khoa håc v cæng ngh». Ng y nay,
ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trð th nh bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang
t½nh l½ thuy¸t cao, vøa mang t½nh ùng döng rëng r¢i. Tr÷îc sü ph¡t triºn
m¤nh m³ cõa khoa håc v cæng ngh», chc chn r¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h m
ri¶ng cán ph¡t triºn m¤nh m³ hìn núa trong t÷ìng lai, mð ra mët con ÷íng
cho nhúng ai y¶u th½ch nghi¶n cùu To¡n håc ùng döng.
Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ v ang ph¡t triºn r§t m¤nh m³ ð tr¶n
th¸ giîi, nh÷ng ð n÷îc ta th¼ v¨n cán h¤n ch¸ s¡ch nâi v· bë mæn n y, n¶n nâ
v¨n l v§n · cán mîi m´, v b½ ©n k½ch th½ch sü kh¡m ph¡ cõa nhúng ai y¶u
th½ch nâ. Hìn núa, trong qu¡ tr¼nh håc tªp ÷ñc th¦y cæ giîi thi»u, h÷îng
d¨n, tæi c£m th§y r§t câ hùng thó vîi bë mæn n y. Ch½nh v¼ vªy, nh¬m gâp
ph¦n cho nhúng ai y¶u th½ch bë mæn n y nâi chung v b£n th¥n t¡c gi£ nâi
ri¶ng hiºu s¥u hìn v· bë mæn n y tæi m¤nh d¤n t¼m hiºu · t i: "Khæng gian
Sobolev phö thuëc thíi gian ".
0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu
0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu
èi t÷ñng nghi¶n cùu l khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian.
5
0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu.
V§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong khâa luªn l v§n · cán mîi m´ so vîi sinh
vi¶n bªc ¤i håc, v¼ vªy ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sû döng chõ y¸u l nghi¶n
cùu l½ thuy¸t cö thº l khæng gian Sobolev. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu gçm
câ s÷u t¦m t i li»u, åc hiºu t i li»u tr¶n cì sð â ph¥n t½ch, têng hñp, di¹n
gi£i, l m rã v tr¼nh b y th nh mët h» thèng º gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra
cõa khâa luªn.
0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu
Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa khâa luªn l nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t, ành l½,
v c¡c v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian, bao gçm
khæng gian Lp(0, T ; X), khæng gian C([0, T ]; X), ¤o h m y¸u trong khæng
gian Lp(0, T ; X), v khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X).
0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v nhúng âng gâp cõa khâa
luªn.
0.3.1 Möc ½ch
Möc ½ch cõa khâa luªn l l m rã c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t, ành l½,...trong
khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian.
âng gâp th¶m t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n v t§t c£ nhúng ai y¶u
th½ch, quan t¥m ¸n bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng.
0.3.2 Nhi»m vö
Vîi möc ½ch °t ra nhi»m vö nghi¶n cùu cõa khâa luªn l n¶u ra v chùng
minh c¡c v§n · li¶n quan ¸n khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian.
0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn
âng gâp nêi bªt cõa khâa luªn l l m rã r ng, chi ti¸t hìn h» thèng tri
thùc mîi, chuy¶n s¥u v· bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i. â
6
l c¡c kh¡i ni»m ki¸n thùc mîi nh÷: ành ngh¾a ¤o h m y¸u, ¤o h m suy
rëng, khæng gian Sobolev ngo i ra ta bi¸t c¡c t½nh ch§t v v§n · li¶n quan
cõa khæng gian Sobolev,...°c bi»t khâa luªn cung c§p th¶m mët ph¦n ki¸n
thùc cõa bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i, â l nâi v· khæng
gian Sobolev phö thuëc thíi gian v c¡c v§n · li¶n quan.
7
Ch֓ng 1
Mët sè ki¸n thùc li¶n quan
1.1 Khæng gian Banach
Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh thüc.
ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû E l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng væ h÷îng c¡c sè
thüc R hay sè phùc C. H m ρ x¡c ành tr¶n E gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u
ρ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau
i.
ρ(x) ≥ 0
vîi ∀x ∈ E v ρ(x) = 0 th¼ x = 0
ii.
ρ(λx) = |λ| ρ(x)
iii.
ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y)
vîi ∀λ ∈ K v ∀x ∈ E
vîi ∀x, y ∈ E
Khæng gian vectì E còng vîi mët chu©n ρ tr¶n nâ gåi l khæng gian tuy¸n
t½nh ành chu©n hay ngn gån l khæng gian ành chu©n.
M»nh · 1.1. N¸u ρ l mët chu©n tr¶n E th¼ cæng thùc
d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E)
(1.1)
x¡c ành mët kho£ng c¡ch tr¶n E thäa m¢n
d(x + y, y + z) = d(x, y)
d(λx, λy) = |λ| d(x, y)
vîi ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K.
Kho£ng c¡ch d x¡c ành bði cæng thùc (1.1) ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch sinh bði
chu©n ρ.
8
ành ngh¾a 1.2. Khæng gian ành chu©n E l mët khæng gian metric vîi
kho£ng c¡ch sinh bði chu©n x¡c ành bði
d(x, y) := kx − yk,
vîi x, y ∈ E
ành ngh¾a 1.3. i. D¢y {uk }∞k=1 ⊂ E ÷ñc gåi l d¢y Cauchy trong E
n¸u vîi måi > 0, ∃N > 0 sao cho kuk − ul k < , vîi k, l ≥ N.
ii.
l ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö, câ ngh¾a l vîi
∞
{uk }∞
k=1 ⊂ E l d¢y Cauchy, tçn t¤i u ∈ E sao cho {uk }k=1 hëi tö ¸n u.
E
iii. Khæng gian Banach E l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ.
ành ngh¾a 1.4. Khæng gian metric E ÷ñc gåi l khæng gian metric ¦y
(hay õ) n¸u måi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö.
ành ngh¾a 1.5. Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E ÷ñc gåi l khæng
gian Banach
metric ¦y.
n¸u E còng vîi metric sinh bði chu©n tr¶n E l mët khæng gian
ành ngh¾a 1.6. Khæng gian ành chu©n E gåi l kh£ ly n¸u E câ mët tªp
con ¸m ÷ñc trò mªt trong E.
E kh£ li n¸u tçn t¤i mët d¢y {xn }n∈N c¡c ph¦n tû cõa E sao cho vîi méi
x ∈ E ·u câ ½t nh§t mët d¢y con {xn }n∈N hëi tö ¸n x.
∗
k
∗
ành ngh¾a 1.7. Ta nâi r¬ng d¢y {uk }∞k=1 ⊂ E hëi tö ¸n u ∈ E n¸u
lim kuk − uk = 0
k→∞
Ta cán vi¸t,
uk → u
khi k → ∞.
1.2 Khæng gian Hilbert.
1.2.1 D¤ng Hermite.
ành ngh¾a 1.8. Cho E l khæng gian vectì (phùc). D¤ng Hermite tr¶n E
l ¡nh x¤ ϕ : E × E −→ C thäa m¢n
9
i.
ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), ∀x1 , x2 , y ∈ E
ii.
ϕ(λx, y) = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E; ∀λ ∈ C
iii.
ϕ(x, y) = ϕ(x, y), ∀x, y ∈ E
ành ngh¾a 1.9. D¤ng Hermite ϕ tr¶n E gåi l d÷ìng v vi¸t ϕ ≥ 0 n¸u
ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E
Bê · 1.1. (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwartz) Gi£ sû ϕ l d¤ng hermite
d÷ìng tr¶n khæng gian vectì E. Khi â
|ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x).ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E
°t a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y). Chó þ r¬ng a, c l c¡c
sè thüc khæng ¥m, v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l |b|2 ≤ ac. Vîi måi
λ ∈ C ta câ:
Chùng minh.
