Tài liệu Không gian meetric nón

  • Số trang: 32 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 111 |
  • Lượt tải: 0
quangtran

Đã đăng 3721 tài liệu

Mô tả:

MÖC LÖC Trang MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MÐ †U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch÷ìng 1. Khæng gian m¶tric nân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Nân trong khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Khæng gian m¶tric nân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân vîi thù tü bë phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân vîi thù tü bë phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng chung trong khæng gian m¶tric nân vîi thù tü bë phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K˜T LUŠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 T€I LI›U THAM KHƒO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 MÐ †U Khæng gian m¶tric l  mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång cõa to¡n håc, nâ câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch v  nhi·u ng nh khoa håc kh¡c. N«m 2007, Huang Long - Giang v  Zhang Xian ¢ mð rëng kh¡i ni»m khæng gian m¶tric b¬ng c¡ch thay tªp hñp sè thüc bði mët nân ành h÷îng trong khæng gian Banach, v  ¢ thu ÷ñc kh¡i ni»m mîi têng qu¡t hìn - Kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân. Vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t tæpæ, ành lþ iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ tr¶n lîp khæng gian n y ang nhªn ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc. º tªp d÷ñt nghi¶n cùu khoa håc, º câ nhúng hiºu bi¸t v· khæng gian m¶tric nân, chóng tæi t¼m hiºu, nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian m¶tric nân v  c¡c ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng, iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân m  tr¶n â ta trang bà th¶m mët thù tü bë phªn. Vîi möc ½ch â, luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng Ch÷ìng 1. Khæng gian m¶tric nân Trong ch÷ìng n y ¦u ti¶n chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa tæpæ ¤i c÷ìng, gi£i t½ch h m câ li¶n quan ¸n nëi dung cõa luªn v«n. Tr¼nh b y kh¡i ni»m nân trong khæng gian Banach, v½ dö v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa nân trong khæng gian Banach. Sau â chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân, v½ dö v  c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian m¶tric nân. Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gan m¶tric nân vîi thù tü bë phªn 2 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng, iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân m  tr¶n nâ câ mët thù tü bë phªn. Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  nghi¶m kh­c cõa PGS.TS. inh Huy Ho ng. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n Th¦y. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh. T¡c gi£ xin ÷ñc c£m ìn quþ Th¦y gi¡o, Cæ gi¡o Tê Gi£i t½ch trong Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp. Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc 18 - Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch ¢ cëng t¡c, gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do cán h¤n ch¸ v· m°t ki¸n thùc v  thíi gian n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. K½nh mong quþ Th¦y Cæ v  b¤n b± âng gâp þ ki¸n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Vinh, th¡ng 9 n«m 2012 T¡c gi£ 3 CH×ÌNG 1 KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN 1.1 MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n c¦n dòng trong luªn v«n. X. 1.1.1 ành ngh¾a. Cho tªp hñp X v  6 l  mët quan h» hai ngæi tr¶n Quan h» 6 ÷ñc gåi l  quan h» thù tü bë phªn tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) x 6 x vîi måi x ∈ X ; (ii) Tø x 6 y v  y 6 x suy ra x = y vîi måi x, y ∈ X ; (iii) x 6 y; y 6 z suy ra x 6 z vîi måi x, y, z ∈ X . Tªp hñp X còng vîi mët thù tü bë phªn tr¶n nâ ÷ñc gåi l  tªp s­p thù tü bë phªn v  kþ hi»u (X, 6). 1.1.2 ành ngh¾a. Cho tªp hñp X v  h m d : X × X −→ R. H m d ÷ñc gåi l  mët m¶tric tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) d(x, y) > 0 v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x); (iii) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) vîi måi x, y, z ∈ X . Tªp hñp X còng vîi mët m¶tric d tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian m¶tric v  kþ hi»u (X, d) hay ìn gi£n hìn l  X . 1.1.3 ành ngh¾a. Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric. Vîi måi v  ε > 0 ta gåi B(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) < ε} l  ε - l¥n cªn cõa iºm a. Tªp con M cõa X ÷ñc gåi l  mð n¸u måi a ∈ M , tçn t¤i ε > 0 a∈X 4 sao cho B(a, ε) ⊂ M . Vîi måi a ∈ X , ε > 0, tªp B(a, ε) l  tªp mð. 1.1.4 ành ngh¾a.Cho tªp hñp X . Hå τ c¡c tªp con cõa X ÷ñc gåi l  tæpæ tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n (T1) ∅, X ∈ τ ; S (T2) N¸u Gi ∈ τ, i ∈ I th¼ Gi ∈ τ ; i∈I (T3) N¸u G1, G2 ∈ τ th¼ G1 ∩ G2 ∈ τ . Tªp hñp X còng vîi tæpæ τ tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ v  kþ hi»u l  (X, τ ) hay ìn gi£n hìn l  X . N¸u X l  mët khæng gian tæpæ th¼ c¡c tªp U ∈ τ l  c¡c tªp mð, c¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l  iºm cõa khæng gian tæpæ. Tªp con A ⊂ X ÷ñc gåi l  âng n¸u X \ A l  mð. 1.1.5 ành ngh¾a. Cho khæng gian tæpæ X, A ⊂ X. Tªp U ⊂ X ÷ñc gåi l  l¥n cªn cõa A n¸u câ tªp mð V trong X sao cho A ⊂ V ⊂ U . Cho M ∈ X , iºm a ÷ñc gåi l  iºm trong cõa M n¸u tçn t¤i l¥n cªn U cõa a sao cho U ∈ M . Tªp c¡c iºm trong cõa M ÷ñc gåi l  ph¦n trong cõa M , k½ hi»u l  intM . 1.1.6 ành ngh¾a. Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  T1-khæng gian n¸u hai iºm b§t ký x, y ∈ X, x 6= y tçn t¤i c¡c l¥n cªn t÷ìng ùng Ux, Uy cõa x v  y sao cho y ∈ / Ux v  x ∈ / Uy . Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  T2-khæng gian hay khæng gian Hausdorff n¸u hai iºm b§t ký x, y ∈ X, x 6= y tçn t¤i c¡c l¥n cªn t÷ìng ùng Ux, Uy cõa x v  y sao cho Ux ∩ Uy = ∅. 