Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp một số nhóm cơ bản và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TUYÉT MỘT SỐ NHÓM C ơ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trường. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS. Hà Thanh Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt khóa luận này. Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí luận cũng như kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thế tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô đế em học thêm được nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận được tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Tuyết LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giảng viên TS. Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Tuyết MỤC LỤC MỞ Đ Ầ U .................................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tà i...............................................................................................................1 2. Mục đích nghiên c ứ u ........................................................................................................1 3. Đối tượng nghiên c ứ u .......................................................................................................1 4. Nhiệm vụ nghiên c ứ u ......................................................................................................2 5. Phương pháp nghiên c ứ u ................................................................................................2 6. Cấu trúc khóa luận........................................................................................................... 2 NỘI D U N G ............................................................................................................................ 3 CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH N GHĨA CỦA N H Ó M .........................................................3 1.1. Định nghĩa về n h ó m .....................................................................................................3 1.2. Các ví dụ về nhóm ........................................................................................................ 5 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM c ơ B Ả N .................................................................. 10 2.1. Nhóm hữu h ạ n ............................................................................................................. 10 2.2.Nhóm không A b e l........................................................................................................11 2.3. Nhóm hoán v ị .....................................................................................................13 2.4. Nhóm th ư ơ n g .............................................................................................................. 16 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI M ỘT SỐ BÀI T Ậ P .............................................. 21 KẾT L U Ậ N .......................................................................................................................... 31 TÀI LIỆU THAM K H Ả O ................................................................................................32 MỎ ĐÀU 1. Lý do chọn đề tài Khi nghiên cứu các đối tượng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc biệt - tính chất đối xứng. Cụ thể, đó là: - Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng, momen xung lượng,...). - Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản dẫn đến phương pháp phân loại các mức (mức năng lượng, mức “khối lượng”), hay một số đại lượng khác. Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể “tính toán” bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm. Đặc biệt, lýthuyết nhóm đã cung cấp cho vật lý học một phương pháp gọn, chính xác, bổ sung cho các phương pháp khác. Trong một số bài toán đặc biệt, có thế nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thế giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm. Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phương pháp lý thuyết nhóm dần dần trở thành một phương pháp khá thông dụng, nói chung không thế thiếu được. Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về lý thuyết nhóm và một số nhóm cơ bản. - Giải một số bài tập về các nhóm đó. 3. Đối tượng nghiên cứu - Một số nhóm cơ bản. - Một số bài tập về các nhóm đó. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản. - Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc, tra cứu tài liệu - Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán 6. Cấu trúc khóa luận Chương 1: Các định nghĩa của nhóm 1. 