Tài liệu Không gian phân thớ và một vài tính chất

  • Số trang: 44 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 193 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

Không gian phân thớ và một vài tính chất
Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt Ngµnh: S­ ph¹m To¸n BMT - 2011 Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Khãa luËn tèt nghiÖp Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt GVDH: Ts. Ng« §×nh Quèc BMT - 2011 Lêi c¶m ¬n §Ó hoµn thµnh luËn v¨n tèt nghiÖp nµy, t«i ®· nhËn ®­îc rÊt nhiÒu sù quan t©m tõ thÇy c«, gia ®×nh còng nh­ b¹n bÌ. Víi t×nh c¶m ch©n thµnh vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c t«i xin c¶m ¬n TS. Ng« §×nh Quèc, ng­êi ®· dµnh rÊt nhiÒu thêi gian quý b¸u vµ t©m huyÕt ®Ó gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin c¶m ¬n toµn thÓ thÇy c« gi¸o tr­êng §¹i häc T©y Nguyªn - nh÷ng ng­êi b¹n ®­êng trªn hµnh tr×nh ®i t×m tri thøc, nh÷ng ng­êi ®· nhiÖt t×nh d¹y dç vµ truyÒn ®¹t cho t«i nh÷ng kiÕn thøc quý b¸u trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr­êng. Xin c¶m ¬n tËp thÓ líp S­ ph¹m To¸n K2007 ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n bè mÑ vµ c¸c em t«i ®· lu«n ®éng viªn, gióp ®ì t«i trong nh÷ng n¨m th¸ng häc ®¹i häc còng nh­ trong qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ 2 Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Trang phô b×a Lêi c¶m ¬n Môc lôc Danh s¸ch h×nh Më ®Çu 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt 0.1.2 Môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.1 C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu . . . . . . . 6 0.3.2 Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . 7 Ch­¬ng 1 : 1.1 8 KiÕn thøc chuÈn bÞ Kh«ng gian t«p« vµ T2 − kh«ng gian . . . . . . . . . . . . 8 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 §a t¹p kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 CW-phøc 18 Ch­¬ng 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô 20 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch 26 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh . . 29 2.6 TÝnh chÊt ®Þa ph­¬ng cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Sù më réng cña nh¸t c¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . KÕt luËn 39 Tµi liÖu tham kh¶o 40 3 Danh s¸ch h×nh 1.1 H×nh 1: B¶n ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 H×nh 2: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 H×nh 3: B¶n ®å phï hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 H×nh 4: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 H×nh 5: Ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 H×nh 6: D¶i Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 H×nh 7: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c . . . . . . . 22 2.4 H×nh 8: Nh¸t c¾t ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Më ®Çu 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt Ph©n thí vect¬ lµ c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc-t«p«. §Ó b­íc vµo nghiªn cøu H×nh häc th× b¾t buéc nhµ nghiªn cøu ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí vµ ph©n thí vect¬. Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. §Ó tËp nghiªn cøu vµ bæ sung c¸c kiÕn thøc ban ®Çu vÒ chuyªn ngµnh h×nh häc t«i ®· chän nghiªn cøu ®Ò tµi: tÝnh chÊt. 0.1.2 + Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi Môc tiªu cña ®Ò tµi §Ò tµi tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu vÒ kh«ng gian ph©n thí, nªu mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy c¸ch chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, 5 6 H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. N¨m 1950, Steenrod ®· hÖ thèng l¹i c¸c nghiªn cøu vÒ ph©n thí trong giai ®o¹n ®ã [4]. N¨m 1955, Milnor ®­a ra cÊu tróc chung cña ph©n thí cho mét nhãm t«p« bÊt k× [4]. Tõ 1950-1955, Hirzebruch ®· lµm s¸ng tá kh¸i niÖm líp ®Æc tr­ng cña ph©n thí vµ sö dông nã ®Ó chøng minh ®Þnh lÝ Riemann-Roch cho ®¹i sè ®a t¹p [4]. VÊn ®Ò ®ã ®· ®­îc xuÊt b¶n trong cuèn Ergebnisse Monograph cña «ng ta. Nh÷ng n¨m ®Çu thËp kû 1960 Grothendieck, Atiyah vµ Hirzebruch ®· ph¸t triÓn K -lý thuyÕt, mét lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu tæng qu¸t ®­îc x¸c ®Þnh bëi c¸c líp æn ®Þnh cña ph©n thí vect¬. §Þnh lÝ tuÇn hoµn Bott ®· ®­îc chøng minh nh­ mét ®Þnh lÝ trong K - lý thuyÕt vµ Adams ®· gi¶i quyÕt vÊn ®Ò tr­êng vect¬ trªn qu¶ cÇu b»ng c¸ch sö dông K -lý thuyÕt [4]. 