1.1.7 ành ngh¾a. D¢y {xn} trong khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  5 hëi tö tîi x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa x tçn t¤i n0 ∈ N sao cho xn ∈ U vîi måi n > n0. Khi â ta vi¸t xn → x. 1.1.8 ành ngh¾a. Gi£ sû X, Y l  hai khæng gian tæpæ v  f : X −→ Y . nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa f (x) tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho f (U ) ⊂ V . nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n X (nâi gån l  li¶n töc ) n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm cõa X . 1.1.9 ành lþ. Cho (X, d) v  (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤ f : X −→ Y . Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng (1) f li¶n töc t¤i x ∈ X ; (2) Måi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho y ∈ X, d(x, y) < δ th¼ ρ(f (x), f (y)) < ε; (3) Måi d¢y {xn} ⊂ X sao cho xn → x th¼ f (xn) → f (x). 1.1.10 ành ngh¾a. Cho X l  khæng gian m¶tric. Mët d¢y {xn} trong gåi l  d¢y Cauchy n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N: vîi måi n v  m > n0 th¼ d(xn , xm ) < ε. Måi d¢y hëi tö l  d¢y Cauchy. Khæng gian m¶tric X gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·u hëi tö. Tªp con A ⊂ X gåi l  tªp ¦y õ n¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric c£m sinh. Måi tªp con ¦y õ trong khæng gian m¶tric l  tªp âng, måi tªp con âng cõa mët khæng gian m¶tric ¦y õ l  tªp ¦y õ. X 6 1.1.11 ành ngh¾a. Gi£ sû f : X−→X v  g : X−→ X . iºm x ∈ X ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa f n¸u f (x) = x. iºm x ∈ X ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng chung cõa f v  g n¸u x = f (x) = g(x) 1.2 NÂN TRONG KHÆNG GIAN BANACH 1.2.1 ành ngh¾a. Cho E l  khæng gian Banach tr¶n tr÷íng K(K = R, C). Mët tªp con P cõa E ÷ñc gåi l  mët nân trong E n¸u: (i) P l  âng, P 6= ∅, P 6= {0}; (ii) Vîi a, b ∈ R, a, b > 0 v  x, y ∈ P th¼ ax + by ∈ P ; (iii) P ∩ (−P ) = {0} hay n¸u x ∈ P v  −x ∈ P th¼ x = 0. 1.2.2 V½ dö. 1, Khæng gian R vîi chu©n thæng th÷íng, khi â P = l  mët nân trong R. 2, X²t khæng gian E = C[a,b] vîi chu©n kf k = M axx∈[a,b]|f (x)| khi â, P = {f ∈ C[a,b] : f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b]} l  mët nân trong C[a,b] v¼ thäa m¢n 3 i·u ki»n (i) P l  tªp âng, P 6= ∅, P 6= {0}; (ii) Vîi a, b ∈ R; a, b > 0 v  f, g ∈ P ta câ: {x ∈ R : x > 0} af (x) > 0∀x ∈ [a, b], bg(x) > 0∀x ∈ [a, b] Suy ra af (x) + bg(x) > 0∀x ∈ [a, b] hay (af + bg)(x) > 0∀x ∈ [a, b] Suy ra (af + bg) ∈ P ; (iii) Gi£ sû f, −f ∈ P suy ra f > 0, −f > 0 n¶n f = 0. Cho P l  mët nân trong khæng gian Banach E , ta ành ngh¾a quan h» thù tü ” 6 ” x¡c ành bði P nh÷ sau: x 6 y n¸u v  ch¿ n¸u y − x ∈ P . Ta vi¸t x < y n¸u x 6 y v  x 6= y. Cán x  y n¸u y − x ∈ intP . 7 1.2.3 ành ngh¾a. 