Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 1663 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Tham gia: 31/07/2015

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su' PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHỪNG TH Ị NGÂN VỀ CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ, cực ĐẠI VÀ NGUYÊN s ơ K H Ó A L U Ậ• N T Ố T N G H I Ệ• P Đ Ạ• I H Ọ• C C huyên ngành: Đ ại số Ngưòi hướng dẫn khoa học ThS. Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cún miệt mài, nghiêm túc cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này. Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015. Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “v ề các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” được hoàn thành do sự cố gắng, nồ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên. Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cún trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, thảng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân. M Ụ C LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................... 1 Chương 1: KIÉN THỨC c ơ BẢN VỀ VÀNH...........................................2 1.1. Vành và các tính chất cơ b ản ............................................................. 2 1.2. Vành con và các tính chất cơ b ả n ...................................................... 3 1.3. Miền nguyên, trường........................................................................... 3 1.4. Iđêan..................................................................................................... 4 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành ơ c lit....................................... 7 1.6. Vành thương và đồng cấu v ành......................................................... 8 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ...................................................... 12 Chương 2: IĐÊAN c ự c ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN T Ó ...................... 14 2.1. Iđêan cực đ ại......................................................................................14 2.2. Iđêan nguyên tố ..................................................................................19 Chương 3: IĐÊAN NGUYÊN s ơ ............................................................. 32 3.1. Iđêan nguyên s ơ ................................................................................ 32 3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ ................................................................................................................39 KẾT LUẬN.................................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một nghành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ sở của của cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường... Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lỷ thuyết vành giao hoán vào đại số hình học. Tuy nhiên trong chương trình đại học vấn đề này mới chỉ được trình bày một cách sơ lược gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán. Được sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên và mong muốn tìm hiếu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Ve các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại, sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Lý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên các vành giao hoán. 4. Phương pháp nghiên cún: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tống họp. 5. Cấu trúc khóa luận Khóa luận này được chia làm 3 chương Chương 1. Kiến thức cơ bản về vành. Chương 2. Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố. Chương 3. Iđêan nguyên sơ 1 Chương 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN VÈ VÀNH Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiếnthức về vành và các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trường, iđêan, quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 1.1. Vành và các tính chất CO’ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân. X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) X cùng với phép cộng là nhóm Aben, ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm, iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ỷ x,y,z. € X ta có x(ỵ + z) = xy + x z , (ỵ + z)x = yx + zx. Chú ý 1.1.2. + Vành X gọi là vành có đon vị nếu X là vị nhóm nhân. + Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán. + Vành X gọi là vành giao hoán có đon vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán. + Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0. + Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1. + Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoán có đơn vị 1. 