ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1. Thể tích khối lăng trụ
V B.h với B diện tích đáy, h là chiều cao lăng trụ.
h
B
2. Thể tích khối hộp chữ nhật
V a.b.c với a, b, c là ba kích thước.
a
b
c
3. Thể tích khối lập phương
V a 3 với a là độ dài cạnh.
a
a
a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 42
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BBC ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCABC .
A. a 3 2
C. a 3 6
B. 2a 3
D.
3a 3
Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA MA ' và NC 4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN
B. Khối GA’B’C’
C. Khối ABB’C’
D. Khối BB’MN
Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và ABC
60 . Hình chiếu vuông góc của điểm
bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC
B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a
bằng
A.
13a 3
.
108
B.
7a3
.
106
C.
15a 3
.
108
D.
9a 3
.
208
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A ' BC bằng
a
.Tính thể tích khối lăng trụ
6
ABC. A ' B ' C ' .
A.
3a 3 2
.
8
B.
3a 3 2
.
28
C.
3a 3 2
.
4
D.
3a 3 2
.
16
Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ
A. V
27 3
a .
8
B. V
3 3
a .
4
C. V
3 3
a .
2
D.
9 3
a .
4
Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA ' và BC bằng
a3 3
A.
12
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4
a3 3
B.
6
a3 3
C.
3
a3 3
D.
24
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a , một mặt phẳng cắt các cạnh
1
2
AA , BB , CC , DD lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM a , CP a . Thể tích khối
3
5
đa diện ABCD.MNPQ là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 43
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
11 3
a .
30
B.
a3
.
3
C.
Khối Đa Diện Nâng Cao
2a 3
.
3
D.
11 3
a .
15
Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA 3, AD 7; các mặt bên ABB ' A ' và ADD ' A ' hợp với mặt đáy các
góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:
B. 3 (đvdt)
A. 4 (đvdt)
C. 2 (đvdt)
D. 6 (đvdt)
Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là . Tính thể tích V
của khối hộp đã cho.
A. V
S1S 2 cos
a
B. V
S1S 2 cos
.
3a
C. V
S1S 2 cos
4a
D. V
S1S 2 cos
2a
Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng 00 900 . Tính thể tích V của khối hộp.
A. V a 3 sin 2 cos 2
C. V 2a 3 sin
2
cos 2
a
cos 2 arcsin
2
B. V 2a 3 sin cos 2
a
cos 2
2
D. Đáp số khác.
a
cos 2
2
; đường chéo AC ' hợp
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB a, AD b, BAD
với đáy góc . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
A. V 4ab a 2 b 2 2ab.cos .cos .cos
B. V 2ab a 2 b 2 2ab.cos .cos .cos
C. V 3ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
D. V ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A. 8 .
B. 8 2 .
C. 16 2 .
D. 24 3 .
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax 8 .
B. Vmax 12 .
C. Vmax 8 2 .
D. Vmax 6 6 .
Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax 16 2 .
B. Vmax 16 .
C. Vmax 6 6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Vmax 12 3 .
Trang 44
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích toàn phần bằng 18cm 2 .
A. Vmax 6cm3 .
B. Vmax 5cm3 .
C. Vmax 4cm3 .
D. Vmax 3cm3 .
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax 8 .
B. Vmax 12 .
C. Vmax 8 2 .
D. Vmax 6 6 .
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax 16 2 .
B. Vmax 16 .
C. Vmax 6 6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Vmax 12 3 .
Trang 45
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BBC ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCABC .
A. a 3 2
C. a 3 6
B. 2a 3
3a 3
D.
Hướng dẫn giải:
Từ A kẻ AI BC I là trung điểm
BC
AI (BC C B ) AI B C (1)
A'
B'
Từ I kẻ IM B C (2)
B'
H
Từ (1), (2) B C (IAM)
Vậy góc giữa (A B C) và ( B CB) là
AMI = 600
M
M
B
I
C
1
Ta có AI= BC a ; IM=
2
AI
a
0
tan 60
3
BH 2 IM
C'
600
A
C
I
B
2a
1
1
1
3
1
1
;
2 2 2.
2
2
2
BH
BC
4a 4a
2a
3 B'B
Suy ra BB = a 2 ; S ABC
1
1
AI .BC a.2a a 2
2
2
VABC ABC a 2.a 2 a 3 2
Chọn A.
Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA MA ' và NC 4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN
B. Khối GA’B’C’
C. Khối ABB’C’
D. Khối BB’MN
Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng
A’B’C’ là bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng
A
B
ABC / / A’B’C’
VGA ' B 'C ' VA. A ' B 'C '
Mà VA. A ' B 'C ' VABB 'C ' (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và
ABB’ diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’)
C
G
N
M
C'
A'
VGA ' B 'C ' VABB 'C '
B'
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 46
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
=> Không thế khối chóp GA’B’C’ hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất → Loại B,C
+ So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN
Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và
Khối BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ >
Diện tích đáy BCN
=> Khối A’BCN < Khối BB’MN .
=> Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn.
Chọn A.
Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và ABC
60 . Hình chiếu vuông góc của điểm
bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC
B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a
bằng
A.
13a 3
.
108
B.
7a3
.
106
C.
15a 3
.
108
D.
9a 3
.
208
Hướng dẫn giải:
Gọi M , N là trung điểm của AB, AC
và G là trọng tâm của ABC .
B ' G ABC BB
', ABC B
' BG 600 .
B'
C'
1
1
VA '. ABC .S ABC .B ' G . AC.BC.B ' G
3
6
Xét B ' BG vuông tại G , có B
' BG 600
a 3
. (nửa tam giác đều)
B 'G
2
A'
B
60°
M
C
G
60°
N
A
600
Đặt AB 2 x . Trong ABC vuông tại C có BAC
AB
tam giác ABC là nữa tam giác đều AC
x, BC x 3
2
3
3a
Do G là trọng tâm ABC BN BG
.
2
4
Trong BNC vuông tại C : BN 2 NC 2 BC 2
3a
AC
2 13
9a 2 x 2
9a 2
3a
3x 2 x 2
x
16
4
52
2 13
BC 3a 3
2 13
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 47
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy, VA ' ABC
Khối Đa Diện Nâng Cao
1 3a 3a 3 a 3 9a 3
.
.
.
.
6 2 13 2 13 2
208
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A ' BC bằng
a
.Tính thể tích khối lăng trụ
6
ABC. A ' B ' C ' .
A.
3a 3 2
.
8
B.
3a 3 2
.
28
C.
3a 3 2
.
4
D.
3a 3 2
.
16
Hướng dẫn giải:
A'
Gọi M là trung điểm của BC ,
ta có A ' AM A ' BC theo giao tuyến A ' M .
C'
Trong A ' AM kẻ OH A ' M ( H A ' M ) .
OH A ' BC
B'
Suy ra: d O, A ' BC OH
S ABC
a
.
6
a2 3
.
4
A
O
Xét hai tam giác vuông A ' AM và OHM có góc M
chung nên chúng đồng dạng.
a
OH
OM
6
Suy ra:
A' A A'M
A' A
A' A
C
H
M
B
1 a 3
.
1
3 2
2
2
A' A
A ' A AM
3
a 3
A ' A2
2
2
.
a 6
a 6 a 2 3 3a 3 2
. Thể tích: VABC . A ' B 'C ' S ABC . A ' A
.
.
4
4
4
16
Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ
A. V
27 3
a .
8
B. V
3 3
a .
4
C. V
3 3
a .
2
D.
9 3
a .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120 .
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
1
a2 3
S ABC S DEF a.a.sin120
2
4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 48
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
AC AB 2 BC 2 2. AB.BC.cos B
A'
1
a 2 a 2 2.a.a. a 3
2
B'
E'
C'
S ACDF AC. AF a 3.a a 2 3
S ABCDEF S ABC S ACDF S DEF
a2 3
a 2 3 3a 2 3
a2 3
4
4
2
Suy ra
B
3a2 3 9 3
a
4
4
D'
A
60°
a 3
B
' BH 60 B ' H BB '.sin 60
2
V BH '.SABCDEF a 3.
F'
F
H
C
E
D
Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA ' và BC bằng
A.
a3 3
12
B.
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4
a3 3
6
C.
a3 3
3
D.
a3 3
24
Hướng dẫn giải:
C'
B'
Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vuông
góc với AA '. Suy ra MH d BC , A ' A
Đặt AH x, ta có: A ' A x 2
a 3
4
A'
a2
3
H
C
a
Từ A ' A.MH A ' G. AM x .
3
M
B
A
a a 2 3 a3 3
Vậy V .
.
3 4
12
Chọn A.
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a , một mặt phẳng cắt các cạnh
1
2
AA , BB , CC , DD lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM a , CP a . Thể tích khối
3
5
đa diện ABCD.MNPQ là:
A.
11 3
a .
30
B.
a3
.
3
C.
2a 3
.
3
D.
11 3
a .