1, Mët nân trong khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  chu©n t­c n¸u tçn t¤i k > 0 sao cho Vîi måi x, y ∈ P, 0 6 x 6 y th¼ kxk 6 kkyk ho°c n¸u xn 6 yn 6 zn v  lim xn = lim zn = x n→∞ n→∞ th¼ (2.1) lim yn = x n→∞ (2.2) Sè d÷ìng k nhä nh§t thäa m¢n (2.1) ÷ñc gåi l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P . 2, P ÷ñc gåi l  ch½nh quy n¸u måi d¢y t«ng v  bà ch°n tr¶n trong E ·u hëi tö (mët c¡ch t÷ìng ÷ìng l  måi d¢y gi£m v  bà ch°n d÷îi trong E ·u hëi tö). ành lþ sau ¥y n¶u l¶n mèi quan h» giúa nân chu©n t­c v  nân ch½nh quy. 1.2.4 ành lþ. Måi nân ch½nh quy l  nân chu©n t­c. Gi£ sû P l  nân ch½nh quy nh÷ng khæng chu©n t­c. Khi â, vîi méi n > 1 ta chån ÷ñc tn, sn ∈ P sao cho tn − sn ∈ P v  tn sn n2 ktn k < ksn k. Vîi méi n > 1, °t yn = v  xn = . Ta câ ktn k ktn k xn , yn , yn − xn ∈ P, kyn k = 1 v  n2 6 kxn k. ∞ ky k ∞ 1 ∞ y P P P n n V¼ chuéi =y= hëi tö n¶n chuéi hëi tö trong 2 2 n n n2 Chùng minh. n=1 n=1 n=1 ∞ y P n = y. 2 n=1 n E. Tø P âng suy ra tçn t¤i y ∈ P sao cho xn 6 yn v  c¡ch x¡c ành cõa chuéi n¶n ta suy ra B¥y gií tø x2 x2 x3 6 x + + 6 ··· 6 y 1 22 22 32 ∞ P kxn k V¼ P ch½nh quy n¶n chuéi xnn2 hëi tö. Suy ra n→∞ lim = 0. 2 n n=1 i·u n y m¥u thu¨n vîi n2 6 kxnk. Vªy P l  nân chu©n t­c. 0 6 x1 6 x1 + 8 1.2.5 Chó þ. M»nh · ng÷ñc l¤i cõa ành lþ tr¶n nâi chung l  khæng óng ngh¾a l  câ nhúng nân chu©n t­c nh÷ng khæng ch½nh quy. 1.2.6 V½ dö. X²t E = C[0;1] vîi chu©n "Max" v  nân P = {f ∈ E : f > 0}. Khi â P l  nân chu©n t­c. Thªt vªy, gi£ sû f, g ∈ E v  0 6 f 6 g. Khi â, 0 6 f (x) 6 g(x), ∀x ∈ [0; 1]. Suy ra kf k = M axx∈[0;1] f (x) 6 M axx∈[0;1] g(x) = M axx∈[0;1] |g(x)| = kgk Suy ra P l  nân chu©n t­c. X²t d¢y{fn} ∈ E x¡c ành nh÷ sau fn(x) = xn vîi måi x ∈ [0; 1]. Khi â 0 6 · · · 6 xn · · · 6 x2 6 x, ∀x ∈ [0; 1] . Suy ra {fn} l  d¢y gi£m v  bà ch°n d÷îi. Tuy nhi¶n d¢y n y khæng hëi tö trong P Suy ra nân P khæng ch½nh quy. 1.2.7 M»nh ·. N¸u k l  h¬ng sè chu©n t­c cõa nân P th¼ k > 1. Gi£ sû k < 1 l  h¬ng sè chu©n t­c cõa nân P . Ta chån x ∈ P sao cho x 6= 0 v  0 < ε < 1 − k . Khi â (1 − ε)x 6 x. M°t kh¡c tø Chùng minh. ε < 1 − k ⇒ k < 1 − ε ⇒ kkxk < (1 − ε)kxk hay (1 − ε)kxk > kkxk. M¥u thu¨n vîi gi£ sû k l  h¬ng sè chu©n t­c. Vªy k > 1. 1.3 KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN Trong c£ möc n y , ta luæn x²t P l  mët nân trong khæng gian Banach E sao cho intP 6= 0 v  quan h» "6" tr¶n E x¡c ành bði P. 9 1.3.1 ành ngh¾a. Cho X l  tªp kh¡c réng, P l  nân trong khæng gian Banach E . Gi£ sû câ ¡nh x¤ d : X × X −→ X thäa m¢n (d1), 0 6 d(x; y), ∀x; y ∈ X v  d(x; y) = 0 ⇔ x = y; (d2), d(x; y) = d(y; x), ∀x; y ∈ X; (d3), d(x; y) 6 d(x; z) + d(z; y), ∀x; y; z ∈ X. Khi â d ÷ñc gåi l  mët m¶tric nân tr¶n X v  (X; d) ÷ñc gåi l  mët khæng gian m¶tric nân. Tø ành ngh¾a tr¶n ta nhªn th§y kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric nân têng qu¡t hìn kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric, bði v¼ méi mët khæng gian m¶tric l  mët khæng gian m¶tric nân trong tr÷íng hñp E = R 1.3.2 V½ dö. 1, Cho E = R2 v  P X=R = {(x; y) ∈ R2 : x; y > 0}. v  ¡nh x¤ d : X × X −→ E x¡c ành bði X²t d(x; y) = (α|x − y|; β|x − y|); ∀x, y ∈ X. Trong â α, β l  c¡c h¬ng sè cho tr÷îc. Khi â, ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc d thäa m¢n c¡c i·u ki»n d1, d2, d3 n¶n d l  mët m¶tric nân hay (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân. 2, Cho E = l1 v  P = {x = (xn) ∈ l1 : xn > 0, ∀n}. N¸u (X; ρ) l  mët khæng gian m¶tric th¼ d : X × X −→ l1 x¡c ành bði d(x; y) = { ρ(x; y) }, ∀x, y ∈ X. 2n X¡c ành mët m¶tric nân tr¶n l1. Vªy (X; d) l  mët khæng gian m¶tric nân. 1.3.3 ành ngh¾a. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, A ⊂ X. Vîi méi xo ∈ A, c ∈ intP, k½ hi»u B(xo , c) = {x ∈ X : d(x; xo )  c} 10 l  h¼nh c¦u t¥m xo , b¡n k½nh c. °t J = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, ∃c ∈ intP sao choB(x, c) ⊂ U }. 1.3.4 Bê ·. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, vîi d l§y gi¡ trà trong nân P trong khæng gian Banach E , a, b, c ∈ X v  α l  sè thüc d÷ìng. Khi â (i), N¸u a  b v  b  c th¼ a  c; (ii), N¸u a 6 b v  b  c th¼ a  c; (iii), αintP ⊂ intP ; (iv), Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ; (v), Vîi méi 0  c1 v  c2 ∈ P tçn t¤i 0  d; sao cho c1  d v  c2  d; (vi), Vîi méi 0  c1 v  0  c2 tçn t¤i 0  e sao cho e  c1 v  e  c2; (vii), N¸u a  b, c  d th¼ a + c  b + d. Chùng minh. i, V¼ ph²p cëng li¶n töc n¶n intP + intP ⊂ intP . Ta câ: a  b =⇒ b − a ∈ intP b  c =⇒ c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP ⊂ intP hay a  c. iii, V¼ ph²p nh¥n væ h÷îng li¶n töc n¶n αintP ⊂ intP. S ii, º þ r¬ng intP + P = (x + intP ) l  tªp mð v  P l  nân n¶n suy x∈P ra x + intP ⊂ P . Do â P + intP ⊂ intP. Ta câ a 6 b =⇒ b−a∈P b  c =⇒ c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP n¶n c − a ∈ intP hay a  c. 11 δ iv, Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP chån sè tü nhi¶n n > 1 sao cho nkxk < 1. δ Khi â, vîi γ = nkxk thäa m¢n: 0 < γ < 1 v  kγxk 6 kγkkxk 6 δ δ kxk 6 < δ. nkxk n v, Chån δ > 0 sao cho c1 +B(0, δ) ⊂ intP , trong â B(0, δ) = {x ∈ E : kxk < δ}. Do t½nh hót cõa B(0, δ) tçn t¤i m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ) suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) v  mc1 − c2 ∈ intP. °t d = mc1 − c2. Khi â, d thäa m¢n (v,). vi, Chån δ0 > 0 sao cho c1 + B(0, δ0) ⊂ intP, c2 + B(0, δ0) ⊂ intP, trong â B(0, δ0) = {x ∈ E : kxk < δ0}. Do t½nh hót cõa B(0, δ0) tçn t¤i m > 0 sao cho c1 ∈ mB(0, δ0), c2 ∈ mB(0, δ0) suy ra −c1 ∈ mB(0, δ0), −c2 ∈ mB(0, δ 0 ) v  mc1 −c1 ∈ intP, mc2 −c2 ∈ intP. °t e = mc1 −c1 +mc2 −c2 . Khi â e thäa m¢n (vi,). 1.3.5 M»nh ·. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân,τ x¡c ành ð 1.3.3, khi â 1, τ l  mët tæpæ tr¶n X; 2, B(x, c) ∈ τ vîi måi x ∈ X, c ∈ intP. Chùng minh. τ = {U ∈ X : ∀x ∈ U, ∃ ∈ intP : B(x, c) ⊂ U }. 