2 Định nghĩa 1.1.3. Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n. 1 = 0 thì ta nói X có đặc số là n , ngược lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của vành X ký hiệu là char(X ) . Định lý 1.1.4. Với mọi Jt, y,z e X , n e Z ta có + xO = 0 = o.x với mọi x e X ; + Neu vành X có ít nhất hai phần tử thì 0 ^ 1; + (n.x)y = n.x.y = x.(n.ỵ) với mọi A", y G X ,n e z ; + ( x - y)z = x z - yz. Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con s của R được gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãn i) les, ii) Với mọi x ,ỵ e S thì xy e s . 1.2. Vành con và các tính chất cơ bán Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổn định với hai phép toán trong X , nghĩa là x + y e A, x.ỵ G A với mọi x ,ỵ G A . A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lý 1.2.2 . Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X . Khi đó các điều kiện sau là tương đương i) A là một vành con của X ; ii) Va\ y e a iii) Vjc,y A: X - y g : x + ỵ G A , x.y e A , - l e A ; e A , x.y E A . 1.3. Miền nguyên, trưòìig Định nghĩa 1.3.1 (Ước của không). Cho a e X , a ^ o , a được gọi là ước của không nếu tồn tại b G X , b ^ 0 sao cho a.b = 0. 3 Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch). Phần tử u e X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức là tồn tại Ve X sao cho u.v = 1. Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết). Với a,a e X ta nói a,a liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho a -u .a hoặc a = u .a . Ký hiệu: a ~ a hoặc a '~ a . Định nghĩa 1.3.4 (Ước thực sự), a được gọi là ước thực sự của b nếu a là ước của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b . Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy), a e X là phần tử bất khả quy nếu a ^ 0, a không khả nghịch và a không có ước thực sự. Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố). Phần tử a ^ o , không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên to nếu từ aịu.v thì a\u hoặc a\ V. Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên). Một vành giao hoánX có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là một miền nguyên. Định nghĩa 1.3.8 (Trường). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân được gọi là một trưòiĩg. Như vậy X là trường thì + ( x ,+ ) là nhóm Aben + ( x v ) là nhóm Aben, trong đó X = X \{0} + Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Nhận xét 1.3.9. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0, hoặc là một số nguyên tố. 1.4. Iđêan. Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R . I được gọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện sau i) / *0, 4 ii) Với mọi a , b t l thì a + b e I , iii) Với mọi a e l , r e R thì ra e I. Định lý 1.4.2. Cho X là vành, / c X , / ^ 0 . Các khẳng định sau tương đương i) I là iđêan của X ; ii) Với mọi a , b e l thì a - b e ỉ và x e l thì a .x e / , x . a e l . Định lý 1.4.3. a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của b) Cho X là vành giao hoáncó X . đơn vị là 1, I là một iđêan của X , 1G / thì ĩ = x . Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập). Cho u là tập con của vành X . Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa u là một iđêan chứa u và được gọi là ỉđêan sinh bởi tập u . Ký hiệu: ( ư ) hoặc x u . Nhận xét 1.4.5. Cho X là vành giao hoán, tập ( / c X + (ơ ) là iđêan nhỏ nhất của X chứa + Neu u là tập con hữu hạn của u ; X thì tanói / = ( u ) là iđêan hữu hạn sinh của X ; + Nếu ư ={u. \ i = 1,72Ị thì (u) = | 2 > , n eN *,x(. G x,u. g ơ | ; + Nếu ư = 0 thì (ơ ) = ( 0 ) = {o}. Định nghĩa 1.4.6 (Iđêan chính). Cho X là vành, iđêan sinh bởi tập chỉ gồm một phần tử được gọi là iđêan chỉnh. Biếu diễn: / là iđêan chính sinh bởi phần tử a e X thì / xác định bởi I = ịxaịx e x Ị . 