0 ≤ ϕ(x + λy, x + λy) = ϕ(x, x) + λϕ(x, y) + λϕ(y, x) + λλϕ(y, y)
a + λb + λb + λλc ≥ 0
vîi måi
λ∈C
(1.2)
N¸u mët trong c¡c sè a ho°c c d÷ìng, ch¯ng h¤n c > 0 ta thay λ = − cb v o
(1.2) ð tr¶n ta câ
b
bb
bb
b
0 ≤ a − b − b + 2c = a −
c
c
c
c
hay |b|2 ≤ a.c
N¸u a = c = 0 ta thay λ = −b, a = c = 0 v o (1.2) ta ÷ñc −2|b|2 ≥ 0 do â
b = 0 v ta v¨n thu ÷ñc |b|2 ≤ a.c.
Tâm l¤i, trong måi tr÷íng hñp ta ·u câ |b|2 ≤ a.c.
ành l½ ÷ñc chùng minh.
Bê · 1.2. (B§t ¯ng thùc Minkowski.) N¸u ϕ l d¤ng Hermite d÷ìng
tr¶n khæng gian vectì E th¼
q
ϕ(x + y, x + y) ≤
q
ϕ(x, x) +
10
q
ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E
Chùng minh.
Bði v¼
ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, y)
= ϕ(x, x) + 2Reϕ(x, y) + ϕ(y, y)
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz ta câ:
q
Reϕ(x, y) ≤ |ϕ(x, y)| ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y).
Suy ra
q
ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + 2 ϕ(x, x)ϕ(y, y) + ϕ(y, y)
q
2
=
ϕ(x, x) + ϕ(y, y)
Vªy
q
ϕ(x + y, x + y) ≤
q
ϕ(x, x) +
q
ϕ(y, y)
vîi måi x, y ∈ E
ành l½ ÷ñc chùng minh.
1.2.2 T½ch væ h÷îng
T½ch væ h÷îng tr¶n khæng gian vectì E l d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n E v
thäa m¢n th¶m i·u ki»n ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.
N¸u ϕ l t½ch væ h÷îng tr¶n E th¼ chóng ta k½ hi»u ϕ(x, y) bði < x, y > v
ta gåi < x, y > l t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y.
Khæng gian vectì E còng vîi mët t½ch væ h÷îng h., .i tr¶n nâ gåi l khæng
gian ti·n Hilbert.
p
Cæng thùc kxk = (x, x); ∀x ∈ E x¡c ành mët chu©n tr¶n E do â khæng
gian ti·n Hilbert l khæng gian ành chu©n vîi chu©n sinh bði t½ch væ h÷îng
â.
ành ngh¾a 1.10. N¸u khæng gian ti·n Hilbert E ¦y vîi metric sinh bði
t½ch væ h÷îng tr¶n E ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert.
ành ngh¾a 1.11. Cho mët khæng gian tuy¸n t½nh E. Mët h m sè f (x) x¡c
ành tr¶n E v l§y g½ trà l sè (thüc hay phùc, tòy theo E l khæng gian thüc
hay phùc) gåi l mët phi¸m h m tr¶n E. Phi¸m h m â gåi l tuy¸n t½nh n¸u
11
1. f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ E.
2. f (αx) = αf (x) vîi måi x ∈ E v måi sè α.
V f ÷ñc gåi l bà ch°n n¸u câ mët h¬ng sè C > 0 º cho
(∀x ∈ E) |f (x)| ≤ Ckxk.
ành ngh¾a 1.12. (hëi tö y¸u)
Ta nâi d¢y {uk }∞k=1 ⊂ E hëi tö y¸u ¸n u ∈ E n¸u < u∗, uk >−→< u∗, u >
vîi måi phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n u∗ ∈ E∗ v k½ hi»u l uk * u.
(E∗ l tªp hñp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n E, v gåi l
khæng gian èi ng¨u cõa E.)
