Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Không gian phân thớ và một vài tính chất...

Tài liệu Không gian phân thớ và một vài tính chất

.PDF
44
513
146

Mô tả:

Không gian phân thớ và một vài tính chất
Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt Ngµnh: S­ ph¹m To¸n BMT - 2011 Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Khãa luËn tèt nghiÖp Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt GVDH: Ts. Ng« §×nh Quèc BMT - 2011 Lêi c¶m ¬n §Ó hoµn thµnh luËn v¨n tèt nghiÖp nµy, t«i ®· nhËn ®­îc rÊt nhiÒu sù quan t©m tõ thÇy c«, gia ®×nh còng nh­ b¹n bÌ. Víi t×nh c¶m ch©n thµnh vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c t«i xin c¶m ¬n TS. Ng« §×nh Quèc, ng­êi ®· dµnh rÊt nhiÒu thêi gian quý b¸u vµ t©m huyÕt ®Ó gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin c¶m ¬n toµn thÓ thÇy c« gi¸o tr­êng §¹i häc T©y Nguyªn - nh÷ng ng­êi b¹n ®­êng trªn hµnh tr×nh ®i t×m tri thøc, nh÷ng ng­êi ®· nhiÖt t×nh d¹y dç vµ truyÒn ®¹t cho t«i nh÷ng kiÕn thøc quý b¸u trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr­êng. Xin c¶m ¬n tËp thÓ líp S­ ph¹m To¸n K2007 ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n bè mÑ vµ c¸c em t«i ®· lu«n ®éng viªn, gióp ®ì t«i trong nh÷ng n¨m th¸ng häc ®¹i häc còng nh­ trong qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ 2 Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Trang phô b×a Lêi c¶m ¬n Môc lôc Danh s¸ch h×nh Më ®Çu 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt 0.1.2 Môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.1 C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu . . . . . . . 6 0.3.2 Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . 7 Ch­¬ng 1 : 1.1 8 KiÕn thøc chuÈn bÞ Kh«ng gian t«p« vµ T2 − kh«ng gian . . . . . . . . . . . . 8 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 §a t¹p kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 CW-phøc 18 Ch­¬ng 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô 20 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch 26 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh . . 29 2.6 TÝnh chÊt ®Þa ph­¬ng cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Sù më réng cña nh¸t c¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . KÕt luËn 39 Tµi liÖu tham kh¶o 40 3 Danh s¸ch h×nh 1.1 H×nh 1: B¶n ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 H×nh 2: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 H×nh 3: B¶n ®å phï hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 H×nh 4: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 H×nh 5: Ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 H×nh 6: D¶i Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 H×nh 7: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c . . . . . . . 22 2.4 H×nh 8: Nh¸t c¾t ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Më ®Çu 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt Ph©n thí vect¬ lµ c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc-t«p«. §Ó b­íc vµo nghiªn cøu H×nh häc th× b¾t buéc nhµ nghiªn cøu ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí vµ ph©n thí vect¬. Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. §Ó tËp nghiªn cøu vµ bæ sung c¸c kiÕn thøc ban ®Çu vÒ chuyªn ngµnh h×nh häc t«i ®· chän nghiªn cøu ®Ò tµi: tÝnh chÊt. 0.1.2 + Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi Môc tiªu cña ®Ò tµi §Ò tµi tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu vÒ kh«ng gian ph©n thí, nªu mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy c¸ch chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, 5 6 H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. N¨m 1950, Steenrod ®· hÖ thèng l¹i c¸c nghiªn cøu vÒ ph©n thí trong giai ®o¹n ®ã [4]. N¨m 1955, Milnor ®­a ra cÊu tróc chung cña ph©n thí cho mét nhãm t«p« bÊt k× [4]. Tõ 1950-1955, Hirzebruch ®· lµm s¸ng tá kh¸i niÖm líp ®Æc tr­ng cña ph©n thí vµ sö dông nã ®Ó chøng minh ®Þnh lÝ Riemann-Roch cho ®¹i sè ®a t¹p [4]. VÊn ®Ò ®ã ®· ®­îc xuÊt b¶n trong cuèn Ergebnisse Monograph cña «ng ta. Nh÷ng n¨m ®Çu thËp kû 1960 Grothendieck, Atiyah vµ Hirzebruch ®· ph¸t triÓn K -lý thuyÕt, mét lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu tæng qu¸t ®­îc x¸c ®Þnh bëi c¸c líp æn ®Þnh cña ph©n thí vect¬. §Þnh lÝ tuÇn hoµn Bott ®· ®­îc chøng minh nh­ mét ®Þnh lÝ trong K - lý thuyÕt vµ Adams ®· gi¶i quyÕt vÊn ®Ò tr­êng vect¬ trªn qu¶ cÇu b»ng c¸ch sö dông K -lý thuyÕt [4]. 