Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp nhóm hữu hạn

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 272 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 39907 tài liệu

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN DƯƠNG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP • • ĐẠI • HỌC • Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN DƯƠNG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP • • ĐẠI • HỌC • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Ths. Dương Thị Luyến Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến, cô đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận . Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung khóa luận này còn nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung khóa luận trở nên hoàn thiện hơn. Em xin trân trọng cảm ơn. Hà Nội, ngày...tháng...năm 2015. Sinh viên Dương Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác. Hà Nội, ngày...tháng....năm 2015. Sinh viên Dương Thị Thảo MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU..................................................................................................... 1 Chương 1. Kiến thửc chuẩn bị......................................................................... 3 1.1 Nhóm........................................................................................................3 1.1.1 Định nghĩa......................................................................................... 3 1.1.2 Tính chất............................................................................................ 3 1.2 Nhóm con................................................................................................ 4 1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương.................... 4 1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc......................................................................... 5 1.3 Nhóm thương..........................................................................................6 1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic.......................................................... 6 1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tủ’ trong nhóm......................................... 7 1.6 Tổng trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm ....................................... 8 1.6.1 Tống trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm ..................................... 8 1.6.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm ................................ 8 Chương 2.Nhóm hữu hạn................................................................................10 2.1 Định nghĩa............................................................................................. 10 2.2 Tính chất............................................................................................... 10 2.2.1 Định lí Lagrange 10 2.2.2 Hệ q u ả ...............................................................................................11 2.3 Một số nhóm thường gặp...................................................................... 14 2.3.1 Nhóm đối xứng................................................................................ 14 2.3.2 Nhóm thay phiên.............................................................................20 2.3.3 Nhóm con Sylow............................................................................. 23 2.3.4 Một số bài tập.................................................................................. 29 KẾT LUẬN...................................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 43 LỜI NÓI ĐẦU Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung và Đại số nói riêng cũng có những tiến bộ vượt bậc. Những tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất lượng tử, cũng như một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử... Có thể nói mọi ngành của toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới cấu trúc đại số và những hiểu biết về cấu trúc này. Trong đó, nhóm là một trong những đối tượng cơ bản nhất và cổ điển nhất của toán học. Nhóm hữu hạn là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn. Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn được nghiên cứu, tìm hiểu về Đại số nói chung và cấu trúc nhóm nói riêng, em đã chọn đề tài “Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu. Nội dung khóa luận gồm 2 chương: Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Ớ chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm, tống trực tiếp, tích trực tiếp của hai hay nhiều nhóm. 1 Chương 2: Nhóm hữu hạn Đưa ra khái niệm nhóm hữu hạn, các tính chất, định lí, hệ quả của một số nhóm hữu hạn thường gặp và các bài tập áp dụng. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHƯẢN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng, (.) là một phép toán hai ngôi trên X. X là một nhóm khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: i) (xy)z = với mọi X,ỵ,z e X . ii) Tồn tại phần tử ể g X c ó tính chất : 6X —xe = X,\/x G X . iii) \/ x g X có một phần tử X G X sao cho XX = x fx = e . Ví du. Tâp hợp các số nguyên z cùng với phép cộng thông thường là nhóm cộng các số nguyên. Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ,nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức. Chú Ý: • Phần tử e được gọi là phần tử đơn vị của X. • Phần tử X thoả mãn (iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của л:. • Nhóm X được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu thoả mãn điều kiện sau : xy = _yx; Vx, y G X . • Một nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn hay vôhạn nếu tập X hữu hạn hay vô hạn các phần tử. 1.1.2 Tính chất Cho X là một nhóm. Ta có các khẳng định sau: a) Phần tử đơn vị e của X được xác định duy nhất. X chỉ tồn tại duy nhất 1 phần tử nghịch đảo x ' . b) Mỗi phần tử xg c) Trong nhóm có luật giản ước có nghĩa là: 3 X)’ = z y = > x = z xy = xz=> y = z . d) Trong nhóm phương trình ax = b (tương ứng ya = b ) có nghiệm duy nhất X = a~'b( tương ứng 3; = ba~]). e) Với mọi Xị , x 2, x 3, ......... , x n g X / ta có : \-> _ -] -1 -1 -1 = * n ~ c ........x~xx . Đặc biệt ( y 1) = (*-1) =JC”"»(^”1)”1=X1.2 Nhóm con 1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương a) Định nghĩa Cho X là một nhóm, A là bộ phận ổn định của nhóm X. Khi đó, A được gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lập thành 1 nhóm. Vỉ du. Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm con hiển nhiên là G và ị e } . Nhóm con {eỊ gọi là nhóm con tầm thường. b) Tính chất • Giao của một họ tùy ý các nhóm con của X là nhóm con của X. • Hợp của 1 họ khác rỗng các nhóm con nói chung không phải là nhóm con của X. c) Điều kiện tương đương Cho X là một nhóm, Ấ c X .Khi đó A là nhóm con của X khi và chỉ khi: (i) A là một bộ phận ổn định của nhóm X :x ,y e A,xy e A . (ii) X e Athì x~] G A (với X-1 là phần tử nghịch đảo của JC trong X). 4 d) Hệ quả Cho X- là nhóm , А Ф0 , A cz X .Các điều kiện sau tương đương: i. A là nhóm con của X. ii. Với mọi X, y G A thì х у е А д '1GА . iii. Với mọi x,y G A thì xy~1e A. 1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc a) Định nghĩa Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi đó A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu : Với mọi x e X ,íỉ 6 Ả : x ‘W e A . Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuấn tắc nào khác ịe} và X . Vỉ du. l)Mỗi nhóm (G,.,ể) có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên là G và {e}. 2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc. b) Điều kiện tương đương Cho A là một nhóm con của X. Khi đó ta nói nhóm A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi X G X ta có jtA = Ax với x A = ịxaịa e a Ị và Ax = ịaxịa e a Ị . Chủ V : • Một nhóm X với phần tử đơn vị e bao giờ cũng có ít nhất 2 nhóm con chuẩn tắc là ịe} và X. • Neu X là nhóm Aben thì mọi nhóm con của X đều là nhóm con chuẩn tắc. 5 1.3 Nhóm thương Định nghĩa: Neu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì: i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA, jA ) với lớp trái xỵA là một ii) ^ cùng với phép toán 2 ngôi : (*A,_yA) —»xyA là một nhóm gọi là nhóm thương của X trên A. Vỉ du:z là nhóm cộng các số nguyên, riL là nhóm con chuẩn tắc của Zgồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho trước. Khi đó 1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic a) Định nghĩa tập sinh của nhóm Cho (X ,. )là một nhóm , Ư cz X : i) Giao của tất cả các nhóm con của X chứa u là nhóm con nhỏ nhất trong số các nhóm con của X chứa U.KÍ hiệu là . ii) Nếu tồn tại u , <Ư> = X thì u được gọi là tập sinh của X. iii) Neu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của u thì ta nói u là tập sinh cực tiểu của X. Nhân xét: • < 0 >= je} , = s nếu s là một nhóm . • Một nhóm con có thể có 2 tập sinh cực tiếu với số phần tủ’ khác nhau: Ví dụ: Z 6 = < 1> = < >. 