D¹ d ng kiºm tra r¬ng: N¸u uk → u, th¼ uk * u. v ta công câ mët d¢y hëi
tö y¸u th¼ bà ch°n. Tø â, n¸u uk * u th¼ kuk ≤ k→∞
lim inf kuk − uk
Bê · 1.3. N¸u d¢y {uk }∞k=1 hëi tö y¸u tîi u trong khæng gian Hilbert H,
th¼
kuk ≤ lim kuk k
k→∞
hìn núa v¸ ph£i cõa ¯ng thùc l húu h¤n.
Bê · 1.4. Gi£ sû H l khæng gian Hilbert kh£ ly. Khi â tø mët d¢y con
bà ch°n trong H câ thº tr½ch ra mët d¢y con hëi tö y¸u trong H.
1.3 Khæng gian Sobolev
1.3.1 Khæng gian C k (Ω).
Gi£ sû x = (x1, x2, ..., xn) l mët iºm cõa khæng gian Euclid n-chi·u Rn.
Khi â
-
C(Ω)
l tªp hñp t§t c£ c¡c h m li¶n töc ÷ñc x¡c ành tr¶n Ω.
l tªp hñp c¡c h m tr¶n Ω sao cho ¤o h m ¸n c§p k tçn t¤i
v li¶n töc.
C k (Ω)
C ∞ (Ω)
l tªp hñp t§t c£ c¡c h m kh£ vi væ h¤n l¦n.
12
-
Cc (Ω)
l tªp hñp c¡c h m li¶n töc v câ gi¡ compact trong Ω.
Gi£ sû Ω l mët tªp mð trong Rn, u ∈ C ∞(Ω). Ta k½ hi»u {x ∈ Ω |u(x) 6= 0}
l gi¡ cõa h m u, v k½ hi»u l supp u. N¸u supp u compact th¼ h m u(x)
÷ñc gåi l câ gi¡ compact.
Ta câ:
-
l tªp hñp t§t c£ c¡c h m câ t½nh ch§t thuëc C(Ω) sao cho gi¡
cõa chóng compact v thuëc v o Ω.
◦
C (Ω)
◦
◦
C k (Ω) = C k (Ω) ∩ C (Ω)
◦
∞
◦
C (Ω) = C ∞ (Ω) ∩ C (Ω)
1.3.2 Khæng gian Lp(Ω)
ành ngh¾a 1.13. Cho Ω l mët tªp o ÷ñc Lebesgue trong Rk v µ l
ë o Lebesgue tr¶n σ- ¤i sè F c¡c tªp o ÷ñc Lebesgue tr¶n Rk . Vîi méi
p ≥ 1, k½ hi»u Lp (Ω) l tªp t§t c£ c¡c h m kh£ t½ch (Lebesgue) bªc p tr¶n Ω
Lp (Ω) = {f : Ω −→ R
o ֖c :
R
|f |p dµ < +∞}
Ω
ành lþ 1.1. Khæng gian Lp(Ω) vîi 1 ≤ p < +∞ l mët khæng gian tuy¸n
t½nh ành chu©n õ (khæng gian Banach).
vîi chu©n x¡c ành bði
kf kp =
Z
p
p1
|f | dµ
Ω
ành lþ 1.2. Gi£ sû Ω l mët mi·n trong Rn. Tªp hñp Cc(Ω) trò mªt trong
khæng gian Lp (Ω), p > 1.
Bê · 1.5. N¸u p, q > 1 vîi p1 + 1q = 1 th¼ vîi måi α, β ∈ R+ ta câ
α.β ≤
αp
p
+
βq
q
Tr÷îc h¸t, n¸u α = 0 ho°c β = 0 th¼ bê · hiºn nhi¶n óng.
Gi£ sû α > 0 v β > 0, x²t h m sè
Chùng minh.