0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu 0.3.1 + C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu S­u tÇm tµi liÖu trong vµ ngoµi n­íc cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi ë c¸c th­ viÖn, mua s¸ch b¸o ë c¸c nhµ xuÊt b¶n, c¸c t¹p chÝ trªn internet... + Nghiªn cøu tµi liÖu, t×m c¸ch tr×nh bµy c¸c chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt ®· cã hoÆc ch­a thÊy chøng minh ë ®©u. + Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu to¸n häc, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. 7 0.3.2 + Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm cña kh«ng gian ph©n thí (®Ò tµi chØ xÐt ph©n thí tæng qu¸t) vµ mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Kh«ng gian t«p« vµ §Þnh nghÜa T2 − kh«ng gian X. T c¸c tËp con cña X ®­îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«. C¸c tËp hîp thuéc T 1.1. ([1]-Tr.56) Cho tËp hîp Hä ®­îc gäi lµ mét t«p« nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (T1 ) ∅, X ∈ T (T2 ) NÕu Gα ∈ T , α ∈ I S th× Gα ∈ T α∈I (T3 ) NÕu G1 , G2 ∈ T Khi ®ã cÆp (X, T ) th× G1 ∩ G2 ∈ T ®­îc gäi lµ c¸c tËp më trong VÝ dô X ®èi víi t«p« T, hay T -më. 1.1. ([1]-Tr.56,57) 1. Gi¶ sö X lµ mét tËp tïy ý, T = {X, ∅}. vµ nã ®­îc gäi lµ t«p« th« trªn Khi ®ã X , (X, T ) T lµ mét t«p« trªn X, ®­îc gäi lµ kh«ng gian t«p« th«. 2. Gi¶ sö X = R. KÝ hiÖu T = ( [ ) (ai , bi )|ai , bi ∈ R, ai ≤ bi i∈I Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn t«p« tù nhiªn) trªn 3. Cho X ). X X, vµ ®­îc gäi lµ t«p« th«ng th­êng (hay X. T = P(X)(tËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña lµ mét tËp bÊt k×. KÝ hiÖu: Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn X t«p« rêi r¹c. 8 vµ (X, T ) ®­îc gäi lµ kh«ng gian 9 con U U cña kh«ng gian t«p« X TËp A nÕu trong Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö x∈X lµ {x} l©n cËn cña tËp con 1.3. ([1]-Tr.57) TËp con lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña VÝ dô ®­îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp A. cã mét tËp con më chøa §Þnh nghÜa (X, T ), A ⊂ X . 1.2. ([1]-Tr.57) Cho kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa A trong A X cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ tËp më. 1.2. ([1]-Tr.57,58) 1. XÐt kh«ng gian t«p« th« X. Khi ®ã ta cã tËp X vµ ∅ ®ång thêi võa lµ tËp ®ãng, võa lµ tËp më. 2. XÐt R víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng mét tËp më, mçi ®o¹n §Þnh nghÜa Khi ®ã hä U (a, b) = {x : a < x < b} [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} 1.4. ([1]-Tr.98) Cho (X, T ) ®­îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p« T trªn lµ mét t«p« trªn Y. gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa 1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p« gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi c¸c l©n cËn VÝ dô Ux cña x vµ Vy cña y lµ mét tËp ®ãng. lµ mét kh«ng gian t«p«, U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T } sao cho lµ Kh«ng gian Y ⊂ X. Y. T«p« (Y, U) ®­îc (X, T ). X ®­îc gäi lµ x, y ∈ X mµ T2 −kh«ng x 6= y tån t¹i Ux ∩ Vy = ∅. 1.3. 1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö Khi ®ã ta cã X lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ d(a, b) =  > 0. XÐt c¸c h×nh cÇu më G ∩ H = ∅. d(b, p) <  3. a, b ∈ X, a 6= b. G = S(a, 3 ), H = S(b, 3 ). ThËt vËy, nÕu tån t¹i p∈G∩H Ta cÇn chøng minh th× ta cã d(a, p) <  3 vµ 10 MÆt kh¸c ta cã d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p) Suy ra 2   + = 3 3 3 ≤ VËy X ( V« lÝ ) lµ kh«ng gian Hausdorff. 