Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2 KHỎA TOÁN ===£r)lũũlG8 = = = LƯU THỊ HÒNG YÊN LÍ ÁNH XẠ co ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN VÀO DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C huyên ngành: G iải tích Ngưòi hưóng dẫn khoa học PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2015 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp L Ờ I C Ả M ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, nhờ đó mà em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Truông Đại học sư phạm Hà Nội 2 - những người đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này. Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm 0’n! Lưu Thị Hồng Yên K37A Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 L Ờ I CA M Đ O A N Khóa luận này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập, nghiên cún và thực hiện khóa luận. Khi nghiên cún và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Lưu Thị Hồng Yên Lưu Thị Hồng Yên K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp M Ụ C LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................1 3. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................ 1 4. Cấu trúc...................................................................................................................2 NỘI DU NG................................................................................................................. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị ..................................................................3 1.1 Sai s ố ..................................................................................................................... 3 1.1.1 Số gần đúng........................................................................................................3 1.1.2 Sai số tuyệt đối.................................................................................................. 3 1.1.3 Sai số tương đối................................................................................................. 5 1.2 Một số định lí về dãy số .......................................................................................6 1.3 Một số định lí về hàm số liên tục........................................................................9 1.4 Không gian metric.............................................................................................. 12 1.5 Nguyên lí ánh xạ co............................................................................................ 16 1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz................................................................................16 1.5.2 Ánh xạ c o ........................................................................................................16 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach.................................................................... 17 1.5.4 Ví d ụ .................................................................................................................22 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH....................................................................................................................... 25 2.1 ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt.... 25 2.1.1 Bài to á n ............................................................................................................25 2.1.2 Bậc hội tụ của dãy s ố .....................................................................................29 2.1.3 Ví d ụ .................................................................................................................30 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN VỀ DÃY SÓ.........................................................................................49 Lim Thị Hổng Yên K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp 3.1 Phương pháp lặp................................................................................................. 49 3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số vàsiêu việt......................... 49 3.1.2 ứ ng dụng nguyên lí ánhxạ co vào giải một số bài toán về dãy số............. 50 KẾT LUẬN............................................................................