15
Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 49
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I
thuộc đoạn OO’.
Ta có: OI
B
AM CP 11
a
a
2
30
2
O
A
Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì:
OO1=2OI=
C
11
a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’.
15
D
N
M
I
Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt
P
Q
các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại
O1
B'
A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp
ABCD. AB1C1 D1. Vậy
V ABCD.MNPQ V MNPQ. A1 B1C1 D1
C'
O'
A'
D'
1
1
11
V ( ABCD. A1B1C1D1 ) a 2OO1 a 3
2
2
30
Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA 3, AD 7; các mặt bên ABB ' A ' và ADD ' A ' hợp với mặt đáy các
góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:
B. 3 (đvdt)
A. 4 (đvdt)
C. 2 (đvdt)
D. 6 (đvdt)
D'
C'
Hướng dẫn giải:
Dựng A ' H ABCD và
A ' I AB, A ' J AD HI AB, HJ AD.
Ta có
A ' IH 450 ;
A ' JH 600.
A'
Đặt A ' H h.
Tam giác HA ' J vuông có
A ' JH 600 nên là
nửa tam giác đều có cạnh A ' J , đường cao
A ' H , HJ là nửa cạnh
B'
D
C
600
A' J
h
2h 3
2
3
2
J
H
A
450
I
B
12h 2 9 12h 2
A ' J AA ' A ' J 1
9
9
2
AJ
2
2
3
9 12h 2
với 0 h
2
3
Tam giác HA ' I vuông cân tại H IH A ' H h
AIHJ là hình chữ nhật.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 50
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
AJ IH
Khối Đa Diện Nâng Cao
9 12h 2
3
h 9 12h 2 9h 2 h
3
21
Thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' : V S ABCD . A ' H 3. 7.
3
3 (đvdt)
21
Chọn B.
Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là . Tính thể tích V
của khối hộp đã cho.
A. V
S1S 2 cos
a
B. V
S1S 2 cos
.
3a
C. V
S1S 2 cos
4a
D. V
S1S 2 cos
2a
Hướng dẫn giải:
Gọi O và O ' theo thứ tự là tâm của hai mặt
đáy ABCD, A ' B ' C ' D '.
D'
C'
Hai mặt chéo ACC ' A ' và BDD ' B ' có
giao tuyến là OO ', có diện tích theo thứ tự
S1 , S 2 .
Dựng mặt phẳng P vuông góc với OO '
tại I , cắt các cạnh bên AA ', BB ', CC ', DD '
theo thứ tự tại E , F , G, H ( P các cạnh
A'
B'
H
G
I
P
F
E
D
C
bên).
là
Ta có: EG, HF OO' tại I EIH
góc giữa hai mặt phẳng chéo ACC ' A ' và
A
B
BDD ' B ' .
- EFGH là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành.
Do đó, ta có thể tích V của hình hộp là:
1
V S EFGH . AA ' .EG.HF . AA '.sin
2
Ta lại có: S1 S ACC ' A ' EG.AA' EG=
S1
S
; S 2 S BDD' B ' HF .BB ' HF 2
a
a
S S cos
1 S S
V . 1 . 2 a.sin 1 2
.
2 a a
2a
Chọn D.
Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng 00 900 . Tính thể tích V của khối hộp.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 51
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. V a 3 sin 2 cos 2
C. V 2a 3 sin
cos 2
2
Khối Đa Diện Nâng Cao
a
cos 2 arcsin
2
B. V 2a 3 sin cos 2
a
cos 2
2
D. Đáp số khác.
a
cos 2
2
Hướng dẫn giải:
Ta có
A ' O BD
BD A ' AC BD AH
AC BD
AH ABCD HK AD
C'
D'
Dựng A ' H AC ; A ' K AD A ' BD
cân tại A ' A ' O BD
A'
B'
D
C
Đặt
A ' AO .HAA ' vuông tại
AH
H cos =
AA '
K
O
H
A
B
ABCD là hình thoi AC là phân giác
,KAH vuông tại K
góc BAD
cos
2
AK
AH AK AK
cos .cos
.
cos
AH
2 AA ' AH AA '
cos
cos
cos
A ' H AA '.sin a.sin A ' H a 1
cos
2
Do đó ta có: VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD . A ' H a 2 .sin .
2a 3 sin
2
cos 2
cos 2
a
cos
cos 2
2
2
2
a
cos
cos 2
2
cos 2
2
cos 2
2
a
cos 2 .
2
Chọn C.