1, Ta câ: ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; S Gi£ sû Ui ∈ τ, ∀i ∈ I ta s³ chùng minh Ui ∈ τ . Thªt vªy, vîi måi i∈I S x ∈ Ui th¼ tçn t¤i i = i0 ∈ I sao cho: x ∈ Ui ⊂ τ suy ra tçn t¤i i∈I S S c ∈ intP : B(x, c) ⊂ Ui n¶n B(x, c) ⊂ Ui . Hay Ui ∈ τ. 0 0 i∈I 12 i∈I ra Vîi U, V ∈ τ. Ta s³ chùng minh U ∩ V ∈ τ. Thªt vªy, ∀x ∈ U ∩ V suy x ∈ U =⇒ ∃c1 ∈ intP : B(x, c1 ) ⊂ U x ∈ V =⇒ ∃c2 ∈ intP : B(x, c2 ) ⊂ V Theo (vi,) ð bê · 1.3.4: c1 ∈ intP, c2 ∈ intP suy ra tçn t¤i c ∈ intP sao cho c  c1 v  c  c2. Do â ta ÷ñc B(x, c) ⊂ U ∩ V . Hay U ∩ V ∈ τ . Vªy ta câ τ thäa m¢n 3 i·u ki»n trong ành ngh¾a tæpæ n¶n τ l  mët tæpæ tr¶n X hay (X, τ ) l  mët khæng gian tæpæ. 2, Gi£ sû y ∈ B(x, c) =⇒ d(y, x)  c =⇒ c − d(y, x) ∈ intP . °t c0 = c − d(y, x). Ta s³ chùng minh B(y, c0) ⊂ B(x, c). Thªt vªy ∀z ∈ B(y, c0 ) =⇒ d(z, y)  c0 =⇒ d(z, y)  c − d(y, x) =⇒ d(z, y) + d(y, x)  c =⇒ d(z, x)  c =⇒ z ∈ B(x, c). Vªy B(y, c0) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ τ . Tø ¥y v· sau, n¸u khæng gi£i th½ch g¼ th¶m th¼ tæpæ tr¶n khæng gian m¶tric nân ÷ñc hiºu l  tæpæ τ . C¡c h¼nh c¦u B(x, c) ÷ñc gåi l  h¼nh c¦u mð trong khæng gian m¶tric nân (X, d) 1.3.6 ành lþ. Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân. N¸u d¢y {xn } ∈ X hëi tö tîi x v  y th¼ x = y . ¦u ti¶n ta chùng minh kh¯ng ành sau: N¸u p ∈ P v  p  c, ∀c ∈ P th¼ p = 0. c0 Thªt vªy, cè inh c0 ∈ P , theo gi£ thi¸t p  c∀c ∈ P Suy ra p  m c0 c0 vîi måi m > 0 n¶n m − p ∈ intP . Do â − p ∈ P vîi måi m > 0. M°t m c0 kh¡c m − p −→ −p v  P âng n¶n −p ∈ P . Tø ành ngh¾a nân ta suy ra p = 0. Chùng minh. 13 B¥y gií , vîi måi 0  c ∈ E do c c xn → x, n → ∞ ⇒ ∃N1 : d(xn , x)  , ∀n > N1 ⇒ − d(xn , x) ∈ intP 2 2 c c xn → y, n → ∞ ⇒ ∃N2 : d(xn , y)  , ∀n > N2 ⇒ − d(xn , y) ∈ intP 2 2 °t N = M ax(N1, N2). Ta câ c − d(xn , x) ∈ intP 2 c − d(xn , y) ∈ intP 2 ∀n > N ∀n > N Suy ra c − (d(xn, x) + d(xn, y)) ∈ intP n¶n c − d(x, y) ∈ intP hay d(x, y)  c vîi måi c ∈ P . Theo chùng minh tr¶n ta suy ra d(x, y) = 0. Vªy x = y. Ta ¢ bi¸t èi vîi khæng gian m¶tric (X, ρ) th¼ d¢y {xn} ⊂ X hëi tö tîi x ∈ X khi v  ch¿ khi ρ(xn, x) → 0. M»nh · sau ¥y tr¼nh b y mët t½nh ch§t t÷ìng tü cho khæng gian m¶tric nân. 1.3.7 M»nh ·. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, P l  nân chu©n t­c v  d¢y {xn } ⊂ X . Khi â, {xn } ⊂ X hëi tö tîi x ∈ X khi v  ch¿ khi d(xn , x) → 0 trong E . Gi£ sû {xn} ⊂ X v  xn → x ∈ X . Gåi k l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P . Vîi måi ε > 0, chån c ∈ E sao cho 0  c v  kkck < ε. Do xn → x ∈ X n¶n tçn t¤i N sao cho d(xn , x)  c, ∀n > N . V¼ P l  nân chu©n t­c vîi h¬ng sè k n¶n Chùng minh. kd(xn , x)k 6 kkck < ε, ∀n > N. Vªy d(xn, x) → 0 trong E . 14 Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xn, x) → 0 trong E , ta c¦n chùng minh xn → x trong E . Thªt vªy, ta câ intP l  tªp mð n¶n vîi måi 0  c ∈ E , tçn t¤i δ > 0 sao cho n¸u kxk < δ th¼ c − x ∈ intP . E l  khæng gian Banach , vîi δ x¡c ành ð tr¶n tçn t¤i N sao cho kd(xn, x)k < δ, ∀n > N suy ra c − d(xn , x) ∈ intP hay d(xn , x)  c, ∀n > N tùc l  xn → x trong E . 1.3.8 M»nh ·. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, P l  nân chu©n t­c v  c¡c d¢y {xn }, {yn } ⊂ X . N¸u xn → x v  yn → y th¼ d(xn , yn ) → n → ∞. d(x, y), Vîi méi ε > 0 chån c ∈ E sao cho 0  c v  kck < 4k ε+ 2 , Vîi k l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P . Tø xn → x v  yn → y, tçn t¤i N sao cho d(xn, x)  c v  d(yn, y)  c vîi måi n > N . Ta câ Chùng minh. d(xn , yn ) 6 d(xn , x) + d(x, y) + d(yn , y) 6 d(x, y) + 2c, ∀n > N v  d(x, y) 6 d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(y, yn ) 6 d(xn , yn ) + 2c. Suy ra 0 6 d(x, y) + 2c − d(xn, yn) 6 4c. Do P l  nân chu©n t­c n¶n suy ra kd(x, y) + 2c − d(xn , yn )k 6 kk4ck = 4kkck Ta câ kd(xn , yn ) − d(x, y)k = kd(x, y) + 2c − d(xn , yn ) − 2ck 6 kd(x, y) + 2c − d(xn , yn )k + k2ck 6 4kkck + 2kck = (4k + 2)kck < ε ∀n > N 15 Suy ra d(xn, yn) → d(x, y). 1.3.9 ành ngh¾a. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân. D¢y {xn} ⊂ ÷ñc gåi l  d¢y Cau chy n¸u vîi måi 0  c ∈ E , tçn t¤i N sao cho d(xm , xn )  c, ∀m, n > N . X 1.3.10 M»nh ·. Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, P l  nân chu©n t­c v  d¢y {xn } ⊂ X . Khi â: 1, {xn } ⊂ X l  d¢y Cauchy khi v  ch¿ khi d(xn , xm ) → 0 trong E khi m, n → ∞; 2, {xn } l  d¢y hëi tö trong (X, d) th¼ nâ l  d¢y Cauchy. 1, Gi£ sû {xn} l  d¢y Cauchy. Gåi k l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P , vîi måi ε > 0, chån c ∈ E sao cho 0  c v  kkck < ε. Tø {xn } l  d¢y Cauchy, tçn t¤i N sao cho d(xm , xn )  c, ∀n, m > N suy ra kd(xm , xn )k 6 kkck < ε, ∀m, n > N suy ra d(xm , xn ) → 0 trong E Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xm, xn) → 0 trong E ta câ vîi måi 0  c ∈ E theo m»nh · 1.3.7 ta ÷ñc d(xm, xn)  c, ∀m, n > N . Vªy {xn} l  d¢y Cauchy. 2, Gi£ sû {xn} thäa m¢n xn → x ∈ X suy ra vîi måi 0  c ∈ E tçn t¤i N sao cho d(xn, x)  2c , ∀n > N Tø â vîi måi m, n > N ta câ: Chùng minh. d(xm , xn ) 6 d(xn , x) + d(x, xm )  c c + =c 2 2 Suy ra {xn} l  d¢y Cauchy. 1.3.11 ành ngh¾a.Khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy ·u hëi tö. 16 1.3.12 ành lþ. N¸u Y l  tªp con âng cõa khæng gian m¶tric nân ¦y õ X th¼ Y ¦y õ. Gi£ sû {xn} l  d¢y Cauchy trong Y ⊂ X suy ra {xn} l  d¢y Cauchy trong X , do X ¦y õ suy ra tçn t¤i x ∈ X sao cho xn → x. M°t kh¡c {xn} l  d¢y trong Y - âng. Tø â suy ra x ∈ Y . Vªy Y ¦y õ. Chùng minh. 17 CH×ÌNG 2 SÜ TÇN T„I IšM B‡T ËNG TRONG KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN VÎI THÙ TÜ BË PHŠN Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng, iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân m  tr¶n nâ câ mët thù tü bë phªn. 2.1 SÜ TÇN T„I IšM B‡T ËNG TRONG KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN VÎI THÙ TÜ BË PHŠN Tø ¥y v· sau ta luæn xem (X, d) l  khæng gian m¶tric nân vîi d nhªn gi¡ trà trong nân chu©n t­c P cõa khæng gian Banach E vîi intP 6= {0}; 6 v   l  c¡c quan h» thù tü tr¶n E ÷ñc x¡c ành bði P . 