13
f (t) =
tp
p
+
t−q
q , (t
> 0)
Do f 0(t) = t−q−1(tp+q − 1) = 0 khi t = 0 v f 0(t) < 0 tr¶n kho£ng (0; 1)
f 0 (t) > 0 tr¶n kho£ng (1; +∞) n¶n f câ gi¡ trà cüc tiºu l f (1) = p1 + 1q = 1.
Nh÷ vªy
t
t
p + q ≥ 1 vîi måi t > 0
thay t = α .β v o b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc
−q
p
1
q
−1
p
q
p
α q .β −1 β p .α−1
+
≥1
p
q
Nh¥n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n vîi αβ vîi l÷u þ r¬ng
q
p + 1 = q, ta ֖c
p
q
+1 = p
v
αp β q
α.β ≤
+
p
q
Bê · 1.6. (B§t ¯ng thùc Hölder) Gi£ sû p, q > 1 sao cho p1 + 1q = 1.
Khi â vîi måi f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω), ta câ
Z
Ω
|f.g| dµ ≤
Z
|f |p dµ
Ω
p1 Z
|g|q dµ
1q
Ω
hay ta cán vi¸t
kf gk1 ≤ kf kp kgkq
N¸u kf k = 0 ho°c kgk = 0 th¼ f = 0 ho°c g = 0 h.k.n. Suy ra
f.g = 0 h.k.n v do â kf gk1 = 0. Vªy b§t ¯ng thùc óng trong tr÷íng hñp
n y. X²t tr÷íng hñp kf kp > 0, kgkq > 0. Vîi méi x ∈ Ω ¡p döng bê · 1.5
vîi
|f (x)|
|g(x)|
α=
v
β=
kf kp
kgkq
ta ֖c
p
q
Chùng minh.
|f (x)g(x)|
1 |f (x)|
1 |g(x)|
≤
+
kf kp kgkq
p kf kpp
q kgkqq
14
L§y t½ch ph¥n 2 v¸ theo ë o µ ta câ
1
kf kp kgkq
hay
Suy ra
Z
Ω
1
|f (x)g(x)| dµ ≤
p kf kpp
Z
Ω
1
|f (x)| dµ+
q kgkqq
p
p
Z
|g(x)|q dµ
Ω
q
1 kf kp 1 kgkq
1 1
kf gk1
≤
+ =1
p +
q =
kf kp kgkq
p kf kp q kgkq
p q
kf gk1 ≤ kf kp kgkq
Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian L (Ω), p > 1.
a) T½nh kh£ ly
p
ành lþ 1.3. Gi£ sû p ≥ 1 v Ω l mët mi·n thuëc Rn. Tçn t¤i mët tªp con
¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû cõa khæng gian Lp (Ω), sao cho bao tuy¸n t½nh cõa nâ
trò mªt trong Lp (Ω).
Gi£ sû R l mët sè húu t¿ n o â, x ∈ Rn.
K½ hi»u Q(x, R) l h¼nh hëp
Chùng minh.
Q(x, R) = y ∈ Rn : |yi − xi | < R, i = 1, n
gi£ sû f ∈ Lp(Ω) v > 0. °t f (x) = 0 vîi x 6= Ω, v x²t nh÷ mët h m
thuëc Lp(Rn). Chån R l mët sè nguy¶n õ lîn sao cho
|f (x)|p dx < εp
R
Khi â
Rn \Q(0,R)
Z
|f (x) + g(x)|p dx < εp
Q(0,R+1)
V¼ h m gR li¶n töc tr¶n Q(0, R + 1) n¶n nâ li¶n töc ·u tr¶n Q(0, R). Do vªy
∃δ > 0 sao cho
−n
|gR (x) − gR (y)| < εR p ; x, y ∈ Q(0, R), |x − y| < δ
15
l§p δ = R√n2−N vîi N l mët sè nguy¶n n o â º δ õ nhä. Chia h¼nh hëp
Q(0, R) th nh c¡c h¼nh hëp nhä khæng giao nhau câ ë d i c¤nh l R2− N v
x²t tªp hñp S bao gçm c¡c h m °c tr÷ng Xj (x) cõa h¼nh hëp n y vîi måi
N
°t
X
h(x) =
gR (xj )Xj (x)
j
trong â xj l t¥m cõa c¡c h¼nh hëp nhä.