6 b) Nhómxyclic i. Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,neu X được sinh bởi một phần tử a e X , phần tử a được gọi là phần tử sinh của X. K íhiệu:X = (a). ii. Neu X là nhóm bất k ì,a e X thì (a)là 1 nhóm xyclic sinh bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh bởi a . Vỉ du. Nhóm ( ^ +,+) gồm các số nguyên dương là xyclic với phần tử sinh là 1. Nhân xét: • Neu phép toán ngôi trong X là phép cộng thì:(a) = ịkaịk e Z j . • Neu phép toán 2 ngôi trong X là phép (.) tổng quát thì (a) = ịak/ k E z j . 1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm Định nghĩa i) Cấp của một nhóm X là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tủ’ hay bằng vô cùng neu X có vô hạn phần tử . Kí hiệu: Cấp của nhóm X là: IXI hoặc Card (X). ii) Cấp của a GX là cấp củ a(ữ ). Nhân x é t: • Nếu am^ a n (V m ,7ieZ,m ^7i)thì (ữ) = 00 . 7 Nếu 3m G z + nhỏ n h ấ t: am = 1thì(ữ) = m. Kí hiệu Ord (a) để • chỉ cấp của a. 1.6 Tống trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm 1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm Định nghĩa: i) Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.). Trên tập tích Đe-các : A X B = { ( a ,z ? ) / a e A,b e B Ị . Ta định nghĩa các phép toán như sau: (ữ,z?)(c,í/) = (ac,bd). Khi đó A XB cùng với phép toán hai ngôi lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B. Kí hiệu là : AxB. ii) Tống trực tiếp của các nhóm A và B cũng được gọi là tống trực tiếp của hai nhóm này. Kí hiệu là A® B. 1.6.2 Tích trực tiếp, tằng trực tiếp của nhiều nhóm a)Định nghĩa Giả sử G . là một nhóm ( nhân) với mỗi i GÌ . Trên tập tích . =Ị(ữ.). Ị :a. g ơ . , / g / Ị . Ta định nghĩa phép nhân như sau : ie ỉ (a ). (bị). =(ếự?.). . Khi đó được gọi là tích trực tiếp của họ is l và được kí hiệu là Ỵ \ G .. Tổng trực isl nhómỊG Ị. ]~T Gị, kí hiệu , ie l ' tiếp của họ nhóm © Gị là nhóm con của ]~T Gị gồm tất cả các phần tử 1 , ie ỉ ie l (ứ.). sao cho a .= e . (đơn vị) đối với hầu hết trừ ra 1 số hữu hạn chỉ số i. Các khái niệm tống trực tiếp, tích trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm. 8 b) Tính chất i) A x B = B xA nhờ đẳng cấu (a,z?) ii) (A x # )x C = y4x(#xC ) nhờ đẳng cấu ịịa,b ),c )|-^ ị a , ị b £ )). iii) Có thể đồng nhất A( tương ứng với B) với mỗi nhóm con AxỊểg} (tương ứng với {eA}xZ? )c ủ a A x B nhờ đơn cấu. Với phép đồng nhất trên mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B trong A x'B :a b = (a,eB')(eA,b) = (a,b') = (eA,b)(a,eB') = ba. iv) A r \ B = ịe } trong A x B . v) Nhóm A x B sinh bởi tập A u vi) A,B là các nhóm chuẩn tắc của A X B . . vii) Nhân x é t: i) Giả sử N là 1 nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Nói chung ii) Neu các số nguyên dương m và n là nguyên tố cùng nhau thì z / xz / =z / /m /n / mn' iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuấn tắc trong G sao cho A n B = ịe} và G là nhóm sinh bởi A u B . Khi đó G = A X B . 9 CHƯƠNG 2. NHÓM HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử. Ngược lại ,nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn. 2.2 Tính chất 2.2.1 Định lí Lagrange Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của nó. Khi đó |ơ| là bội của |# |. Chửng minh: Trước hết ta chứng minh: \aỉỉ\ = \Ha\ = I # Ivới aH là lớp kề trái và Ha là lớp kề phải của H trong X. Thật vậy: • Cho X là một phần tử tùy ý của X . Xét ánh xạ: H -> я * h I—» hx > F là đơn ánh vì với mọi h, h' E H giả sử: hx = Их => h = h' > Dễ thấy f cũng là 1 toàn ánh. Vậy f là song ánh. • Tương tự g : H -^xH h I—> xh cũng là một song ánh. Do vậy |ữ//j = |//ữ| = |//|. Hơn nữa tất cả các lớp kề trái ( hoặc phải ) lập thành một phân hoạch