2.1.1 ành ngh¾a. Gi£ sû 6 l  mët quan h» hai ngæi tr¶n X v  A ⊂ X. 1, Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc gåi l  mët cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A n¸u a 6 x (t÷ìng ùng x 6 a) vîi måi a ∈ A; 2, Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc gåi l  cªn tr¶n óng (t÷ìng ùng cªn d÷îi óng) cõa A n¸u x l  mët cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A v  n¸u y công l  mët cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A th¼ x 6 y (t÷ìng ùng y 6 x). Khi â ta k½ hi»u x = SupA (t÷ìng ùng x = inf A); 3, Ph¦n tû a ∈ A ÷ñc gåi l  ph¦n tû cüc ¤i (t÷ìng ùng cüc tiºu) cõa A, n¸u måi x ∈ A m  a 6 x (t÷ìng ùng x 6 a) th¼ a = x; 4, Tªp A ÷ñc gåi l  mët d¥y chuy·n trong X n¸u A s­p tuy¸n t½nh, tùc l  vîi måi x, y ∈ A th¼ x 6 y ho°c y 6 x. 18 2.1.2 Bê · (Zone). Gi£ sû X l  tªp s­p thù tü bë phªn v  kh¡c réng. Khi â n¸u måi d¥y chuy·n trong X ·u câ cªn tr¶n th¼ trong X câ ph¦n tû cüc ¤i. 2.1.3 Bê ·. Gi£ sû (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân, ϕ : X −→ P , λ l  mët sè thüc d÷ìng, v  6ϕ l  mët quan h» tr¶n X ÷ñc cho bði x 6ϕ y ⇐⇒ λd(x, y) 6 ϕ(y) − ϕ(x); x, y ∈ X Khi â 6ϕ l  mët thù tü bë phªn tr¶n X . V¼ d(x, x) = 0 vîi måi x ∈ X n¶n x 6ϕ x vîi måi x ∈ X . Gi£ sû x, y ∈ X sao cho x 6ϕ y v  y 6ϕ x. Khi â, ta câ Chùng minh. λd(x, y) 6 ϕ(y) − ϕ(x) v  λd(x, y) 6 ϕ(x) − ϕ(y) = −(ϕ(y) − ϕ(x)) Do â d(x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) = 0, tùc l  x = y. Gi£ sû x, y, z ∈ X sao cho x 6ϕ y v  y 6ϕ z. Khi â, ta câ λd(x, z) 6 λ[d(x, y) + d(y, z)] 6 ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x) Do â x 6ϕ z. Vªy 6ϕ l  mët thù tü bë phªn tr¶n X . 2.1.4 ành lþ. Gi£ sû (X, d) l  khæng gian m¶tric nân ¦y õ, ϕ : X −→ P l  h m li¶n töc. Khi â, n¸u T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n λd(x, T (x)) 6 ϕ(x) − ϕ(T (x)), ∀x ∈ X th¼ T câ iºm b§t ëng, trong â λ l  mët sè thüc d÷ìng n o â. Theo bê · 2.1.2 th¼ (X, 6ϕ) l  tªp ÷ñc s­p thù tü bë phªn. Gi£ sû Y l  mët d¥y chuy·n trong X . Khi â, v¼ tªp {ϕ(y) : y ∈ Y } Chùng minh. 19 kh¡c réng v  bà ch°n d÷îi n¶n tçn t¤i inf {ϕ(y) : y ∈ Y } := c ∈ P Ta s³ chùng tä Y câ cªn d÷îi trong (X, 6ϕ). N¸u tçn t¤i x ∈ Y sao cho ϕ(x) = 0 th¼ x = inf Y . Thªt vªy, n¸u y ∈ Y m  y 6ϕ x v  y 6= x th¼ 0 < λd(x, y) 6 ϕ(x) − ϕ(y) tùc l  ϕ(y) 6 ϕ(x) = c. ¥y l  mët i·u m¥u thu¨n. Gi£ sû c 6 ϕ(y) vîi måi y ∈ Y . Khi â v¼ c = inf {ϕ(y) : y ∈ Y } n¶n vîi d n o â thuëc intP tçn t¤o y1 ∈ Y sao cho c < ϕ(y1) < c + d. Cè ành d. T÷ìng tü tçn t¤i y2 ∈ Y sao cho d c < ϕ(y2 ) < M in(c + , ϕ(y1 )) 2 V¼ Y l  d¥y chuy·n n¶n y1 6ϕ y2 ho°c y2 6ϕ y1. Do â, tø ϕ(y2) < ϕ(y1 ) suy ra y2 6ϕ y1 . Ti¸p töc suy luªn t÷ìng tü ta x¥y düng ÷ñc d¢y {yn } trong Y sao cho yn+1 6 yn v  c < ϕ(yn ) < c + d n ∀n = 1, 2, . . . Tø P l  nân chu©n t­c v  nd −→ 0 khi n −→ ∞, ¡p döng nguy¶n lþ kµp ta suy ra ϕ(yn) −→ c khi n −→ ∞. Vîi méi n = 1, 2, . . . v  k ∈ N, v¼ yn+k 6ϕ yn n¶n 0 6 λd(yn+k , yn ) 6 ϕ(yn ) − ϕ(yn+k ) M°t kh¡c, v¸ ph£i cõa b§t ¯ng thùc tr¶n d¦n tîi khæng khi n −→ ∞ n¶n suy ra λd(yn+k , yn) −→ 0 khi n −→ ∞ vîi måi k ∈ N. V¼ λ > 0 n¶n d(yn+k , yn ) −→ 0 khi n −→ ∞ vîi måi k ∈ N. Do â {yn } l  d¢y Cauchy. 20
- Xem thêm -