5 Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan). Cho R là vành giao hoán và cho / là iđêan của R . Căn của iđêan I ký hiệu là V7 hoặc R a d Ụ ) xác định bởi R ad( /) = Ịx G R 3n e N* : x n E /Ị và cũng là một iđêan của I . Đặc biệt. {0} là một iđêan của R , Rad ({o}) = Ịx e R 3n e N* :x " = o | được gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Racỉ (/?). Định lý 1.4.8. Cho / p / 2, l à các iđêan của R , ta có In n JfV =nvà V1=1 /=1 (*) Chứng minh. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n ~ì~V 01 n —2 tã can chi rã yị11 I n G yỊỉị n / 2 luôn tồn tại ra € N sao cho a'" G /j n / 2 Thật vậy, với mọi Suy ra tồn tại m GN thỏa mãn ' í/ m G /1 T Suy ra « e ^7¡" ỊClGyjT^ Mặt khác với mọi b € Suy ra tồn tại n ^77 thì GN* để b' G /,, bk G/ 2. Giả sử /c> r, k = t + q . Khi đó bk =bt+q =btb q e / , (do b’ G /,). 6 Lại có bk G / 2suy ra bk e /, n / 2 => ¿>e 'v/Ã' ^ a/^" —V7. ^ ^2 • + Giả sử (*) đúng với n-1 tức là có Ỉ=1 Ta chứng minh (*) đúng với n Thật vậy, = J o ỉ , nỉ " = n ^ = n VÃn /=1 ('theo chứng minh trên) (theo già thiết quy n?p) = 0 ^ i=l v*yJ ịã =CWv ° V i=\ i=I 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành ơclit Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính). Miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính Ví dụ 1.5.2. Vành các số nguyên z là vành chính. Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa). Miền nguyên X được gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy. Nhận xét 1.5.4 + Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa + Nếu K là một trường thì K[x] là vành nhân tủ' hóa. 7 Định nghĩa 1.5.5 (Vành ơclit). Cho X là miền nguyên, X* là tập các phần tử khác 0 của X . X được gọi là vành ơclỉt nếu tồn tại ánh xạ ổ : X* —» N thỏa mãn các điều kiện sau i) Neu a là bội của b và a ^ 0 thì ố{b) < ổ(a). ii) Với a,b e X và b ^ 0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho a = bq + r và ổ(r) < ổ(b) nếu r ^ 0. Ký hiệu: ( X, ố) trong đó ổ được gọi là ánh xạ ơclit. 1.6. Vành thương và đòng cấu vành Định nghĩa 1.6.1. Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thương ^ / ^ = ịx + Aịxe x Ị cùng với 2 phép toán (+),(•) xác định như sau, với mọi x, ỵ e X (x + A) + (y + A) = X + y + A, (x + A).(y + A) = xỵ + A. lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A . Nhận xét 1.6.2 + Nếu X là vành giao hoán thì cũng là vành giao hoán. + Nếu X là vành giao hoán có đơn vị là 1 thì cũng là vành giao hoán có đơn vị là 1+ A. + Đặc biệt, {0},x là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thương ỷ Ị Q]={x + 0 \ x e X } = X , x/ x = { x + X \ x + X } = {X}=í{0}. Ví dụ 1.6.3. Ta có ìĩL là iđêan của vành các số nguyên z (n e N ) nên có vành thương = Ịx + rìEịx e Z Ị = |« z ,l + nZ,...,n -1 + 7?ZỊ với hai phép toán (+), (•) xác định như sau, với mọi x ,y (x + wZ) + (ỵ + liL) = x + y + nZ> (a' + nZ).(y + yỉL) = xy + ÌỈL Định lý 1.6.4. Cho R là vành giao hoán, / là iđêan của R . Khi đó i) Nếu / là iđêan của R sao cho J z>/ thì Jỵj là một iđêan của vành thương ^ / j . ii) Mỗi iđean J của R/j đều có dạng với K là iđêan của R thỏa mãn K Z) / . Tồn tại duy nhất iđêan K = Ị ứ e Rịa + / e J Ị của R thỏa mãn điều kiện. iii) Nếu i j , i 2là các iđêan của R sao cho J VJ 2 3 / thì 2 ^ 2/ / khi và chỉ khi Jị Chúng minh, i) Ta có = Ịữ + ỉ\a e / Ị C Ịr + /ịr e /?| = suy ra ^ là nhóm con của nhóm cộng ^ /j . Hơn nữa, với mọi r € R và a e J ta có (r + /)(ữ + /) = ra + 1 e ^ suy ra J/j là một iđêan của 1ỳj. ii) Lấy 3 là một iđêan bất kỳ của 1ỳj , tập K = ịa € i? I« + 1 € 3 j . + Hiển nhiên / czK d o « + / = / e 3 với mọi a e I . 9 + Lấy a , b e K và r&R thì ta có CI + I , b + ĩ e Z s . Do đó (a + b) + I G 3 , ra + / e 3 . Suy ra a + b, r a e K và K là một iđêan của R. Từ đó theo định nghĩa của K và K 3 / suy ra rằng - 3 + Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chất L d / và ^/j = 3 . Cho a e L thì a + ĩ e L/j = 3 . Suy ra cíe K . Suy ra L^K. Lại có nếu b e K thì b + / e 3 = ^ . Theo (i) ta có b e L. Suy ra K <^L. Vậy L = K hay Ả" là duy nhất. iii) Theo (i) ta có là các iđêan của ^ /j . Từ (ii) ta có điều phải chứng minh. □ Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành). Cho X ,Y là hai vành. Ánh xạ / : X - ^ Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x ,y G X ta có ị f ( x + y) = f ( x ) + f ( y ) j / ( x y ) = /(*),/•(>’) Hơn nữa, + / gọi là đơn cấu nếu / là đồng cấu vành và / là đơn ánh, + / gọi là toàn cấu nếu / là đồng cấu vành và / là toàn ánh, + / gọi là đẳng cấu nếu / vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu, +) Cho hai vành X , Y ta nói X đắng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành / : X —» Y . Định lý 1.6.6. Ta có các khắng định sau (i). Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành; 10 (ii). Cho / :X —» y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì / là đồng cấu không hoặc đơn cấu; (iii). Cho / :X —» y là đồng cấu vành; + Neu / có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X —> Y sao cho g - f = l x thì / là đơn cấu; + Neu / có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X —>• y sao cho / • g = ly thì / là toàn cấu; + Neu / có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì / là đẳng cấu. (iv). f :X —>Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B là iđêan của Y thì + f ( A ) là vành con của Y ; + f ~ \ B ) là iđêan của X. Đặc biệt, cho / : X —» y là đồng cấu vành. Hạt nhân của / ký hiệu là Kerf, Kerf = If ( x ) = 0Ị . Ảnh của đồng cấu / kỷ hiệu I m / , I m / = f ( X ) = Ị /( x ) e Y \x e X Ị . Khi đó + X là vành con của X nên Im / là vành con của Y ; + {0ỵ} là 1 iđêan của Y nên Kerf là một iđêan của X . Vậy / / là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = |0 XỊ , là toàn cấu khi và chỉ khi Im / = Y . Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bán cua đồng cấu vành). Cho đồng cấu vành / :X - ^ Y , A,B tương ứng là các iđêan của X ,Y sao cho f ( A ) c B . 11 Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành / : sao cho biểu đồ sau giao hoán Pb Pa X A nghĩa là f p A = p Bf í ' /B với PA : X —> Pb - Y là c^c to^n c^u chính tắc. Đặc biệt, nếu A = K e r f, £ = jOỵ} thì ỵ/g = ^/|Q J = r , khi đó ta có f p = f với p : X —» Nấu / là toàn cấu vành thì y. là toàn cấu chính tắc. ý —Y • Hơn nữa, / là đơn cấu và /ra/ = / r a / . Hệ quá 1.6.8. Cho /4,# là hai iđêan của vành thỏa mãn ÆZ) A . Khi đó R // 2LR/ / a/ / ỵ / b / b/ • / 7A 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.7.1. Cho tập X ^ 0 . Quan hệ hai ngôi “ < ” trên X được gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất sau i) Phản xạ: với mọi lỉ G X : u 1, ta sẽ chỉ ra p là số / ^ 0, / nguyên tố. Giả sử p không là số nguyên tố thì p = p r p 2 với 1 < P\, p 2 < p . Khi đó với mọi X e pL ta có x= PX\ = P\ P2X\ G /?,z , /7jZ ^ 7L. Suy ra pL Ç- P¡L (trái với giả thiết pL là iđêan cực đại). Vậy p là số nguyên tố. Ngược lại, giả sử p là số nguyên tố nhưng pL không là iđêan cực đại thì tồn tại iđêan 777Z của z , rriL ^ z sao cho pL ç. mz tức m là ước thực sự của p . Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố. Vậy p7L là iđêan cực đại. Mệnh đề 2.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. A là iđêancực đại của R nếu và chỉ nếu là trường. Chứng minh. Giả sử A là iđêan cực đại của R . w R là vành giao hoán có đơn vị nên là vành giao hoán có đơn vị. Ta có A i t R nên 14 có ít nhất hai phần tử 0 + A và 1+ A . Xét phần tử I + Ẩ e , x+ A. Khi đó X&A. Đặt B = (x) + A thì B là iđêan của R và B 2 Ả . Do A là iđêan cực đại nên B = R . Do đó 1e B , suy ra tồn tại x0 G R , a e A sao cho 1 = xxữ + Cl. Suy ra 1+ A = xx0 +a + A = xx0 + A = (x + A)(x0 + A) Vậy x + A có nghịch đảo trong Ngược lại, giả sử là x0 + A . Do đó là trường. Khi đó là một trường. ít nhất hai phần tử là O+ Avà 1+ A. Suy ra A ^ R . Neu B là iđêan của R thỏa mãn AÇ B Do thì tồn tại X(=B\ A. Suy ra x + là trường nên tồn tại I 0 + Ấ e A. sao cho (x + A)(Xq + Ả ) = 1+ A Suy ra xx0 + A = 1+ A hay xx0 -1 G A . Vậy ton tại a G A đế a = x x 0 - 1. Suy ra 1 = xx0 - a G B (vì B là iđêan của R và tập cz B). Vậy B = R hay A là iđêan cực đại của R . □ Định lý 2.1.4. Neu R là vành giao hoán không tầm thường thì R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Gọi Q là tập tất cả các iđêan thực sự của R . Do R không tầm thường nên Ịoị là iđêan thực sự của R . Suy ra n * 0 . Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên Q và iđêan cực đại của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (Q,ç=). Cho A là tập con sắp thứ tự toàn phần của Q . Đặt y = / , rõ ràng / ^ 0 vì 0 G / . /sA 15 + Với mọi Cl G J , r G R thì ra e J . + Với a,b<=J luôn ton tại /,, I2 GA sao cho a G/, ,b e / 2. Do (Q, - Xem thêm -