; đường chéo AC ' hợp
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB a, AD b, BAD
với đáy góc . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
A. V 4ab a 2 b 2 2ab.cos .cos .cos
B. V 2ab a 2 b 2 2ab.cos .cos .cos
C. V 3ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
D. V ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
Hướng dẫn giải:
V ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 52
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
Ta có: CC ' ABCD
'
CAC
ABCD .
là góc của AC ' và mặt đáy
ABC ,
ta
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB.BC.cos
ABC
Xét
D'
C'
có:
A'
B'
a b 2ab.cos 180 a b 2ab.cos .
2
2
0
2
2
b
D
C
AC a b 2ab.cos
2
Do
2
đó
ta
có:
A
CC ' AC.tan a b 2ab.cos .tan .
2
2
a
B
Thể tích của hình hộp đứng: V S ABCD .CC ' ab sin . a 2 b 2 2ab.cos .tan
V ab a 2 b 2 2ab.cos .sin .tan
Chọn D.
CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A. 8 .
B. 8 2 .
C. 16 2 .
D. 24 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c 0
Ta có
AC 2 a 2 b 2 c 2 36; S 2ab 2bc 2ca 36 (a b c) 2 72 a b c 6 2
3
3
abc 3
abc 6 2
abc abc
16 2 . Vậy VMax 16 2
3
3
3
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax 8 .
B. Vmax 12 .
C. Vmax 8 2 .
D. Vmax 6 6 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 53
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
* Độ dài đường chéo d a 2 b 2 c 2 6 .
* Tổng diện tích các mặt S 2 ab bc ca 36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V abc .
Ta có a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ac 6 2 .
Mà b c 4bc 6 2 a
2
2
Khi đó V abc a 18 a 6 2 a
a
3
2 8
0 a 4
2.
6 2a 2 18a f a .
Khảo sát hàm số y f a trên 0; 4 2 .
a 2
Ta có f a 0
.
a 3 2
So sánh f 0 0, f
4 18 a b c 4 18 a 6 2 a
2, f 3 2 0, f 4 2 8 2 ta được Vmax 8 2 .
Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax 16 2 .
B. Vmax 16 .
C. Vmax 6 6 .
D. Vmax 12 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có
4 a b c 32
a b c 8
2
2
2
2
2
2
a b c 24
a b c 2 6
Suy ra ab bc ca
b c
2
a b c
2
a 2 b2 c2
2
20
4bc 8 a 4 20 a 8 a 0 a 4 .
2
V abc a 20 a 8 a f a a a 2 8a 20 .
Suy ra Vmax max f a f 2 f 4 16
0;4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 54
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích toàn phần bằng 18cm 2 .
A. Vmax 6cm3 .
B. Vmax 5cm3 .
C. Vmax 4cm3 .
D. Vmax 3cm3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
a 2 b 2 c 2 18
Đặt a, b, c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ
.
ab
bc
ac
9
Suy ra a b c 6. Cần tìm GTLN của V abc.
Ta có b c 6 a bc 9 a b c 9 a 6 a .
Do b c 4bc 6 a 4 9 a 6 a 0 a 4.
2
2
Tương tự 0 b, c 4 .
Ta lại có V a 9 a 6 a . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax 8 .
C. Vmax 8 2 .
B. Vmax 12 .
D. Vmax 6 6 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có
* Độ dài đường chéo d a 2 b 2 c 2 6 .
* Tổng diện tích các mặt S 2 ab bc ca 36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V abc .
Ta có a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ac 6 2 .
Mà b c 4bc 6 2 a
2
2
Khi đó V abc a 18 a 6 2 a
a
3
2 8
0 a 4
2.
6 2a 2 18a f a .
Khảo sát hàm số y f a trên 0; 4 2 .
a 2
Ta có f a 0
.
a 3 2
So sánh f 0 0, f
4 18 a b c 4 18 a 6 2 a
2, f 3 2 0, f 4 2 8 2 ta được Vmax 8 2 .
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax 16 2 .
B. Vmax 16 .
C. Vmax 6 6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Vmax 12 3 .
Trang 55
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Khối Đa Diện Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có
4 a b c 32
a b c 8
2
2
2
2
2
2
a b c 24
a b c 2 6
Suy ra ab bc ca
b c
2
a b c
2
a 2 b2 c2
2
20
4bc 8 a 4 20 a 8 a 0 a 4 .
2
V abc a 20 a 8 a f a a a 2 8a 20 .
Suy ra Vmax max f a f 2 f 4 16
0;4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 56
.PDF 
15 
178 
94 