trên nhóm hữu hạn X. Do vậy X = | J aH = Ha tức là \x\ là bội của |# |. aeX aeX 10 2.2.2 Hệ quả 2.2.2.1 Hệ quả 1 Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là ước số của cấp của G. Chứng minh: Với mọi x e G , cấp x= cấp , cấp là ước của cap X. *Định nghĩa số mũ của nhóm: Giả sử G là một nhóm. i. Neu đối với phần tử a e G , có số m nguyên dương sao cho a m - e thì m được gọi là số mũ của a. ii. Số nguyên dương m được gọi là 1 số mũ của nhóm nếu nó là số mũ của mọi phần tử của G. 2.2.2.2 Hệ quả 2 Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó. 2.2.2.3 Hệ quả 3 Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. Nói cách khác ,trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố có duy nhất (sai khác đẳng cấu ) một cấu trúc nhóm , là nhóm xyclic. Chửng minh: Giả sử nhóm X có cấp |x |= p là một số nguyên tố. Vì P>1 nên có phần tử trong а Фe trong X . Nhóm xyclic sinh bởi a có cấp n>l ( vì а Фe ) và n là một ước của p. Nhưng p nguyên tố nên ta có n = p. Do đó x=. 11 2.2.2.4 Hệ quả 4 Mọi nhóm với 4 phần tử đều đắng cấu với 1 trong 2 nhóm Z 4 và Z 2 XZ 2. Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Chửng minh: Z 4 có một phần tử cấp 4 trong khi đó mọi phần tử khác không trong Z 2x Z 2 đều có cấp 2.Vì thế hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Giả sử G là nhóm cấp 4. Neu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do đó G = Z 4. Trái lại thì mọi phần tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2(theo hệ quả 1). Trong trường hợp này G đẳng cấu với Z 2 X Z 2. 2.2.2.5 Hệ quả 5 ( Định lí nhỏ của Fecma ) Neu p là một số nguyên tố , a là số nguyên bất kì thì a p - a chia hết cho p. Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng ị ỹ / j = Ị ĩ, 2,................,n Ị lập thành một nhóm với phép nhân được định nghĩa như sau: X.y = xỵ Thật vậy : • Phép nhân được xác định như trên có tính chất kết họp và có đơn vị là 1. Do đó có các số nguyên к và 1 để cho kx+lp=l. Tức là k.x = \ hay (x) = к trong . 12 Neu a không chia hết cho p thì a G| ỵ // j • cấp của a là một ước của p-1 ( số phần tử của nhóm ị ỹ / j ). Do đó ( a Ỵ = ĩ trong ị ỹ / j hay là a p~l -1 chia hết cho p nên a p - a - a.(ap~l - l)cũng vậy. Còn nếu a chia hết cho p thì a p - a = a.(ap ì - 1) cũng chia hết cho p. 2.2.2.6 Tong quát hóa của định lí Lagrange Giả sử A là một nhóm con của в và в là một nhóm con của X, trong đó X là một nhóm hữu hạn. Khi đó: [X : А] = [X : В] [В : А]. Chứng minh: Đây là một chứng minh không sử dụng kết quả của định lí 3.2.1. ìỹC = {xỊB,x2B,......... ,xmB} Giả sử _ , trong đó m = [X:Bl,w = [B :A l % = { .V A ? A ............. ,УЛ} Và X = x ,B u x 2B u ............... u x mB, B = y ,A u y 2A u ............... ^ У , А Suy ra: x ß = x ^ A u х.у2А и .............. U i . y / m n X = Ụ l> ,y ,A . /= l j = 1 Vậy Ị JC.y. / / = 1, ra, j = 1, ГСj là một tập các đại diện của các lóp ghép trái của A trong X. Do đó [x :А] = mn = 13 2.3 Một số nhóm thường gặp 2.3.1 Nhóm đối xứng 2.3.1.1 Định nghĩa a) Định nghĩa nhóm đối xúng Giả sử X là một tập nào đó. Kí hiệu: S(X) ={ f / f : X i. là song ánh }. S(X) cùng với phép toán nhân ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên X. Nhóm con của S(X) gọi là nhóm các phép thế trên X. ii. ịxị =n , không giảm tính tổng quát ta xét x={ 1,2,....... ,n} thì S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử . Kí hiệu sn. Neu Mỗi phần tử a e s ta có thể biểu thị như sau: a = 1 a ( 1) 2 n ^ . . a ( 2) . . a(n) b) Định nghĩa xích( hay chu trình) Giả sử x t,x2,..................,xk là các phần tử đôi một khác nhau trong {1,2,3,..... ,n} . Phép thế a e Sn được gọi là một chu trình ( hay xích ) với độ dài k trên tập nền {X!,X2, ....................,xn} nếu: XM k h i a(x.) = X, 1 < ỉ< k khỉ i = k X k h i i > k Kí hiệu : a = (xr x2,............... c) Định nghĩa phép thế sơ cấp Ta gọi một phép thế sơ cấp( hay phép chuyến trí) là một phép thế sao cho: 14
- Xem thêm -

Xemtailieu.com là thư viện tài liệu trực tuyến, nơi chia sẽ trao đổi tài liệu như luận văn đồ án, sách, giáo trình, đề thi, truyện đọc.v.v.. Với kho tài liệu khủng lên đến hàng triệu tài liệu tại Xemtailieu.com hy vọng đáp ứng được nhu cầu của các thành viên.