1. Định nghĩa về nhóm 1.2. Các ví dụ về nhóm Chương 2: Một số nhóm cơ bản 2.1 Nhóm hữu hạn 2.2 Nhóm không Abelian 2.3 Nhóm hoán vị 2.4 Nhóm thương Chương 3: ứ n g dụng giải một số bài tập 2 N Ộ I DUNG C H Ư Ơ N G 1: CÁC Đ ỊN H N G H ĨA CỦA N H Ó M 1.1. Định nghĩa về nhóm ♦> Định nghĩa nhóm Một tập hợp G = {a,b,c} được gọi là một nhóm nếu có một toán tử, được gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của nhóm G thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tính kín: Nếu Vứ,Z?eG thì a b ^ G . (ii) Tính kết hợp: Với mọi \/a,b,c g G thì (iii) Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử . đơn vị e sao cho: a.e = a với V ứ ẽ G . (iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a & G có một phần tử nghịch đảo a~x e ơ s a o cho: a.a~x = e. Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quả sau: e~] = e, a~' .a = e, e.a = a với Va e G . Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dưới phép cộng, phép nhân nhóm được thực hiện như phép cộng thông thường. Trong nhóm này, phần tử đơn vị I được thay thế bằng số 0 , và nghịch đảo của một số nguyên a là —ã . Khi đó điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn bởi các số nguyên dưới phép cộng là hiển nhiên. Một nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông thường, được hình thành bởi 1 và - 1; trong nhóm này, tính kín được thỏa mãn, 1 là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó. ❖ Các định nghĩa khác. Nhóm Abel: Một số nhóm G được gọi là nhóm Abel nếu phép nhân nhóm là giao hoán: a.b = b.a với V ữ ,b e G 3 Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thế sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử ũ . Neu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của ũ , và khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần tử của nhóm là một bội số của a . Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Bảng nhân nhóm: Là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử trong nhóm e a b e e a b a a aa ab b b ba bb Nhóm con: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình thành một nhóm con của G. Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó. aHa~x = H với V ữ e G Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau: ciH = Ha tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau. Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu đã chứa một phần tử của lớp [ß] thì phải chứa toàn thể lớp [ ß ] . Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G. 4 Tất cả nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến. Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con bất biến của G. Các p h ầ n tử liên h ọ p : Một phần tử b G G được gọi là liên hợp với f l e G nếu tồn tại một phần tử khác p e G sao cho b = pap ~x.Ta sẽ biểu thị mối quan hệ này bằng kí hiệu Tính chất: (i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó ũ ~ a (quan hệ phản xạ). (ii) Neu a ~ b thì b ~ a (quan hệ đối xứng). (iii) Neu a ~ b và b ~ с thì а ~ с (quan hệ bắc cầu). LÓ’P liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành một lớp. Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó. Tích trự c tiếp: Gọi Hi và H2 là các nhóm con của G với các tính chất sau: (i) Mọi phần tử của H] giao hoán với mọi phần tử của H2, tức là: /z,/^ = /^/Z], V/г, е Я , , / ^ G H 2 (ii) Mọi phần tử g & G có thể viết được duy nhất dưới dạng g =h\h2, ở đây hị е Я р /ỉ, G H 2 . Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của Hị và H2, kí hiệu là G = H x® H 2. 1.2. Các ví dụ về nhóm Ví dụ 1 : Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e . Phần tử nghịch đảo của e chính là e và quy tắc nhân nhóm là e.e = e . Dễ thấy 5 tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn. s ố 1 với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm mà ta biếu thị bằng C ị. Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử Tùy theo tính chất của e , ta phải có đơn vị. Ta biểu thị nhóm này bởi e.e = e và e.a = a.e = a . Vậy chỉ còn a. a cần được xác định. Hoặc a a = e hoặc a a = a . Khả năng thứ hai là khả năng không thể vì nếu nhân cả hai vế với a 1thì dẫn tới ữ = e . Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1. Nhóm này được kí hiệu là C 2 . Rõ ràng các số + K e) và —l(ữ)hình thành nhóm này cùng với phép nhân thông thường e a e e a a a e Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C2. Ví dụ 3: Có một và chỉ một nhóm ba phần tử gọi là C3. Bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.2. Vì a 1 = b , ta có thể kí hiệu ba phần tử bởi ịe,a,a 'I với điệu kiện a 3 = £ .V T d ụ : (i) Các số ị l , e i27r/3 , e ~i2ĩr/3) với quy tắc nhân thông thường. (ii) Toán tử đối xứng cho tam giác đều A trong mặt phang quay những góc 0 ,2 ;r/3 ,4 /r/3 . e a b e e a b a a b e b b e a Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm C3. 6 Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thường được gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D 2 . Neu ta biểu thị bốn phần tử này là { e , a , b , c } , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử này tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1. 1: (i) Giữ hình không đối (ii) Phép chiếu lên trục thắng đứng (1,3) (iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) (iv) Phép quay quanh tâm một góc 7t trong mặt phang. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D 2 1 Hình 1.1: Dạng đối xứng D2. Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6 . Nó được tạo ra từ các phép biến đối đối xứng dạng hình học như hình 1.2 7 1 Hình 1.2: Dạng đối xứng D3. Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) Phép biến đổi đơn vị (ii) Phép chiếu xuống các trục (1,1 ’), (2,2’), (3,3’) (iii) Phép quay các tâm với các góc 7.71 / 3 và 47Г/3 Các phép chiếu làm đối chỗ hai điếm, chiếu thêm lần lượt ta sẽ trở lại hình ban đầu. Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31). Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2я73 và 4 ;r /3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của cả ba điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123) Ta nhận thấy 1'ằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị s 3. Có thể dễ dàng kiếm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đối (12) và (123) liên tiếp thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó chứng tỏ đây là nhóm không Abel. 8 e ( 12) (23) (31) (123) (321) e e ( 12) (23) (31) (123) (321) ( 12) ( 12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) ( 12) (31) (31) (123) (321) e ( 12) (23) (123) (123) (31) ( 12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) ( 12) e (123) Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3(haỵ s 3). Ví dụ 6: Nhóm D 2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử \e,a\, { e, b\v à\ e,c \. Bình phương của a trong hai trường hợp này bằng e . Do đó {e,a\ trùng với nhóm C2 và hai tập còn lại cũng vậy. Ví dụ 7: Tập hợp các ma trận khả nghịch n x n bất kì bao gồm ma trận đơn vị và những ma trận có tính kín dưới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma trận. Một số nhóm quan trọng thường dùng sau: (i) Nhóm tuyến tính phổ biến GLịn) bao gồm tất cả những ma trận n x n khả nghịch. (ii) Nhóm Unita u ị ỉ ì ) bao gồm tất cả các ma trận Unita, tức là các ma trận Unita n x n thỏa mãn: (iii) u.u+= 1. Nhóm Unita đặc biệt su{rì) bao gồm các ma trận Unita với định thức đơn vị. (iv)Nhóm trực giao o ị n )b a o gồm các ma trận trực giao hoặc các ma trận nxn thỏa mãn: 0 . 0 T =1 ( 0 T là ma trận trực giao của ma trận O). Rõ ràng su(n) và 0 ( n ) là các nhóm con của u(n); và u ( n ) lại là nhóm con của G l ị n ) . 9 CHƯƠNG 2: M ỘT SỐ NHÓM c ơ BẢN 2.1. Nhóm hữu hạn Ta xét một tập hợp s gồm bốn phần tử: s - {1,3,5,7} với phép nhân nhóm (phép đồng dư của 8) Đe tìm tích (phép đồng dư của 8) của hai phần tử trong s, ta nhân chúng với nhau theo cách thông thường, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta được phần dư, phần dư này chính là tích mà ta cần tìm. Ví dụ, 5 x 7 = 3 5 , 35 chia 8 ta được phần dư là 3. Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a x b = b x a , ta có: 1x1 = 1, 1x3 = 3, 1x5 = 5, 1x7 = 7 3 x3 = 1, 3x5 = 7, 3 x 7 = 5, 5 x 5 = 1, 5 x 7 = 3, 7 x 7 = 1. Ta thấy 1'ằng, tập hợp s thỏa mãn tính kín. 1 chính là phần tử đơn vị, tức là 1Xa = a với Va e s . Hơn nữa, đối với phần tử a G s có một phần tử b (trong trường hợp này b = a ) thì a x b = \, tức là mỗi một phần tử đều cómột phần tử nghịch đảo. Như vậy tập hợp s là một nhóm Abel bậc 4. Ta có bảng nhân nhóm như sau: 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Từ ví dụ trên, ta đưa ra được các tính chất như sau: (i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng nhân nhóm. 10 (ii) Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thế xác định bằng cách tìm dọc theo hàng, trong đó ữ xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần tử b tương ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm trên đường chéo chính. Ta rút ra được hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đường chéo chính thì các phần tử tương ứng là bậc 2 . (iii) Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đường chéo chính. Tống quát: Xét một tập hợp s gồm bốn phần tử: s = ụ , A , B , C } v ở i phép nhân nhóm (phép đồng dư của N). ta luôn lập được bảng nhân nhóm như sau: I A B c I I A B c A A I c B B B c I A c c B A I Vậy nhóm hữu hạn là một nhóm nếu số các phần tử của nhóm đó là hữu hạn. Số lượng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm. 2.2.Nhóm không Abel Ta xét các phần tử của một nhóm biến đổi qua một tam giác đều thông qua phép quay hai chiều. Có sáu phép quay: toán tử rỗng, hai phép xoay (là 2 ; r / 3 và 47ĩ / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phang của tam giác), và ba phép quay phản xạ trong mặt phang trung trực vuông góc của ba cạnh. Ta biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau: (i) I là toán tử rỗng. 11 (ii) R và R ’ là phép xoay 2 / r / 3 v à 4 ^ / 3 (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). (iii) K, L, M là các phép quay phản xạ Một số phép nhân của a b có thể dễ dàng tính toán được: R.R = R \ R'.R' = R, R.R' = I = R'.R K.K = L.L = M.M = I Biểu diễn các tích còn lại thông qua các phép quay trong tam giác đều ta được: K.M = R \ M. K = R, R.L = K Ta thu được bảng nhân nhóm như sau: I R R’ K L M I I R R’ K L M R R R’ I M K L R’ R’ I R L M K K K L M I R R’ L L M K R’ I R M M K L R R’ I Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy: (i) Các phần tử không đối xứng qua đường chéo chính, một số kết cặp của các phần tử trong nhóm không giao hoán. (ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3 x 3 tạo thành một bảng nhân nhóm gồm bốn khối là hình vuông. Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đưa vào các toán tử tương tự với tổ hợp các toán tử khác khi tác động lên các phần tử của nhóm. Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau: cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu như nó được xem như là một phép quay góc 0 ; r / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ. 12 Như vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có tính giao hoán. 2.3. Nhóm hoán vị Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trưng của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bố đề sắp xếp. Bổ đề sắp xếp: Nếu có p , b , c G G và p b = p c thì b = c . Chứng minh: Nhân trái cả hai vế với p 1 thì ta có: p~]pb = p~xpc Mà p~xp = e do đó eb = ec hay b = c ( đ pcm) Ket quả này có nghĩa là: Neu b và с là những phần tử khác nhau của G thì pb và p c cũng khác nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì kết quả cũng đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải. Xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n . Ta biểu thị các phần tử của nhóm là { g i,g 2’•••’£«}• Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì kết quả là {hgl,hg2,...,hgn} = {gki, g hỉ,...,ghJ ở đây {h\,h2,...,hn) là một hoán vị của các số (l,2 ,...,n ) được xác định bởi h . Từ đó ta tìm được bản chất mối quan hệ giữa phần tử h e G và một hoán vị được đặc trưng bởi (hị,h2,...,hn). Một hoán vị tùy ý của ĩĩ đối tượng sẽ được biểu thị bởi (\ p= [p 2 I Pi 13 3 Рг ••• n л ••• Pn ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương ứng ở hàng thứ hai. Tập hợp n\ hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm S n , gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng. Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tương ứng việc không có sự đổi chỗ, tức là: e — r\ 2 ••• n' V1 2 ••• ri; Lấy nghịch đảo từ p ta được: Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép hoán vị là cơ sở trong cấu trúc tuần hoàn có thể được giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán vị của sáu đối tượng _ íl p ={3 2 3 4 5 6' 5 4 1 2 6, Vì 1 được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1 nên ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là (134). Tương tự, 2 và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25). s ố 6 không bị xáo trộn, nó có dạng chu k ì-1, được kí hiệu là (6 ). Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6) đã xác định rõ phép hoán vị. Với kí hiệu này phần tử bao gồm n chu {P\-> p P m ) k ì-1và nghịch đảo của là những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo, tức là ( p m, p m- 1, ” ’, p I). Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn. 14 Phép đ ắ n g cấu: Hai nhóm G và G ’ được gọi là đắng cấu nếu tồn tại một và chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu gị e G <-> gị'G G' và gịg? = g 3 trong G thì g }' g 2 = ễ s ' trong G ’ và ngược lại. Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm các số {±1,+/} cùng với phép nhân thông thường đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C 4 = ^ , e 27dlA, e Aĩà14, e b7dlA } kí hiệu A - C4. (ii) Nhóm nhị diện D 3 đẳng cấu với nhóm đối xứng s 3, D3 - S3. Định lí Cayley: Mọi nhóm G hạng ỉĩ đắng cấu với một nhóm con của s„ ■ Chứng minh: Bố đề sắp xếp đã đưa ra một sự tương ứng từ G tới S n : (\ 2 ••• n) anG ^>pa= eS, a 2 ••• (2.3.1) aJ ở đây chỉ số {a,} được xác định từ việc định nghĩa đơn vị. g a, = a g i > i = \,2,■■■,«. (2.3.2) Đặt a b = c trong G. Ta có sự tương ứng: ị\ 2 « 'Ị 1 a n /, b 2 •• • b„ 'ì a. V b\ a b2 • r\ 2 ••• = Ka b, a i,2 •• 2 /A bn , CM \a\ a2 • 2 • J>\ b 2 ■■’ bn, n ' a i>„; Nhưng theo (2.3.2) thì s%= aSb, = a { b g i ) = (a b ) g i = c g i = g Ci 15 Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên là đúng 1 2 Pc = V C1 c 2 n 'nj Vậy ab = c trong G dẫn tới p ap b = p c trong S n , nói cách khác ánh xạ a e G —» p a e S n tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị 1 Pa = 2 n anj với mọi a g G hình thành một nhóm con của S n mà nhóm con này đẳng cấu với G. Ví dụ: Nhóm nhị diện {D2 :e,a,,c} đẳng cấu với nhóm con của s 4 bao gồm các phần tử ị e , (1 2 ) ( 3 4 ) , (1 3 ) ( 2 4 ) , (1 4 ) ( 2 3 ) j . Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp với một phần tử cho trước của nhóm phải có cùng kích thước. Điều này rõ ràng đúng trong ví dụ trên. Ket quả này đưa ra một hệ quả đó là: Neu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của S n chỉ gồm các chu kìn. Định lí: Neu hạng n của nhóm là một sổ nguyên to thì nhóm đó phải đang cấu với C n . 2.4. Nhóm thương L ó p kề: Nếu gọi H - {hị,h2, ’"} là một nhóm con của G và p là một phần tử của G (p <£ H ) thì tập hợp các phần tử pH = {phị,ph2,-"} được gọi là lớp kề trái của H. Tương tự như vậy, Hp = [hịP,h2p , ' • •} được gọi là lớp kề phải của H. 16