0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu 0.3.1 + C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu S­u tÇm tµi liÖu trong vµ ngoµi n­íc cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi ë c¸c th­ viÖn, mua s¸ch b¸o ë c¸c nhµ xuÊt b¶n, c¸c t¹p chÝ trªn internet... + Nghiªn cøu tµi liÖu, t×m c¸ch tr×nh bµy c¸c chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt ®· cã hoÆc ch­a thÊy chøng minh ë ®©u. + Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu to¸n häc, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. 7 0.3.2 + Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm cña kh«ng gian ph©n thí (®Ò tµi chØ xÐt ph©n thí tæng qu¸t) vµ mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Kh«ng gian t«p« vµ §Þnh nghÜa T2 − kh«ng gian X. T c¸c tËp con cña X ®­îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«. C¸c tËp hîp thuéc T 1.1. ([1]-Tr.56) Cho tËp hîp Hä ®­îc gäi lµ mét t«p« nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (T1 ) ∅, X ∈ T (T2 ) NÕu Gα ∈ T , α ∈ I S th× Gα ∈ T α∈I (T3 ) NÕu G1 , G2 ∈ T Khi ®ã cÆp (X, T ) th× G1 ∩ G2 ∈ T ®­îc gäi lµ c¸c tËp më trong VÝ dô X ®èi víi t«p« T, hay T -më. 1.1. ([1]-Tr.56,57) 1. Gi¶ sö X lµ mét tËp tïy ý, T = {X, ∅}. vµ nã ®­îc gäi lµ t«p« th« trªn Khi ®ã X , (X, T ) T lµ mét t«p« trªn X, ®­îc gäi lµ kh«ng gian t«p« th«. 2. Gi¶ sö X = R. KÝ hiÖu T = ( [ ) (ai , bi )|ai , bi ∈ R, ai ≤ bi i∈I Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn t«p« tù nhiªn) trªn 3. Cho X ). X X, vµ ®­îc gäi lµ t«p« th«ng th­êng (hay X. T = P(X)(tËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña lµ mét tËp bÊt k×. KÝ hiÖu: Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn X t«p« rêi r¹c. 8 vµ (X, T ) ®­îc gäi lµ kh«ng gian 9 con U U cña kh«ng gian t«p« X TËp A nÕu trong Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö x∈X lµ {x} l©n cËn cña tËp con 1.3. ([1]-Tr.57) TËp con lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña VÝ dô ®­îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp A. cã mét tËp con më chøa §Þnh nghÜa (X, T ), A ⊂ X . 1.2. ([1]-Tr.57) Cho kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa A trong A X cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ tËp më. 1.2. ([1]-Tr.57,58) 1. XÐt kh«ng gian t«p« th« X. Khi ®ã ta cã tËp X vµ ∅ ®ång thêi võa lµ tËp ®ãng, võa lµ tËp më. 2. XÐt R víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng mét tËp më, mçi ®o¹n §Þnh nghÜa Khi ®ã hä U (a, b) = {x : a < x < b} [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} 1.4. ([1]-Tr.98) Cho (X, T ) ®­îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p« T trªn lµ mét t«p« trªn Y. gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa 1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p« gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi c¸c l©n cËn VÝ dô Ux cña x vµ Vy cña y lµ mét tËp ®ãng. lµ mét kh«ng gian t«p«, U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T } sao cho lµ Kh«ng gian Y ⊂ X. Y. T«p« (Y, U) ®­îc (X, T ). X ®­îc gäi lµ x, y ∈ X mµ T2 −kh«ng x 6= y tån t¹i Ux ∩ Vy = ∅. 1.3. 1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö Khi ®ã ta cã X lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ d(a, b) =  > 0. XÐt c¸c h×nh cÇu më G ∩ H = ∅. d(b, p) <  3. a, b ∈ X, a 6= b. G = S(a, 3 ), H = S(b, 3 ). ThËt vËy, nÕu tån t¹i p∈G∩H Ta cÇn chøng minh th× ta cã d(a, p) <  3 vµ 10 MÆt kh¸c ta cã d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p) Suy ra 2   + = 3 3 3 ≤ VËy X ( V« lÝ ) lµ kh«ng gian Hausdorff. 