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................59 Lim Thị Hổng Yên K37A Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 M Ở ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chưong trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật. Đây là môn học hấp dẫn với các sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống , những giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tĩnh toán. Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích. Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm - một môn học cơ bản vừa mang tĩnh lý thuyết vừa mang tĩnh ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach. Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng đê chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,... Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cún “ ú n g dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phũ thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại học. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định. Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính của khóa luận này. 3. Phương pháp nghiên cún + Phương pháp nghiên cứu lý luận. Lưu Thị Hông Yên 1 K37Ả Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 + Phương pháp nghiên cún tống kết tài liệu. 4. Cấu trúc Khóa luận bao gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình. Chưong 3: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy Lưu Thị Hông Yên 2 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp NỘI DUNG CHƯƠNG 1 K IÉ N TH Ứ C C H U Ẩ N BỊ Trong chưong này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số, hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co. Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5J. 1.1 Sai số 1.1.1 Số gần đúng Trong nhiều trường họp, ta không biết được giá trị đúng của các đại lượng mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó. Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều. Ví dụ 1.1 Theo tổng cục thống kê, đúng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lượng tôm lớn nhất cả nước năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lượng tôm lớn nhất nước đạt hon 116.000 tấn . Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lượng 95.700 tấn. Ớ vị trí thứ ba là Sóc Trăng vói sản lượng 67.312 tấn. Tiếp đến là Ben Tre có sản lượng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn. Các số liệu trên là số gần đúng. 1.1.2 Sai số tuyệt đối Giả sử a là số gần đúng của a . Giá trị a - a phản ánh mức độ sai lệch giữa a và ứ*. Ta gọi đại lượng A := a* - a là sai số thực của a . Neu A > 0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a*. Nếu A < 0 thì a được gọi là số gần đúng thừa của a . Lmi Thị Hồng Yên 3 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính được À. Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương A a nào đó thỏa mãn: a -a \< A a (1.1). Ta gọi A a thỏa mãn điều kiện (1.1) là sai số tuyệt đối của số gần đúng a , từ ( 1.1) có: a —Aa < a < a + Aa (1.2) Rõ ràng A a là sai số tuyệt đối của a thì mọi số A > Aa đều có thế xem là sai số tuyệt đối của a . Vì vậy trong những điều kiện cụ thế người ta chọn A a là số dương bé nhất có thể thỏa mãn (1.2). Do đó, một số gần đúng a của số đúng a với sai số tuyệt đối A (l được viết đơn giản là: a* = ci±A a (1-3) Ví dụ 1.2 Xét số đúng a = \ Ị Ĩ và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41. Hãy cho biết sai số tuyệt đối của nó. Bài giải Ta có (1,41)-= 1,9881 < 2 suy ra 1,41 <-JĨ suy ra n /2 -1 ,4 1 > 0 (1,42)2 =2,0164 > 2 suy ra 1,42 > V ĩsu y ra 2 -1 ,4 2 <0,01 Do đó: À := Cl Cl -72-1,41 < 0,01 Suy ra A = 0,01 Mặt khác 1,41 < -Jĩ < 1,415 = 1,41 + 0,005 Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là A t = 0,005. Lim Thị Hồng Yên 4 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.1.3 Sai số tương đối Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối A a và giả sử d ^ 0 Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu Sa là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a . s . . = ịah ị O-4) Tuy nhiên vì số đúng a chưa biết cho nên đại lượng Sa xác định bởi (1.4) chỉ có ỷ nghĩa lí thuyết. Đe đảm bảo tương đối chính xác người ta thường tĩnh toán s theo công thức sau ( điều kiện a ^ 0 ): Suy ra £ = r\a\t (*-5) Aa =|ứ|.ốữ (1.6) Các công thức (1.5) và (1.6) cho liên hệ giữa sai số tương đối và sai số tuyệt đối. Biết Aw thì(1.5) cho phép tính ổ , biết ổ thì (1.6) cho phép tĩnh Atí. Do (1.6) nên (1.3)cũng có thể viết a* =a(l + ổ ) (1.7) Ví dụ 1.3 Đo độ dài hai đoạn thang AB, CD ta được a = 10cm và b = 1a n với Àí( =Ab = 0,01. Khi đó ta có: = M ỉ = 0, 1% 10 O 0Ị =1% ‘ 1 “ Suy ra : Sb = Ì0ổa Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù At/ = Ah. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối. Lim Thị Hồng Yên 5 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp N hận xét: 1. Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của số gần đúng a của số đúng a là không duy nhất. Chẳng hạn, xem ví dụ 1.2 có a =\Ỉ2, ứ = 1,41 thì có thể lấy Aa =0,01 hoặc Aí( =0,005. Từ đó ta có: 5 = — = 0,00792198582 = 0,792198582% “ 1,41 hoăc s„ = ^ £ = 0,003546099291 = 0,3546099291% 1,41 2. Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối. 3. Người ta thường viết sai số tương đối ở dạng phần trăm. 1.2 Một số định lí về dãy số Định nghĩa 1.2.1 • Dãy (*„) được gọi là dãy hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn . Nói cách khác, khi đó limxw- a \ ứ e l n— Ta còn nói (x ) hội tụ về ứ . • Dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ. Như vậy, nếu dãy phân kỳ thì hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng. • Dãy số (jtn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với \/n ta có xn ^ x„;, Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. • Dãy số (x,;) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho V« ta có JC < M . Lmi Thị Hồng Yên 6 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp • Dãy số (x„) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho V/2 ta có xn > m. Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. • Dãy (*„) được gọi là dãy Cauchy nếu: \ /6 > 0,3^0 € N sao cho \/n,m > n{) ta có \xm —xn\< s. * Các điều kiện hội tụ Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đon điệu ) a) Nếu dãy (xn) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và limx;ỉ = sup xn n - > 00 n b) Nếu dãy (xn) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và limx,? = inf xn n Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần a). Vì dãy tăng và bị chặn trên nên supxn < +00 n Đặt a = supx;ỉ. Khi đó > 0,3n0 e M sao cho: n a - £ xn , với \/n > n{) và do đó a —s < X < xn < a ; V/ĩ > nữ Vậy \ a - x \ < £ , Vw > n0. Hay limx;ỉ = a (định lí được chứng minh). /J—»00 Định lí 1.2.2 ( Điều kiện hội tụ của dãy bất k ì ) Điều kiện cần và đủ đế dãy (x;ỉ) hội tụ là dãy đó là dãy Cauchy. Chứng minh • Điều kiên cần Lưu Thị Hồng Yên 7 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử dãy (jt ) hội tụ, tức là lim Jt;ỉ = a . Thế thì, /J —K O với s > 0 cho trước 3nn e N sao cho \ x - a \ < — với \/n > nn và £■ \x —a\< — với Vm > n0. Từ đó suy ra răng: , \x. - \ \ = \{x„ -à) + { a - x„, )| ắ \x„ - a\ + \a - xmI< ^ Tức là ^ = e với Vm, n > n0 > 0, 3nữ G M, Vm,« > n0, \xn - x \ < s . Vậy (x„) là dãy Cauchy. • Điều kiện đủ Trước hết ta chú ý rằng (jt,;) bị chặn. Thật vậy, lấy cố định s > 0 thì theo giả thiết 3n0 GM sao cho nếu \/n,m > n0 thì \xn - xm\ < s. hay xm- e < x n n0, theo (1.8) ta có: X —£ < x n < X + s với n > n0 Điều đó chứng tỏ (xw) bị chặn. Theo bố đề Bolzano - Weierstrass, từ (jc#í) ta rút ra được một dãy con hội tu (x ) sao cho limx = a . Ta chứng minh rằng a cũng chính là giới hạn