2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff. ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« 1.2 §Þnh nghÜa Mét ¸nh x¹ f W f f −1 (W ) th× Chøng minh. x∈X liªn tôc t¹i X, Y f (V ) ⊂ W , Khi ®ã do suy ra cña x0 sao cho nÕu f (V ) ⊂ W . ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn X. lµ hai kh«ng gian t«p«, x∈X f : X −→ Y . khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn W cña x. lµ l©n cËn cña f (x). f th× ([1]-Tr.80) Gi¶ sö mét l©n cËn cña sao cho f (x0 ) tån t¹i l©n cËn V 1.1. ([1]-Tr.80) Cho Khi ®ã ¸nh x¹ f (x) cña liªn tôc víi mäi §Þnh lÝ lµ hai kh«ng gian t«p«. f : (X, T ) −→ (Y, U) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X víi mçi l©n cËn NÕu (X, T ), (Y, U) 1.6. ([1]-Tr.79) Cho f : X −→ Y f liªn tôc t¹i V ⊂ f −1 (W ), liªn tôc t¹i x∈X vµ x nªn tån t¹i l©n cËn V do ®ã f −1 (W ) W lµ cña x lµ mét l©n cËn cña x. Ng­îc l¹i, gi¶ sö mét l©n cËn cña §Æt §Þnh lÝ f f (x). Theo gi¶ thiÕt f −1 (W ) lµ Khi ®ã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f (V ) ⊂ W nªn f x. 1.2. ([1]-Tr.80) Cho f : X −→ Y . (a) lµ mét l©n cËn cña x. V = f −1 (W ). liªn tôc t¹i x¹ W (X, T ), (Y, U) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: lµ ¸nh x¹ liªn tôc; 11 (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më; (c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng; (d) ∀A ∈ X ⇒ f (A) ⊂ f (A); (e) ∀B ∈ Y ⇒ f −1 (B 0 ) ⊂ (f −1 (B))0 . Chøng minh. (a) ⇒ (b) ta cã ([1]-Tr.81) Gi¶ sö G lµ mét tËp më trong f (x) ∈ G, do f liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn G ⇒ x ∈ V ⊂ f −1 (G), do ®ã f −1 (G) l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn (b) ⇒ (c) cã F f (A) ⊂ f (A) (d) ⇒ (e) A ∈ X, Víi mäi nªn Víi mäi (c) B ∈Y, Y. ta cã A ⊂ f −1 (f (A)). theo (d) cña x x ∈ f −1 (G) sao cho f (V ) ⊂ x ⇒ f −1 (G) lµ (b) ta lµ tËp më. Ta cã lµ tËp më. Do ®ã theo V Víi mçi lµ mét l©n cËn cña f −1 (G) lµ mét tËp ®ãng trong f −1 (Y \F ) = X\f −1 (F ) (c) ⇒ (d) do XÐt Y , G 6= ∅. Y \F f −1 (F ) f −1 (f (A)) Do ®ã lµ tËp më, theo lµ tËp ®ãng. lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c f (A) ⊂ f (A). ta cã f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B Suy ra f −1 (B) ⊂ f −1 (B). Do ®ã ∀B ∈ Y ta cã: X\f −1 (B) = f −1 (Y \B) ⊂ f −1 (Y \B) Suy ra f −1 (B 0 ) = X\f −1 (Y \B) ⊂ X\X\f −1 (B) = (f −1 (B))0 (e) ⇒ (a) Víi mçi x ∈ X, gäi W lµ l©n cËn më cña f (x). cã: x ∈ f −1 (W ) = f −1 (W 0 ) ⊂ (f −1 (W ))0 Theo gi¶ thiÕt ta 12 §Æt V = (f −1 (W ))0 , liªn tôc tai §Þnh lÝ suy ra f lµ mét l©n cËn cña liªn tôc trªn 1.3. ([1]-Tr.82) Cho x vµ f (V ) ⊂ W . Do ®ã f X. (X, TX ), (Y, TY ), (Z, TZ ) f : X −→ Y, g : Y −→ Z t«p«, Z x, V ta cã lµ c¸c kh«ng gian lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã g◦ f : X −→ lµ ¸nh x¹ liªn tôc. f Do liªn tôc nªn §Þnh nghÜa f : X −→ Y liªn tôc vµ G ∈ TZ . ([1]-Tr.82) Víi mäi Chøng minh. f −1 (g −1 (G)) ∈ TX . 1.7. ([1]-Tr.83) Cho Do Cho nªn X, Y g liªn tôc nªn g◦ f liªn tôc. lµ hai kh«ng gian t«p«. ®­îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu f −1 g −1 (G) ∈ TY . f ¸nh lµ mét song ¸nh, x¹ f liªn tôc. Khi ®ã hai kh«ng gian X vµ Y ®­îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ t­¬ng ®­¬ng t«p«. §Þnh nghÜa Y. Khi ®ã, trong 1.3 X th× f X, Y 1.8. ([1]-Tr.82) Cho lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ A më (®ãng) ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp f (A) më (®ãng) trong Y. Lý thuyÕt ph¹m trï §Þnh nghÜa 1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï (I) Mét líp c¸c ®èi t­îng cña lµ mét vËt cña (II) Hai vËt C kÝ hiÖu C ®­îc cho bëi: Ob(C). Mçi phÇn tö cña Ob(C) C. A, B ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét tËp hîp ®­îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ c¸c cÆp vËt cña C mµ A vµo B tháa m·n: nÕu (A, B) 6= (C, D) th×: M orC (A, B) ∩ M orC (C, D) = ∅ M orC (A, B) (A, B), (C, D) lµ 13 (III) Víi mçi bé ba (A, B, C) ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét ¸nh x¹: M orC (B, C) × M orC (A, B) −→ M orC (A, C) (β, α) 7−→ βα ®­îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ∀α ∈ M orC (A, B), β ∈ M orC (B, C), γ ∈ M orC (C, D) ta cã: γ(βα) = (γβ)α (ii) ∀A ∈ Ob(C), ∃IdA ∈ M orC (A, A) g ∈ M orC (C, A) sao cho ∀f ∈ M orC (A, B), ta cã: (f )IdA = f, IdA (g) = g Ta kÝ hiÖu S M or(C) = M orC (A, B) A,B∈Ob(C) VÝ dô 1.4. ([5]-Tr.9,10) 1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu Set, bao gåm: mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp (A, x0 ), x0 ∈ A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0 ) vµ (B, y0 ) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B 14 tháa m·n f (x0 ) = y0 , phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 1.4 §a t¹p kh¶ vi §Þnh nghÜa 1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p« ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu nÕu X lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®­îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph­¬ng víi §Þnh nghÜa 1.11. ([7]-Tr.7) Cho M Rn . lµ mét ®a t¹p t«p« ®å ®Þa ph­¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph­¬ng) cña U lµ mét tËp më kh¸c rçng trong φ(U ) trong M, φ M n chiÒu. Mét b¶n lµ mét cÆp lµ mét ®ång ph«i tõ U Rn . H×nh 1.1: B¶n ®å x2 y 2 VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) : + = 1 (a > b > 0) a2 b 2 §Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt ¸nh x¹: ϕ : U −→ U A(x, y) 7−→ x Khi ®ã ta cã (U, ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). (X, T ) ThËt vËy, ta cã (U, φ) víi tíi tËp më 15 H×nh (+) Râ rµng (+) U më trong (E) ϕ lµ ®ång ph«i ϕ lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi vµ U 1.2: Elip më trong R A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ U mµ ϕ(A) = ϕ(B), ta cã b x1 = x2 ⇒ y1 = a ϕ lµ toµn ¸nh: Víi mäi q q b 2 a2 − x1 = a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B a t ∈ U, xÐt bp 2 A(t, a − t2 ) ∈ U . a Ta cã ϕ(A) = t ϕ, ϕ−1 liªn tôc: Ta cã tôc. Ngoµi ra VËy (U, ϕ) §Þnh nghÜa hîp, vµ ϕ−1 ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn bp 2 : t 7−→ (t, a − t2 ) liªn tôc. a lµ mét b¶n ®å cña (E). 1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å (U, φ), (V, ψ) ®­îc gäi lµ C k −phï k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U ∩V = ∅ hoÆc φ◦ ψ −1 := ψ(U ∩V ) −→ Rn ψ◦ φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn thuéc líp Ck. 16 H×nh VÝ dô 1.6. XÐt elip 1.3: B¶n ®å phï hîp x2 y 2 (E) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b H×nh §Æt 1.4: Elip U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). ϕ1 : U1 −→ U 1 A(x, y) 7−→ x XÐt ¸nh x¹ 17 §Æt U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). XÐt ¸nh x¹ ϕ2 : U2 −→ U 2 A(x, y) 7−→ y Chøng minh t­¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã (U1 , ϕ1 ) vµ (U2 , ϕ2 ) lµ c¸c b¶n ®å cña (E). §Æt W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0}, W1 = ϕ1 (W ) = (0, a), W2 = ϕ2 (W ) = (0, b). XÐt ¸nh x¹: f : W1 −→ W2 bp 2 a − x2 x 7−→ f (x) = ϕ2 ◦ ϕ1 (x) = a Râ rµng f lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã §Þnh nghÜa t«p« n A A = {(Ui , φi )}i∈I lµ mét phñ cña M, (ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña §Þnh nghÜa kh¶ vi cÊp vµ (U2 , ϕ2 ) phï hîp. 1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp c¸c b¶n ®å (i) (U1 , ϕ1 ) trªn lµ mét ®a t¹p M lµ mét líp tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: M= tøc lµ A k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} M lµ C k −phï 1.14. ([7]-Tr.7) Cho k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} S M trªn i∈I Ui . hîp. lµ mét ®a t¹p M n lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn Mét ®a t¹p t«p« ®­îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp chiÒu, mét cÊu tróc M. k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} k. x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. VÝ dô 1.7. Ta cã (E) : a2 b 2 vËy, ®Æt: ThËt
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan