Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp xây dựng hệ thống bài tập toán học dạy học chủ đề “quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trường thpt theo định hướng phát triển năng lực học sinh

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGÔ THỊ HƢỚNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI - 5/2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGÔ THỊ HƢỚNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN VĂN HÀ HÀ NỘI - 5/2019 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà- ngƣời đã định hƣớng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này. Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Ngô Thị Hƣớng LỜI CAM ĐOAN Sinh viên lớp: K41D- Sƣ phạm Toán Trƣờng: ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dƣới sự chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Ngô Thị Hƣớng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ...........................................................................................1 2.Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................2 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3 1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................3 1.1.1 Năng lực ..................................................................................................3 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................5 1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông .........................................6 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán .............................................................6 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ................................................................... 10 1.2.3. Phân loại bài toán ............................................................................... 14 1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA)17 1.3 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông ....................................................................................................... 23 1.3.1. Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực ... 23 1.3.2. Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ...... 24 Tiểu kết chƣơng 1.......................................................................................... 27 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH.............................................................................................................. 28 2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trƣờng THPT. ..................................................................................... 28 2.1.1. Nội dung chƣơng trình dạy học quan hệ vuông góc trong không gian.28 2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ..... 28 2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh 29 2.2.1. Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vecto ...................... 29 2.2.2. Hai đƣờng thẳng vuông góc ................................................................ 34 2.2.3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng .............................................. 38 2.2.4. Hai mặt phẳng vuông góc ................................................................... 47 2.2.5. Khoảng cách ........................................................................................ 53 Tiểu kết chƣơng 2.......................................................................................... 59 KẾT LUẬN ................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 62 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hình học là một phần không thể thiếu trong Toán học nhƣng đó cũng là học phần mà học sinh gặp khó khăn nhiều nhất trong việc tiếp nhận kiến thức và giải các bài tập. Đặc biệt là hình học không gian. Chính vì vậy đòi hỏi giáo viên phải có phƣơng pháp dạy học phù hợp, phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh đang là lựa chọn số một của nhiều nƣớc trên thế giới. Phƣơng pháp này giúp phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo tự tìm ra kiến thức của học sinh. Qua quá trình đi tìm hiểu một số học sinh của từng vùng thì tôi nhận thấy kiến thức và bài tập về quan hệ vuông góc ở lớp 11 đang là trở ngại lớn của học sinh. Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Với mong muốn hệ thống bài tập này có thể giúp giáo viên trong giảng dạy và học sinh trong việc củng cố kiến thức về phần này. 2.Mục đích nghiên cứu Định hƣớng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh. + Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. 1 + Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. - Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh Toán học thuộc chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phƣơng pháp dạy học khái niệm môn toán. Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh. Nghiên cứu nội dung chƣơng trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. 2 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trƣng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Năng lực của con ngƣời có đặc điểm sau: + Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể. + Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động. + Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trƣờng và hoạt động của bản thân. Nhƣ vậy, năng lực của con ngƣời hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tƣ chất của cá nhân, nhƣng năng lực của con ngƣời không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực. Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tƣởng tƣởng. + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định của xã hội nhƣ năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học,... Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt đƣợc năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết 3 quả và hiệu quả cao thì mỗi ngƣời đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tƣơng ứng với lĩnh vực công việc của mình. Năng lực còn đƣợc hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con ngƣời chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà ngƣời đó có thể dùng khi hoạt động. Để nắm đƣợc cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân ngƣời này khác ngƣời kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng nhƣ ai thì không thể nói về năng lực. - Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào. - Năng lực con ngƣời bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ƣơng, nhƣng nó chỉ đƣợc phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con ngƣời. Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con ngƣời thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có ngƣời có năng lực về quản lý kinh tế, có ngƣời có năng lực về Toán học, có ngƣời có năng lực về kỹ thuật, có ngƣời có năng lực về thể thao, ... - Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng đƣợc lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con ngƣời không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tƣơng đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động. Nhƣ vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn. 4 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc hiểu dƣới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại. Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng. - Năng lực Toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tƣơng đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện nhƣ nhau”. - Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trƣng cho một dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tƣ duy Toán học + Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo Toán học 5 1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán a) Bài toán Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay. Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ đề toán, bài tập,... Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán: - Bài toán luôn có mục đích xác định. - Sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc yêu cầu ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán). Ví dụ 1: “Cho đƣờng tròn Từ một điểm bất kỳ trên và đƣờng thẳng và đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn tại hai điểm . và nằm ở ngoài đƣờng tròn, kẻ các tiếp tuyến là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi thì đƣờng tròn ngoại tiếp di động trên luôn đi qua hai điểm cố định.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây: - Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng". - Mục đích của bài toán thể hiện. “Đƣờng tròn ngoại tiếp qua hai điểm cố định.” Ví dụ 2: “Số tự nhiên và .” 6 luôn đi + Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích. + Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai. + Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay biến bởi hằng số ta đƣợc mệnh đề. Ví dụ 3 “Tìm tố cơ bản sau: và .” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu - Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”. - Mục đích của bài toán thể hiện. “ và .” b) Lời giải bài toán - Lời giải của bài toán đƣợc hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán. - Nhƣ vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên. - Một bài toán có thể có lời giải nhƣ sau: + Một lời giải. + Nhiều lời giải. + Không có lời giải. - Giải đƣợc một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đƣợc bài toán là không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời giải. Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau: “Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn, Ba mƣơi sáu con, 7 Một trăm chân chẵn. Tính số gà, số chó?” Cách 1. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà. Vậy số chân của 36 con vật là: 2  36 = 72 (chân) Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là: 100 – 72 = 28 (chân) Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Nhƣ vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân. Vậy số con chó là: 28 : 2 = 14 (con chó) Số con gà là: 36 – 14 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con. Cách 2. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó. Vậy số chân của 36 con vật là: 4  36 = 144 (chân) Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 144 – 100 = 44 (chân) Ta thấy 44 chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử 36 con vật đều là chó cả. Nhƣ vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.Vậy số con gà là: 44 : 2 = 22 (con gà) 8 Số con chó là: 36 – 22 = 14 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con. Cách 3. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là: 3  36 = 108 (chân) Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 108 – 100 = 8 (chân) Ta thấy 8 chân dƣ so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Nhƣ vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân. Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dƣ ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là: 8 : 1 = 8 (con) Số con chó là (36 – 8) : 2 = 14 (con chó) Số con gà là: 14 + 8 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con. Cách 4. Giả thiết tạm Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con. Do đó tổng số chân của 36 con vật là: (2  18) + (4  18) = 108 (chân). Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 9 108 – 100 = 8 (chân). Ta thấy 8 chân dƣ ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con. Nhƣ vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngƣợc lại. Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà đƣợc chuyển thành số con chó là: 8: 2  4 (con) . Số gà nhiều hơn số chó là: 4  2  8 (con) Số con chó là: (36  8) : 2  14 (con) Số con gà là: 14  8  22 (con) Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó. 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán a) Kiến thức Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ nhƣ vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa, ... Cuối cùng chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán. 10 Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần. Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau: “Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một đƣợc dựng liên tiếp nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng  +  = 45o ”. Hướng dẫn A O D C   Hình 1.1 B Cách 1. Lớp 10 1 2 1 3 Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   . Dễ thấy tan      tan  tan  1 . Do đó suy ra     45o . 1  tan .tan Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau. - Định nghĩa hàm số lƣợng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm số lƣợng giác của một góc. - Công thức biến đổi lƣợng giác của một tổng. Cách 2. Lớp 7 E A O  C   D Hình 1.2 B Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với  tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2). Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh đƣợc rằng ̂ 11 Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau: - Hai góc kề nhau - Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân. Cách 3. Lớp 8, 9 C O A    D Hình 1.3 B đồng dạng vì chung nhau góc ̂ và hai cạnh kề góc ̂ và dễ dàng có điều cần chứng đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra minh. Ta có (Hình 1.3) Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau: - Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Tính chất của hai tam giác đồng dạng. - Tính chất của hai đƣờng thẳng song song. - Hình vuông và các tính chất của nó. b) Tƣ duy Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng nhƣ của môn toán là một khoa học suy diễn, nó là môn khoa học đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ... Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải đƣợc mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra đƣợc lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống 12 nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Nhƣ vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy logic và tƣ duy sáng tạo của học sinh đƣợc rèn luyện và phát triển. c) Kỹ năng Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó. Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán: - Trong giảng dạy khái niệm Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán đƣợc sử dụng làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm); bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm. - Trong giảng dạy định lý Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể đƣợc sử dụng trong hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể đƣợc sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh tìm ra đƣờng lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có thuật toán giải. - Trong luyện tập Toán học Bài toán là phƣơng tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong đó ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó. d) Tƣ tƣởng 13 Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích cụ thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con ngƣời. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó ngƣời giải phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi ngƣời ta phải có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là “Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con ngƣời. 1.2.3. Phân loại bài toán Ngƣời ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và ngƣời ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi. a) Phân loại theo hình thức bài toán Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại nhƣ sau: - Bài toán chứng minh. Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng của mục đích bài toán. Ví dụ 6: “Cho tam giác , hai điểm lần lƣợt là trung điểm các cạnh Chứng minh rằng diện tích của tam giác giác .” 14 bằng 1 diện tích tam 4