của ' k' k— ^cc k ^ (xn)Thật vậy, cho s > 0 nhỏ tùy ý, vì Ịim X = a nên 3n2 sao cho \/k > n2 ta k — Có: £ 2 x„ —a Mặt khác, theo giả thiết ta có thể chọn được số n3 sao cho với \/k > n3 ta X, - x„ < — ( với n. >k). có: Do đó với \/k > n0 = max Ịn2n31, ta sẽ có: Lưu Thị Hông Yên 8 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp \xk —a\< X. - x„ + X.. - a s 2 s 2 Vậy limx;Ị = a 11— »co 1.3 Một số định lí về hàm số liên tục Định lí 1.3.1 Nếu f ( x ) và g(x) liên tục tại x0 thì f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ) . g { x ) \ g(x) ( với g ( x ) ^ 0 ) cũng liên tục tại Jt0. Chứng minh Ta có, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm thông qua giới hạn hàm số nên ta có thể hoàn toàn chứng minh được định lí này. Đối với định lí về các phép toán về giới hạn của hàm số áp dụng được khi các hàm số f ( x ) và g(x) có giới hạn. Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn các phép toán khác chúng minh tương tự. Thật vậy: Vì f ( x ) và g(x) liên tục tại Jt(). Theo định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm ta có: lim /(x ) = / ( x 0) và lim g(x) = g(x0) X — K C0 X — >x0 Theo tính chất giới hạn hàm số ta có: lim [ f ( x ) + gU )] = lim f { x ) + lim g(x) = f ( x 0) + g(x0) X — >A'() .V— K r () A'— >-Vq = > [/(x) + gC*)] liên tục tại x0 (điều phải chứng minh). Vậy định lí được chứng minh. Định lí 1.3.2 Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. Chứng minh Lưu Thị Hông Yên 9 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trung của hàm số liên tục để chứng minh. a, f ( x ) = axx n + a2x n~ +... + an TXĐ: D = R Lấy JC() là một điểm bất kì thuộc D. Cho Jt0 một số gia Ax ta có : Ạy = /(*o + A x )-/(* o ) = ax(x0 + Ax Ỵ + a2(x0 + Ax Ỵ 1+... + anJ 0+ a2x r^~] +... 4- anJ (x) + a2.g2(x) +... + a„_, ] = Ax. [ữ, Suy ra : lim Ày = lim AxỊa,gị (jt) + a^g2(jt) +... + a , 1 = 0 Ax— »0 Ax— >0 L-I Theo tính chất đặc trung của hàm số liên tục thì /' (x) = ciịX" + a2x n~] +... + an là liên tục tại x {) . Do x0 là bất kì thuộc K. nên / ’(x) liên tục trên IR. b’ F {x ) = ^ r \ ’ s M * 0g(x) TXĐ: D = R \{ x :g ( x ) = 0} Lấy Jt() là điểm bất kì thuộc D . Cho Jt() một số gia Ax ta có : Khi đó: lim Ày = lim /(* 0 + A*) / ( * o ) l _ / ( xo) Ax->0 _^>n0 g(x0 +Ax) g(x 0) J Aằv— g (x 0) Vậy / ( * o) 0 g (x 0) liên tục tại x0. Do x0 bất kì nên ^ ( x ) liên tục trên D. c, Các hàm so lượng giác. • ỵ = sin X TXĐ: D = R Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D . Cho x0một số gia A x , ta có : Lim Thị Hồng Yên 10 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Ay = sin (JC0 + Ax) - sin (jt0) = 2 cos xn + Ax + Xr x0 + Ax - x0 .sin . Ax .sin—— 2 - 2cos x0 + Khi đó: lim Ày = lim 2.COS *0 + Ax— >0 Ax— >0 Ax .sin— = 2 cosxn .0 = 0 Ax ( vì Ax —» 0 n ê n ------ >0) 2 Vậy y = sinx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên y = sinx liên tục trên R. • ỵ = cosx TXĐ: D = R Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D. Cho JC0một số gia Ax, ta có: Xn Ay = cos(x0 + A x )-co s(x 0) = - 2 sin + Ax + X .sin x0 + Ax - x0 V = -2 sin Ax . Áx .sin—2 Khi đó: lim Ay = - lim 2.sin Ax— >() Ar->0 XQ Ax ^ . Ax _ . .... H---- - .sin—- = 2.sinx0.0 = 0 AX (v ì Ax —>0 n ê n ------ >0) 2 Vậy hàm số J = cosx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên hàm số 3; = cosx liên tục trên R. Chứng minh tương tự đối với hàm tanx,cotx. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lí 1.3.3 Neu hàm số ỵ = f ( x ) liên tục trên [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn Lim Thị Hồng Yên 11 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Hệ quả. Neu hâm so f licn tuc txcn đocin Ị^ÍZ,Z?J V3. f ^ 0 thi tồn tại ít nhất một số c e (ứ ,ử ): / ( c ) = 0. Hay nói cách khác: Neu hàm số / ( j t ) liên tục trên [a,b] và < 0 thì phương trình / ( * ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a,b). 