2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff. ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« 1.2 §Þnh nghÜa Mét ¸nh x¹ f W f f −1 (W ) th× Chøng minh. x∈X liªn tôc t¹i X, Y f (V ) ⊂ W , Khi ®ã do suy ra cña x0 sao cho nÕu f (V ) ⊂ W . ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn X. lµ hai kh«ng gian t«p«, x∈X f : X −→ Y . khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn W cña x. lµ l©n cËn cña f (x). f th× ([1]-Tr.80) Gi¶ sö mét l©n cËn cña sao cho f (x0 ) tån t¹i l©n cËn V 1.1. ([1]-Tr.80) Cho Khi ®ã ¸nh x¹ f (x) cña liªn tôc víi mäi §Þnh lÝ lµ hai kh«ng gian t«p«. f : (X, T ) −→ (Y, U) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X víi mçi l©n cËn NÕu (X, T ), (Y, U) 1.6. ([1]-Tr.79) Cho f : X −→ Y f liªn tôc t¹i V ⊂ f −1 (W ), liªn tôc t¹i x∈X vµ x nªn tån t¹i l©n cËn V do ®ã f −1 (W ) W lµ cña x lµ mét l©n cËn cña x. Ng­îc l¹i, gi¶ sö mét l©n cËn cña §Æt §Þnh lÝ f f (x). Theo gi¶ thiÕt f −1 (W ) lµ Khi ®ã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f (V ) ⊂ W nªn f x. 1.2. ([1]-Tr.80) Cho f : X −→ Y . (a) lµ mét l©n cËn cña x. V = f −1 (W ). liªn tôc t¹i x¹ W (X, T ), (Y, U) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: lµ ¸nh x¹ liªn tôc; 11 (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më; (c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng; (d) ∀A ∈ X ⇒ f (A) ⊂ f (A); (e) ∀B ∈ Y ⇒ f −1 (B 0 ) ⊂ (f −1 (B))0 . Chøng minh. (a) ⇒ (b) ta cã ([1]-Tr.81) Gi¶ sö G lµ mét tËp më trong f (x) ∈ G, do f liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn G ⇒ x ∈ V ⊂ f −1 (G), do ®ã f −1 (G) l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn (b) ⇒ (c) cã F f (A) ⊂ f (A) (d) ⇒ (e) A ∈ X, Víi mäi nªn Víi mäi (c) B ∈Y, Y. ta cã A ⊂ f −1 (f (A)). theo (d) cña x x ∈ f −1 (G) sao cho f (V ) ⊂ x ⇒ f −1 (G) lµ (b) ta lµ tËp më. Ta cã lµ tËp më. Do ®ã theo V Víi mçi lµ mét l©n cËn cña f −1 (G) lµ mét tËp ®ãng trong f −1 (Y \F ) = X\f −1 (F ) (c) ⇒ (d) do XÐt Y , G 6= ∅. Y \F f −1 (F ) f −1 (f (A)) Do ®ã lµ tËp më, theo lµ tËp ®ãng. lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c f (A) ⊂ f (A). ta cã f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B Suy ra f −1 (B) ⊂ f −1 (B). Do ®ã ∀B ∈ Y ta cã: X\f −1 (B) = f −1 (Y \B) ⊂ f −1 (Y \B) Suy ra f −1 (B 0 ) = X\f −1 (Y \B) ⊂ X\X\f −1 (B) = (f −1 (B))0 (e) ⇒ (a) Víi mçi x ∈ X, gäi W lµ l©n cËn më cña f (x). cã: x ∈ f −1 (W ) = f −1 (W 0 ) ⊂ (f −1 (W ))0 Theo gi¶ thiÕt ta 12 §Æt V = (f −1 (W ))0 , liªn tôc tai §Þnh lÝ suy ra f lµ mét l©n cËn cña liªn tôc trªn 1.3. ([1]-Tr.82) Cho x vµ f (V ) ⊂ W . Do ®ã f X. (X, TX ), (Y, TY ), (Z, TZ ) f : X −→ Y, g : Y −→ Z t«p«, Z x, V ta cã lµ c¸c kh«ng gian lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã g◦ f : X −→ lµ ¸nh x¹ liªn tôc. f Do liªn tôc nªn §Þnh nghÜa f : X −→ Y liªn tôc vµ G ∈ TZ . ([1]-Tr.82) Víi mäi Chøng minh. f −1 (g −1 (G)) ∈ TX . 1.7. ([1]-Tr.83) Cho Do Cho nªn X, Y g liªn tôc nªn g◦ f liªn tôc. lµ hai kh«ng gian t«p«. ®­îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu f −1 g −1 (G) ∈ TY . f ¸nh lµ mét song ¸nh, x¹ f liªn tôc. Khi ®ã hai kh«ng gian X vµ Y ®­îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ t­¬ng ®­¬ng t«p«. §Þnh nghÜa Y. Khi ®ã, trong 1.3 X th× f X, Y 1.8. ([1]-Tr.82) Cho lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ A më (®ãng) ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp f (A) më (®ãng) trong Y. Lý thuyÕt ph¹m trï §Þnh nghÜa 1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï (I) Mét líp c¸c ®èi t­îng cña lµ mét vËt cña (II) Hai vËt C kÝ hiÖu C ®­îc cho bëi: Ob(C). Mçi phÇn tö cña Ob(C) C. A, B ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét tËp hîp ®­îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ c¸c cÆp vËt cña C mµ A vµo B tháa m·n: nÕu (A, B) 6= (C, D) th×: M orC (A, B) ∩ M orC (C, D) = ∅ M orC (A, B) (A, B), (C, D) lµ 13 (III) Víi mçi bé ba (A, B, C) ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét ¸nh x¹: M orC (B, C) × M orC (A, B) −→ M orC (A, C) (β, α) 7−→ βα ®­îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ∀α ∈ M orC (A, B), β ∈ M orC (B, C), γ ∈ M orC (C, D) ta cã: γ(βα) = (γβ)α (ii) ∀A ∈ Ob(C), ∃IdA ∈ M orC (A, A) g ∈ M orC (C, A) sao cho ∀f ∈ M orC (A, B), ta cã: (f )IdA = f, IdA (g) = g Ta kÝ hiÖu S M or(C) = M orC (A, B) A,B∈Ob(C) VÝ dô 1.4. ([5]-Tr.9,10) 1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu Set, bao gåm: mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp (A, x0 ), x0 ∈ A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0 ) vµ (B, y0 ) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B 14 tháa m·n f (x0 ) = y0 , phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 1.4 §a t¹p kh¶ vi §Þnh nghÜa 1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p« ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu nÕu X lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®­îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph­¬ng víi §Þnh nghÜa 1.11. ([7]-Tr.7) Cho M Rn . lµ mét ®a t¹p t«p« ®å ®Þa ph­¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph­¬ng) cña U lµ mét tËp më kh¸c rçng trong φ(U ) trong M, φ M n chiÒu. Mét b¶n lµ mét cÆp lµ mét ®ång ph«i tõ U Rn . H×nh 1.1: B¶n ®å x2 y 2 VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) : + = 1 (a > b > 0) a2 b 2 §Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt ¸nh x¹: ϕ : U −→ U A(x, y) 7−→ x Khi ®ã ta cã (U, ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). (X, T ) ThËt vËy, ta cã (U, φ) víi tíi tËp më 15 H×nh (+) Râ rµng (+) U më trong (E) ϕ lµ ®ång ph«i ϕ lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi vµ U 1.2: Elip më trong R A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ U mµ ϕ(A) = ϕ(B), ta cã b x1 = x2 ⇒ y1 = a ϕ lµ toµn ¸nh: Víi mäi q q b 2 a2 − x1 = a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B a t ∈ U, xÐt bp 2 A(t, a − t2 ) ∈ U . a Ta cã ϕ(A) = t ϕ, ϕ−1 liªn tôc: Ta cã tôc. Ngoµi ra VËy (U, ϕ) §Þnh nghÜa hîp, vµ ϕ−1 ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn bp 2 : t 7−→ (t, a − t2 ) liªn tôc. a lµ mét b¶n ®å cña (E). 1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å (U, φ), (V, ψ) ®­îc gäi lµ C k −phï k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U ∩V = ∅ hoÆc φ◦ ψ −1 := ψ(U ∩V ) −→ Rn ψ◦ φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn thuéc líp Ck. 16 H×nh VÝ dô 1.6. XÐt elip 1.3: B¶n ®å phï hîp x2 y 2 (E) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b H×nh §Æt 1.4: Elip U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). ϕ1 : U1 −→ U 1 A(x, y) 7−→ x XÐt ¸nh x¹ 17 §Æt U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). XÐt ¸nh x¹ ϕ2 : U2 −→ U 2 A(x, y) 7−→ y Chøng minh t­¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã (U1 , ϕ1 ) vµ (U2 , ϕ2 ) lµ c¸c b¶n ®å cña (E). §Æt W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0}, W1 = ϕ1 (W ) = (0, a), W2 = ϕ2 (W ) = (0, b). XÐt ¸nh x¹: f : W1 −→ W2 bp 2 a − x2 x 7−→ f (x) = ϕ2 ◦ ϕ1 (x) = a Râ rµng f lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã §Þnh nghÜa t«p« n A A = {(Ui , φi )}i∈I lµ mét phñ cña M, (ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña §Þnh nghÜa kh¶ vi cÊp vµ (U2 , ϕ2 ) phï hîp. 1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp c¸c b¶n ®å (i) (U1 , ϕ1 ) trªn lµ mét ®a t¹p M lµ mét líp tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: M= tøc lµ A k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} M lµ C k −phï 1.14. ([7]-Tr.7) Cho k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} S M trªn i∈I Ui . hîp. lµ mét ®a t¹p M n lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn Mét ®a t¹p t«p« ®­îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp chiÒu, mét cÊu tróc M. k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} k. x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. VÝ dô 1.7. Ta cã (E) : a2 b 2 vËy, ®Æt: ThËt
- Xem thêm -