Khi â
|gR (x) − h(x)| = |gR (x) − gR (xj )| < εR
−n
p
N¸u x phö thuëc v o h¼nh hëp vîi t¥m xj . Ta câ
Z
|gR − h|p dx < εp
Q(0,R)
°t:
gR (x) = 0, h(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn \Q(0, R) ta ÷ñc
R
p
1
p
|f (x) − h(x)| dx
≤
Rn
1
p
p
R
|f (x) − h(x)| dx
+
R
≤
|f (x) − gR (x)|p dx
+
R
≤
|gR (x) − h(x)|p dx
R
!1
p
+
!1
p
|f (x) − gR (x)|p dx
+
Q(0,R+1)
|f (x)| dx
R
|f (x)|p dx
R
!1
p
Rn \Q(0,R)
Q(0,R)
Q(0,R)
p1
Rn \Q(0,R)
Q(0,R)
!1
p
p
R
!1
p
|gR (x) − h(x)|p dx
+
R
!1
p
|f (x)|p dx
Rn \Q(0,R)
Q(0,R)
≤ 3ε
Do vªy tªp hñp c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c h m Xj , trò mªt trong Lp(Ω).
ành l½ ÷ñc chùng minh.
b) T½nh li¶n töc to n cöc cõa c¡c h m thuëc L (Ω)
p
Mët trong nhúng ùng döng quan trång cõa c¡c h m thuëc khæng gian
Lp (Ω), p ≥ 0 l t½nh li¶n töc to n cöc cõa nâ.
ành lþ 1.4. Gi£ sû Ω l mët mi·n thuëc Rn, f ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, f (x) = 0
b¶n ngo i Ω. Khi â vîi méi > 0 tçn t¤i mët sè δ > 0, sao cho
Z
|f (x) − f (x + y)|p dx < ε
Ω
16
vîi måi y thäa m¢n |y| < δ .
ành ngh¾a 1.14. Mët mi·n Ω thuëc Rn ÷ñc gåi l mi·n sao èi vîi iºm
x0 , n¸u vîi méi iºm x ∈ Ω, o¤n th¯ng nèi x0
vîi x công thuëc v o mi·n Ω.
Tr÷íng hñp °c bi»t, mi·n lçi l mi·n sao èi vîi måi iºm thuëc mi·n â.
D÷îi ¥y l mët ành l½ v· t½nh li¶n töc to n cöc trong mi·n h¼nh sao cõa
mët h m thuëc khæng gian Lp(ω).
ành lþ 1.5. Gi£ sû Ω l mët mi·n h¼nh sao èi vîi gèc tåa ë v f
∈
Lp (Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â, vîi måi > 0, sao cho
Z
|f (x) − f (λx)|p dx < ,
Ω
n¸u, |λ − 1| < δ.
Bði v¼ f (λx) = f (x + (λ − 1)x). Do Ω l mi·n sao èi vîi gèc
tåa ë, n¶n (λ − 1)x ∈ Ω. Tø ¥y v tø ành l½ 1.4 suy ra k¸t luªn cõa ành
l½.
ành l½ ÷ñc chùng minh.
Chùng minh.
c) Trung b¼nh hâa.
ành ngh¾a 1.15. Gi£ sû θ(x) l mët h m thüc thuëc lîp C ∞(Rn) sao cho
◦
θ(x) = θ(−x), θ(x) ≥ 0, θ(x) = 0
n¸u |x| > 1 v
R
H m θ(x) ÷ñc gåi l nh¥n trung b¼nh hâa.
R
n
θ(x) = 1.
N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, th¼ h m
−n
Z
uh (x) = h
θ(
x−y
)u(y)dy
h
Ω
÷ñc x¡c ành trong Rn v trìn væ h¤n. Nâ ÷ñc gåi l trung b¼nh hâa hay
h m trung b¼nh cõa h m u.
ành lþ 1.6. N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1 th¼ h→0
lim kuh − ukL (Ω) = 0
p
17
Chùng minh.
°t u(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn\Ω. Khi â,
uh (x) = h−n
Z
x−y
)u(y)dy =
θ(
h
Z
θ(z)u(x + hz)dz
Rn
Ω
Bði vªy
uh (x) − u(x) =
Z
θ(z) [u(x + hz) − u(x)] dz
Rn
Z
p
|uh (x) − u(x)| ≤ C
[u(x + hz) − u(x)]p dz
|z|<1
Sau khi l§y t½ch ph¥n ¯ng thùc n y theo x v êi thù tü l§y t½ch ph¥n
nhí ành l½ Fubini ta nhªn ÷ñc
Z
Z
p
|uh (x) − u(x)| dx ≤ C
Ω
Z
dz
[u(x + hz) − u(x)]p dz
Ω
|z|<1
Theo ành l½ t½nh li¶n töc to n cöc, t½ch ph¥n sau còng d¦n ¸n khæng khi
h → 0.
ành l½ ÷ñc chùng minh.
ành lþ 1.7. N¸u f, g ∈ L1(Ω), th¼
Z
Z
fh (x)g(x)dx =
Ω
Chùng minh.
Z
Ω
f (x)gh (x)dx.
Ω
Theo ành ngh¾a trung b¼nh hâa, ta câ:
x
−
h
fh (x)g(x)dx = h−n
θ
f (y)dy g(x)dx
y
Ω
Ω
Z
Z
x−h
−n
=h
f (y)dy θ
g(x)dx
y
Ω
Z Ω
= f (x)gh (x)dx
ành l½ ÷ñc chùng minh.
Z Z
Ω
ành lþ 1.8. N¸u f ∈ L1(Ω) v R f (x)ϕ(x)dx = 0 vîi måi ϕ ∈ C ∞(Ω) th¼
◦
f = 0.
Ω
18
1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω)
ành ngh¾a 1.16. Gi£ sû u, v ∈ L1loc(U ) v α l mët a ch¿ sè. Ta nâi r¬ng
v
l ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u
Z
uDα φdx = (−1)α
U
Z
vφdx
U
óng vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ).
K½ hi»u:
Dα u = v.
Trong â: αα = (α1α, α2, ..., αn), |α| = α1 + α2 + ... + αn = k,
v Dαφ = ∂x∂ α ... ∂x∂
1
1
1
n
n
αn
Bê · 1.7. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u.) Mët ¤o h m y¸u c§p α cõa
u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n tªp câ ë
o khæng).
Chùng minh.
Gi£ sû v1, v2 ∈ L1loc(U ) l ¤o h m y¸u cõa u ta chùng minh
h.k.n.
Thªt vªy, do v1, v2 ∈ L1loc(U ) l ¤o h m y¸u cõa u n¶n theo ành ngh¾a
th¼ ta câ
Z
Z
Z
v1 = v2
uDα φdx = (−1)α
U
v1 φdx = (−1)α
U
U
vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ). Khi â
Z
v2 φdx
(v1 − v2 )φdx = 0
U
vîi måi φ ∈ Cc∞(U ), khi â v1 − v2 = 0 h.k.n .
i·u ph£i chùng minh.
Sau ¥y ta ÷a v½ dö º ch¿ sü tçn t¤i ¤o h m y¸u cõa mët h m:
V½ dö 1.1. Cho n = 1, U = (0, 2) v u(x), v(x) ÷ñc x¡c ành bði
u(x) =
x
1
n¸u 0 < x ≤ 1
n¸u 1 < x < 2
19
- Xem thêm -