1.4 Không gian metric + Không gian metric Định nghĩa 1.4.1 Ta gọi là không gian metric một tập họp X ^ 0 cùng với một ánh xạ d từ tích X X X vào tập họp số thực M. thỏa mãn các tiên đề sau đây: (1) ( V j c , v e l ) í / ( i , ) ’) > 0 , = 0<^>x = (2) ( V x ,jg X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) ; (3) ('Vx, y G X ) d (x,y) < d ( x , z ) + d ( z , y ) ; Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d (*,;y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X va ỵ . Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề (1), (2), (3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là M = Ví dụ 1.4 X =M, d(x,yy.= \x —y\; (1.9) (1.9) xác định cho ta một metric trên M. và gọi là metric tự nhiên trên M. Không gian metric tương ứng được kí hiệu là R 1. Ví dụ 1.5 i=l / ( 1. 10) y = ( y p ) ’2- - y * ) s Mk ( 1.10) được gọi là một metric trên Rk và gọi là metric ơclit trên R k. Lưu Thị Hông Yên 12 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Không gian metric kí hiệu là R k. + Sự hội tụ trong không gian metric Định nghĩa 1.4.2 Cho không gian metric M = ( x ,d ) , dãy điêm (*#I)c: X , điếm i 0 ẽ I . Dãy điếm (jr;i) gọi là hội tụ tới điêm x0 trong không gian M khi —»00, nếu V£ > 0, 3n0 GN*, \/n >n0, d [ x n,xn ) < £ , kí hiệu: limxw= x0 hay xn —>x0 khi n —>00 Điểm JC0 còn gọi là giới hạn của dãy (*„) trong không gian M . Ví dụ 1.6 Sự hội tụ của một dãy điểm (jtn) trong không gian IR1là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. Ví dụ 1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong C ụ b-ị tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Ví dụ 1.8 Sự hội tụ của một dãy điếm trong không gian ơclit Mk tương đương với sự hội tụ theo tọa độ. Thật vậy, giả sử dãy điểm x ^ = j ( n = 1,2,...) hội tụ tới điểm x = (x{,x2,...,xk) trong Mk. Theo định nghĩa: \ /6 > 0, 3n0 e N*, \/n > n() Suy ra —Xj <£', \/n> n0;V/ = 1,2,...,/: Lim Thị Hồng Yên 13 K3 7Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Các bất đẳng thức (1.11) chứng tỏ với V7 = 1,2,...,/: dãy số thực (-*^1 hội tụ tới số thực Xj khi n —>00 sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo tọa độ. Ngược lại, giả sử dãy điểm x ^ = j (n = 1,2,...) hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1,x2,...,x/t) theo định nghĩa: v0 (với mỗi Vý = 1,2,...,Ả:), Bn.eN*, \/n > n ., (”) J J *Jk Đặt n0 = maxịỉĩì,n2,...,nk}, thì (\/n > nQ) ta có: (n) X ) ’ - Xj < ( 7 = 1.2.....k) (xí") _ x j) ( 7 = 1, 2,...,*) X ( xí") _ x j) < f2; V n> n0 j=1 JỉẨxj Xj ) <£; Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric ơclit của không gian Rk. + Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.4.3 Cho hai không gian metric Mị = (x,£ /,), M 2 = (Y,d 2), ánh xạ / từ không gian M Ảđến không gian M 2. Ánh xạ / gọi là liên tục tại điểmx0 e X nếu (V f > 0)(3íỹ > 0) (vx e X :dị (x,x0) < £,c/2( / ( x ) , / ( x 0)) < s Ỵ Định nghĩa 1.4.4 Ánh xạ / gọi là liên tục trên tập A c X , nếu ánh xạ / liên tục tại mọi điểm x e A. Khi A = X thì ánh xạ / gọi là liên tục. Định nghĩa 1.4.5 Lưu Thị Hông Yên 14 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Ánh xạ / được gọi là liên tục đều trên tập Ẩ c X nếu: ị y s > 0)(3<ỹ > o) e A :d x(x,x Ị < c>j [d2(f ( x \ f ( x )) < s Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ / liên tục đều trên tập A c= X , thì ánh xạ / liên tục trên tập A . + Không gian metric đầy Định nghĩa 1.4.6 Cho không gian metric M = ( x , d ) . Dãy điểm (x,;)c z X gọi là dãy cơ bản trong M nếu: \ ỉ s > 0, 3n0 eN*, Vra,n > nữ, d (xm,xn) < s. Hay lim d ( x m,xn) = 0 m,n— >00 Dễ thấy mọi dãy điểm (x;ỉ) hội tụ trong M đều là dãy cơ bản, vì: Giả sử (*;I) hội tụ đến xữ => > 0, 3n0 e M*, Vra > n0, d ( x m,x0) < —. Mặt khác d ( x m,xn) < d ( x m,x0) + d ( x 0,xn) <— + — = £; \ / m,n > n0. Vậy \ / s > 0, 3n0 GN*, Vra, n >n0, d (jcot, xn) < 8. Định nghĩa 1.4.7 Không gian metric M = ( x , d ) gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ. Ví dụ 1.9 X = Mk với metric ơclit là không gian metric đầy. Giả sử (•*")<= là một dãy cơ bản, x" = (*¡',.*2, . . x n e Rk; \/neN* => Vố* > 0, 3nữ e N \ Vm,n > n0, d (V",x nì < s. Lưu Thị Hông Yên 15 K37Ả Sư phạm Toán